TRAITEMENTS NUMÉRIQUES : GÉNÉRALITÉS. Exercice 1. 1

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TRAITEMENTS NUMÉRIQUES : GÉNÉRALITÉS.
Exercice 1.
1- Représenter le signal numérique, puis déterminer la
séquence de nombre {xn } correspondant au signal
échantillonné vEB(t) représenté ci-contre.
On admettra qu’une tension de 1 V correspond au
nombre 10 lors de la conversion analogique
numérique.
2- Déterminer les 10 premiers termes non nuls de la séquence de nombre {xn } , puis représenter le
signal numérique défini par :
xn = 0 si n < 0 et xn = 10/(n+1) si n 0.
Exercice 2.
Soit le traitement numérique d'algorithme : yn = 0,25*( xn + xn - 1 + xn - 2 + xn - 3 )
Le signal d'entrée du traitement numérique est obtenu par l’échantillonnage à une fréquence de 20 kHz
d’un signal sinusoïdal de fréquence 1 kHz superposé à un signal parasite aléatoire.
La séquence { xn } de ce signal numérique d’entrée est définie par xn = 0 si n < 0 et par le tableau ci-
dessous.
n 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20
xn 6 -2 10 4 16 6 14 2 12 -2 4 -8 0 -12 -4 -16 -2 -10 0 -8 4
1- Proposer une structure de l’algorithme à partir des symboles suivants :
2- Justifier que cet algorithme soit appelé : « valeur moyenne glissante à 4 coefficients ».
3- Déterminer les termes de la séquence de sortie { yn } pour n variant de 0 à 20.
4- Représenter sur le même graphe les séquences { xn } et { yn } pour n variant de 0 à 20.
5- Justifier qualitativement de façon qualitative que la fonction remplie par le traitement numérique est
de réaliser un filtrage du signal d’entrée.
Exercice 3.
On donne la structure d’algorithmes de traitement numérique.
Trouver la relation de récurrence liant en et sn dans chacun des cas suivants.
a
multiplication par le
nombre a
sommateur
+
opérateur
retard
R
R
0,5
en sn
+
1-
R
0,5
+ sn
en
2-
0 TE 6.TE
t
4 V
vEB(t)

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3-
Exercice 4.
On attaque par la séquence impulsion-unité les traitements numériques d'algorithmes suivants :
a)
2
1-nn
nx + x = y b)
2
1-nn
ny + x = y c)
2
1-n
nn x + x = y d)
2
1-n1+n
nx + x = y
e) yn = xn - xn-2 + yn-1 f ) yn = xn + 2.yn-1 g) yn = xn-2 - yn-2
Pour chaque algorithme :
1- Calculer les termes de la séquence de sortie { yn } pour n variant de -2 à 10.
2- Indiquer les propriétés mises en évidence par l'algorithme et la réponse impulsionnelle : récursivité,
causalité, stabilité, réponse impulsionnelle finie ou infinie ...
3- Pour les algorithmes a, b, c, e, f et g proposer une structure de réalisation à l'aide des symboles de
l’exercice 2.
4- Pourquoi ne peut-on pas réaliser l'algorithme d) ?
Exercice 5.
On attaque l’algorithme yn = 1,65.(xn – xn – 1 ) par les 3 séquences suivantes :
1- Donner les séquences de sortie correspondantes.
2- Représenter graphiquement la séquence d'entrée {en} et la séquence de sortie qui lui correspond.
3- Déterminer l’opération mathématique réalisée par cet algorithme.
Exercice 6.
On considère les 2 algorithmes ci-dessous :
yn = 0,2*( xn + xn - 1 + xn - 2 + xn - 3 + xn – 4 ) et yn = 0,2*( xn - xn - 5 ) + yn – 1
1- Calculer les termes de la séquence réponse impulsionnelle des 2 algorithmes pour n variant de -2 à
10.
2- Indiquer les propriétés mises en évidence par les algorithmes et leur réponse impulsionnelle :
récursivité, causalité, stabilité ...
3- Proposer une structure de réalisation de ces 2 algorithmes à l'aide des symboles de l’exercice 2.
4- Ces 2 algorithmes sont-ils équivalents ? Leur programmation est-elle identique ?
n -1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 ...
n 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 ...
Гn 0 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 ...
en 0 0 6 10 10 6 0 -6 -10 -10 -6 0 ...
en a0
a1
a2
b1
b2
sn
R
R
R
R
+
+ +
+

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Exercice 7.
On considère le circuit analogique ci-contre.
1- Ecrire l'équation différentielle liant vS (t) et vE (t).
2- Ecrire cette équation sous la forme : )(.)( tv
dt
dv
tv E
S
S
En déduire l’expression de la constante de temps . Calculer sa valeur si R = 10 k et C = 1 F.
3- Lorsque l'entrée est la tension échelon vE(t) = 1 V et que le condensateur est initialement déchargé, la
tension de sortie a pour expression vS (t) = 1- e – t / .
Tracer la réponse vS (t) du circuit pour t variant entre 0 et 50 ms.
On veut réaliser la même fonction avec un calculateur numérique.
4- Etablir l’équations de récurrence de l'algorithme du traitement numérique, en remplaçant vS (t) et
vE (t) par Vs n et Ve n et en utilisant l’équivalent discrétisé de la dérivée de vS (t) : E
-1nn
T
Vs - Vs .
5- Si la période d’échantillonnage TE est de 2,5 ms, calculer les valeurs prises par Vs n pour n varie de
0 à 20 lorsque la séquence {Ve n} est la séquence échelon unité.
6- Tracer la séquence {Vs n} obtenue.
7- Comparer la réponse analogique vS(t) et la réponse numérique {Vs n}. Conclure.
{Vs n }
n
vs(t)
t
C
R
vS (t) vE (t)