TD-PT4 : Fluides en écoulement - PCSI

Chapitre PT4: Fluides en écoulement Cours
TD-PT4 : Fluides en écoulement
Révisions de cours :
Définiruneparticuledefluidecommeunsystèmemésoscopiquedemasseconstante.
Décrirelechampeulériendesvitessesparoppositionàladescriptionlagrangienne.
Citerlesordresdegrandeurdesmassevolumiquesdel’eauetdel’airdanslesconditionsusuelles.
Définirlevecteurdensitédecourantdemasse.
Définirledébitmassiqueàtraversunesurfaceorientéeetl’écrirecommelefluxduvecteurdensité
decourantdemasse
Ecrireetétablirleséquationsbilansglobalesetlocale(généralisée)traduisantlaconservation
delamasse.
Définirunécoulementstationnaire.
Définirleslignesdecourantettubesdecourantdemasse.
Exploiterlaconservationdudébitmassiqueenécoulementstationnaire.
Décrirequalitativementlechampdesaccélérationsàpartird’unecartedechampdesvitessesen
régimestationnaire.
Définirunécoulementincompressibleethomogèneetreliercettepropriétéàlaconservationdu
volumepourunsystèmefermé.
Définirledébitvolumiqueetl’écrirecommelefluxduvecteurvitesseàtraversunesurfaceorientée.
Justifierlaconservationdudébitvolumiquelelongd’untubedecourantindéformable.
Définirlaforcedepressionsurfaciqueetécrirel’équivalentvolumiquedesactionsdepression.
Statiquedesfluides:exprimerl’évolutiondelapressionavecl’altitudedanslescasd’unfluide
incompressibleetdel’atmosphèreisothermedanslemodèledugazparfait.
Donnerl’expressiondelaforcesurfaciquedeviscosité(larelierauprofildevitessedanslecas
d’unécoulementparallèle).
Exprimerladimensionducoefficientdeviscositédynamiqueetciterl’ordredegrandeurdela
viscositédel’eau.
Citerlaconditiond’adhérenceàl’interfacefluide-solide.
Décrirelesdifférentsrégimesd’écoulement:laminaireetturbulent.
Définirlavitessedébitante.
Décrirequalitativementlesdeuxmodesdetransfertdesuantitédemouvement:convectionet
diffusion.
DéfinirlenombredeReynoldsetl’interprétercommelerapportd’untempscaractéristiquede
diffusionsuruntempscaractéristiquedeconvection.
EvaluerlenombredeReynoldsetl’utiliserpourcaractériserunécoulement.
Danslecasd’unécoulementàfaiblenombredeReynolds,établirlaloideHagen-Poiseuilleet
endéduirelarésistancehydraulique.
ExploiterlegraphedelachutedepressionenenfonctiondeRepourunrégimed’écoulement
quelconque.
Exploiterunparamétrageadimensionnépermettantdetransposerdesrésultatsexpérimentauxou
numériquessurdesystèmessimilairesréalisésàdeséchellesdifférentes.
Associer une gamme de nombre de Reynolds à un modèle de traînée liénaire ou un modèle
quadratiquepourunesphèresolideenmouvementrectiligneuniforme.
Décrire qualitativement la notion de couche limite pour les écoulements à grand nombre de
Reynolds.
Définiretorienterlesforcesdeportanceetdetraînéed’uneailed’avion(àgrandRe).
ExploiterlesgraphesdeCxetCzenfonctiondel’angled’incidence.
1PSI, lycée de l’Essouriau, 2014/2015

Chapitre PT4: Fluides en écoulement Cours
1 Ecoulement dans un tuyau
Onconsidèreuntuyauindéformabledanslequels’écouleungaz.L’écoulementeststationnaire,incompres-
sibleethomogène.Onconsidèreleprofildevitesseuniformedansunesectiondutube(onnégligelaviscosité),
leproblèmeesttraitédemanièreunidimensionnel:~ v=v(x)~ ux.
1. Montrerquelechampdevitesseestuniformedanstoutletuyau.
2. Calculerlavitessed’écoulementd’ungazdansuntuyaucylindriquesi510gdecegazs’écoulentpar
demi-heureàtraversunesectiondutuyau.Lediamètredutuyauestde2,0cm etlamassevolumiquedu
gazestde7,5kg.m−3.
3. Letuyausubitunélargissementetlanouvellesectionaundiamètrede5,0cm.Calculerlavitessedu
gazdanslasectionélargie.
2 Tube parabolique
Unfluideestenécoulementstationnaire dansuneportiondetubeàprofilparabolique:(Oz)étantaxede
symétrie,lerayondelasectiondutubeestdonnéparl’équationsuivante:
R(z)=apour z < 0
R(z)= a+z2
b!pour z > 0
Figure1: Lignes de courant de l’écoulement stationnaire dans le tube parabolique
L’écoulementestincompressiblehomogèneetlacomposanteaxialevzdelavitesseestsupposéeuniforme
surunesectiondroite(z < 0etz > 0)etnedépendquedez.Onnoterav0lavitesseenO.
1. Représenterlechampdesaccélérationsàpartirdelacartedeslignesdecourant.
2. Montrerquelavitesseaxialeestdonnéepourz > 0par:
vz(z)= v0
1+ z2
ab!2
3. Montrerquelavitesseradialeestdonnéepar:
vr(r, z)= 2rzv0
ab 1+ z2
ab!3
Données :opérateursencoordonnéescylindriques,agissantsurunvecteur−→ aquelconque:
div−→ a(r, θ, z)=1
r
∂(rar)
∂r +1 r
∂aθ
∂θ +∂az ∂z
4. Onconsidèreuneparticuledefluidequi,pourz < 0,alaformereprésentéesurleschémaprécédent.
Quepeut-ondiredesonvolumelorsdel’écoulement?Décrirequalitativementl’évolutiondecetélément
defluide.
2PSI, lycée de l’Essouriau, 2014/2015

Chapitre PT4: Fluides en écoulement Cours
3 Ecoulement d’un fluide visqueux le long d’un plan incliné
Unfluide,demassevolumiqueµ,deviscositéηf,estenécoulementincompressibleetstationnairelelong
d’unplaninclinéd’unangleαparrapportàl’horizontale.Onsupposequelechampdesvitessesestdela
forme: −→
v=v(x, y)−→ ux
1. Montrerquelechampdesvitessesnedépendquedeyets’écritsouslaforme:
−→
v=v(y)−→ ux
2. Tracer les lignes de champs du champ des vitesses sous le pavé et justifier que l’accélération d’une
particuledufluideestnulle.
3. Faireunbilandesforcesquis’appliquentsuruneparticuledefluide.
4. ExprimerlapressionPenfonctiondey,h,α,µetg.
5. Exprimerlavitessev(y)enfonctiondey,α,µ,ηetgetdeuxconstantesd’intégration.Comments’écritla
conditionauxlimiteseny=0?Endéduirelavaleurd’unedesdeuxconstantesd’intégration.
6. Soituneparticuledefluideencontactavecl’aireny=h.Faireunbilandesforcesquis’appliquentsur
cetteparticuleetenremarquantqueηair << ηf,endéduireuneconditionauxlimiteseny=hlorsque
l’onfaittendresonépaisseurvers0.
7. Endéduirelechampdesvitesses: v(y)=µg sinαy
2ηf(4h−y)
8. Calculerlavitessedébitanteàtraversunesectiondelargeur`.
9. ComparerlenombredeReynoldsdecetécoulementpourl’eauetpourl’huile.Dansquelcaslemodèle
d’écoulementchoisiiciest-iladapté?Justifier.ηhuile =1Pl,µh≈µeau,h=1mmetα=30˚.
4 Pluie et brouillard
Déterminerlavitesselimiteatteintedansl’airpar:
1. unegouttelettesphériquedebrouillardde25µm dediamètre
2. unegouttedepluiesphériquede2.5mm dediamètre
Onferaunehypothèsequantàl’expressiondelaforcedetraînéeutilisée,etonvaliderasonexpressionà
lavuedurésultatobtenu.Ondonne:µair =1.3kg.m−3,ηair =2.10−5Pl,µeau =103kg.m−3,ηeau =10−3Pl
etCx(sphere)=0.4.
3PSI, lycée de l’Essouriau, 2014/2015

Chapitre PT4: Fluides en écoulement Cours
5 Résolution de problème : chute de pression dans un fluide
Déterminerledébitvolumiquedansletubedelaphotoci-dessousdanslequels’écouledel’eaudemanière
stationnaire.
Onsupposeraquesuivantlaverticalelefluidesecomportecommes’ilétaitenrégimestatique.
La réponse à cette question nécessite de l’initiative. Le candidat est invité à consigner ses pistes de recherche,
à y consacrer un temps suffisant. La qualité de la démarche choisie et son explicitation seront évaluées tout
autant que le résultat final.
4PSI, lycée de l’Essouriau, 2014/2015

Chapitre PT4: Fluides en écoulement Cours
6 Propulsion d’un char à voile
Onconsidèreuncharàvoilesedéplaçantenlignedroitedansunedirectionorthogonaleauvent.Sonmata
unelongueurL1=4m.LavoileaunelongueurdecordeL2=2,1mdetellesortequesasurfacesoitS=L1L2.
Lavoilesuitlescaractéristiquesd’unprofildetypeNACA4412(voirci-dessous).L’airaunemassevolumique
µ=1,20kg.m−3etuneviscositéη=1,8.10−5P`.Leventestconstantetdevitesse
−→
vvent =60km.h−1
.
Lepiloterèglelavoiledetellesortequeα1=50˚(voirschéma).Lecharavancealorsàvitesseconstante
−→
v=40km.h−1suivantl’axe(Ox).
1. Montrerquedanscesconditionslaforcedetraînéequis’exercesurlavoileestnégligeabledevantla
forcedeportance.Ongarderacetteapproximationdanslasuite.
2. L’ensembledesactionsmécaniquesquis’opposentaumouvement(trâinéeaérodynamique,frottementsdans
lesessieux...)estmodéliséparuneforcedelaforme−→ Fresist =−K v2−→ ux.CalculernumériquementK.
3. Lepilotepeutréglerlavoileenlabordant ouenlachoquant.Enfaisantl’hypothèsequelavitessene
changepasd’unfacteur10,préciserlavaleurdel’angled’incidencei’quioptimiselaforcedeportance.
Onappelleα0
1lenouvelangleentreleventetl’axeduchar.
4. Avecleréglageprécédent,calculerlanouvellevitessev0puisl’angleα0
1.CalculerlenombredeReynolds
associéàcenouvelécoulementd’airetvérifierl’hypothèsedelaquestionprécédente.
5PSI, lycée de l’Essouriau, 2014/2015