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Devoir n°5 du samedi 09 janvier 2016
Durée 4 h
Les calculatrices sont autorisées.
Le candidat attachera la plus grande importance à la clarté, à la précision et à la concision de la rédaction ainsi qu’à la
qualité des schémas. Les résultats non justifiés ou non encadrés ne seront pas pris en compte. Les candidats
doivent respecter les notations des énoncés et préciser, dans chaque cas, la numérotation de la question traitée.
Tout commentaire pertinent, même non explicitement demandé, sera fortement apprécié du correcteur.
Si, au cours de l’épreuve, le candidat repère ce qui lui semble être une erreur d’énoncé, il le signale sur sa copie et poursuit
sa composition en expliquant les raisons des initiatives qu’il est amené à prendre.
Données qui peuvent servir dans l’ensemble du devoir
◘ Célérité de la lumière dans le vide c = 3,00.10
8
ms
−1
◘ Perméabilité du vide µ
0
= 4π.10
−7
(SI)
◘ Permittivité du vide ε
0
= 8,85.10
−12
(SI)
◘ Charge de l’électron q = − e = −1,60.10
−19
C
◘ Masse de l’électron m = 9,11.10
−31
kg
Problème I : Rayonnement dipolaire
Dans le modèle de l’atome de Thomson, un atome d’hydrogène est assimilé à un système matériel constitué d’un noyau,
supposé immobile en un point O, origine des coordonnées et d’un électron supposé ponctuel en P, de masse m, de charge
– e, mobile dans le référentiel terrestre supposé galiléen. On pose OP(t) = R(t) = R.
On modélise l’action du noyau sur l’électron par deux forces, une force de rappel, F
r
= – m
2
0
ω
R et une force de frottement
fluide, F
v
= – mΓ
d
dt
R
où ω
0
et Γ sont deux constantes caractéristiques de l’atome.
L’atome d’hydrogène est éclairé par une onde électromagnétique E = E
0
.cosωt. Au niveau de l’atome, il se forme un dipôle
induit p(t) = – e.R(t).
1. En négligeant la force de Lorentz magnétique et le poids de l’électron, appliquer la relation fondamental de la dynamique
à l’électron dans le référentiel terrestre, en notation complexe et pour le régime établi.
En déduire la relation de p
0
en fonction de E
0
, e, m, ω, ω
0
et Γ avec p = p
0
.expiωt.
2. On pose OM = r = r.e
r
et on suppose que E
0
= E
0
.e
z
est vertical.
Dans la zone de rayonnement, parmi les champs électrique et magnétique rayonnés par le dipôle induit, lequel admet au
point M l’expression
0
sin
r
p t
4 rc c
µ θ
−
π
ɺɺ
e
ϕ
dans la base sphérique (e
r
, e
θ
, e
ϕ
) ?
Justifier la réponse en utilisant un argument d’analyse dimensionnelle.
3. Sachant que l’onde rayonnée a, dans la zone de rayonnement, une structure locale d’onde plane progressant dans le
sens du vecteur unitaire radial e
r
, compléter la détermination des champs électrique et magnétique.
4. On note λ la longueur d’onde de l’onde sinusoïdale rayonnée par l’atome. Rappeler la hiérarchie des différentes échelles
de longueur ǁRǁ, r et λ qui permet de valider les expressions des différents champs dans la zone de rayonnement.
On prendra soin de dégager le sens physique des différentes inégalités écrites.
5. Établir l’expression du vecteur de Poynting Π dans la zone de rayonnement en fonction de µ
0
, θ, r, c et
p
ɺɺ
.
Donner une expression de sa valeur moyenne temporelle <Π> en fonction de ε
0
, θ, ω, r, c et p
0
= |p
0
|
6. Montrer que la puissance moyenne rayonnée par l’atome à travers une sphère de centre O et de rayon r s’écrit :
P
moy
=
( )
24 4
0
2 3 2
2 2 2 2
00
E1 e
12 m c
ω
πε
ω −ω +Γ ω
. On rappelle que
3
0
sin .d
π
θ θ
∫
=
4
3
.
7. Dans le cas de l’atmosphère, ω
0
≈ 10
16
rad.s
–1
, Γ ≈ 10
8
rad.s
–1
. Par analogie expliquer la couleur bleue du ciel.

Problème II
I. Modèle simplifié de l’œil pour la vision de près
Pour la vision de près, on peut assimiler l’œil dont un schéma est donné figure 6, peut être assimilé à une lentille mince (L)
biconvexe, convergente, plongée dans l’air d’indice 1. Tous les rayons lumineux seront considérés comme étant paraxiaux.
S est le centre optique de la lentille, F
o
son foyer principal objet, F
i
son foyer principal image, V sa vergence et f
i
sa distance
focale image. La rétine, centrée au point R, est située à une distance du cristallin anatomiquement invariable : la distance
SR = 16,7 mm reste fixe quelle que soit l’accommodation.
L’œil normal (emmétrope) permet de voir des objets situés devant lui depuis la distance d
min
= 25 cm (distance minimale de
vision distincte) jusqu’à la distance d
max
infinie (distance maximale de vision distincte). Pour cela, l’œil accommode, i.e. que
les rayons de courbure de la lentille biconvexe se modifient sous l’effet des muscles ciliaires.
On se place dans le cas de la vision de près quand l’œil accommode au maximum. Si l’image se forme sur la rétine au
niveau de la fovéa, l’œil peut distinguer deux points proches suffisamment contrastés si leur distance angulaire est
supérieure à ε = 4.10
–4
rad. Cette limite de résolution augmente fortement en vision périphérique.
8. On note p
o
=
o
SA
la mesure algébrique repérant la position d’un objet lumineux A
o
B
o
perpendiculaire à l’axe optique et
dont l’image se forme sur la rétine. La position de l’image est repérée par la grandeur algébrique p
i
=
i
SA
.
a. Donner la relation entre p
o
, p
i
et la vergence V de la lentille (L). Quel nom porte cette relation ?
Donner la dimension de la vergence V et son unité en fonction des unités de base du Système International.
b. Calculer la valeur V
max
de V quand l’œil emmétrope regarde un objet situé à la distance minimale de vision distincte d
min
.
c. Calculer la valeur V
min
de V dans le cas où ce même œil emmétrope regarde un objet placé cette fois à la distance
maximale de vision distincte d
max
.
d. La variation de la vergence de l’œil A = V
max
– V
min
est appelée l’amplitude d’accommodation.
Calculer A dans le cas de l’œil emmétrope.
9. Avec l’âge, l’amplitude d’accommodation se réduit. Cette diminution physiologique porte le nom de presbytie.
En pratique, un individu devient presbyte quand il doit éloigner son journal de plus de 35 cm de son œil pour lire.
Dans ce cas, la distance minimale de vision distincte augmente d’
min
= 35 cm et d’
max
= d
max
reste inchangée.
a. Déterminer l’amplitude d’accommodation de l’œil emmétrope d’un individu devenu presbyte.
b. Quelle est la taille A
o
B
o
minimale des caractères du journal placé à d’
min
= 35 cm, que peut lire cet individu devenu
presbyte ?
c. Quelle serait la taille A
o
B
o
minimale des caractères si la presbytie de l’individu augmentait de telle façon qu’il doive
placer le journal à 1 m de son œil ? Conclure.
10. Une personne voit un point à l’infini sans accommoder mais ne peut voir un point situé à moins de d’’
min
= 1 m en
accommodant au maximum. Pour pouvoir lire confortablement un journal placé à d
min
= 25 cm devant lui, il porte des
lunettes dont chaque verre (assimilé à une lentille mince convergente (L
L
) de vergence V
L
et de centre optique S
L
) est
placé à
L
S S
= 2 cm devant le centre optique de l’œil (figure 1). Dans ces conditions, il n’accommode pas.
a. Calculer la vergence V
L
de chacun des verres des lunettes.
b. En reprenant le schéma de la figure 1, représenter deux rayons issus de B
o
qui atteignent la rétine. Les échelles
peuvent ne pas être respectées mais vous justifierez votre construction géométrique.
II. Mesure du rayon de courbure d’une lentille
Pour caractériser une lentille mince correctrice, un opticien lunetier utilise le dispositif de la figure 2 dit des « anneaux de
Newton ».
Un collimateur fournit, à l’aide d’une source ponctuelle S située au foyer principal objet d’une lentille convergente de centre
O
C
, un faisceau de lumière parallèle, monochromatique de longueur d’onde dans le vide λ
0
qui tombe sur une lame semi-
réfléchissante (LS) d’épaisseur négligeable, centrée en O et inclinée à 45° sur l’axe du collimateur (yy’). Une partie du
faisceau se réfléchit parallèlement à l’axe (xx’), axe du système centré formé de la lentille plan convexe étudiée (L
L
) et de la

face plane de la lame réfléchissante (LR) qui sont en contact ponctuel au point S
L
. L’intervalle situé entre la face sphérique
de rayon R
C
de centre C de (L
L
) et la face plane réfléchissante de (LR) forme une lame d’air d’épaisseur e qui varie en
fonction de la distance r à l’axe du système (figure 3).
11. L’onde plane tombant sur la lentille (L
L
) [rayon (0)] se divise en deux ondes de même amplitude à l’interface verre-air au
point P. La première onde est réfléchie à l’interface verre-air [rayon (1)] tandis que la seconde est totalement réfléchie
en J sur (LR) [rayon (2)]. Les deux ondes interfèrent au point P. La figure d’interférences localisée au voisinage de la
lentille est visualisée sur l’écran à l’aide de la lentille convergente de projection (L
P
) de centre OP qui forme l’image de
la lentille sur l’écran (E) placé perpendiculairement à l’axe (xx’) au point O
E
(figure 2).
a. Donner l’expression de l’épaisseur e de la lame d’air en fonction de r et R
C
.
b. On se place dans le cas où le rayon de courbure de la lentille est très grand devant son diamètre d’ouverture.
Montrer que dans ce cas, l’épaisseur peut se mettre sous la forme : e = α
2
C
r
R
où α est une constante numérique dont
on précisera la valeur.
c. L’épaisseur e étant très faible par rapport à r, donner au point P l’expression de la différence de chemin optique
géométrique ∆L = L
2
– L
1
entre les rayons (2) et (1) en fonction de r et R
C
.
d. Les interfaces air-verre et verre-air étant de natures différentes, il apparait un déphasage non géométrique
supplémentaire de π. Donner l’expression de la différence de phase ∆φ entre les deux ondes qui interfèrent au point P.
e. En déduire l’expression de l’intensité lumineuse au point P, en fonction de r, R
C
, λ
0
et de l’intensité I
0
de l’onde
incidente. On supposera que les deux ondes qui interfèrent ont la même intensité lumineuse.
Justifier l’aspect de la figure d’interférence observée sur l’écran (E) (figure 4).
f. Pour quelles valeurs de r, observe-t-on des franges sombres ?
12. La figure d’interférence localisée au voisinage de la lentille est projetée sur l’écran (E) par l’intermédiaire de la lentille
(L
P
) de distance focale image f
pi
= + 10 cm. On donne O
P
S
L
= 15 cm. La photographie de la figure d’interférence
observée sur l’écran est donnée figure 4 alors que l’on opère avec une lumière monochromatique de longueur d’onde
λ
0
= 546,074 nm.
a. Calculer la distance O
P
O
E
à laquelle on doit positionner l’écran par rapport à la lentille de projection.
b. Calculer le grandissement transversal G
tP
du système de projection.
c. Calculer à partir des informations fournies par la photographie de la figure 4 le rayon R
C
de la lentille (L).
13. On éclaire maintenant le dispositif des anneaux de Newton par la lumière jaune du sodium qui est formée de deux
radiations de longueur d’onde λ
1
= 588,995 nm et λ
2
= 589,593 nm.
Comment le phénomène observé est-il modifié ?
Calculer le rayon r
1
du premier anneau où on peut voir ce brouillage. Conclusion.
Problème III : Contraste interférentiel
Sur la platine d'un microscope est posée une préparation très mince transparente, immergée dans un liquide d'indice n et
comprise entre deux lamelles de verre identiques dont les faces en regard, semi-argentées, sont parallèles. Les détails de
la préparation peuvent être assimilés à de petites lames à faces parallèles d'indice n' d'épaisseur e très faible, parallèles
aux faces semi-argentées (figure 5). L'ensemble est éclairé par transmission en incidence normale par un faisceau
parallèle de lumière monochromatique (raie verte d'une lampe spectrale à mercure : λ = 546 nm) à l'aide d'un trou source
disposé au foyer objet du condenseur non représenté dans la figure 5. Un objectif placé au-dessus de la préparation
permet d'observer celle-ci.
I. Observation en l'absence de détails
Les deux lamelles de verre semi-argentées peuvent être considérées comme deux miroirs semi-réfléchissants de
coefficients de réflexion et de transmission en amplitude r et t (nombres réels positifs inférieurs à 1) et introduisant un
déphasage Ψ à leur traversée. Une onde se propageant dans la cavité ainsi formée émet à chaque aller-retour un rayon

émergent. Les rayons émergents transmis sont parallèles entre eux et interfèrent à l'infini. En négligeant tout phénomène
de réfraction (les rayons incidents sont considérés comme ayant une incidence normale aux lames) et tout phénomène
d'absorption des miroirs et de la préparation liquide, l'amplitude complexe en un point à l'infini du k
ième
rayon émergent
s'écrit A
k
.exp(–iφ
k
) où A
k
est l'amplitude du rayon k et φ
k
sa phase.
14. Exprimer le déphasage entre deux rayons émergents successifs ϕ = φ
k+1
– φ
k
en fonction de l'épaisseur de la cavité e,
de l'indice de réfraction n du milieu et de la longueur d'onde λ de la lumière incidente dans le vide.
15. Calculer le rapport des amplitudes de deux rayons successifs
k 1
k
A
A
+
en fonction du coefficient de réflexion en amplitude
r des deux lames semi-réfléchissantes.
16. En déduire l'amplitude complexe du k
ième
rayon émergent, en prenant comme référence des phases, celle du rayon
incident entrant à travers la lame inférieure dont l'amplitude complexe s'écrit A
0
.
17. Calculer l'amplitude complexe en un point à l'infini résultant de la superposition de l'ensemble des rayons émergents de
k = 1 à l'infini, le coefficient de réflexion r étant inférieur à 1.
18. Montrer que l'intensité recueillie à l'infini I = I(ϕ) peut se mettre sous la forme : I(ϕ) =
0
2
I
1 m.sin
2
ϕ
+
où m sera exprimé
en fonction de r et I
0
en fonction de A
0
, r et t.
19. Pour r ≈ 0,9, calculer m.
20. Déterminer les valeurs de ϕ qui correspondent à un maximum de I(ϕ). Que vaut I
max
, la valeur de ces maxima ?
21. Évaluer la valeur et la position des minima de I(ϕ).
22. Calculer les valeurs de ϕ autour d'un maximum, tel que I =
max
I
2
en fonction de m.
En déduire la largeur à mi-hauteur du pic correspondant ∆
1/2
(ϕ) que l'on exprimera en fonction de m.
Simplifier en tenant compte de la valeur de m.
23. Tracer l'allure de I(ϕ).
24. En déduire que l'intensité recueillie à l'infini ne peut être considérée comme non nulle que pour certaines valeurs de ϕ
très réduites. En l'absence de détails, pour une préparation constituée uniquement d'un liquide homogène, quel serait
l'aspect du champ observé ?
II. Observation en présence de détails.
Les réflexions sur les faces d'un détail sont négligeables si bien qu'un rayon lumineux traversant un détail peut être
considéré comme transmis intégralement en amplitude (pas d'absorption par le détail).
25. Comme à la question 14., exprimer le déphasage entre deux rayons émergents successifs ϕ’ = φ’
k+1
– φ’
k
mais dans
une zone comportant un détail, en fonction des épaisseurs de la cavité e et du détail ε, des indices de réfraction n du
milieu et du détail n' et de la longueur d'onde λ de la lumière incidente.
Montrer que ϕ’ peut s'exprimer comme ϕ’ = ϕ + ∆ϕ avec ∆ϕ dépendant uniquement de n, n', ε et λ.
Calculer ∆ϕ pour une préparation d'indice 1,515 contenant un détail d'épaisseur ε = 0,6 µm et d'indice de réfraction
1,520. Remarquer que la valeur de ∆ϕ est petite par rapport à celle donnant ϕ.
26. Que devient l'intensité transmise I’ = I’(ϕ’) dans une zone comportant un détail ?
27. Calculer le contraste de l'image du détail par rapport au "fond", le contraste C étant défini par C =
I I
I
'
−
.
Montrer que le contraste est de la forme C = K.∆ϕ où la constante K dépend de m et de ϕ.
28. L'épaisseur de la préparation e est choisie de manière à ce que ϕ =
2
π
+ 2kπ (avec k nombre entier). Pour les mêmes
valeurs de r ≈ 0,9 et de m trouvée à la question 19. et sachant que l'œil humain décèle un contraste minimal de 0,1, le
détail est-il visible ?

Figure 1 : Lentille correctrice placée devant l’œil pour la vision de près
Figure 2 : Dispositif des anneaux de Newton (la figure n’est pas à l’échelle)