PACES UE3 Physique 2016-2017 Fluides parfaits
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PACES UE3 Physique 2016-2017 Fluides parfaits Isabelle Grenier Université Paris Diderot & CEA Saclay PARIS DIDEROT objectifs comment varient les densités volumiques d’énergie (cinétique, pression) dans un liquide en mouvement? fluides statiques PARIS DIDEROT pression uniforme et isotrope hors pesanteur liquide ou gaz effets de la pesanteur négligeables si faible dimension verticale pression identique dans toutes les directions p3 p1 p2 variation de pression et pesanteur PARIS DIDEROT variation de pression dans un liquide pesant, statique pression ↑ en profondeur car poids de la colonne de liquide au dessus statique équilibre de la colonne de liquide au repos horizontalement verticalement F⇥p.laterales = ⇥0 Fp latérale F⌥p (z) + F⌥p (z + dz) + V ⌥g = ⌥0 Fp(z+dz) dp + g.dz = 0 pression ↑ si on descend dans le liquide dz < 0 dp > 0 pression ↓ si on monte dans le liquide dz > 0 dp < 0 S z+dz ⇤z Fp latérale ⇤g ⇥ z Fp(z) PARIS DIDEROT loi hydrostatique liquide incompressible (ρ = cte) ⇤z ⇤g ⇥ densité vol. d’énergie dans + densité vol. d’énergie = cte les mouvements aléatoires gravitationnelle théorème de Pascal la pression se transmet intégralement dans un liquide incompressible à tous les points de même altitude F1 leviers et vérins hydrauliques S1 F2 S2 PARIS DIDEROT ex: pattes hydrauliques des araignées pattes avec muscles flexeurs mais pas de muscles extenseurs => pattes hydrauliques S2 F2 = F1 + S2 ⇢g(h1 S1 h2 ) p2 > p1 mais peu (si h2-h1 ≈ 1 cm, p2-p1 ≈ 98 Pa) S2 ≲ S1 donc pas d’amplification, mais légère perte donc il existe une pompe dans le thorax au repos p2 ≈ patm + 5 kPa saut p2 ≈ patm + 60 kPa F1 h1 p1 = F1/S1 h2 p2 = p1 + ρg (h1-h2) = F2/S2 exemples PARIS DIDEROT tube à vide renversé sur du mercure (densité du mercure, dHg = 13.55) p=0 xA h d’où la pression au niveau de la mer patm = 1 bar = 105 Pa = 1 atm = 760 mm Hg tonneau de Pascal en haut de la fine colonne d’eau, interface eau/air, donc p = patm à une hauteur h plus bas, au milieu du tonneau: patm x x B C p = patm + ⇢eau gh évolution de la pression dans l’eau 1 atm supplémentaire tous les 10 m de profondeur patm 105 h= = ⇡ 10 m 3 g 10 9.81 avec une colonne d’eau h = 10 m la pression dans le tonneau vaut p = patm + patm = 2 patm et le tonneau explose h PARIS DIDEROT exemples: drainage pleural et perfusions pression pleurale normale patm -8 cm H20 inspiration patm -4 cm H20 expiration pneumothorax: patm dans la plèvre pA = patm pB = patm - ρgH pD = pC = pB + ρgh = patm - ρg (H-h) dépression contrôlée par les niveaux d’eau (H ≈ 20 cm, h ≈ 2-3 cm) et non par la pompe succion x D h réceptacle H xB Ax Cx anti-retour manomètre patm le robinet est-il fermé ou ouvert entre les deux poches de perfusion? fermé pour un robinet ouvert, on aurait pA - patm = ρgh identique des 2 côtés, donc le même hauteur de niveau dans les poches de perfusion x A pressions sanguines PARIS DIDEROT tension sanguine (cm Hg) = pression par rapport à la pression atmosphérique T = psang patm T > 0, pression interne corporelle ≥ patm sinon on imploserait sous l’effet de la pression atmosphérique pressions cardiaques induites mécaniquement par la contraction/détente donc indépendantes de la position T♥(aorte) ~ 100 mm Hg T♥(veine cave) ~ 5 mm Hg ailleurs loi hydrostatique ailleurs (mais sang non parfait, cf chapitre suivant) -32 63 densité du sang d ≈ 1,06 5 ne pas savoir 197 102 dynamique des fluides en mouvement PARIS DIDEROT mouvements aléatoires et mouvement d’ensemble mouvements aléatoires dus aux collisions thermiques: ! vitesses aléatoires de module v ≠ 0 mais aléatoires en direction => < v > = 0 déplacements en moyenne toujours autour du même point densité volumique d’énergie cinétique dEcin/dV = pression mouvement d’ensemble: somme de vitesses aléatoires dues aux collisions et d’une vitesse d’entrainement ve constante déplacement macroscopique global <! v > = ve densité volumique d’énergie cinétique supplémentaire dE’cin/dV = ½ ρve2 ! ve <! v>=0 PARIS DIDEROT écoulements laminaires écoulement avec des lignes de courant qui suivent bien les obstacles sans tourbillons (sans turbulence) PARIS DIDEROT écoulement parfait fluide parfait incompressible (ρ = cte) sans frottement (pas de perte d’énergie) régime permanent vitesse, pression, débit, … constants écoulement ligne de courant = trajectoire suivie par un volume infinitésimal dV dans l’écoulement lignes de courant ne se coupent pas tube de courant = ensemble de lignes adjacentes s’appuyant sur une courbe fermée ⇥ v1 rant u o c e gnes d li S1 ⇥ v2 S2 ⇥ v impossible débit = volume de fluide traversant une section droite par unité de temps volume dV traverse S pendant dt S v dt v ⇥ v conservation du débit PARIS DIDEROT conservation de la matière en écoulement permanent dans un tube de courant: pas de pertes, pas de hernie, toute molécule traversant S1 traversera S2 ρ = constante, donc volume entrant pendant la durée dt = volume sortant pendant dt le liquide s’écoule + vite en S2 pour compenser la diminution de S2 à ρ constant S1 S2 < v2dt > <v1dt> loi des nœuds: la somme des volumes sortant en S2 et en S3 pendant dt doit être égale au volume entrant en S1 pendant dt S1 v1 S2 v2 S3 v3 PARIS DIDEROT circulation sanguine densité 1.055-1.065 volumes ne pas savoir total ~ 5 l dont 55% plasma artères ~ 15 % (réservoir de pression) veines ~ 64 % (réservoir de volume) capillaires ~ 5% (échanges) poumons+cœur ~ 16 % débit constant 5 à 6 l/mn en bonne santé débit PARIS DIDEROT question à quelle vitesse relative sort le liquide de l’aiguille de la seringue, sachant que les sections de l’aiguille et du corps de la seringue valent s = 0.01 cm² et S = 1 cm² ? v1 v2 question pourquoi le filet d’eau du robinet rétrécit-il? la vitesse augmente en descendant (chute libre) Q = S1v1 = S2v2 donc la section diminue V1 V2 S1 S2 loi de Bernoulli (1738) PARIS DIDEROT écoulement permanent, seule force externe = pesanteur liquide incompressible => conservation de la masse (dm1 pousse dm2 plus loin) dm1 = ⇢S1 v1 dt = dm2 = ⇢S2 v2 dt = dm système revient à faire rentrer dm en S1 et sortir dm en S2, zone intermédiaire inchangée car on remplace par des molécules identiques, à même altitude et vitesse v(z) variation d’énergie cinétique dEcin 1 = dm v22 2 v12 travail des forces de pression externes pression des molécules extérieures au tronçon: les collisions des molécules situées en amont de S1 “poussent” sur dm1 vers la droite (force Fp1 motrice), celles en aval de S2 “repoussent” dm2 vers la gauche (force Fp2 résistante) z dWp1 = p1 dV1 = p1 S1 v1 dt > 0 moteur dWp2 = p2 dV2 = travail de la pesanteur p2 S2 v2 dt < 0 résistant e b u de t Fp1 v1dt p1 S1 v1 t co n ura Fp2 S2 p2 v2dt v2 z2 z1 PARIS DIDEROT loi de Bernoulli (1738) conservation de l’énergie pour le tube de courant dEcin = dWp1 + dWp2 + dWg dEcin = somme des travaux des forces externes on intègre entre les altitudes quelconques z1 et z2 et on trouve: 1 2 1 2 p2 + ⇢v2 + ⇢gz2 = p1 + ⇢v1 + ⇢gz1 2 2 ! z "! g # la loi de Bernoulli exprime que la somme des 3 formes d’énergie se conserve le long d’une ligne de courant. Ces énergies sont comptées par unité de volume. dEcin alea dEcin ens dEpot grav + + = cte dV dV dV 1 2 p + ⇢v + ⇢gz = cte 2 pour chaque unité de volume: ✦ la pression donne l’énergie cinétique des mouvements thermiques aléatoires ✦ ½ρv2 donne l’énergie cinétique du mouvement d’ensemble ✦ ρgz donne l’énergie potentielle gravitationnelle PARIS DIDEROT obstacles tubes test dans un écoulement liquide statique dans les tubes test obstacle tangent A x obstacle frontal Bx effet Venturi PARIS DIDEROT moins de pression (désordre) si la vitesse d’écoulement (ordre) augmente S1 à altitude z constante, le long de la ligne de courant centrale 1 2 p + ⇢v = cte donc si S #) v ") p # 2 S2 < S1 ) v2 > v1 ) p2 < p1 exemple: souffler entre 2 feuilles de papier entre les feuilles: vair ↑ pair ↓ les feuilles se rapprochent S2 PARIS DIDEROT exemple: valves cardiaques conversion de l’énergie cinétique d’ensemble (1/2)ρv2 du flot pénétrant dans le ventricule en pression derrière la valve => permet la fermeture de la valve mitrale sans action musculaire idem valve aortique PARIS DIDEROT exemples statique: tuyaux fermés en mouvement: S/4 S S/4 exemple: ventouse de robot industriel PARIS DIDEROT question: quel poids peut soulever la ventouse? On assimilera l’air à un fluide parfait incompressible pour cet exercice SB = 0.2 mm2 rétrécissement dans la buse => buse ρair = 1.3 kg/m3 vB > vA et pB < pA x x A choisir une ligne de courant horizontale Q = 10 l/mn B pression dans la ventouse = pB pA = 5 bars SA = 50 mm2 ventouse S débit Q = SAvA = SBvB ) vB = A vA SB Scontact = 0.08 m2 1 2 1 2 Bernoulli: pA + ⇢vA = pB + ⇢vB 2 2" 1 2 ) pB = pA + ⇢vA 1 2 ✓ SA SB ◆2 # 1 = pA + ⇢ 2 ✓ Q SA ◆2 " 1 appl. num: Q = 10 l/mn = 1.67 10-4 m3/s et passer les surfaces en m2 => pB = 0.49 atm force de (dé)pression au niveau de la surface de contact: F = (patm pB )SC F = mg ) m = (patm appl. num: g = 9.81 m s-2 => m = 419 kg pB )SC /g ✓ SA SB ◆2 # exemple: vase de Torricelli PARIS DIDEROT application aux barrages, fontaines, jets d’eau récipient de grande dimension devant la taille du trou: SA Bernoulli entre A et B: ) vA pA = pB = patm 1 2 1 2 vA ⌧ vB ) ⇢vA ⌧ ⇢vB 2 2 h A h v B 0 SB et QA = QB SB = vB ) vA ⌧ vB SA 1 2 ) patm + ⇢ghA = patm + ⇢ghB + ⇢vB 2 p ) vB = 2g(hA hB ) C Bernoulli entre A et C et hC = 0 puisque patm en A, B et C, seule l’énergie gravitationnelle peut changer vA = 0 en vB ≠ 0 ou vC ≠ 0 question que se passe-t-il si le vase tombe en chute libre ou s’il se trouve dans la navette spatiale ? apesanteur g=0 dans le vase, donc patm partout dans le vase, pas d’énergie gravitationnelle à transformer en énergie cinétique, l’eau ne sort plus PARIS DIDEROT applications de Bernoulli carburateur, vaporisateur, pistolet… dépression dans la zone rétrécie car écoulement + rapide => effet d’entraînement sténose rétrécissement d’une artère => vitesse ↑ pression ↓ artère tend à s’effondrer davantage le flux sanguin passe par giclées pompe PARIS DIDEROT une pompe apporte de l’énergie supplémentaire au liquide sous forme de pression: p2 > p1 puissance fournie par la pompe au liquide puissance délivrée dE dV |P | =| |=| p | dt dt |P | = (p2 dV p1 ) = | p|Q dt v2 p 2>p 1 v1 p1 loi de Bernoulli modifiée conservation de l’énergie par unité de volume en incluant l’énergie fournie par la pompe apport d’énergie en sortie de la pompe: Δp = p2-p1 > 0 1 2 p2 + ⇢v2 + ⇢gz2 = 2 1 2 p + p1 + ⇢v1 + ⇢gz1 2 vérification: si v1 = v2 et z1 = z2, on a bien p2 = p1 + Δp > p1 ! z "! g #
