NON, ET, OU

Source : Manuel de spécialité ISN par Gilles Dowek et son équipe, éditions Eyrolles
AM3 Transistors, portes booléennes
Au commencement était le transist or, puis nous cré âmes les por tes booléennes, et à l a fin de la journée, les ordinate urs.
1. Fonctions booléennes
a. Type booléen
Un booléen en logique et en programmation informatique est un type de variable à deux états :
 VRAI (représenté par 1 en langage machine)
 ou FAUX (représenté par 0 en langage machine)
Une fonction booléenne est une fonction qui associe un booléen (0 ou 1) à un ou plusieurs booléens.
Elle peut s’exprimer de façon symbolique, par exemple : 
Testez les exemples ci-contre dans le Shell Python
b. Fonctions booléennes de base: NON, ET, OU (NOT, AND, OR)
En-dehors de leur expression symbolique, les fonctions booléennes se représentent aussi par une
table, parfois appelée « table de vérité ».
Remarque :
Le « ou » est un « ou inclusif » et non exclusif. Il est
vrai également si x et y sont vrais tous les deux.
« Je viendrai si je trouve un bus ou un taxi »
(inclusif)
Et non :
« Choisis entre la mer ou la montagne !» (exclusif)

Source : Manuel de spécialité ISN par Gilles Dowek et son équipe, éditions Eyrolles
c. Autres fonctions booléennes
Théorème : on peut exprimer de façon symbolique n’importe quelle fonction booléenne avec les
seules fonctions « et », « ou », « non »
Exemple : on définit une fonction booléenne nommé multiplexeur (mux) par :
Compléter la table de vérité de
cette fonction :
x
y
z
mux(x,y,z)
0
0
0
0
0
1
x
y
z
non(x)
non(x) et y
x et z
mux(x,y,z)
0
0
0
0
0
1
Exercice :
Déterminer les quatre fonctions booléennes de  dans . Les exprimer chacune avec les
fonctions booléennes « de base » NON, ET, OU.
Prouver en comparant les tables de vérité
(voir ci-dessous)
que l’expression symbolique de la fonction mux est :

Source : Manuel de spécialité ISN par Gilles Dowek et son équipe, éditions Eyrolles
Exemple : trouver une expression symbolique pour la fonction « ou exclusif » (OUX / XOR)
On commence par construire la
table de vérité de cette fonction :
x
y
0
0
0
1
1
0
1
1
On remarque alors (c’est l’étape-clef de l’exercice, la moins évidente, mais ce sera la même à chaque fois…) que
En effet :
 si   , alors     
 si   , alors     
Dans tous les cas (que    ou que   ), on a donc bien  
Or, on a prouvé que la fonction mux s’écrivait : 
On en déduit donc que 
Si l’on regarde d’un peu plus près les fonctions g et g’ (en faisant leur table de vérité), on voit
qu’elles s’expriment elles-mêmes comme des fonctions simples :
Table de vérité de g Table de vérité de
g’
On constate que g est la fonction ……………………….. alors que g’ est la fonction ………………………..
Finalement, on peut donc écrire l’expression de OUX uniquement avec ET, NON, OU :
On construit ensuite les fonctions g et g’ :
Par définition de la fonction « mux »
x
g(x)
0
1
x
g’(x)
0
1

Source : Manuel de spécialité ISN par Gilles Dowek et son équipe, éditions Eyrolles
d. Fonctions booléennes avec NON et OU
On a vu qu’il était possible d’exprimer toutes les fonctions booléennes avec les trois fonctions de
base ET, OU, NON.
En réalité, il est même possible de se passer de la fonction ET : les fonctions de base NON et OU
suffisent !
Pour le démontrer, il suffit d’exprimer la fonction ET comme combinaison des deux autres.
Exercice : prouver en comparant les tables de vérité que   
Remarque : on peut également utiliser seulement les fonctions ET et NON , car la fonction OU peut
s’exprimer en fonction de ces deux-là.
Un peu de culture...
George Boole, mathématicien anglais, a utilisé pour la première fois en 1850 une algèbre à 2
éléments pour l’étude de la logique mathématique. Il a défini une algèbre (i.e. un ensemble muni
d’opérations : +, x, ….) permettant de modéliser les raisonnements sur les propositions vraies ou
fausses.
Etudiée après Boole par de nombreux mathématiciens, l’Algèbre de Boole a trouvé par la suite de
nombreux champs d’application : réseaux de commutation, théorie des probabilités, recherche
opérationnelle (étude des alternatives).
Aujourd’hui, les ordinateurs sont composés de transistors électroniques fonctionnant sur 2 modes :
bloqué ou passant. Ils utilisent une arithmétique binaire. L’algèbre de Boole constitue un des
principaux fondements théoriques pour leur conception et leur utilisation. Les circuits sont des
implémentations matérielles de fonctions booléennes.
Nous allons voir à présent de quoi sont faits les ordinateurs à l’échelle microscopique : ce qu’est un
transistor électronique, et comment on construit « physiquement « des circuits ET, NON et OU,
permettant ainsi de construire des circuits pour n’importe quelle fonction booléenne.

Source : Manuel de spécialité ISN par Gilles Dowek et son équipe, éditions Eyrolles
2. Transistors
A l’échelle la plus petite, un ordinateur est un assemblage de transistors.
Définition : un transistor est un circuit électronique à trois fils (drain, source et grille). La résistance
entre le drain et la source varie en fonction de la tension appliquée entre la grille et la source ;
 Quand cette tension est inférieure à un certain seuil, la résistance est très grande : le
transistor est dit bloqué
 Quand cette tension est supérieure au seuil, la résistance est très petite : le transistor est dit
passant.
a. Circuit « NON »
SCHEMA 1 SCHEMA 2 SCHEMA 3
Le schéma 1 présente un circuit constitué d’un transistor, d’un générateur délivrant une tension supérieure
au seuil du transistor, et d’une résistance.
 Quand le transistor est bloqué, le circuit est équivalent à celui du schéma 2.
 Quand le transistor est passant, le circuit est équivalent à celui du schéma 3.
 (entrée)
Bit d’entrée
Etat transistor
 (sortie)
Bit de sortie
« faible »
(inférieure au seuil)
0
Bloqué
(schéma 2)
« forte »
(supérieure au seuil)
1
Passant
(schéma 3)
Ce circuit permet donc de simuler une fonction booléenne : la fonction « non ».
b. Circuit « OU »
Le circuit OU est construit sur le même principe, mais
avec deux entrées A et B :
On va étudier le comportement de ce
circuit en fonctions des valeurs d’entrées
A et B. Le but est de compléter la table :
Entrée A
Entrée B
Sortie
0
0
0
1
1
0
1
1
… pour démontrer qu’en sortie, on a bien
la valeur de « A ou B »