Electrocinétique – TD7 : Filtres passifs

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Electrocinétique – TD7 : Filtres passifs
Exercice 1 : Effet d’un filtre sur un signal périodique
On considère une tension périodique (non sinusoïdale) e(t), de période T0, appliquée en entrée d’un filtre. Le filtre
délivre une tension de sortie s(t) au circuit en aval.
1. Donner l’expression de la fréquence f0, puis de la pulsation
0, du signal e(t) en fonction de sa période T0.
Dans le tableau ci-dessous, on donne les caractéristiques des différentes composantes sinusoïdales du signal
périodique d’entrée :
Fréquence
0
0
1f
0
2f
0
3f
0
4f
Amplitude (V)
3
5
0
2
1
Phase à l’origine (rad)
-
2
-
0.1
0
On précise que les harmoniques de fréquence supérieures à 4f0 sont toutes d’amplitude nulle.
2. A l’aide du tableau, donner l’expression mathématique du signal e(t) sous forme de série de Fourier.
Qu’appelle-t-on la composante continue ? le fondamental ? les harmoniques ?
3. Pourquoi la phase à l’origine n’est-elle pas précisée pour les composantes de fréquence nulle et de fréquence
égale à 2f0 ?
4. Tracer le spectre de Fourier du signal e(t). On rappelle que le spectre de Fourier représente l’amplitude de
chaque composante sinusoïdale en fonction de la fréquence (diagramme en « bâtonnets »).
Dans le tableau ci-dessous, on donne les caractéristiques du filtre pour des valeurs particulières de la fréquence,
correspondant aux fréquences des composantes du signal d’entrée :
Fréquence
0
0
1f
0
2f
0
3f
0
4f
Gain
0,5
2
0,3
0,01
0,001
Déphasage (rad)
2
4
0,1
-0,5
Ici, le gain n’est pas en décibels.
5. A partir des données du tableau, tracer l’allure du gain en fonction de la fréquence. Conclure quant à l’effet du
filtre sur l’amplitude du signal.
6. A l’aide de ce tableau et de l’expression établie à la question 2, donner l’expression mathématique du signal de
sortie s(t).
7. Tracer le spectre de Fourier du signal de sortie. Quelle est la forme du signal de sortie (en fonction du temps) ?

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Exercice 2 : Etude du filtre RL série
On considère le filtre RL série alimenté par une tension d’entrée e(t) et délivrant une tension de sortie s(t). On
étudie ce filtre dans le cas où la sortie est en circuit ouvert : il n’y a pas de charge en aval, i.e. on ne branche pas
de circuit en aval du filtre.
1. On peut construire deux quadripôles (donc deux filtres) à partir du circuit RL série. Faire un schéma de ces
deux filtres. Déterminer avec très peu de calculs la nature de ces deux filtres.
2. On considère le filtre passe-bas. Déterminer sa fonction de transfert, et l’exprimer en fonction de la pulsation
réduite
c
x
. On donnera l’expression de
c en fonction de R et L. Quel est l’ordre du filtre ?
3. Tracer l’allure de son diagramme de Bode. Quelle est l’opération effectuée par ce filtre à haute fréquence ?
4. Déterminer la bande passante du filtre.
5. Reprendre l’étude dans le cas du filtre passe-haut.
On considère une entrée e(t) périodique, identique à celle discutée en exercice 1. La fréquence f0 de l’exercice 1
est supposée égale à la fréquence de coupure fc du présent exercice.
6. Tracer le spectre de Fourier du signal de sortie s(t) dans les deux cas :
o filtre RL utilisé en passe-bas
o filtre RL utilisé en passe-haut
Exercice 3 : Filtres de Wien
1. Etablir la fonction de transfert du filtre de Wien utilisé en sortie ouverte (i2 = 0) et la présenter sous la forme
x
xjQ
K
H1
1
(avec x = /0). Expliciter 0, Q et K en fonction de R et C. Quelle est la nature du filtre ?
2. Tracer le diagramme de Bode du filtre de Wien.
3. Déterminer sa bande passante.
Exercice 4 : Filtre coupe-bande en T ponté
On étudie le filtre ci-contre.
1. En appliquant deux fois la loi des nœuds en terme de potentiels, établir la fonction de transfert du filtre.
2. Dans le cas particulier où R = R’, on pose
RC
1
0
. Tracer l’allure du diagramme de Bode (en gain
uniquement).

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Exercice 5 : Etude expérimentale du filtre passe-bas RC - Effet de l’impédance d’entrée de l’oscilloscope
On souhaite effectuer l’étude expérimentale d’un filtre passe-bas du premier ordre RC.
1. Calculer la fréquence de coupure du filtre si l’on prend R = 680 k et C = 47 pF.
Lors de l’étude expérimentale, on mesure la tension d’entrée et la tension de sortie du filtre à l’oscilloscope, relié
au circuit par un câble coaxial. On s’aperçoit que les valeurs mesurées ne correspondent par aux résultats
attendus.
On se propose d’expliquer les écarts observés en modélisant l’oscilloscope par une impédance d’entrée constituée
d’un condensateur C0 = 30 pF en parallèle sur une résistance R0 = 1 M.
2. Calculer la nouvelle fonction de transfert du filtre RC. La nature du filtre a-t-elle été modifiée ?
3. Déduire du calcul précédent la nouvelle fréquence fc’ de coupure à -3 dB, le gain Gc en dB pour cette
fréquence, et le gain G0 en continu. Faire l’application numérique.
4. L’expérience donne pour la fréquence fc’ calculée précédemment Gc = -10,2 dB, et en continu G0 = -4,5 dB.
Est-ce cohérent avec les valeurs calculées précédemment ?
5. On modélise le câble coaxial par un condensateur en parallèle sur l’entrée de l’oscilloscope.
o Justifier cette modélisation d’après le résultat de la question précédente
o Calculer la valeur de la capacité du condensateur équivalent au câble.
Exercice 6 : Association de filtres RC d’ordre 1
Déterminer la fonction de transfert des filtres représentés ci-dessous, lorsqu’ils sont considérés sans circuit en aval
(i2 = 0). Donner l’ordre de ces filtres.