Correction du Devoir Commun de Mathématiques 4ème (partie 1)

4ème
Correction du Devoir Commun de Mathématiques
Exercice 1 :
Le voilier
(partie 1)
/3pts
Un centre nautique souhaite effectuer une réparation sur une voile.
La voile a la forme du triangle 𝑃𝑀𝑊 ci-contre. On souhaite faire une
couture symbolisée par le segment [𝐶𝑇] parallèlement à (𝑀𝑊).
1) Quelle est la longueur de cette couture [𝐶𝑇] ?
Pour calculer la longueur CT, je vais utiliser la propriété de Thalès dans les triangles PTC et PWM.
Dans les triangles PTC et PWM, on a :
 Les points P, T, et C sont alignés
 Les points P, W, et M sont alignés
 Les droites (TC) et (WM) sont parallèles
D’après la propriété de Thalès, on peut écrire :
d’où
𝑃𝑇
=
𝑃𝑊
3,78𝑚
𝑇𝐶
= 3,40𝑚
4,20𝑚
𝑃𝑇
=
𝑃𝑊
𝑃𝐶
𝑇𝐶
= 𝑊𝑀
𝑃𝑀
On peut déduire que : 𝑇𝐶 =
3,40𝑚×3,78𝑚
4,20𝑚
= 3,06𝑚
La longueur de la couture [CT] mesure 3,06m.
2) La quantité de fil nécessaire est le double de la longueur de la couture.
2 × 3,06𝑚 = 6,12𝑚
6𝑚 de fil suffiront-ils ?
donc, 6𝑚 de fil ne suffiront pas !
Exercice 2 : des Monuments parisiens
/3pts
Paul, lors de sa visite de Paris, s’est aperçu que la tour Eiffel (𝑝𝑜𝑖𝑛𝑡 𝐸), l’arc de Triomphe
(𝑝𝑜𝑖𝑛𝑡 𝑇) et l’obélisque de la place de la Bastille (𝑝𝑜𝑖𝑛𝑡 𝐵) sont positionnés comme sur le plan
ci-contre :
● Le point 𝑇 appartient au cercle de diamètre [𝐵𝐸].
● On donne 𝐸𝑇 = 1,8 𝑘𝑚
et
𝐸𝐵 = 5,4 𝑘𝑚.
1) Faire une figure en représentant 1 𝑘𝑚 par 1 𝑐𝑚.
2) Démontrer que le triangle 𝐵𝐸𝑇 est rectangle.
On sait que : Le point 𝑇 appartient au cercle de diamètre [𝐵𝐸] ce qui signifie que le triangle EBT est inscrit dans le cercle de
diamètre [𝐸𝐵] et le segment [𝐵𝐸] est bien un côté du triangle EBT.
Or, si un triangle est inscrit dans un cercle, de diamètre l’un de ses cotés alors ce triangle est rectangle.
Donc le triangle EBT est rectangle en T.
Exercice 3 :
Géométrie & calcul littéral
/5pts
On considère le rectangle EFGH ci-contre :
Dans tout l’exercice, l’unité de longueur est le 𝑐𝑚 𝑒𝑡 𝑥 > 2𝑐𝑚
1) a) Exprimer le périmètre du rectangle 𝐸𝐹𝐺𝐻 en fonction de 𝑥.
P d’un rectangle est la longueur de son contour.
Pour un rectangle, on a : P = 2 x longueur + 2 x largeur = 2 x (longueur + largeur)
Le périmètre
P = 2 x (5x – 7) + 2 x (3x + 5)
ou
P = 2 x (5x – 7 + 3x + 5) = 2 (8x – 2)
b) Réduire l’expression littérale obtenue.
P = 2 x (5x – 7) + 2 x (3x + 5) = 10x – 14 + 6x + 10 = 16x – 4
Le périmètre P du rectangle 𝑬𝑭𝑮𝑯 est
ou
P = 2 x (8x – 2) = 16x – 4
16x – 4
c) Calculer ce périmètre pour 𝑥 = 7.
P = 16 x 7 – 4 = 112 – 4 = 108
Si x = 7 alors
Pour x = 7 cm, le périmètre du rectangle EFGH est de 108cm.
2) a) Justifier que l’aire du rectangle 𝐸𝐹𝐺𝐻 est (3𝑥 + 5)(5𝑥 − 7).
L’aire
A d’un rectangle est la mesure de sa surface.
Pour un rectangle, on a : A = longueur x largeur = EF x EH = (5x – 7) x (3x + 5) = (3x + 5) x (5x – 7)
Remarque : Si 2 < 𝑥 < 6 alors la longueur est EH et la largeur est EF
et
Si
𝑥 > 6 alors la longueur est EF et la largeur est EH
b) Développer et réduire l’expression littérale obtenue.
A = (3𝑥 + 5)(5𝑥 − 7) = 3𝑥 × 5𝑥 + 3𝑥 × (−7) + 5 × 5𝑥 + 5 × (−7) = 15𝑥 2 − 21𝑥 + 25𝑥 − 35 = 15𝑥 2 + 4𝑥 − 35
L’aire A du rectangle 𝑬𝑭𝑮𝑯 est 𝟏𝟓𝒙𝟐 + 𝟒𝒙 − 𝟑𝟓
c) Calculer cette aire pour 𝑥 = 4.
Si x = 4 alors
Autre méthode
A = 15 x 4² + 4 x 4 – 35 = 240 + 16 – 35 = 221
Pour x = 4 cm, l’aire du rectangle EFGH est de 221cm².
on calcule d’abord les dimensions des côtés EF = 5x4cm – 7 = 13cm
Et ensuite, on calcule l’aire
et EH = 3x4cm + 5 = 17cm
A = EF x EH = 13cm x 17cm = 221cm²
3) Quelle doit être la valeur de 𝑥, pour que le quadrilatère 𝐸𝐹𝐺𝐻 soit un carré ? Expliquer.
Pour que le quadrilatère EFGH soit un carré, il faut que ce soit un rectangle avec deux côtés consécutifs de la même
longueur. Il faut donc que EF = EH d’où l’équation 5x – 7 = 3x + 5
5x – 7 – 3x = 3x + 5 – 3x
étape non obligatoire
2x – 7 = 5
2x – 7 + 7 = 5 + 7
étape non obligatoire
2x = 12
x = 12 / 2
étape non obligatoire
x=6
Par conséquent, si x = 6cm alors le quadrilatère est un carré de côté 23cm.
Exercice 4 : des Ballons numérotés
/2,5pts
(à compléter sur cette feuille)
Sur les ballons ci-contre, trouver :
1) deux nombres dont le produit est égal à −18 : − 𝟔 𝒆𝒕 + 𝟑
2) deux nombres dont la somme est égale à +7 : − 𝟓 𝒆𝒕 + 𝟏𝟐
3) deux nombres dont le produit est égal à +20 : +𝟏𝟎 𝒆𝒕 + 𝟐
4) deux nombres dont la somme est égale à −5 :
− 𝟗 𝒆𝒕 + 𝟒
5) Il reste un seul ballon, quel nombre porte-t-il ? 𝒍𝒆 𝒏𝒐𝒎𝒃𝒓𝒆 − 𝟐
Exercice 5 :
un QCM
/3,5pts
(à faire sur cette feuille)
Cet exercice est un questionnaire à choix multiples (QCM). Aucune justification n’est demandée. Pour chaque question, il faut entourer la ou
les bonne(s) réponse(s) directement sur le sujet.
Questions
Réponse A
3. Le produit
5
2
2
3
÷
4
7
est égal à …
× 3 est égal à …
5. Si l’on réduit l’expression 2𝑥² × 3𝑥 , on obtient …
Exercice 6 : Le bureau de Jérémy
−1
1
9
−9
14
8
12
7
12
21
14
6
15
15
5
6
2
6
−1
1
−5
3
2𝑥 2 3𝑥
5𝑥 3
6𝑥 3
6𝑥²
B
Jérémy est perplexe…
Ses parents lui ont acheté le bureau ci-contre :
Mais, ses stylos roulent et tombent !
Si les stylos de Jérémy tombent, c’est que
l’étagère n’est pas horizontale, c’est-à-dire que
l’abatant n’est pas perpendiculaire au montant
du bureau !
5
3
/3pts
→ Peux-tu expliquer pourquoi ?
Réponse D
9
7,5
4. La solution de l’équation 3𝑥 + 7 = −8 est …
Réponse C
1
9
1. L’inverse du nombre −9 est le nombre …
2. Le quotient
Réponse B
2
12cm
21 cm
cm
A
16cm
Il suffit de démontrer que le triangle formé par l’abatant et le bureau et la charnière n’est pas un triangle rectangle.
On peut mathématiser la situation par le triangle ABC ci-dessus :
Le plus grand côté (la charnière) mesure 21cm
D’une part, BC² = (21cm)² = 441cm²
D’autre part, AB² + AC² = (12cm)² + ( 16cm)² = 144cm² + 256cm² = 400cm²
donc BC² ≠ AB² + AC²
L’égalité de Pythagore n’est pas vérifiée, par conséquent le triangle ABC n’est pas rectangle.
Par suite, l’abatant n’est pas perpendiculaire au montant du bureau et les stylos roulent puis tombent au sol !
Question Bonus :
Le sol de sa chambre étant horizontal, laquelle des mesures indiquées sur le schéma ci-contre, faudrait-il modifier, et comment, pour que les
stylos roulent plutôt vers l’intérieur du meuble ?
Il suffit de raccourcir la longueur de la charnière d’au moins 1cm. (Dans ce cas BC² = 400cm²)
Si BC = 20cm alors l’étagère est perpendiculaire au montant du bureau et les stylos sont stables et ne roulent pas !
Si BC >20cm alors l’étagère n’est pas perpendiculaire au montant du bureau et les stylos roulent vers l’intérieur du bureau !
C