f(x)

Chapitre 9
Fonctions dérivées
I. Fonction dérivée
1. Fonction dérivable sur un intervalle
Définition
Soit f une fonction définie sur un intervalle I.
Si f est dérivable pour tout x de I alors f est dérivable sur I.
La fonction qui à tout x de I associe le nombre dérivé f′( x) de f en x est appelée fonction dérivée de f et elle est notée f′.
Exemple
Soit f la fonction définie sur Ë par f( x)=x 2.
Soit a un réel quelconque, pour tout hý0, Error!=Error!=Error!=Error!=2a+h.
Error! Error!=2a donc f est dérivable en a et f Error!( a)=2a.
On en déduit que la fonction carré est dérivable sur  et sa fonction dérivée est la fonction f ’ définie par f ’( x)=2x.
2. Dérivées usuelles
f est définie par
f est dérivable sur
f ′ est définie par
f ( x)=k sur Ë (fonction constante)
Ë
f ′( x)=0
f( x)=x sur Ë

f ′( x)=1
f( x)=x 2 sur Ë

f ′( x)=2x
f( x)=x 3 sur Ë

f ′( x)=3x 2
f( x)=x n , n☻É*, sur Ë
Ë
f ′( x)=nx n−1
f( x)=Error! sur Error!
]-õ ;0[ et ]0 ;+õ[
f ′( x)=Error!
f( x)= x sur [0 ;+õ[
]0 ; +õ[
f ′( x)=Error!
f( x)=cos(x) sur Ë

f ′( x)=-sin(x)
f( x)=sin(x) sur Ë

f ′( x)=cos(x)
Exemple 1
f( x)= x 5 : calculer f ’(-2).
4
f est dérivable sur Ë et f′( x)=5x 4 donc f ’(-2)=5×(-2) =80.
Exemple 2
f( x)=Error!: calculer fError!(-2).
f est dérivable sur ]-õ ;0[ et f ’( x)=Error! donc fError!(-2)=Error!.
Chapitre 9
Fonctions dérivées
II. Dérivées et opérations
u et v sont deux fonctions dérivables sur un intervalle I.
1. Somme de fonctions
Propriété
La fonction u+v est dérivable sur I et ( u+v)′=u′+v′
Démonstration
Pour tous réels a et a+h de I avec hý 0 :
Error!=Error!=Error!+Error!,
ce qui tend vers u′( a)+v′(a) lorsque h tend vers 0.
Exemple
Soit f( x)=x 2+ x sur [0;+õ[.
f=u+ v avec u( x)=x 2 et v( x)= x .
La fonction u est dérivable sur Ë et la fonction v est dérivable sur ]0 ;+õ[ donc f est dérivable sur ]0 ;+õ[ et f ’=u′+v′ avec
u′( x)=2x et v′( x)=Error!donc fError!( x)=2x+Error!.
2. Produit de fonctions
Propriété
La fonction uv est dérivable sur I et ( uv)′=u′v+uv′
Justification
Pour tous réels a et a+h de I avec hý 0 :
Error!=Error!=Error!+Error!
=Error!v ( a+h)+u( a)Error!.
u est dérivable en a donc Error! Error!= u′( a)
v est dérivable en a donc Error! Error!= v′( a) et Error!v( a+h)=Error! ( v′( a)h+v(a))=v(a).
Ainsi Error!Error!=u′( a) v(a)+u( a) v′( a) donc uv est dérivable en a et ( uv)′(a)=u′(a) v(a)+u(a) v′( a)
Exemple
Soit f la fonction définie sur Ë par f( x)=x 2cos( x).
On a f=uv avec u( x)=x 2 et v( x)=cos( x).
Les fonctions u et v sont dérivables sur Ë donc f est dérivable sur Ë et f ’( x)=u′( x) v( x)+u( x)v′( x).
u′( x)=2x et v′(x)=-sin( x) donc f ’( x)=2xcos( x)+x 2×(-sin( x))=2xcos( x)−x 2sin( x).
Conséquences
1. Pour tout réel λ, la fonction λu est dérivable sur I et ( λu)′= λu′.
2.
Toute fonction polynôme est dérivable sur Ë.
Exemples
1. Soit f la fonction définie sur Ë par f( x)=3sin( x) alors f=3u avec u( x)=sin( x).
La fonction u est dérivable sur Ë donc f est dérivable sur Ë et f ’=3u′ avec u′( x)=cos( x) donc f ’( x)=3cos( x).
2. Soit f définie sur Ë par f( x)=-2x 3+ x 2−5x+1.
f est une fonction polynôme donc elle est dérivable sur Ë et f ′( x)=-2×3x 2+2x−5×1+0=-6x 2+2x−5
Chapitre 9
Fonctions dérivées
3. Inverse d’une fonction
Propriété
Si pour tout réel x de I, v( x)ý0 alors la fonction Error!est dérivable sur I et Error!E rror!= Error!.
Justification
Pour tous réels a et a+h de I avec hý 0 :
Error!=Error!=Error!×Error!=Error!=-Error!×Error!.
v est dérivable en a donc Error! Error!= v′( a) et Error!v( a+h)=Error! ( v′( a)h+v(a))=v(a).
Ainsi Error! Error!= –v′(a)×Error! donc la fonction Error!est dérivable en a et Error!( a)=Error!.
Exemple
Soit f la fonction définie sur ]1 ;+õ[ par f( x)=Error!alors f=Error!avec v( x)=1−x.
La fonction v est dérivable sur ]1 ;+õ[ et pour tout x>1, v( x)ý0 donc f est dérivable sur ]1 ;+õ[ et f′( x)=Error!.
v′( x)=-1 donc f ’( x)=Error!
4. Quotient de fonctions
Propriété
Si pour tout réel x de I, v( x)ý0 alors la fonction Error!est dérivable sur I et Error!=Error!.
En effet, Error!=Error!=u′×Erro r!+u×Error!=Error!+ u×Error!=Error!
Conséquence
Toute fonction rationnelle est dérivable sur chaque intervalle contenu dans son ensemble de définition.
Exemple
Soit f définie sur Ë−{3} par f(x)=Error!, f est une fonction rationnelle donc elle est dérivable sur Error! et sur Error!.
f=Error!avec u( x)=Error!−1 et v(x)=x−3
f ’( x)=Error! avec u′( x)=2x et v′( x)=1 donc fError!( x)= Error!=Error!.
5. Fonction x u(ax+b)
Propriété (admise)
Soient a et b deux réels, aý0, on appelle J l’intervalle des réels x tels que ax+b appartient à I.
La fonction f définie par f(x)=u( ax+b) est dérivable sur J et f ′( x)=au′( ax+b).
Exemple
Soit f définie sur [2 ;+õ[ par f( x)= 3x−6 alors f( x)=u(3x−6) avec u(X)= X .
La fonction u est dérivable sur I=]0 ;+õ[.
Déterminons l’ensemble des réels x tels que 3x−6☻I:
3x−6 ☻ I équivaut à 3x−6>0, c’est-à-dire x>2 ou encore x☻]2 ;+õ[ donc J=]2 ;+õ[.
Ainsi f est dérivable sur ]2 ;+õ[ et f ’( x)=3u′(3x−6)
u′( X)=Error!donc f Error!( x)=3×Error!=Error!.
III. Signe de la dérivée et sens de variation
Propriété
Soit f une fonction dérivable sur un intervalle I.

Si f est croissante sur I alors pour tout x de I, f ′( x) Ã0 .

Si f est décroissante sur I alors pour tout x de I, f ′(x) Â0.
Justification


Si f est croissante sur I alors pour tout a☻I et pour tout hý0 tel que a+h☻I :
o Si h>0 alors a+h>a donc f( a+h) Ãf( a) ou encore f(a+h)−f( a) Ã0 ;
o Si h<0 alors a+h<x donc f( a+h)Âf( a) ou encore f( a+h)− f( a) Â0.
Dans les deux cas, f( a+h)−f(a) et h sont de même signe donc Error!Ã 0.
Ainsi f ’( a) est la limite quand h tend vers 0 de nombres tous positifs ou nuls.
On admet que leur limite est aussi positive ou nulle donc pour tout réel a de I, f ’'( a) Ã0.
On raisonne de même dans le cas où f est décroissante sur I.
Chapitre 9
Fonctions dérivées
Théorème de stricte monotonie (admis)
Soient f une fonction dérivable sur un intervalle I et f ’ la dérivée de f sur I.

Si f ′ est nulle sur I alors f est constante sur I ;

Si f ′ est positive sur I et ne s’annule qu’en un nombre fini de points alors f est strictement croissante sur I ;

Si f ′ est négative sur I et ne s’annule qu’en un nombre fini de points alors f est strictement décroissante sur I.
Exemple
Soit f la fonction définie sur Ë par f ( x)=-x 2+6x−5.
f est une fonction polynôme donc f est dérivable sur Ë et f ′( x)=-2x+6.
On étudie alors le signe de f ′( x) :
-2x+6=0
x
-
3
+
-2x=-6
0
x
x=3
On en déduit les variations de la fonction f :
x
-
3
+
0
f'x
4
fx
IV. Application de l’étude du sens de variation
L’étude du sens de variation d’une fonction f sur un intervalle I permet de déterminer les extremums éventuels d’une fonction.
Définition
Soit f une fonction définie sur un intervalle I.

Si f( a ) est le maximum ou le minimum de f sur I alors on dit que f( a) est un extremum de f sur I ;

Si f( a ) est un extremum de f sur un intervalle ouvert J contenu dans I alors on dit que c’est un extremum local de f.
Exemple
La fonction f admet le tableau de variation suivant.
x
-
f'x
1
4
0
0
Error!
6
1
fx

-2
Par lecture du tableau de variation :
 f admet un maximum Error! en x=1 ;
 f admet un minimum local -2 en x=4.
Définition
Soit f une fonction définie sur un intervalle I et soient m et M deux réels.

f est majorée par M sur I si et seulement si f( x) ÂM pour tout x de I.
On dit alors que M est un majorant de f sur I.

f est minorée par m sur I si et seulement si m Âf( x) pour tout x de I.
On dit alors que m est un minorant de f sur I.

f est bornée sur I lorsqu’elle est à la fois majorée et minorée sur I.
Exemple
Chapitre 9
Fonctions dérivées
Dans l’exemple précédent, Error!ó 1,67 donc f est majorée par 2 sur Error!.
LA FONCTION LOGARITHME NEPERIEN
Activité :
Avec la calculatrice, compéter le tableau suivant :
a
2
7
5
100
6
b
3
10
13
150
6
ab
6
70
65
15 000
36
ln a
0,693
1,946
1,609
4,605
1,792
ln b
1,099
2,303
2,565
5,011
1,792
ln a + ln b
1,792
4,249
4,174
9,616
3,584
ln (ab)
1,792
4,249
4,174
9,616
3,584
On remarque ln(a) + ln(b) = ln(ab)
I) Définition
Voir activité : avec la calculatrice
La fonction logarithme népérien, noté ln est la fonction définie sur
- Quelque soit a, b > 0, ln(ab) = ln(a) + ln(b)
-
ln'( x) 
1
pour tout x > 0
x
II) Propriétés
ln(1) = 0
ln (a²) = ln
0; satisfaisant aux deux propriétés suivantes :