TD-PT4 : Fluides en écoulement - PCSI

Chapitre PT4: Fluides en écoulement
Cours
TD-PT4 : Fluides en écoulement
Révisions de cours :
Définir une particule de fluide comme un système mésoscopique de masse constante.
Décrire le champ eulérien des vitesses par opposition à la description lagrangienne.
Citer les ordres de grandeur des masse volumiques de l’eau et d el’air dans les conditions usuelles.
Définir le vecteur densité de courant de masse.
Définir le débit massique à travers une surface orientée et l’écrire comme le flux du vecteur densité
de courant de masse
Ecrire et établir les équations bilans globales et locale (généralisée) traduisant la conservation
de la masse.
Définir un écoulement stationnaire.
Définir les lignes de courant et tubes de courant de masse.
Exploiter la conservation du débit massique en écoulement stationnaire.
Décrire qualitativement le champ des accélérations à partir d’une carte de champ des vitesses en
régime stationnaire.
Définir un écoulement incompressible et homogène et relier cette propriété à la conservation du
volume pour un système fermé.
Définir le débit volumique et l’écrire comme le flux du vecteur vitesse à travers une surface orientée.
Justifier la conservation du débit volumique le long d’un tube de courant indéformable.
Définir la force de pression surfacique et écrire l’équivalent volumique des actions de pression.
Statique des fluides : exprimer l’évolution de la pression avec l’altitude dans les cas d’un fluide
incompressible et de l’atmosphère isotherme dans le modèle du gaz parfait.
Donner l’expression de la force surfacique de viscosité (la relier au profil de vitesse dans le cas
d’un écoulement parallèle).
Exprimer la dimension du coefficient de viscosité dynamique et citer l’ordre de grandeur de la
viscosité de l’eau.
Citer la condition d’adhérence à l’interface fluide-solide.
Décrire les différents régimes d’écoulement : laminaire et turbulent.
Définir la vitesse débitante.
Décrire qualitativement les deux modes de transfert de suantité de mouvement : convection et
diffusion.
Définir le nombre de Reynolds et l’interpréter comme le rapport d’un temps caractéristique de
diffusion sur un temps caractéristique de convection.
Evaluer le nombre de Reynolds et l’utiliser pour caractériser un écoulement.
Dans le cas d’un écoulement à faible nombre de Reynolds, établir la loi de Hagen-Poiseuille et
en déduire la résistance hydraulique.
Exploiter le graphe de la chute de pression en en fonction de Re pour un régime d’écoulement
quelconque.
Exploiter un paramétrage adimensionné permettant de transposer des résultats expérimentaux ou
numériques sur de systèmes similaires réalisés à des échelles différentes.
Associer une gamme de nombre de Reynolds à un modèle de traînée liénaire ou un modèle
quadratique pour une sphère solide en mouvement rectiligne uniforme.
Décrire qualitativement la notion de couche limite pour les écoulements à grand nombre de
Reynolds.
Définir et orienter les forces de portance et de traînée d’une aile d’avion (à grand Re).
Exploiter les graphes de Cx et Cz en fonction de l’angle d’incidence.
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PSI, lycée de l’Essouriau, 2014/2015
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Cours
Ecoulement dans un tuyau
On considère un tuyau indéformable dans lequel s’écoule un gaz. L’écoulement est stationnaire, incompressible et homogène. On considère le profil de vitesse uniforme dans une section du tube (on néglige la viscosité),
le problème est traité de manière unidimensionnel : ~v = v(x)~
ux .
1. Montrer que le champ de vitesse est uniforme dans tout le tuyau.
2. Calculer la vitesse d’écoulement d’un gaz dans un tuyau cylindrique si 510g de ce gaz s’écoulent par
demi-heure à travers une section du tuyau. Le diamètre du tuyau est de 2, 0cm et la masse volumique du
gaz est de 7, 5 kg.m−3 .
3. Le tuyau subit un élargissement et la nouvelle section a un diamètre de 5, 0cm. Calculer la vitesse du
gaz dans la section élargie.
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Tube parabolique
Un fluide est en écoulement stationnaire dans une portion de tube à profil parabolique : (Oz) étant axe de
symétrie, le rayon de la section du tube est donné par l’équation suivante :

pour

R (z) = a
! z<0
2
z

pour z > 0
R (z) = a + b
Figure 1: Lignes de courant de l’écoulement stationnaire dans le tube parabolique
L’écoulement est incompressible homogène et la composante axiale vz de la vitesse est supposée uniforme
sur une section droite (z < 0 et z > 0) et ne dépend que de z. On notera v0 la vitesse en O.
1. Représenter le champ des accélérations à partir de la carte des lignes de courant.
2. Montrer que la vitesse axiale est donnée pour z > 0 par :
v0
vz (z) =
!2
z2
1+
ab
3. Montrer que la vitesse radiale est donnée par :
2rzv0
vr (r, z) =
z2
ab 1 +
ab
!3
−
Données : opérateurs en coordonnées cylindriques, agissant sur un vecteur →
a quelconque :
1 ∂(rar ) 1 ∂aθ ∂az
−
div →
a (r, θ, z) =
+
+
r ∂r
r ∂θ
∂z
4. On considère une particule de fluide qui, pour z < 0, a la forme représentée sur le schéma précédent.
Que peut-on dire de son volume lors de l’écoulement ? Décrire qualitativement l’évolution de cet élément
de fluide.
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Ecoulement d’un fluide visqueux le long d’un plan incliné
Un fluide, de masse volumique µ, de viscosité ηf , est en écoulement incompressible et stationnaire le long
d’un plan incliné d’un angle α par rapport à l’horizontale. On suppose que le champ des vitesses est de la
forme :
→
−
→
v = v(x, y)−
ux
1. Montrer que le champ des vitesses ne dépend que de y et s’écrit sous la forme :
−
→
→
v = v(y)−
ux
2. Tracer les lignes de champs du champ des vitesses sous le pavé et justifier que l’accélération d’une
particule du fluide est nulle.
3. Faire un bilan des forces qui s’appliquent sur une particule de fluide.
4. Exprimer la pression P en fonction de y, h, α, µ et g.
5. Exprimer la vitesse v(y) en fonction de y, α, µ, η et g et deux constantes d’intégration. Comment s’écrit la
condition aux limites en y=0 ? En déduire la valeur d’une des deux constantes d’intégration.
6. Soit une particule de fluide en contact avec l’air en y=h. Faire un bilan des forces qui s’appliquent sur
cette particule et en remarquant que ηa ir << ηf , en déduire une condition aux limites en y=h lorsque
l’on fait tendre son épaisseur vers 0.
7. En déduire le champ des vitesses :
v(y) =
µg sin αy
(4h − y)
2ηf
8. Calculer la vitesse débitante à travers une section de largeur `.
9. Comparer le nombre de Reynolds de cet écoulement pour l’eau et pour l’huile. Dans quel cas le modèle
d’écoulement choisi ici est-il adapté ? Justifier. ηhuile = 1Pl, µh ≈ µeau , h=1mm et α = 30˚.
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Pluie et brouillard
Déterminer la vitesse limite atteinte dans l’air par :
1. une gouttelette sphérique de brouillard de 25µm de diamètre
2. une goutte de pluie sphérique de 2.5mm de diamètre
On fera une hypothèse quant à l’expression de la force de traînée utilisée, et on validera son expression à
la vue du résultat obtenu. On donne : µair = 1.3kg.m−3 , ηair = 2.10−5 Pl, µeau = 103 kg.m−3 , ηeau = 10−3 Pl
et Cx (sphere) = 0.4.
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Cours
Résolution de problème : chute de pression dans un fluide
Déterminer le débit volumique dans le tube de la photo ci-dessous dans lequel s’écoule de l’eau de manière
stationnaire.
On supposera que suivant la verticale le fluide se comporte comme s’il était en régime statique.
La réponse à cette question nécessite de l’initiative. Le candidat est invité à consigner ses pistes de recherche,
à y consacrer un temps suffisant. La qualité de la démarche choisie et son explicitation seront évaluées tout
autant que le résultat final.
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Cours
Propulsion d’un char à voile
On considère un char à voile se déplaçant en ligne droite dan sune direction orthogonale au vent. Son mat a
une longueur L1 = 4m. La voile a une longueur de corde L2 = 2, 1m de telle sorte que sa surface soit S = L1 L2 .
La voile suit les caractéristiques d’un profil de type NACA4412 (voir ci-dessous). L’air a une masse volumique
→
µ = 1, 20kg.m−3 et une viscosité η = 1, 8.10−5 P`. Le vent est constant et de vitesse −
v vent = 60km.h−1 .
Le pilote règle la voile de telle sorte que α1 = 50˚ (voir schéma). Le char avance alors à vitesse constante
−
→
v = 40km.h−1 suivant l’axe (Ox).
1. Montrer que dans ces conditions la force de traînée qui s’exerce sur la voile est négligeable devant la
force de portance. On gardera cette approximation dans la suite.
2. L’ensemble des actions mécaniques qui s’opposent au mouvement (trâinée aérodynamique, frottements dans
→
−
→
les essieux . . .) est modélisé par une force de la forme F resist = −K v 2 −
u x . Calculer numériquement K.
3. Le pilote peut régler la voile en la bordant ou en la choquant. En faisant l’hypothèse que la vitesse ne
change pas d’un facteur 10, préciser la valeur de l’angle d’incidence i’ qui optimise la force de portance.
On appelle α10 le nouvel angle entre le vent et l’axe du char.
4. Avec le réglage précédent, calculer la nouvelle vitesse v 0 puis l’angle α10 . Calculer le nombre de Reynolds
associé à ce nouvel écoulement d’air et vérifier l’hypothèse de la question précédente.
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