Une hypersurface admettant une normale unitaire lisse est orientée. On note V ⊂ Rn une hypersurface lisse et N : V → Sn−1 la normale unitaire lisse dont on suppose l'existence. H d'un espace vectoriel orienté E et H , il existe une unique orientation O de H pour laquelle une base (b1 , . . . , bn−1 ) de H est orientée si et seulement si (b1 , . . . , bn−1 , v) est une base orientée de E . On dit alors que l'orientation de H est induite par v et l'orientation de E . En tout point x de V , la normale N (x) et l'orientation canonique de Rn (celle pour laquelle la base canonnique est orientée) induisent donc une orientation Ox sur l'espace tangent Tx V . On veut montrer que la famille d'orientations (Ox )x∈V est continue c'est à dire qu'il existe au voisinage de chaque point de V une carte, qui en tout point y de son domaine, envoie Oy n−1 sur l'orientation canonique de R . n−1 Soient donc x un point de V et φ : U → R une carte quelconque de V dénie au voisinage de x. Si jamais Dx φ n'envoie pas l'orientation Ox sur l'orientation canonique, on remplace φ par L ◦ φ où L est un endomorphisme n−1 de R qui inverse l'orientation. Dans tous les cas il existe une carte, encore notée φ, telle que Dx φ préserve l'orientation. Montrons qu'alors Dy φ préserve l'orientation pour tout y dans un voisinage de x. Rappel : Etant donnés un hyperplan un vecteur v n'appartenant pas à Nous allons pour cela utiliser le fait suivant, qui résulte de la continuité du déterminant : Si B est une base d'un espace vectoriel de dimension nie orienté, toute base susament proche de B a la même orientation que B . En B dans elle-même vaut 1, donc le déterminant d'une base proche de B dans B est proche de 1 et donc est positif. Soit (b1 (x), . . . , bn−1 (x)) une base orientée de Tx V . Par hypothèse, la fan−1 mille (Dx φ(b1 (x)), . . . , Dx φ(bn−1 (x))) est une base orientée de R . Pour −1 tout y dans un voisinage de x, posons pour cela bi (y) := Dy φ Dx φ(bi (x)), pour tout 1 6 i 6 n − 1. La famille (b1 (y), . . . , bn−1 (y)) est une base de Ty V . Par dénition de O(x), le fait que (b1 (x), . . . , bn−1 (x)) est orientée signie que (b1 (x), . . . , bn−1 (x), N (x)) est orientée dans Rn . Mais pour y proche de x, la base (b1 (y), . . . , bn−1 (y), N (y)) est proche de la base (b1 (x), . . . , bn−1 (x), N (x)), n donc est orientée dans R . Cela signie donc que (b1 (y), . . . , bn−1 (y)) est orientée pour Oy . On peut à présent conclure : pour tout y dans un voisinage de x, Dy φ envoie la base (b1 (y), . . . , bn−1 (y)) sur (Dx φ(b1 (x)), . . . , Dx φ(bn−1 (x))) qui est n−1 orientée dans R . Par conséquent, pour tout y dans un voisinage de x, Dy φ n−1 envoie Oy sur l'orientation canonique de R . eet, le déterminant de 1