Correction du Devoir Commun de Mathématiques 4ème (partie 1)

Correction du Devoir Commun de Mathématiques 4ème (partie 1)
Exercice 1 : Le voilier /3pts
Un centre nautique souhaite effectuer une réparation sur une voile.
La voile a la forme du triangle  ci-contre. On souhaite faire une
couture symbolisée par le segment  parallèlement à.
1) Quelle est la longueur de cette couture  ?
Pour calculer la longueur CT, je vais utiliser la propriété de Thalès dans les triangles PTC et PWM.
Dans les triangles PTC et PWM, on a :
 Les points P, T, et C sont alignés
 Les points P, W, et M sont alignés
 Les droites (TC) et (WM) sont parallèles
D’après la propriété de Thalès, on peut écrire : 
d’où 
On peut déduire que :    
La longueur de la couture [CT] mesure 3,06m.
2) La quantité de fil nécessaire est le double de la longueur de la couture.  de fil suffiront-ils ?
     donc,  de fil ne suffiront pas !
Exercice 2 : des Monuments parisiens /3pts
Paul, lors de sa visite de Paris, s’est aperçu que la tour Eiffel (), l’arc de Triomphe
() et l’obélisque de la place de la Bastille () sont positionnés comme sur le plan
ci-contre : ● Le point  appartient au cercle de diamètre.
● On donne    et   .
1) Faire une figure en représentant  par.

2) Démontrer que le triangle  est rectangle.
On sait que : Le point  appartient au cercle de diamètre ce qui signifie que le triangle EBT est inscrit dans le cercle de
diamètre  et le segment  est bien un côté du triangle EBT.
Or, si un triangle est inscrit dans un cercle, de diamètre l’un de ses cotés alors ce triangle est rectangle.
Donc le triangle EBT est rectangle en T.
Exercice 3 : Géométrie & calcul littéral /5pts
On considère le rectangle  ci-contre :
Dans tout l’exercice, l’unité de longueur est le  
1) a) Exprimer le périmètre du rectangle  en fonction de.
Le périmètre P d’un rectangle est la longueur de son contour.
Pour un rectangle, on a : P = 2 x longueur + 2 x largeur = 2 x (longueur + largeur)
P = 2 x (5x – 7) + 2 x (3x + 5) ou P = 2 x (5x – 7 + 3x + 5) = 2 (8x – 2)
b) Réduire l’expression littérale obtenue.
P = 2 x (5x – 7) + 2 x (3x + 5) = 10x – 14 + 6x + 10 = 16x – 4 ou P = 2 x (8x – 2) = 16x – 4
Le périmètre P du rectangle  est 16x – 4
c) Calculer ce périmètre pour  .
Si x = 7 alors P = 16 x 7 – 4 = 112 – 4 = 108 Pour x = 7 cm, le périmètre du rectangle EFGH est de 108cm.
2) a) Justifier que l’aire du rectangle  est     .
L’aire A d’un rectangle est la mesure de sa surface.
Pour un rectangle, on a : A = longueur x largeur = EF x EH = (5x – 7) x (3x + 5) = (3x + 5) x (5x – 7)
Remarque : Si      alors la longueur est EH et la largeur est EF et Si    alors la longueur est EF et la largeur est EH
b) Développer et réduire l’expression littérale obtenue.
A                           
L’aire A du rectangle  est  
c) Calculer cette aire pour  .
Si x = 4 alors A = 15 x 4² + 4 x 4 – 35 = 240 + 16 – 35 = 221 Pour x = 4 cm, l’aire du rectangle EFGH est de 221cm².
Autre méthode on calcule d’abord les dimensions des côtés EF = 5x4cm – 7 = 13cm et EH = 3x4cm + 5 = 17cm
Et ensuite, on calcule l’aire A = EF x EH = 13cm x 17cm = 221cm²
3) Quelle doit être la valeur de, pour que le quadrilatère  soit un carré ? Expliquer.
Pour que le quadrilatère EFGH soit un carré, il faut que ce soit un rectangle avec deux côtés consécutifs de la même
longueur. Il faut donc que EF = EH d’où l’équation 5x – 7 = 3x + 5
5x – 7 – 3x = 3x + 5 – 3x étape non obligatoire
2x – 7 = 5
2x – 7 + 7 = 5 + 7 étape non obligatoire
2x = 12
x = 12 / 2 étape non obligatoire
x = 6
Par conséquent, si x = 6cm alors le quadrilatère est un carré de côté 23cm.

16cm
12cm
cm
21 cm
Exercice 4 : des Ballons numérotés /2,5pts (à compléter sur cette feuille)
Sur les ballons ci-contre, trouver :
1) deux nombres dont le produit est égal à  :   
2) deux nombres dont la somme est égale à  :   
3) deux nombres dont le produit est égal à  :  
4) deux nombres dont la somme est égale à  :   
5) Il reste un seul ballon, quel nombre porte-t-il ?   
Exercice 5 : un QCM /3,5pts (à faire sur cette feuille)
Cet exercice est un questionnaire à choix multiples (QCM). Aucune justification n’est demandée. Pour chaque question, il faut entourer la ou
les bonne(s) réponse(s) directement sur le sujet.
Questions
Réponse A
Réponse B
Réponse C
Réponse D
1. L’inverse du nombre  est le nombre …
2. Le quotient 
 est égal à …
3. Le produit 
   est égal à …
4. La solution de l’équation      est …
5. Si l’on réduit l’expression    , on obtient …
3
3
Exercice 6 : Le bureau de Jérémy /3pts
Jérémy est perplexe…
Ses parents lui ont acheté le bureau ci-contre :
Mais, ses stylos roulent et tombent !
→ Peux-tu expliquer pourquoi ?
Si les stylos de Jérémy tombent, c’est que
l’étagère n’est pas horizontale, c’est-à-dire que
l’abatant n’est pas perpendiculaire au montant
du bureau !
Il suffit de démontrer que le triangle formé par l’abatant et le bureau et la charnière n’est pas un triangle rectangle.
On peut mathématiser la situation par le triangle ABC ci-dessus :
Le plus grand côté (la charnière) mesure 21cm
D’une part, BC² = (21cm)² = 441cm²
D’autre part, AB² + AC² = (12cm)² + ( 16cm)² = 144cm² + 256cm² = 400cm² donc BC²  AB² + AC²
L’égalité de Pythagore n’est pas vérifiée, par conséquent le triangle ABC n’est pas rectangle.
Par suite, l’abatant n’est pas perpendiculaire au montant du bureau et les stylos roulent puis tombent au sol !
Question Bonus :
Le sol de sa chambre étant horizontal, laquelle des mesures indiquées sur le schéma ci-contre, faudrait-il modifier, et comment, pour que les
stylos roulent plutôt vers l’intérieur du meuble ?
Il suffit de raccourcir la longueur de la charnière d’au moins 1cm. (Dans ce cas BC² = 400cm²)
Si BC = 20cm alors l’étagère est perpendiculaire au montant du bureau et les stylos sont stables et ne roulent pas !
Si BC 20cm alors l’étagère n’est pas perpendiculaire au montant du bureau et les stylos roulent vers l’intérieur du bureau !
2
B
A
C