Distribution de charges et de courants

I Distribution volumique, surfacique, linéique
i
v
i
q
A) Densité volumique
On considère un volume élémentaire
d
.
1) Densité volumique de charge
di i
qdq
.
Donc
),( tr
d
dq 
2) Densité surfacique de courant volumique
 On prend une surface élémentaire orientée
Sd
:
Sd
La charge qui traverse
Sd
pendant
dt
est
dtSdjq .
2
(définition de
j
)
Et
dISdj
dtq 
2
 On a déjà montré que
di iivqdj 
.
 Cas particuliers :
- Pour des porteurs identiques,
qqi
:
ndvqvqvq di i
di ii .
(n : nombre de porteurs par unité de volume,
v
: vitesse moyenne)
Donc
vqnj
ou,avec
m
qn
(densité volumique de charges mobiles) :
vj m
- Pour des porteurs différents :
k
kk
vvj )()( 
3) Densité volumique de force de Lorentz
d
On a, dans le volume
d
, pour chaque particule,
)( BvEqF iii
(
E
,
B
: valeur moyenne des champs dans le volume)
Donc
BvqEqF iii
Soit
BdjEdFd  ..
On a donc une densité volumique de force de Lorentz
BjE
dFd
f
 .
B) Distributions surfaciques
1) Densité surfacique de charge
Distribution de charges et de courants

n
dS
dSdndndSddq  ..
On pose
edn .~
. Ainsi,
dSii
qdSdq
2) Densité linéique de courant surfacique
dl
u
On a
dtdlujq s.
2
.
Et
dIdluj
dtqS 
2
On aura ici
dSjvq sii
(
dS
: élément de surface sur )
Et
jednjjs
 .~
C) Distribution linéique
s
ld
1) Densité linéique de charge
On pose
dlqdq
ldi i.
2) Densité de courant linéique = courant
On pose
Idtdq 
:
u
Donc
ISdj 
Et
lIdldsdjudlsdjdjvq
ld
ldi ii
).(
(
sdldj 
,,
sont colinéaires)
Récapitulatif :

Charge élémentaire :
dldSdqdq i
Elément de courant :
lIddSjdjvq sii
Intensité élémentaire :
IdlujSdjdI S 
D) Ordres de grandeur
1) Densité de charges mobiles
2R~10-10m
Ainsi, on a une densité volumique de porteurs
330m10~ 
n
Donc
311C.m10~
 ne
m
Comparaison :
Pour un volume
3
cm1v
(1mL) de cuivre :
Si on veut retirer tous les électrons de conduction (libres) et les mettre 10cm
plus loin : la charge restante est
C101010 5611   q
Donc la force s’exerçant entre les deux parties a un module :
N10~10010.9.10~
4'22910
2
0
 r
qq
F
Par comparaison, le Soleil exerce sur la Terre une force de module
N10.5,3 22 F
!
Et le travail à fournir pour amener ces charges est de
J10
4'21
0
 r
qq
W
2) Vitesse des porteurs
 Vitesse thermique :
On utilise le modèle de Drude : les électrons dans un conducteur sont
comme des particules d’un gaz parfait.
Ainsi,
Tkvm Bi 2
3
2
2
1
Et
152 m.s10~
3
 mTk vv B
ith
 Vitesse de dérive :
C’est
 i v
quand le conducteur est parcouru par un courant (s’il n’y a pas
de courant,
0
i
v
)
Pour un fil de section
2
mm1~s
, parcouru par un courant
A1I
, on a
dmvj
, soit
15
510 m.s10
1010 1
 s
I
v
m
d
Ainsi, les électrons ont une vitesse d’agitation très importante, mais
globalement, même traversés par un courant assez important, ils ont une vitesse
moyenne très faible.
II Postulat de la charge
A) Conservation
1) Expression globale
Pour une surface fermée fixe dans un référentiel quelconque, on a
qddq e
Soit
dt
qd
dt
dq e
, donc
  Sdjd
dt
d

2) Expression locale
0
j
t
Remarque :
- En régime permanent (
0
t
),
0 j
- Ce postulat est aussi valable en relativité.
B) Invariance
1) Postulat
La charge est invariante par changement de référentiel.
2) Transformation galiléenne des charges et des courants
Dans un référentiel R à l’instant t :
On considère des charges dans un volume
d
 Dans R,
dqq
di i
, et
d
dq
djvq
di ii
, soit
d
vq
jdi ii
 Dans un référentiel R’ en translation à la vitesse
V
par rapport à R :
On cherche
',' j
.
On a par invariance
'dqdq 
, et
' dd 
. Donc
'
On a de plus
d
vq
d
vq
jdi ii
di ii   
'
'
''
'
; et, avec
Vvv ii
 '
:
Vjj  '
Remarque :
Ces formules ne sont pas valables en relativité :
- La formule de composition des vitesses n’est pas valide
- Et la longueur, donc le volume, n’est pas invariante par changement de
référentiel.
III Loi d’Ohm locale
A) Loi d’Ohm en régime permanent
1) Expression
Un champ électrique
E
provoque un courant
j
. Si
Ej 
.
, on dit que la
loi d’Ohm est vérifiée dans le matériau.
s’appelle alors la conductivité électrique du milieu.
2) Discussion

 C’est une loi phénoménologique (correspond à un DL au premier ordre),
et macroscopique.
 Elle est analogue à la loi de Fourier
Tj  
.
 Elle traduit un phénomène irréversible
 La loi est valable uniquement dans un matériau isotrope
 Domaines de validité :
- Dans les métaux et les solutions ioniques, la loi est généralement très
bien vérifiée.
- Pour les mauvais conducteurs ou les gaz, les résultats sont moins bons :
On peut avoir un « plat », ou des termes d’ordre 2 qui apparaissent
rapidement :
E
j
E
j
(Dans le deuxième cas, on a un claquage diélectrique : les électrons sont
arrachés)
- On a réussi à créer des matériaux pour lesquels
5
Ej 
 C’est une loi locale.
La loi globale correspondante est
Riu
.
En effet :
S
ld
I
dU
On a
SjI 
,
ldEdU 
Comme
Ej 
.
, on a
R
S
dl
I
S
dlSjldj
ldEdU 
1
dépend de la température :
- Pour les métaux,
0
dT
d
(les métaux sont moins bons conducteurs à
haute température).
- Pour une solution ionique,
0
dT
d
- Supraconducteurs :
TC
/1
T
(En dessous d’un certain seuil, la résistivité devient indétectable)
 Pour appliquer la loi d’Ohm, la seule force motrice doit être
E
:
- Il ne doit pas y avoir de champ magnétique, ou il faut pouvoir le
négliger.
- Lorsqu’on a un gradient de température, la loi s’écrit sous la forme
)( TsEj  
 Ordres de grandeur :
Pour l’argent,
17S.m10.2,6 
Pour le soufre,
122S.m10.0,5 
La conductivité varie sur un très grand domaine.
3) Interprétation
 Modèle macroscopique :
On va essayer de retrouver la loi d’Ohm :
v