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TRAITEMENTS NUMÉRIQUES : GÉNÉRALITÉS.
Exercice 1.
1- Représenter le signal numérique, puis déterminer la
quence de nombre {xn } correspondant au signal
échantillonné vEB(t) représenté ci-contre.
On admettra qu’une tension de 1 V correspond au
nombre 10 lors de la conversion analogique
numérique.
2- terminer les 10 premiers termes non nuls de la quence de nombre {xn } , puis représenter le
signal numériquefini par :
xn = 0 si n < 0 et xn = 10/(n+1) si n
0.
Exercice 2.
Soit le traitement numérique d'algorithme : yn = 0,25*( xn + xn - 1 + xn - 2 + xn - 3 )
Le signal d'entrée du traitement numérique est obtenu par l’échantillonnage à une fréquence de 20 kHz
d’un signal sinusoïdal de fréquence 1 kHz superposé à un signal parasite aléatoire.
La quence { xn } de ce signal numérique d’entrée est définie par xn = 0 si n < 0 et par le tableau ci-
dessous.
n 0
1 2 3
4 5
6 7
8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20
xn
6
-2
10 4
16 6
14 2
12 -2
4 -8 0 -12
-4 -16
-2 -10
0 -8 4
1- Proposer une structure de l’algorithme à partir des symboles suivants :
2- Justifier que cet algorithme soit appe : « valeur moyenne glissante à 4 coefficients ».
3- terminer les termes de laquence de sortie { yn } pour n variant de 0 à 20.
4- Représenter sur le même graphe les quences { xn } et { yn } pour n variant de 0 à 20.
5- Justifier qualitativement de façon qualitative que la fonction remplie par le traitement numérique est
de réaliser un filtrage du signal d’entrée.
Exercice 3.
On donne la structure d’algorithmes de traitement numérique.
Trouver la relation de récurrence liant en et sn dans chacun des cas suivants.
a
multiplication par le
nombre a
sommateur
+
opérateur
retard
R
R
0,5
en sn
+
1-
R
0,5
+ sn
en
2-
0 TE 6.TE
t
4 V
vEB(t)
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3-
Exercice 4.
On attaque par la séquence impulsion-unité les traitements numériques d'algorithmes suivants :
a)
2
1-nn
nx + x
= y b)
2
1-nn
ny + x
= y c)
2
1-n
nn x
+ x = y d)
2
1-n1+n
nx + x
= y
e) yn = xn - xn-2 + yn-1 f ) yn = xn + 2.yn-1 g) yn = xn-2 - yn-2
Pour chaque algorithme :
1- Calculer les termes de la séquence de sortie { yn } pour n variant de -2 à 10.
2- Indiquer les propriés mises en évidence par l'algorithme et la réponse impulsionnelle : récursivité,
causalité, stabilité, ponse impulsionnelle finie ou infinie ...
3- Pour les algorithmes a, b, c, e, f et g proposer une structure de réalisation à l'aide des symboles de
l’exercice 2.
4- Pourquoi ne peut-on pas réaliser l'algorithme d) ?
Exercice 5.
On attaque l’algorithme yn = 1,65.(xn xn 1 ) par les 3 séquences suivantes :
1- Donner les séquences de sortie correspondantes.
2- Représenter graphiquement la séquence d'entrée {en} et la quence de sortie qui lui correspond.
3- terminer l’oration mathématique réalisée par cet algorithme.
Exercice 6.
On considère les 2 algorithmes ci-dessous :
yn = 0,2*( xn + xn - 1 + xn - 2 + xn - 3 + xn – 4 ) et yn = 0,2*( xn - xn - 5 ) + yn – 1
1- Calculer les termes de la quence ponse impulsionnelle des 2 algorithmes pour n variant de -2 à
10.
2- Indiquer les propriétés mises en évidence par les algorithmes et leur ponse impulsionnelle :
récursivi, causalité, stabili ...
3- Proposer une structure de alisation de ces 2 algorithmes à l'aide des symboles de l’exercice 2.
4- Ces 2 algorithmes sont-ils équivalents ? Leur programmation est-elle identique ?
n -1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 ...
n 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 ...
Гn 0 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 ...
en 0 0 6 10 10 6 0 -6 -10
-10
-6 0 ...
en a0
a1
a2
b1
b2
sn
R
R
R
R
+
+ +
+
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Exercice 7.
On considère le circuit analogique ci-contre.
1- Ecrire lquation différentielle liant vS (t) et vE (t).
2- Ecrire cette équation sous la forme : )(.)( tv
dt
dv
tv E
S
S
Enduire l’expression de la constante de temps
. Calculer sa valeur si R = 10 k et C = 1 F.
3- Lorsque l'entrée est la tension échelon vE(t) = 1 V et que le condensateur est initialement déchargé, la
tension de sortie a pour expression vS (t) = 1- e – t /
.
Tracer la réponse vS (t) du circuit pour t variant entre 0 et 50 ms.
On veutaliser la même fonction avec un calculateur numérique.
4- Etablir l’équations de récurrence de l'algorithme du traitement numérique, en remplaçant vS (t) et
vE (t) par Vs n et Ve n et en utilisant l’équivalent discréti de la dérivée de vS (t) : E
-1nn
T
Vs - Vs .
5- Si la période d’échantillonnage TE est de 2,5 ms, calculer les valeurs prises par Vs n pour n varie de
0 à 20 lorsque la quence {Ve n} est la quence échelon uni.
6- Tracer la séquence {Vs n} obtenue.
7- Comparer la ponse analogique vS(t) et la réponse numérique {Vs n}. Conclure.
{Vs n }
n
vs(t)
t
C
R
vS (t)
vE (t)
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