Dossier de T.D. no 1

Dossier de T.D. no 1
Exercice 1 : équilibre du monopole
Une entreprise en situation de monopole se caractérise par la fonction de coût suivante :
CV (q) = q 3 − 50q 2 + 900q
q désigne les quantités produites
Cette entreprise est confrontée à la fonction de demande suivante :
p = −120q + 4200
1. Établir les fonctions de :
– recettes totales
– recettes moyennes
– recettes marginales
2. Représenter graphiquement les fonctions de recettes moyennes et marginales sur le graphique 1.
3. Déterminer l’équilibre du monopole et calculer son profit.
4. Sachant la relation qui existe à l’optimum entre prix, coût marginal et élasticité-prix de la demande, quelle
est l’élasticité-prix de la demande au point d’équilibre du monopole.
Exercice 2 : inefficacité du monopole
Une entreprise en situation de monopole se caractérise par la fonction de coût total suivante :
C T (q) = 5q 2 + 300
La demande qui s’adresse au monopole est la suivante :
p = −10q + 9000
1. Quel est l’équilibre du monopole ? Quel est alors son profit ?
2. Représenter graphiquement l’équilibre du monopole.
3. Supposons que le monopole adopte le comportement d’une entreprise en concurrence pure et parfaite.
Quels seraient alors le prix et les quantités produites ? Quel serait son profit ? Représenter graphiquement
cet équilibre.
4. Comparer l’équilibre de monopole et l’équilibre de concurrence pure et parfaite (prix, quantités et profit).
On s’intéresse désormais à l’évaluation de l’inefficacité du monopole.
5. Calculer l’indice de Lerner ou « indice de pouvoir du monopole ».
6. Calculer : en situation de concurrence pure et parfaite :
– le surplus net du consommateur
– le surplus net du producteur
– le surplus social
en situation de monopole :
– le surplus net du consommateur
– le surplus net du producteur
– le surplus social
Quelle est la perte de poids mort du monopole ? Évaluer « l’exploitation du consommateur » par le monopole
en termes de transfert de surplus.
7. Représenter graphiquement sur la figure 2 ces différents surplus, la perte de poids mort du monopole et «
l’exploitation du consommateur ».
1
1400
1200
1000
800
600
400
200
10
20
30
Figure 1 – Coût marginal et coût moyen
2
40
50
10000
10000
8000
8000
6000
6000
4000
4000
2000
2000
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600
800
1000
10000
10000
8000
8000
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6000
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4000
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2000
200
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1000
10000
10000
8000
8000
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6000
4000
4000
2000
2000
200
400
600
800
1000
Figure 2 – Analyse des surplus
3
200
400
600
800
1000
200
400
600
800
1000
200
400
600
800
1000
Exercice 3 : nécessité des barrières à l’entrée
On suppose qu’un monopole produit aux conditions de coût suivantes :
1. le coût variable est constant et égal à 1 (.
2. le coût fixe s’élève 2,25 (.
La technologie de production est parfaitement connue et n’est protégée par aucun brevet. Cela signifie que n’importe quelle entreprise pourrait produire à des conditions équivalentes à celle du monopole.
La demande exprimée sous forme « normale » est
D(p) = 9 − p
1. Calculez l’équilibre du monopole (prix, quantité et profit d’équilibre).
Dans la réalité, on constate que le monopole produit une quantité égale à 5 et fait un profit de 12,75 (.
2. Montrez qu’avec cette production un concurrent n’est pas incité à entrer sur le marché.
3. Montrez que le niveau de production choisi par le monopole est celui juste nécessaire pour dissuader l’entrée d’un concurrent.
Remarque : cet exercice prouve qu’en l’absence de barrières à l’entrée, une entreprise qui est seule à offrir un
produit ne se comporte pas comme un « vrai » monopole.
Exercice 4 : discrimination par les prix
Le service marketing d’un monopole a établi qu’il existait deux types de demandeurs pour son produit : les « jeunes »
(indice j ) et les « vieux » (indice v).
Leurs fonctions de demande s’écrit
p v = 1500 − q v
p j = 1680 − 2q j
La fonction de coût du monopole s’écrit
C (q) = q + 1000
1. Calculer la demande globale (c.-à-d., la demande cumulée des « jeunes » et des « vieux ») du produit q. (Attention, vous n’avez pas le droit d’additionner des fonctions de demande inverse. Cela reviendrait à additionner
des prix, ce qui ne veut rien dire. Il faut donc calculer les demandes normales et les additionner. Vous remarquerez qu’en additionnant les demandes, les indices j et v disparaissent.)
2. Quel est l’équilibre du monopole s’il établit sa stratégie de production en utilisant la demande globale ?
On suppose maintenant que le monopole pratique une discrimination par les prix : les « jeunes » et les « vieux » ne
paieront pas le même prix !
3. Quel est l’équilibre de ce monopole discriminant ?
4. Que constatez-vous en ce qui concerne les prix et le profit ?
5. Calculez l’élasticité-prix de la demande des « jeunes » et des « vieux » à l’équilibre.
6. Lorsque le monopole ne pratiquait pas de discrimination par les prix (voir question 1), quelles étaient les
quantités achetées par les « jeunes » et les « vieux » ? Commentez.
7. Que peut-on dire de l’évolution du surplus des deux catégories de consommateurs ?
Exercice 5 : monopsone
Dans la vallée très isolée de la Barontaise, il existe une unique entreprise produisant des montres. Elle se procure
du travail auprès de la population locale. L’offre de travail émane de nombreux individus. L’offre globale de travail
est caractérisée par la relation suivante entre la quantité de travail (`) et le salaire (w) :
w = 2` + 40
4
Dans un souci de simplification, on admettra que les montres ne sont produites qu’avec du travail. La fonction de
production de l’entreprise est :
q m = 3 ln(`)
ln : log népérien
q m désigne la quantité de montres produites. Ces montres sont écoulées sur le marché international à un prix de
p m = 500
On s’intéresse dans ce qui suit au marché du travail dans la vallée de la Barontaise.
1. Comment appelle-t-on cette structure de marché ? Donner ses principales caractéristiques.
2. Déterminer l’équilibre du marché du travail de cette économie simplifiée. Quel est alors le profit de l’entreprise ?
On suppose désormais que l’entreprise se comporte de façon concurrentielle.
3. Déterminer le prix et les quantités d’équilibre sur le marché du travail dans cette hypothèse. Quel est le profit
de l’entreprise ?
4. Comparer les résultats obtenus avec ceux de la question 2 ci-dessus et commenter.
Problème
Dans cet exercice, nous allons essayer de comprendre le principe des « tarifs en deux parties ».
Je m’appuie sur un article de W. Y. Oi intitulé A Disneyland Dilemma : Two-Part Tariffs for a Mickey Mouse Monopoly. Cet article — souvent cité — est paru en 1971 dans le Quarterly Journal of Economics.
Comme le titre le montre, l’auteur étudie le cas d’une entreprise en situation de monopole : le parc d’attraction
Disneyland (vous vous doutez que l’analyse est valable pour la variante européenne qu’est Eurodisney). Et il pose
d’emblée la question :
If you were the owner of Disneyland, should you charge high lump sum admission fees and give the
rides away, or should you let people into the amusement park for nothing and stick them with high
monopolistic prices for the rides?
Avec la tarification « à la Disney », le consommateur paie un droit d’entrée (ne lui procurant aucune utilité) qui
lui permet d’accéder à des attractions payantes (qui elles, lui procurent une utilité). C’est ce qu’on appelle une
« tarification en deux parties ».
Je vous propose d’étudier une version simplifiée du modèle de Walter Oi.
Les données du problème
On suppose qu’il existe un consommateur représentatif dont la fonction d’utilité est du type « quasi linéaire ». Pour
simplifier les choses, on suppose qu’il n’existe que deux biens :
1. les attractions x ∈ R+ ,
2. les autres biens, qu’on note y ∈ R+ .
La fonction d’utilité s’écrit
u(x, y) = 3 log(x + 1) + y
(1)
Vous noterez que le droit d’entrée — parce qu’il ne procure aucune utilité — n’apparaît pas dans la fonction d’utilité.
Le consommateur dispose d’un revenu donné Y = 8.
Le droit d’entrée dans le parc d’attraction est noté F
le prix unitaire d’une attraction est p x
le prix des autres biens est noté p y
On suppose que le monopole produit x à un coût marginal constant C 0 (x) = c = 21 .
5
Questions
1. Écrire la contrainte budgétaire du consommateur représentatif ;
2. Écrire la contrainte budgétaire du consommateur représentatif en exprimant toutes les valeurs (prix de x,
revenu, droit d’entrée) en termes de y ;
p pomme
= 32 = 1, 5 ce qui signifie
Rappel : si une pomme vaut 3 et une orange vaut 2, le prix d’une pomme exprimé en orange est p
or ang e
qu’une pomme vaut 1 orange et demi.
3. Écrire la contrainte budgétaire précédente en supposant que y est choisi comme numéraire, c.-à-d., p y = 1 ;
Rappel : choisir un numéraire revient à exprimer toutes les valeurs en termes d’une marchandise qui sert d’unité de compte.
Si l’orange est choisie comme numéraire, cela veut dire que son prix est artificiellement posé égal à 1 et que tous les prix, les
revenus, etc. sont exprimés en oranges.
4. Déterminer les fonctions de demande des deux biens ;
5. Écrire la fonction d’utilité indirecte v(p x , F ) du consommateur ;
Indication : on appelle fonction d’utilité indirecte la fonction qui associe à chaque prix et chaque revenu l’indice d’utilité du
panier de biens optimal correspondant à ces prix et ce revenu. On l’obtient en remplaçant x et y dans la fonction d’utilité par
les fonctions de demande de x et de y.
6. Calculer
∂v(.)
∂p x
et
∂v(.)
∂F
et commenter le signe de ces dérivées partielles.
Indication : commenter le signe signifie : comment évolue l’utilité du choix optimal quand p x ou F varient ?
Nous allons déterminer maintenant le niveau d’utilité dit « de réservation ». C’est le niveau d’utilité en dessous
duquel le consommateur préfère se passer complètement du bien x plutôt que de l’acheter. On vous donne la
représentation graphique des courbes d’indifférence du consommateur représentatif.
7. On suppose que le prix d’une attraction est p x = 21 . Représenter sur le graphique 3 la contrainte budgétaire
lorsque F varie de 0 à 3 (par pas de 1).
8. À partir de quelle valeur de F le consommateur préférera se passer entièrement de x plutôt que de le consommer ? Pourquoi ? Peut-on généraliser ce résultat à d’autres valeurs de p x ?
9. En déduire le niveau d’utilité de réservation.
On s’intéresse maintenant à la stratégie de tarification du monopole.
10. Montrer que si le coût marginal est constant, alors le coût moyen l’est également si les coûts fixes sont nuls ;
11. On suppose que les coûts fixes sont nuls. Quelle est la fonction de coût du monopole ?
12. Écrire la fonction de profit de l’entreprise en termes de valeurs (et non en termes de quantités). Quelles sont
les variables que maîtrise le monopole et qu’il souhaite fixer ?
13. Écrire le programme de maximisation de l’entreprise sachant qu’elle tient compte du niveau d’utilité de
réservation du consommateur représentatif.
14. Montrer que le monopole va fixer un droit d’entrée tel que le consommateur atteint son niveau d’utilité de
réservation et qu’il vendra les attractions à leur coût marginal.
Dans cette dernière partie on montre que le F choisi par le monopole est égal au surplus du consommateur.
15. Déterminer à l’aide de la fonction de demande le surplus du consommateur si le monopole pratique le prix
p x obtenu à la question précédente. Que constatez-vous si vous comparez le surplus du consommateur et
le montant du droit d’entrée ?
16. Pensez-vous maintenant que la discrimination par les prix au premier degré soit une vue de l’esprit, comme
le pensait Pigou ?
First-degree, or "perfect," discrimination "would involve the charge of a different price against all the
different units of commodity, in such wise that the price exacted for each was equal to the demand
price for it, and no consumers’ surplus was left to the buyers". One way of visualizing this situation
is to assume that all buyers are ready to buy one unit of commodity and that the seller manages to
set a price equal to what is now called the buyer’s "reservation price," that is, the highest price the
6
buyer is ready to pay for one unit. Alternatively, assume that all buyers have exactly the same demand
curve. Then first-degree discrimination "could be achieved by the simple device of refusing to sell
in packets of less than the quantity which each consumer required per unit of time, and fixing the
price per packet at such a rate as to make it worth the consumer’s while, but only just worth his while,
to purchase the packet" (p. 279). This device looks very much like what is now called "commodity
bundling," each bundle being created so that it exactly fits each consumer’s needs. Still another way of
achieving the same result is to bargain separately with each individual buyer, but this method would
involve "enormous costs and trouble" and "opens the way, not only to error, but also to the perversion
of agents through bribery" (p. 280). Recent cases of bribery on an international scale in the aircraft
industry widely discussed in the newspapers - make one wonder whether Pigou was correct in stating
that first-degree discrimination is of academic interest only and is not likely to be encountered in real
life. (Louis Phlips, The economics of price discrimination, Cambridge U.P., 1981)
y
10
8
6
4
U = 10,87
U = 9,87
2
U = 8,87
U = 7,87
U=8
U = 6,87
U = 5,87
x
4
2
6
8
10
Figure 3 – Courbes d’indifférence de l’individu représentatif
Trucs et astuces
Comment tracer une courbe « marginale » quand on connaît la courbe « moyenne » ?
Nous allons procéder en deux temps :
7
1. trouver une relation simple quand la courbe « moyenne » est une droite.
2. se servir du résultat trouvé pour résoudre le cas général.
Commençons par des mathématiques très simples. Supposons que notre courbe moyenne soit une droite d’équation
C M (q) = aq + b
(2)
Inutile d’être un grand mathématicien pour savoir que la pente de cette droite est a.
Calculons maintenant la courbe marginale associée. Pour ce faire, il faut calculer la courbe « totale » dont est issue
la courbe moyenne. Rien de plus simple. Elle s’écrit évidemment :
C T (q) = aq 2 + bq
(3)
La courbe « marginale » est obtenue en dérivant cette expression :
C m(q) = 2aq + b
(4)
Et je remarque — et c’est le point qui m’intéresse ici — que sa pente est égale à 2a, c.-à-d. exactement le double de
la pente de la courbe « moyenne ».
Vous aurez beau tourner le problème dans tous les sens, vous devez convenir que la pente de la courbe « marginale » est « deux fois plus grande » 1 que la pente de la courbe « moyenne ».
CM
A
b
4
Cm
3
b
E
b
F
D
b
2
G
b
1
b
−1
I
b
1
2
C
3
b
H
4
b
5
6
7
B
8
Figure 4 – Droites moyennes et marginales
Maintenant, nous allons nous servir de cette propriété pour construire la courbe « marginale » partant de la courbe
« moyenne ».
Considérons le graphique 4 où la courbe « moyenne » AB est donnée. Le point D indique que lorsque q = 3, le coût
moyen est 2, 5. On cherche le coût marginal correspondant au point D sur la courbe de coût moyen.
Remarquons tout d’abord que lorsque q = 0, les courbes de coût moyen et marginal sont confondues (point A).
b
Par ailleurs, les coûts moyens et marginaux sont nuls lorsque q = − ba (point B ) et q = − 2a
(point H ). Donc le point
H est au milieu du segment I B .
Les triangles AI B et AE D étant semblables, on en déduit que le point F est situé au milieu du segment E D.
C’est tout ce dont nous avons besoin.
Proposition 1. le coût marginal correspondant au point D est situé à l’intersection du segment DC et de la droite
partant de A et passant par le milieu du segment DE .
ä
Maintenant, il ne reste plus qu’à généraliser cette construction. Considérons dans le graphique 6 une courbe
« moyenne » CM qui n’est pas droite. On se place au point D et on trace la tangente en D. On se trouve donc
ramené au cas précédent. Le point « marginal » correspondant au point « moyen » D est donc G. Bien sûr, on ne
connaît qu’un point de la courbe « marginale » Cm. Il faut donc prendre plusieurs points sur la courbe « moyenne »
pour avoir une approximation raisonnablement exacte de la courbe « marginale ».
1. Bien sûr, quand la pente est négative, l’expression « deux fois plus grande » n’est pas judicieuse, mais je fais abstraction ici de ces subtilités
de langage.
8
A
b
4
3
b
E
b
D
F
b
2
b
1
b
1
−1
2
G
C
3
4
5
6
7
8
Figure 5 – Construction du point marginal
4
A
b
3
b
E
b
D
F
b
CM
2
b
1
b
−1
1
2
G
C
3
4
5
Figure 6 – Cas non linéaire
9
6
7
8
Position relative des courbes moyennes et marginales
Ce truc permet de comprendre la forme des fameuses courbes de coût en U (voir par exemple le graphique 1)
L’idée est la suivante :
1. lorsque le coût marginal est inférieur au coût moyen, la courbe de coût moyen est décroissante.
2. lorsque le coût marginal est supérieur au coût moyen, la courbe de coût moyen est croissante.
Le truc pour se souvenir de cette relation est le suivant :
Supposons que la moyenne de mes notes aux partiels que j’ai passés soit jusqu’à présent de 10.
Or, je viens juste de passer un dernier partiel (c’est le partiel marginal, donc ma note marginale) où j’ai eu 8.
Tout étudiant normalement constitué sait de façon presque intuitive qu’il a fait baisser sa moyenne. Il sait aussi
que s’il avait eu 12 au dernier partiel il aurait fait augmenter sa moyenne.
Bien ! Il ne reste plus qu’à mettre cela en forme :
Lorsque la note marginale est plus petite que la moyenne, la moyenne baisse.
Lorsque le note marginale est plus grande que la moyenne, la moyenne monte.
Maintenant remplacez le mot « note » par le mot « coût » ou « recette » et vous aurez tout compris...
Addition des fonctions
Il arrive souvent qu’en économie il faille additionner des courbes. Par exemple, la demande de marché est l’addition des demandes individuelles.
Avant d’additionner des courbes, il faut toujours se demander si l’addition a un sens. Et pour répondre à cette
question, il faut se demander « qu’est ce que je suis en train d’additionner ? »
Considérons une fonction y 1 = ax + b et une autre y 2 = c x + d .
Proposition 2. Quand on additionne des fonctions, on additionne les « y ».
ä
Proposition 3. On peut additionner les fonctions si l’addition des y a un sens.
ä
Supposons que y 1 = ax + b soit la demande de sucre (y) en fonction du prix du sucre (x) de l’individu no 1. La
relation y 2 = c x + d est la demande de sucre de l’individu no 2.
Additionner les demandes revient à additionner les y i .
y 1 + y 2 = (a + c)x + (b + d )
(5)
Maintenant, demandons-nous si nous avons le droit d’additionner les y i . La réponse est positive puisque les y i
sont des kilos de sucre et les kilos de sucre s’additionnent.
Imaginons maintenant qu’on calcule la demande inverse des deux individus.
y1 − b
a
y2 − d
x=
c
x=
(6)
(7)
Additionner les demandes inverses revient à additionner les x.
Malheureusement, les x sont des prix, et cela n’a aucun sens d’additionner les prix du sucre.
Si vous n’êtes pas convaincus, réfléchissez à ceci. Le prix maximum du sucre que nous sommes prêts à payer pour
1 kg de sucre est 1 (. Cela n’a aucun sens de dire : « le prix maximum que les deux consommateurs sont prêts à
payer pour 1 kg de sucre est 2 ( ! »
Addition des courbes
Si vous avez compris l’addition des fonctions, vous devez comprendre l’addition des courbes.
Proposition 4. D’un point de vue graphique, additionner des fonctions (additionnables) revient à superposer des
courbes « verticalement ».
ä
Dans le graphique 7, j’ai additionné les fonctions
y 1 = 0, 25x
(8)
y 2 = −0, 25x − 1
(9)
10
et j’obtiens évidemment la fonction
y = y 1 + y 2 = 0, 25x − 1
(10)
On vérifie sur le graphique 7 que les courbes sont superposées « verticalement ». Au point d’abscisse x = 2 (point
A), le segment y = AC est obtenu en additionnant « verticalement » le segment y 1 = AB et le segment y 2 = AD.
Maintenant, où est le problème ? Le problème vient de ce que, dans 99% des cas, les fonctions sont représentées
« à l’envers » en économie. Par exemple, la fonction de demande :
q = D(p)
(11)
sera représentée avec les quantités en abscisses et les prix en ordonnées alors que logiquement, ce devrait être le
contraire.
Proposition 5. Très souvent les fonctions économiques sont représentées graphiquement en utilisant la fonction
réciproque.
ä
Puisque le système d’axes est « à l’envers », si on veut additionner des fonctions de demande, il faudra additionner
« horizontalement » les différentes courbes.
Proposition 6. Dans un système d’axe avec les quantités (additionnables) en ordonnées et les prix (non additionnables) en abscisses, l’addition des fonctions se traduit par des courbes qui s’empilent « horizontalement ».
ä
Le graphique 8 représente les mêmes fonctions que précédemment mais dans un graphique où les axes sont inversés : les abscisses sont en ordonnées et vice versa. Vous constatez que dans ce cas, ce sont les abscisses qui sont
« additionnables » (quantité) et la somme des deux fonctions se traduit par une addition « horizontale » (AC = AB
+AD).
6
5
4
3
y 1 = 0, 5x
AB = 1
2
B
b
1
AC = −0.5
y 2 = −0, 25x − 1
b
−4
−3
−2
2b C
1
−1
−1
A
3
4
D
AD = −1.5
b
y = 0, 25x − 1
−2
−3
Figure 7 – Addition « verticale »
11
5
6
7
3
D
b
C
A
2
AD = −1.5 AC = −0.5
b
b
b
B
AB = 1
1
2.5
−2.0
−1.5
−1.0
0.5
−0.5
1.0
−1
−2
Figure 8 – Addition « horizontale »
12
1.5
2.0