Cours n°21 : Mouvement d`un solide en rotation autour d`un axe fixe

Cours n°21 : Mouvement d’un solide en
rotation autour d’un axe fixe
En mécanique du solide comme en mécanique du point, les notions de moment de force et de moment
cinétique sont très utiles.
La notion de moment d’inertie complète celle de masse et intervient pour décrire le moment cinétique d’un
système en rotation ou bien son énergie cinétique de rotation. Le système étudié pourra être aussi bien
indéformable comme une machine outil que déformable comme une patineuse qui ramène les bras dans
l’axe de son corps.
En mécanique quantique le moment cinétique est une quantité très utilisée, le spin des particules est par
exemple un type de moment cinétique.
Dans cette leçon, on se limite aux mouvements de rotation autour d’un axe fixe uz. Le solide est en rotation
pure autour d’un point O selon Oz (mât du manège). L’axe Oz passe par le point O.
I) Moment d’inertie, TMC et conservation de l’énergie mécanique
1) Cas du point matériel ou d’un ensemble de points matériels
Moment cinétique d’un point matériel en rotation autour du point O selon l’axe Oz
,
²²
Oz O z
mr u mr
Moment d’inertie du point matériel : JO,z = mr²
Moment cinétique d’un ensemble de points matériels en formation solide, ils ont tous la même vitesse de
rotation.
i
,
²²
O i i i i O z
ii
m r m r J
Le point jaune est le point O fixe autour duquel la rotation s’opère.
Les calculs de moment d’inertie qui suivent ne sont pas au programme, ils sont donnés à titre indicatif
A
B
1
1
2
2
1
3
3

2) Calcul du moment cinétique d’une tige par rapport à son centre, Moment d’inertie
d’une tige par rapport à son centre
3
G
Moment d'inertie d'une tige homogène de longueur l=2a par rapport à son centre de gravité
²²
J ² 2 3 12 3
aTT
a
a M l M a
x dx
3)
3) Moment d’inertie d’une tige par rapport à son extrémité
23
0
Moment d'inertie d'une tige homogène de longueur l=2a par rapport à son extrémité
² 4 ²
J ² 8 3 3 3
aTT
EM l M a
a
x dx
Supérieur à la valeur précédente car les masses sont plus loin de E que de G
4) Moment d’inertie d’un disque, d’un cylindre, d’un cerceau par rapport à leur centre
Tdisque disque
di
4
3
disqsq e ueu
moment d'inertie d'un dis
J=
que
²
M = ds drrd 2 ²
2
²
drr d 2 4 ²s 2 dT r
RR
R M R
5)Volant d’inertie
Pour une masse donnée et un encombrement donné, le plus grand moment d’inertie par
rapport à un axe est obtenu en éloignant le plus possible les masses de l’axe de rotation :
cerceau MR² Volant d’inertie.
6)Moment d’inertie d’une sphère par rapport à son diamètre (sans démonstration)
Moment d’inertie d’une boule par rapport à son centre et l’un de ses diamètres (2/5) mR²
7)TMC pour un solide
,.
OO i i i O z i i
i i i
O z i i O i i z
z
ii
dd
M F OM F J u OM F
dt dt
J u OM F J OM F u
Les points Mi sont ici les points du solide où les forces Fi s’appliquent.
8)Calcul de l’énergie cinétique d’un solide en rotation, le moment d’inertie apparait
à nouveau
22
,
1 1 1
²²
2 2 2
Les points i sont ici les points du solide, il faudrait en fait faire une démonstration avec une somme continue
mais le résultat est le meme, on s'en dispense
C i i i i O z
ii
E m r m r J
ra.
G
x
dm=μdx
a

9) Définition du centre de gravité d’un solide, Energie potentielle de pesanteur d’un
solide
3
12
1 1 2 2 3 3 1 2 3
1 2 3 1 2 3 1 2 3
0
c'est une moyenne pondérée
m
mm
m GM m GM m GM OG OM OM OM
m m m m m m m m m
Pourquoi la résultante qu’est le poids s’applique-t-elle au centre de gravité ?
Montrons que la somme des moments des poids des masses individuelles qui constituent le système est nulle
quand on la calcule en G.
1 1 2 2 3 3 1 1 2 2 3 3 00 GGM m g GM m g GM m g m GM m GM m GM g g
Energie potentielle d’un ensemble de masses ou d’un solide
1 1 2 2 3 3 1 1 2 2 3 3
()
PG
E m gz m gz m gz m z m z m z g mz g      
« Chute d’une paire de ciseaux :
http://phymain.unisciel.fr/des-ciseaux-en-chute-libre/ »
II) Quelques exemples en oscillation
1) Pendule pesant, par TMC ou conservation de l’énergie
Le centre de rotation O est ici différent de G
http://www.wat.tv/video/grande-vadrouille-scene-culte-303mz_303mh_.html
à cette adresse une scène de la grande vadrouille avec une méprise qui met en jeu un pendule pesant vers
1mn 30 sur la séquence.
on note a la distance de
: (cos sin ) sin
sin
²
conservation de l'énergie : cos( )
2
Oz
Or r z
O
O
OàG
d J u
d
TMC OG P OO R OG P au Mg u u a u Mgu
dt dt
J a Mg
J Mga cst J    sin
Oa Mg
2) Balançoire à trébuchet (DM)
3) Oscillation Machine avec poulie masse corde et ressort (voir TD)
G
O
P
ur
u
uz

III) Quelques exemples en rotation
1) Chute d’un arbre,(TD)
sin 0
E
J Mga
La réaction du sol donne un moment nul. Ca doit tomber il ne s’agit pas de trouver une équation qui
s’identifierait avec une équation d’oscillateur harmonique aux petits angles.
Chute d’une cheminée
La partie basse de la cheminée voudrait tomber plus vite que l’ensemble, il se développe des contraintes des
forces de cisaillement et des moments qui vont casser la cheminée avant même qu’elle n’atteigne le sol.
http://www.dailymotion.com/video/x1crfe9_une-immense-cheminee-dynamitee-en-australie_news
Observer que la cheminée casse en plusieurs endroits
Plus rapide que la chute libre :
http://phymain.unisciel.fr/plus-rapide-que-la-chute-libre/
TD Chute d’un arbre
On assimile un arbre à une tige homogène longue de longueur L et de masse m. On le scie à sa base et
l’arbre bascule en tournant autour de son point d’appui sur le sol. On suppose que le point d’appui reste fixe
et ne glisse pas et on repère la position de l’arbre par l’angle  qu’il fait avec la verticale . A t=0 l’arbre fait
un angle 0 avec la verticale et est immobile.
On donne le moment d’inertie par rapport à l’extrémité J=1/3 mL²
1) Etablir l’équation du mouvement de la chute de l’arbre
2) Montrer que lorsuq l’arbre fait un angle  avec le verticale sa vitesse angulaire vaut
0
3(cos cos ) g
L
3)Montrer que cette relation peut être réécrite
0
3
(cos cos )
gd
dt
L
4) Déterminer le temps de chute d’un arbre de 30m . On donne pour 0=5° :
0
2
0
5.1
(cos cos )
d
2) Accélération d’une poulie avec tension d’un fil et frottements fluide et solide.
Puissance développée par la tension, on peut la voir de deux manières : T (R ) = (T R) force fois
vitesses ou couple fois vitesse angulaire.
TN
TMC J aR aT a R aT
T
RT
RN
a

3) TD Accélération d’une poulie avec masse suspendue
00
puis permettent de conclure
( ) ( ²)
O
O O O
TMC pour la poulie J Ta C
RFD pour la masse suspendue Mz Mg T
za
J Mg Mz a C J Mza Mga C J Ma Mga C
Qui est en fait une équation différentielle du premier ordre en 
4) Embrayage (Voir Site)
M
m,a,JO=1/2 ma²
O
I
z
T1=-Tuz
T2=Tuz
mg
R