Chapitre 4 : Statistiques

Chapitre 4 : Statistiques
I G´en´eralit´es
Sur une population de nindividus, on cherche `a ´etudier simultan´ement deux caract`eres
quantitatifs Xet Y(≪quantitatifs ≫signifie : qui prennent des valeurs num´eriques).
Pour chacun des nindividus (num´erot´es de 1 `a n) de la population, notons xiet yila
valeur prise respectivement par les caract`eres Xet Y.
On pr´esente les donn´ees de la s´erie statistique `a deux variables obtenue sous forme d’un
tableau :
Valeurs prises par X x1x2... xn
Valeurs prises par Y y1y2... yn
Exemple :
Pays All Fr Esp R.U. It
Nombre de naissances xi715 760 436 696 545
Population totale yi82 539 59 901 42 198 59 516 57 804
D´efinition (Nuage de points)
Dans un rep`ere orthogonal, l’ensemble des points Aide coordonn´ees (xi;yi), pour iallant
de 1 `a n, est appel´e nuage de points de la s´erie statistique `a deux variables.
D´efinition (Point moyen du nuage)
Notons −→ xla moyenne de la s´erie des xi, et −→ yla moyenne des yi(1 6i6n).
Le point Gde coordonn´ees (−→ x;−→ y) est appel´e le point moyen du nuage de points de la
s´erie statistique.
Rappel :
−→
x=x1+x2+x3+··· +xn
n
−→
y=y1+y2+y3+··· +yn
n
II Ajustement affine
II.1 Ajustement
D´efinition
Effectuer un ajustement de yen xd’un nuage de points, c’est trouver une fonction fdont
la courbe repr´esentative soit tr`es proche du nuage.
On dit que l’on r´ealise un ajustement affine lorsque l’ajustement se fait par une fonction
affine : f(x) = ax +bet la courbe de fest une droite.
Remarque
– Il est int´eressant de faire un ajustement affine lorsque le nuage a une forme plutˆot
allong´ee.
– Ces mod´elisations vont permettre de faire des interpolations et extrapolations.
– Il existe d’autres types d’ajustements, c’est-`a-dire d’autres fonctions fqui peuvent
mod´eliser un nuage de points.
1

II.2 Ajustement affine par la m´ethode des moindres carr´es
D´efinition
La m´ethode des moindres carr´es consiste `a trouver une fonction affine fqui minimise la
somme des carr´es des ´ecarts entre yiet les valeurs f(xi) donn´es par le mod`ele.
On cherche donc `a minimiser la somme S=A1P1
2+A2P2 2+··· +AnPn 2.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
-1
-2
1 2 3 4 5 6 7 8 9-1-2 0
+
+
+
+ +
+
+
+
+
+
+
+
+
+
x
y
A1
P1
P2
A2
P3
A3
An
Pn
A4
P4
A5
P5A6
P6
Th´eor`eme (et d´efinition)
Soit (xi;yi)16i6nune s´erie statistique `a deux variables.
Il existe une unique droite ∆ associ´ee au nuage de points Ai(xi;yi) (1 6i6n), telle que
la somme S=A1P1
2+A2P2 2+··· +AnPn 2soit minimale.
Cette droite est appel´ee droite de r´egression de yen x, ou droite des moindres carr´ees
associ´ee au nuage.
∆ a une ´equation de la forme y=ax +bo`u les valeurs de aet de bsont d´etermin´ees `a
l’aide de la calculatrice.
Remarque
La droite de r´egression ∆ passe toujours par le point moyen G(−→ x;−→ y) du nuage.
Pour la tracer , il suffit donc de connaˆıtre son coefficient directeur.
Les rappels sur l’utilisation de la calculatrice sont aux derni`eres pages du livre.
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Propri´et´e (Utilisation de la calculatrice pour les statistiques)
Pour les calculatrices TI (82-83).
1. Rentrer les donn´ees de la s´erie dans la calculatrice.
STAT EDIT
Rentrer les xidans L1, et les yidans L2.
Pour effacer, utiliser CLEAR .
2. Coordonn´ees du point moyen G(x;y).
STAT CALC 2-VAR L1,L2
3. Coefficients aet bde la droite de r´egression de yen x.
∆ a une ´equation de la forme y=ax +bo`u aet bsont des r´eels.
STAT CALC LINEREG(ax +b)L1,L2
Propri´et´e (Utilisation de la calculatrice pour les statistiques)
Pour les calculatrices CASIO (Graph25-35-65).
1. Rentrer les donn´ees de la s´erie dans la calculatrice.
MENU STAT
Rentrer les xidans List1, et les yidans List2.
Pour tout effacer, utiliser DEL-A (delete all).
Pour effacer petit `a petit, DEL .
2. Coordonn´ees du point moyen G(x;y).
Il faut d’abord s’assurer d’avoir les bons r´eglages :
CALC SET
Dans ce menu, on doit choisir :
2 Var X List : List1
2 Var Y List : List2
2 Var X Freq : 1
2 Var Y Freq : 1
Ensuite, pour afficher les coordonn´ees du point moyen xet y:
CALC 2-VAR
3. Coefficients aet bde la droite de r´egression de yen x.
∆ a une ´equation de la forme y=ax +bo`u aet bsont des r´eels.
Avec les mˆemes r´eglages que pr´ec´edemment :
CALC SET
2 Var X List : List1
2 Var Y List : List2
2 Var X Freq : 1
2 Var Y Freq : 1
Affichage des r´esultats par REG X .
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Exercice 1 (Pour v´erifier l’utilisation de la calculatrice)
Le tableau suivant indique les effectifs de la population en France de 2000 `a 2009.
ann´ee 2000 2001 2002 2003 2004 2005 2006 2007 2008 2009
rang xi0123456789
population yi
(millions d’hab.)
58.86 59.27 59.69 60.1 60.51 60.96 61.40 61.80 62.13 62.47
1. Donner les coordonn´ees du point moyen de la s´erie. Arrondir `a 0.01.
2. Donner une ´equation de la droite d’ajustement par la m´ethode des moindres carr´es.
Arrondir les coefficients `a 0.01.
3. Utiliser cette droite pour proposer une estimation de la population en 2012.
R´eponses : 1
1.
1. Le point moyen est G(4.5; 60.72).
2. La droite a pour ´equation y= 0.41x+ 58.88.
3. 2012 correspond `a x= 12. En rempla¸cant, 0.41 ×12 + 558.88 = 63.8. Suivant ce mod`ele, on estime
qu’il y aura environ 63.8 millions de personnes en 2012.
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