f(x)

Chapitre 9 Fonctions dérivées
I. Fonction dérivée
1. Fonction dérivable sur un intervalle
Définition
Soit f une fonction définie sur un intervalle I.
Si f est dérivable pour tout x de I alors f est dérivable sur I.
La fonction qui à tout x de I associe le nombre dérivé f′(x) de f en x est appelée fonction dérivée de f et elle est notée f′.
Exemple
Soit f la fonction définie sur
Ë
par f(x)=x2.
Soit a un réel quelconque, pour tout hý0,
Error!
=
Error!
=
Error!
=
Error!
=2a+h.
Error!
Error!
=2a donc f est dérivable en a et f
Error!
(a)=2a.
On en déduit que la fonction carré est dérivable sur  et sa fonction dérivée est la fonction f’ définie par f’(x)=2x.
2. Dérivées usuelles
f est définie par
f est dérivable sur
f ′ est définie par
f (x)=k sur Ë (fonction constante)
Ë
f ′(x)=0
f(x)=x sur Ë
f ′(x)=1
f(x)=x2 sur Ë
f ′(x)=2x
f(x)=x3 sur Ë
f ′(x)=3x2
f(x)=xn, n☻É*, sur Ë
Ë
f ′(x)=nxn−1
f(x)=Error! sur Error!
]-õ ;0[ et ]0 ;+õ[
f ′(x)=Error!
f(x)=x sur [0 ;+õ[
]0 ; +õ[
f ′(x)=Error!
f(x)=cos(x) sur Ë
f ′(x)=-sin(x)
f(x)=sin(x) sur Ë
f ′(x)=cos(x)
Exemple 1
f(x)=x5 : calculer f’(-2).
f est dérivable sur
Ë
et f′(x)=5x4 donc f’(-2)=5×(-2)4=80.
Exemple 2
f(x)=
Error!
: calculer f
Error!
(-2).
f est dérivable sur ]-õ ;0[ et f’(x)=
Error!
donc f
Error!
(-2)=
Error!
.

Chapitre 9 Fonctions dérivées
II. Dérivées et opérations
u et v sont deux fonctions dérivables sur un intervalle I.
1. Somme de fonctions
Propriété
La fonction u+v est dérivable sur I et (u+v)′=u′+v′
Démonstration
Pour tous réels a et a+h de I avec hý0 :
Error!
=
Error!
=
Error!
+
Error!
,
ce qui tend vers u′(a)+v′(a) lorsque h tend vers 0.
Exemple
Soit f(x)=x2+x sur [0;+ õ[.
f=u+v avec u(x)=x2 et v(x)=x .
La fonction u est dérivable sur
Ë
et la fonction v est dérivable sur ]0 ;+õ[ donc f est dérivable sur ]0 ;+õ[ et f’=u′+v′ avec
u′(x)=2x et v′(x)=
Error!
donc f
Error!
(x)=2x+
Error!
.
2. Produit de fonctions
Propriété
La fonction uv est dérivable sur I et (uv)′=u′v+uv′
Justification
Pour tous réels a et a+h de I avec hý0 :
Error!
=
Error!
=
Error!
+
Error!
=
Error!
v(a+h)+u(a)
Error!
.
u est dérivable en a donc
Error!
Error!
=u′(a)
v est dérivable en a donc
Error!
Error!
=v′(a) et
Error!
v(a+h)=
Error!
(v′(a)h+v(a))=v(a).
Ainsi
Error!Error!
=u′(a)v(a)+u(a)v′(a) donc uv est dérivable en a et (uv)′(a)=u′(a)v(a)+u(a)v′(a)
Exemple
Soit f la fonction définie sur
Ë
par f(x)=x2cos(x).
On a f=uv avec u(x)=x2 et v(x)=cos(x).
Les fonctions u et v sont dérivables sur
Ë
donc f est dérivable sur
Ë
et f ’(x)=u′(x)v(x)+u(x)v′(x).
u′(x)=2x et v′(x)=-sin(x) donc f ’(x)=2xcos(x)+x2×(-sin(x))=2xcos(x)−x2sin(x).
Conséquences
1. Pour tout réel λ, la fonction λu est dérivable sur I et (λu)′=λu′.
2. Toute fonction polynôme est dérivable sur
Ë
.
Exemples
1. Soit f la fonction définie sur
Ë
par f(x)=3sin(x) alors f=3u avec u(x)=sin(x).
La fonction u est dérivable sur
Ë
donc f est dérivable sur
Ë
et f’=3u′ avec u′(x)=cos(x) donc f’(x)=3cos(x).
2. Soit f définie sur
Ë
par f(x)=-2x3+x2−5x+1.
f est une fonction polynôme donc elle est dérivable sur
Ë
et f ′(x)=-2×3x2+2x−5×1+0=-6x2+2x−5

Chapitre 9 Fonctions dérivées
3. Inverse d’une fonction
Propriété
Si pour tout réel x de I, v(x)ý0 alors la fonction
Error!
est dérivable sur I et
Error!Error!
=
Error!
.
Justification
Pour tous réels a et a+h de I avec hý0 :
Error!
=
Error!
=
Error!
×
Error!
=
Error!
=-
Error!
×
Error!
.
v est dérivable en a donc
Error!
Error!
=v′(a) et
Error!
v(a+h)=
Error!
(v′(a)h+v(a))=v(a).
Ainsi
Error!
Error!
= –v′(a)×
Error!
donc la fonction
Error!
est dérivable en a et
Error!
(a)=
Error!
.
Exemple
Soit f la fonction définie sur ]1 ;+õ[ par f(x)=
Error!
alors f=
Error!
avec v(x)=1−x.
La fonction v est dérivable sur ]1 ;+õ[ et pour tout x>1, v(x)ý0 donc f est dérivable sur ]1 ;+õ[ et f′(x)=
Error!
.
v′(x)=-1 donc f’(x)=
Error!
4. Quotient de fonctions
Propriété
Si pour tout réel x de I, v(x)ý0 alors la fonction
Error!
est dérivable sur I et
Error!
=
Error!
.
En effet,
Error!
=
Error!
=u′×
Error!
+u×
Error!
=
Error!
+u×
Error!
=
Error!
Conséquence
Toute fonction rationnelle est dérivable sur chaque intervalle contenu dans son ensemble de définition.
Exemple
Soit f définie sur
Ë
−{3} par f(x)=
Error!
, f est une fonction rationnelle donc elle est dérivable sur
Error!
et sur
Error!
.
f=
Error!
avec u(x)=
Error!
−1 et v(x)=x−3
f’(x)=
Error!
avec u′(x)=2x et v′(x)=1 donc f
Error!
(x)=
Error!
=
Error!
.
5. Fonction x u(ax+b)
Propriété (admise)
Soient a et b deux réels, aý0, on appelle J l’intervalle des réels x tels que ax+b appartient à I.
La fonction f définie par f(x)=u(ax+b) est dérivable sur J et f ′(x)=au′(ax+b).
Exemple
Soit f définie sur [2 ;+õ[ par f(x)=3x−6 alors f(x)=u(3x−6) avec u(X)=X .
La fonction u est dérivable sur I=]0 ;+õ[.
Déterminons l’ensemble des réels x tels que 3x−6☻I:
3x−6 ☻ I équivaut à 3x−6>0, c’est-à-dire x>2 ou encore x☻]2 ;+õ[ donc J=]2 ;+õ[.
Ainsi f est dérivable sur ]2 ;+õ[ et f ’(x)=3u′(3x−6)
u′(X)=
Error!
donc f
Error!
(x)=3×
Error!
=
Error!
.
III. Signe de la dérivée et sens de variation
Propriété
Soit f une fonction dérivable sur un intervalle I.
 Si f est croissante sur I alors pour tout x de I, f ′(x)Ã0 .
 Si f est décroissante sur I alors pour tout x de I, f ′(x)Â0.
Justification
 Si f est croissante sur I alors pour tout a☻I et pour tout hý0 tel que a+h☻I :
o Si h>0 alors a+h>a donc f(a+h)Ãf(a) ou encore f(a+h)−f(a)Ã0 ;
o Si h<0 alors a+h<x donc f(a+h)Âf(a) ou encore f(a+h)−f(a)Â0.
Dans les deux cas, f(a+h)−f(a) et h sont de même signe donc
Error!
Ã0.
Ainsi f’(a) est la limite quand h tend vers 0 de nombres tous positifs ou nuls.
On admet que leur limite est aussi positive ou nulle donc pour tout réel a de I, f’'(a)Ã0.
 On raisonne de même dans le cas où f est décroissante sur I.

Chapitre 9 Fonctions dérivées
Théorème de stricte monotonie (admis)
Soient f une fonction dérivable sur un intervalle I et f’ la dérivée de f sur I.
 Si f ′ est nulle sur I alors f est constante sur I ;
 Si f ′ est positive sur I et ne s’annule qu’en un nombre fini de points alors f est strictement croissante sur I ;
 Si f ′ est négative sur I et ne s’annule qu’en un nombre fini de points alors f est strictement décroissante sur I.
Exemple
Soit f la fonction définie sur
Ë
par f (x)=-x2+6x−5.
f est une fonction polynôme donc f est dérivable sur
Ë
et f ′(x)=-2x+6.
On étudie alors le signe de f ′(x) :
-2x+6=0
-2x=-6
x=3
On en déduit les variations de la fonction f :
IV. Application de l’étude du sens de variation
L’étude du sens de variation d’une fonction f sur un intervalle I permet de déterminer les extremums éventuels d’une fonction.
Définition
Soit f une fonction définie sur un intervalle I.
 Si f(a) est le maximum ou le minimum de f sur I alors on dit que f(a) est un extremum de f sur I ;
 Si f(a) est un extremum de f sur un intervalle ouvert J contenu dans I alors on dit que c’est un extremum local de f.
Exemple
La fonction f admet le tableau de variation suivant.
Par lecture du tableau de variation :
 f admet un maximum
Error!
en x=1 ;
 f admet un minimum local -2 en x=4.
Définition
Soit f une fonction définie sur un intervalle I et soient m et M deux réels.
 f est majorée par M sur I si et seulement si f(x)ÂM pour tout x de I.
On dit alors que M est un majorant de f sur I.
 f est minorée par m sur I si et seulement si mÂf(x) pour tout x de I.
On dit alors que m est un minorant de f sur I.
 f est bornée sur I lorsqu’elle est à la fois majorée et minorée sur I.
Exemple
x
f'x
fx
-
1
Error!
0
4
-2
0
6
1
x
f'x
fx
-
3
4
0
+
x
-
3
+
x
0

Chapitre 9 Fonctions dérivées
Dans l’exemple précédent,
Error!
ó1,67 donc f est majorée par 2 sur
Error!
.
LA FONCTION LOGARITHME NEPERIEN
Activité :
Avec la calculatrice, compéter le tableau suivant :
a
b
ab
ln a
ln b
ln a + ln b
ln (ab)
2
3
6
0,693
1,099
1,792
1,792
7
10
70
1,946
2,303
4,249
4,249
5
13
65
1,609
2,565
4,174
4,174
100
150
15 000
4,605
5,011
9,616
9,616
6
6
36
1,792
1,792
3,584
3,584
On remarque ln(a) + ln(b) = ln(ab)
I) Définition
Voir activité : avec la calculatrice
La fonction logarithme népérien, noté ln est la fonction définie sur
0;
satisfaisant aux deux propriétés suivantes :
- Quelque soit a, b > 0, ln(ab) = ln(a) + ln(b)
-
1
ln'( )xx
pour tout x > 0
II) Propriétés
ln(1) = 0
ln (a²) = ln