Résumé de cours - Page Personnelle de Pierre R. Marcoux

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Electromagnétisme1
2002-2003
La mécanique générale nous a conduit à comprendre les lois générales qui régissent les mouvements des corps. L’interaction gravitationnelle a été largement utilisée pour décrire la
dynamique des corps à la surface de la terre, i.e. pour analyser les causes des mouvements
observés.
Cette partie du cours de physique générale a pour objectif d’étudier l’interaction électromagnétique, particulièrement importante dans notre vie quotidienne et à la base de nombreuses applications dans différents domaines de l’ingénieur. La plupart des phénomènes que nous
observons, y compris les processus chimiques et biologiques, sont le résultat d’interactions
électromagnétiques entre atomes et molécules.
De même que le champ de gravitation a été introduit en mécanique générale, le concept de
champ sera à nouveau introduit pour décrire l’interaction électromagnétique. Deux champs
(électrique et magnétique) seront utilisés pour étudier l’interaction électromagnétique, bien
que ces deux champs ne soient pas indépendants !
Contenu du chapitre2
1. Introduction
2. Phénoménologie générale
3. Electrostatique
4. Champ électrique et conducteurs
5. Champ électrique dans la matière diélectrique
6. Courants électriques stationnaires
7. Magnétostatique
8. Aimantation de la matière
9. Induction électromagnétique
10. Circuits électriques en régime non-stationnaire
11. Equations de Maxwell
12. Annexes
13. Ouvrages de références
1. Introduction
Depuis Newton (1665), on sait que les corps matériels s’attirent selon une loi qui affirme que
la force d’attraction entre deux masses est proportionnelle au produit de ces masses et à
l’inverse du carré de la distance séparant les centres de masses: figure 1.
êr
P F
r
m2
m1
Figure 1
L’effet de la masse m1 sur la masse m2 s’écrit:
1. Résumé du cours du Professeur J.-J. Meister, Section de Physique EPFL.
2. Les ondes électromagnétiques sont traitées dans le chapitre "ondes".
-2-
m1 m2
*
F = – G -------------ê r = m 2 g
2
r
(1)
g* est appelé champ de gravitation provoqué par m1. Lorsqu’une masse m2 est présente en un
point P quelconque de l’espace, elle subit une force F = m2g*. Réciproquement, m2 provoque
en tout point de l’espace un champ de gravitation valant (-Gm2/r2) ê r , r ayant cette fois pour
origine m2. G est la constante d’attraction universelle qui vaut 6,67.10-11m3kg-1s-2.
En 1775 Coulomb proposait une loi analogue concernant la force d’attraction ou de répulsion
entre deux “charges” électriques. Il y a cependant les différence suivantes:
• Deux sortes de “charges” existent, appelées charges positives et charges négatives. Deux
charges de signe contraire s’attirent et deux charges de même signe se repoussent (en gravitation, seule l’attraction intervient).
• Les charges sont portées par de la matière (atomes et molécules).
• La matière est composée microscopiquement de charges “élémentaires” appelées protons et
électrons.
• Les forces électrique sont environ 1043 fois plus intenses que les forces de gravitation (cas
des électrons). Il est par conséquent essentiel que le mélange de charges positives et négatives soit parfait dans la matière, faute de quoi des forces fantastiques seraient observées.
Les corps matériels sont dits neutres.
Les forces de liaison de la matière, qui empêchent un atome d’éclater et qui assurent les liaisons interatomiques ou intermoléculaires, sont des forces électriques. Elles agissent dans des
régions où l’équilibre des charges n’est pas parfait sur de faibles distances. On comprend pourquoi les forces de liaison dans la matière sont si grandes.
La découverte de la charge, du courant électrique et de leurs effets a constitué l’un des grands
succès de la méthode expérimentale à ses débuts. L’existence de forces électriques et magnétiques a été montrée à l’échelle macroscopique par des expériences simples qui ont conduit
rapidement à des résultats quantitatifs.
En 1867 Maxwell énonçait les lois de l’électromagnétisme qui portent son nom. Ces lois restent l’un des plus grand achèvement de la pensée scientifique.
L’électromagnétisme n’est pas seulement un édifice intellectuel mais il a modifié considérablement notre mode de vie. Dans le monde industrialisé où nous vivons, les applications sont
partout présentes: moteurs, éclairages, T.V, télécommunications, calculateur électronique, photocopie, etc...
-3-
2. Phénoménologie générale
2.1 Faits expérimentaux
Les quelques observations et mesures caractéristique décrites à la figure 2 contiennent une partie importante des éléments nécessaires à l’ébauche d’une phénoménologie dans le cas stationnaire (phénomènes indépendants du temps).
Expérience de Coulomb
i
Expérience d’Ampère
i
i
i
Expérience de Faraday
Expérience d’Oersted
i
i
N
F
S
Figure 2
D’après l’expérience de Coulomb, il existe des charges q qui, lorsqu’elles sont au repos, subissent et exercent des forces sur des autres charges selon la loi de Coulomb:
q1 q2
F ∝ ---------- ; qi >0 ou <0
2
r
(2)
Ces forces sont du type électrique. Si les charges sont en mouvement, les forces dépendent
aussi du mouvement: cette nouvelle contribution est appelée magnétisme. Les forces magnétiques sont cependant beaucoup plus faibles que les forces électriques et ne peuvent être mises
en évidence que dans le cas où ces dernières s’annulent dû à la neutralité des systèmes. Ainsi
dans l’expérience d’Ampère, les fils sont neutres. On peut vérifier que deux électrons placés
dans des conditions analogues à celles de l’expérience d’Ampère (même distance et même vit-
-4esse d’environ 10-2 cm/s) subissent une force magnétique valant environ 10-25 fois la force
électrique. Oersted montra qu’un courant électrique (courant de charges) fait dévier une aiguille aimantée, et Faraday observa l’effet inverse, i.e. un courant électrique placé dans un champ
magnétique subit une force.
Les résultats expérimentaux ont montré que la force agissant sur une charge q donnée, quel que
soit le nombre des autres charges dans l’univers et leur mouvement, ne dépend que de la position de la charge donnée, de sa vitesse v et de la valeur de la charge. L’effet des autres charges
de l’univers au point considéré est donné par deux vecteurs représentant le champ électrique E
et le champ d’induction magnétique B.
F = q( E + v ∧ B)
(3)
On constate que cette force dépend du référentiel d’observation puisque v est la vitesse de la
charge q par rapport à ce référentiel. En particulier pour un référentiel lié à q, il n’y a pas de
contribution magnétique. La quantité de charge q est un invariant (ne dépend pas du référentiel), contrairement à la masse.
Les résultats obtenus dans le cas stationnaire ont été généralisés au cas non stationnaire grâce
aux observations de Faraday et Henry concernant la force électromotrice produite par une variation de flux magnétique: figure 3.
A
N
S
Figure 3
Lorsqu’on déplace l’aimant, on observe un courant électrique dans le circuit. Il est établi que
pour des phénomènes variables dans le temps il existe une dépendance entre les grandeurs
électriques et les grandeurs magnétiques.
2.2 Charges électriques
Les expériences faites sur des charges établissent les faits suivants:
• La charge est toujours un multiple entier positif ou négatif d’une charge élémentaire |e|
(quantification de la charge):
e = 1, 6 ⋅ 10
– 19
[C] = [As]
(4)
L’unité de la charge est le Coulomb, qui vaut 1 ampère seconde.
Ce fait a été établi pour la première fois par Millikan (~1910) en étudiant au microscope le
mouvement de très petites gouttelettes d’huile dans l’air soumises à l’action d’un champ électrique.
Le résultat de cette expérience assez primitive a été confirmé avec éclat par la physique atom-
-5ique, la physique nucléaire et l’étude des particules élémentaires. On trouve en effet que toute
les particules élémentaires connues à ce jour ont une charge +|e|, -|e| ou 0, (-|e| étant la charge
de l’électron).
•
La charge se conserve
On peut vérifier cette propriété par des observations macroscopiques, par exemple au moyen
de l’expérience de charge par influence représentée à la figure 4.
+
+
+
+
- -
- -
--
- - - - --
+
+
+
+
- - -
-
- - -
-
- -
+
+
+
+
- - - - -
-
- -
q
1
2
3
4
Figure 4
Deux plaques métalliques neutres en contact sont placées au voisinage d’une sphère chargée
(positivement par exemple). Les charges négatives mobiles (électrons) contenues dans les
plaques sont attirées par les charges positives de la sphère. Il en résulte un manque d’électrons
à l’extérieur (situation 1). En séparant les plaques (situation 2), on obtient une plaque chargée
positivement et l’autre chargée négativement. On vérifie à l’aide d’un électroscope que la
somme est bien nulle.
• La charge d’une particule ne dépend pas de son état de mouvement. Dans un changement de
référentiel, la charge se comporte comme une quantité scalaire invariante (invariant relativiste).
• La charge a un caractère additif (extensif). Ainsi, pour un ensemble de particules, on définit
la charge totale comme la somme des charges des particules.
Ce caractère extensif de la charge macroscopique permet d’introduire la notion de:
Densité de charge
Soit ∆q = Σqi la somme des charges d’un élément de volume ∆ω contenant un seul type de porteurs de charges.
Si la distribution des charges est assez régulière, on réalise une situation comparable à un fluide et le quotient ∆q/∆ω tend vers une certaine valeur ρ lorsque ∆ω décroît. Il est évident qu’il
n’y a aucun sens à faire tendre ∆ω vers 0. On introduit néanmoins un modèle continu et on
écrit:
Densité volumique de charge:
dq
ρ = ------- [Cm-3]
dω
(5)
-6De même, on définit la densité superficielle de charges:
dq
ρ s = ------ [Cm-2]
dσ
dans le cas où les charges seront réparties en surface.
(6)
-7-
3. Electrostatique
L’électrostatique est l’étude des systèmes de charges au repos.
Objectif
L’objectif de cette section est de décrire les lois de l’électrostatique dans le vide, i.e. dans les
régions de l’espace exemptes de matière conductrice ou diélectrique. L’air peut être assimilé au
vide !
3.1 Loi de Coulomb
C’est en 1775 que Coulomb propose “sa” loi qui exprime la force électrique entre deux charges
ponctuelles q1 et q2 distantes de r et au repos par rapport au référentiel d’observation: figure 5
et équation 7.
r
q2
F
ou
êr
q1
F
Figure 5
1 q1 q2
F = ------------ ---------- ê [N]
4πε 0 r 2 r
(7)
1/4πε0 est la constante de proportionnalité; ε0 est appelée permittivité du vide qui vaut:
ε 0 = 8, 854 ⋅ 10
– 12
[N-1m-2C2] = [Fm-1]
(8)
[F] = [N-1m-1C2] est le Farad.
Interprétation: q1, choisi comme origine des rayons vecteurs r, produit une force sur q2 donnée
par l’équation 7. Si q1 et q2 sont de même signe, il y a répulsion, dans le cas contraire attraction. Il est évident que q2, choisi comme origine, produit une force sur q1. Les deux forces sont
d’égale amplitude, mais de sens opposé.
La loi de Coulomb est directement vérifiable par l’expérience de Coulomb décrite à la figure 2.
En particulier, la valeur de l’exposant de r est vérifiable avec une précision de l’ordre de 1 %.
3.2 Champ électrique
La force sur q2 peut s’écrire:
1 q1
F = q 2 E ; E ( r ) = ------------ ----2- ê r [NC-1] = [Vm-1]
4πε 0 r
[V] = m2kgs-2C-1 est le volt, qui est équivalent à 1 NmC-1.
(9)
-8E est le champ électrique produit par la charge q1 en tout point r de l’espace. Il peut être
représenté par des flèches divergentes. E est dans le sens de r si q1 est positif. Un exemple est
présenté à la figure 6.
Charge +3
Charge -1
Figure 6
Le champ électrique produit par une charge ponctuelle n’est pas défini en son point source.
Cette difficulté provient de la limite de validité de la notion de charge ponctuelle.
La relation F = qE définit de manière générale le champ électrique subit par la charge q. Pour
mesurer E en un point r de l’espace, il faut donc placer une charge étalon q et mesurer la force
électrique s’exerçant sur cette charge.
Principe de superposition
Le champ coulombien1 engendré par plusieurs charges ponctuelles peut être obtenu en
généralisant le résultat précédent, grâce au principe de superposition: dans le vide, l’expérience
montre que le champ électrique produit par un ensemble de charges ponctuelles est la somme
vectorielle des champs produits par chacune des charges séparément:
E =
∑ Ei
(10)
Considérons un ensemble continu de charges de densité ρ(x0) contenues dans un volume Ω:
figure 7.
1. Un champ électrique en 1/r2 est parfois appelé champ coulombien.
-9-
Ω
z
r
ρ
x0
x
y
x
Figure 7
Par le principe de superposition, l’expression du champ électrique est donnée par:
ρ ( x 0 ) dω
1
- ê r
E ( x ) = ------------ ∫ -------------------2
4πε 0
r
avec r = r(x, x0) et êr = êr(x, x0)
(11)
Ω
où dω est un volume infiniment petit entourant x0.
Lignes de champ électrique
Une représentation visuelle du champ électrique est obtenue par des courbes orientées, tangentes en tout point au vecteur champ électrique. Elles sont appelées lignes de champ électrique. La figure 8 illustre la coupe dans un plan des lignes de champ résultant de la présence
de deux charges de même valeur et de signe opposé1. Elles sont déterminées par le principe de
superposition. La représentation tridimensionnelle des lignes de champ est obtenue par une
rotation de la figure autour de l’axe de symétrie.
Dans le cas d’une charge ponctuelle (figure 6), les lignes de champ sont des rayons issus de la
charge.
-
+
Figure 8
1. La densité de lignes de champ est arbitraire.
- 10 3.3 Loi de Gauss ou première loi de l’électrostatique
Le champ électrique créé par une distribution de charges a été calculé à la section 3.2 à partir
de la loi de Coulomb. La loi de Gauss est équivalente à la loi de Coulomb, mais constitue une
manière plus efficace de calculer le champ électrique, principalement lorsque la distribution
des charges présente une symétrie sphérique, cylindrique ou plane.
Flux d’un champ de vecteurs
n̂
v
dσ
Σ
Figure 9
Par définition, le flux φ d’un champ de vecteurs v à travers une surface Σ est:
φv =
∫ ( v • n̂ ) dσ
=
Σ
∫ v • dσ
(12)
Σ
n̂ est le vecteur unité, perpendiculaire à l’élément de surface dσ, orienté de l’intérieur à
l’extérieur de Σ, dσ = n̂ dσ: figure 9.
Flux du champ électrique dû à une charge ponctuelle
Considérons le flux de E à travers une surface fermée quelconque, dû à une charge ponctuelle
q: figure 10.
dσ = n̂ ⋅ dσ
E
θ
Σ
q
dΩ
Figure 10
dσ
- 11 -
φE =
∫
Σ ferm
q
E • dσ = -----------4πε 0
∫
Σ ferm
ê r • dσ
q
dσ cos θ
---------------- = ------------ ∫ -----------------2
2
4πε 0
r
r
Σ
(13)
ferm
r est le rayon-vecteur reliant la charge q à l’élément de surface dσ. dσcosθ/r2 est l’angle solide
dΩ (section 12.1) sous lequel on voit de la charge l’élément de surface dσ.
Sachant que l’angle solide couvrant tout l’espace vaut 4π, le flux vaut:
φE =
∫
Σ ferm
q
E • dσ = ----ε0
(14)
Le flux du champ électrique dû à une charge q située à l’extérieur de la surface est nul, car le
flux entrant est égal au flux sortant: figure 11 et section 12.1.
Σ
q
n’’
E’’
E’
n’
Figure 11
La loi de Gauss correspond à la généralisation du résultat de l’équation 14 au cas de plusieurs
charges situées à l’intérieur de Σ. Par le principe de superposition, on obtient:
∫
E • dσ =
Σ ferm
∫
E 1 • dσ +
Σ ferm
∫
Σ ferm
q1 q2
Q
E 2 • dσ + ... = ----- + ----- + ... = ----ε0 ε0
ε0
(15)
Cette loi montre que le flux du champ électrique à travers une surface fermée quelconque est
égal à la somme Q des charges contenues dans le volume délimité par cette surface, divisée par
ε 0.
Dans le cas d’une distribution continue de charges, cette loi s’écrit sous forme locale à l’aide
du théorème de Gauss (de la divergence):
∫
Σ ferm
1
E • dσ = ----- ∫ ρ ( x ) dω
ε0
Ω
ρ(x)
==> divE ( x ) = ----------ε0
(16)
Ω est le volume limité par la surface fermée.
Cette relation exprime l’existence d’une relation directe entre le champ électrique (sa divergence) en chaque point de l’espace et la densité de charges en ce point. Connaissant l’une des
grandeurs, on peut déterminer l’autre. A l’extérieur du volume contenant les charges, divE = 0.
- 12 3.4 Circulation du champ électrique ou seconde loi de l’électrostatique
Cette loi donne des informations sur la circulation du champ électrique; elle sera utile pour caractériser le potentiel électrique.
La circulation du champ vectoriel E le long d’un contour fermé L est définie par:
°∫ E • dl
(17)
L
dl est l’élément de longueur infinitésimal tangent au contour L: figure 12.
E
dl
L
E
dl
Figure 12
Montrons que cette circulation est nulle lorsque la source de E est une charge ponctuelle q: figure 13.
E(r1)
1
dr
r1
r
E(r2)
dl
2
r2
q>0
Figure 13
2
2
2
q ê r • dl
q dr
q 1 1
- ---------------- = ------------ ∫ ----2- = – ------------  ---- – ----
∫ E • dl = ----------4πε 0 ∫ r 2
4πε 0 r
4πε 0  r 2 r 1
1
1
(18)
1
Cette intégrale ne dépend pas du chemin parcouru et le résultat est donc nul sur un chemin
fermé.
- 13 En utilisant le principe de superposition pour généraliser ce résultat à une distribution
quelconque de charges, on obtient sur un contour fermé:
°∫ E • dl
(19)
= 0
En utilisant le théorème de Stokes, cette seconde loi de l’électrostatique s’écrit sous forme
locale1:
rotE = 0
(20)
3.5 Potentiel électrique
La force qu’exerce un champ électrique sur une particule chargée implique qu’un travail est
fourni lors de son déplacement et qu’elle possède ainsi une énergie potentielle.
Calculons le travail effectué par la force électrique lors du déplacement de la position A à la
position P selon le chemin L d’une charge placée dans un champ électrique E(x) (créé par
d’autres charges): figure 14.
P
A
z
L
dl
q
E(x)
x
0
y
x
Figure 14
P
WA – P =
P
∫ F • dl
= q ∫ E • dl
A
(21)
A
La seconde loi de l’électrostatique implique que ce travail ne dépend pas du chemin utilisé de
A à P. E est donc un champ conservatif et par conséquent F est une force conservative: l’énergie mécanique est conservée. En conséquence, WA-P correspond à la variation d’énergie potentielle de la charge:
WA – P = –( EP
pot
– EA
pot
)
(22)
Le potentiel électrique V(P) en un point P d’un champ électrique est défini comme l’énergie
potentielle d’une charge unité placée en ce point.
∂E
∂E
∂E
∂E
∂E
∂E
1. En coordonnées cartésiennes, rotF =  z – y ê x +  x – z ê y +  y – x ê z
∂y ∂z
∂z
∂x
∂x ∂y
- 14 En conséquence, la différence de potentiel électrique entre 2 points correspond au travail
fourni par le champ électrique pour déplacer une charge unité entre ces 2 points:
P
V ( P ) – V ( A ) = – ∫ E • dl
[V]
(23)
A
L’équation 23 permet d’écrire:
(24)
E = – gradV
Cette relation indique que si l’on connaît le potentiel V(x) en tout point, on peut déterminer le
champ électrique E(x).
Potentiel électrique dû à une charge ponctuelle
Une charge q en x0 = 0 provoque en x = r un E(x) et un V(x), i.e. l’énergie potentielle qu’aurait
une charge unité placée en x: figure 15.
V(r)
P
z
x≡r
q
y
x
Figure 15
En utilisant l’équation 9 et en sachant que grad(1/r) = -êr/r2 en coordonnées sphériques, il est
possible d’écrire:
1 q
V ( r ) = ------------ --4πε 0 r
(25)
Conventions
• Le potentiel est nul à l’infini.
• En pratique, tout potentiel est mesuré par rapport au potentiel de la terre supposé égal à
zéro.
Potentiel électrique d’un ensemble de charges
Le résultat précédent, obtenu pour le champ coulombien créé par une charge ponctuelle, peut
être généralisé grâce au principe de superposition. Pour un ensemble continu de charges de
densité ρ(x0) contenues dans un volume Ω (figure 16), on obtient:
- 15 -
ρ ( x 0 ) dω
1
V ( x ) = ------------ ∫ --------------------- , avec r = r(x, x0)
4πε 0
r
(26)
Ω
ρ(x0)
z
r
x0
V(x)
x
y
x
Figure 16
Surface équipotentielle
Le potentiel étant une fonction du lieu, il peut être exprimé en fonction des coordonnées du
lieu: V = f(x). Les points qui sont au même potentiel sont donc sur une surface telle que f(x) =
constante. On appelle cette surface une surface équipotentielle. Ces surfaces sont en chaque
point perpendiculaires aux lignes de champ électrique (section 3.2). La figure 17 illustre les
lignes de champ (trait continu) et les surfaces équipotentielles (trait pointillé) du système de
deux charges de même valeur et de signe opposé de la figure 8.
V=0
-
+
Figure 17
- 16 3.6 Equations de Poisson et Laplace
La loi de Gauss et l’équation 24 permettent d’obtenir l’équation différentielle du potentiel électrostatique dans le vide. En effet, ces relations conduisent à -div grad V = ρ/ε0 et donc:
ρ
Equation de Poisson: ∆V = – ----ε0
ou, si ρ(x) = 0, Equation de Laplace:
(27)
∆V = 0
(28)
∆V se lit laplacien de V.
Toute l’électrostatique, d’un point de vue purement mathématique, consiste à chercher des
solutions de ces équations, i.e. à déterminer V. En effet, si V(x) est connu, le champ E peut être
calculé immédiatement par dérivation.
3.7 Résumé des lois de l’électrostatique dans le vide
Formes différentielles
ρ(x)
divE ( x ) = ----------ε0
rotE = 0
Formes intégrales
∫
Σ ferme
1
Q
E • dσ = ----- ∫ ρ ( x ) dω = ----ε0
ε0
°∫ E • dl
Ω
= 0
2
E = – gradV
V1 – V2 =
∫ E • dl
1
∀ chemin
- 17 -
4. Champ électrique et conducteurs
Objectifs
Cette section décrit les propriétés électrostatiques des conducteurs électriques et aborde
quelques applications importantes: cage de Faraday, paratonnerre, condensateur, xérographie,
séparation électrostatique.
Un conducteur électrique est un matériau solide, liquide ou gazeux dans lequel des particules
chargées peuvent se déplacer librement. Ces particules sont des électrons libres dans le cas des
métaux. Dans certains fluides, des électrons et des ions peuvent se déplacer "librement".
4.1 Propriétés électrostatiques des conducteurs
Lorsqu’un conducteur est placé dans un champ électrique Eext , les charges libres se déplacent
sous l’effet de ce champ et l’on parle de charge du conducteur par influence1: figure 18.
Eext
_
_
_
_
_
_
_
_
+
Eext
+
+
+
+
+
+
V = cst
+
E=0
_
+
_
+
Eint
Eext
Figure 18
En conséquence,
• Le champ électrique est nul dans un conducteur
L’équation 24 reliant le champ électrique au potentiel implique que:
• Le potentiel électrique est constant dans un conducteur; la surface est dite équipotentielle.
En utilisant la loi de Gauss sous forme locale (équation 16), on en déduit que:
• La densité de charges est nulle dans un conducteur2
En conséquence, des charges libres s’accumulent à la surface du conducteur. L’état d’équilibre est atteint lorsqu’en tout point du conducteur le champ Eint créé par les charges de surface compense le (s’oppose au) champ extérieur Eext: figure 18.
Les charges étant également libres de se déplacer sur la surface,
• Le champ électrique est perpendiculaire à la surface d’un conducteur: figure 19.
1. En réalité, le conducteur est toujours neutre et le champ extérieur n’a provoqué qu’un déplacement des
charges du conducteur.
2. Une densité de charges nulle signifie qu’il existe un équilibre local entre protons et électrons à
l’intérieur du conducteur.
- 18 -
_
Eext
_
_
+
E=0 + E
+ ext
_ V = cst +
_
+
Figure 19
Si le conducteur est chargé par contact, les charges supplémentaires ainsi apportées se mettront
également en surface: figure 20. L’équilibre sera atteint lorsque le champ électrique sera nul en
tout point à l’intérieur du conducteur.
+ + + +
E
+
+
E
V
+
+
+
E
+
+
E
=
=
0
cst
+ +
+ + +
+ + +
+
+
+
+
++ +
E
+
+
+
+
E
Figure 20
La densité de charges de surface ρs = dq/dσ variera d’un point à l’autre de la surface, de façon
à assurer un potentiel constant dans le conducteur.
Les caractéristiques du champ et du potentiel électriques à l’intérieur d’un conducteur sont
donc indépendantes de la façon de le charger (par influence ou par contact).
La valeur du champ électrique à la surface d’un conducteur peut être déterminée en utilisant la
loi de Gauss sous forme intégrale (équation 15), appliquée à un petit cylindre fermé de
longueur et de section infinitésimales, perpendiculaire à la surface: figure 21.
E
dσ
Figure 21
Caractérisons les charges de surface par une densité superficielle ρs. L’intégrale est nulle sur la
surface latérale (E ⊥ dσ); elle est également nulle sur la base située à l’intérieur du cylindre (E
= 0). On obtient donc:
- 19 -
∫
Σ cylin
ρ s dσ
ρs
E • dσ = E dσ = ------------ ⇒ E = ----ε0
ε0
(29)
Il existe donc une discontinuité du champ électrique au passage de la surface.
Capacité électrique d’un conducteur
Considérons un conducteur chargé dans l’espace (figure 20). Des lignes de champ partent de
chaque point du conducteur pour aller à l’infini. En choisissant un potentiel nul à l’infini (convention: section 3.5), on obtient pour un point P quelconque de la surface du conducteur:
∞
∫ E • dl
= VP = V
(30)
P
L’équation 29 et le principe de superposition permettent de dire que le champ électrique à
l’extérieur du conducteur est proportionnel à sa charge totale Q. En conséquence, V l’est aussi
et le rapport Q/V ne dépend que de la géométrie du conducteur; il définit la capacité du conducteur:
Q
C = ---- [F] = [m-2kg-1s2C2]
V
(31)
La capacité se mesure en farad; on utilise en pratique le picofarad pF = 10-12 F, le nanofarad nF
=10-9 F et le microfarad 1µF = 10-6 F.
La capacité décrit la charge qui peut être placée sur la surface d’un conducteur à l’aide d’une
chute de potentiel donnée.
Effet de pointe, paratonnerre
Une conséquence intéressante de ce qui précède est connue sous le nom “effet de pointe”. Lorsqu’un conducteur est chargé, la densité de charges est plus grande sur les surfaces à faible
rayon de courbure et par conséquent le champ E est plus intense à ces endroits: figure 22.
E fort
+
+ +
+
+
+ + ++
R2
+
+
+
+
+
+
R1
+
+ E
faible
Figure 22
+
- 20 En utilisant deux sphères reliées par un conducteur pour modéliser le conducteur, on montre
facilement que ρs1R1 = ρs2R2 et par conséquent E2 = ρs2/ε0 > E1.
Si le rayon de courbure est très faible, le champ E peut dépasser le champ de claquage dans
l’air, soit le champ à partir duquel l’air est ionisé1 (~30 KV/cm): section 5.2. Le paratonnerre
fonctionne sur ce principe. L’ionisation de l’air facilite les décharges causées par la différence
de potentiel entre les nuages et la terre, tant en conditions normales que lors de foudre.
Cavité conductrice, cage de Faraday
Considérons un conducteur chargé possédant une cavité exemptes de charges: figure 23.
+
+
+
E
+
=
+
V
0
+
=
+
cst
+
+
Σi
+ Σ’
+
+
+
+
+
+
+
+
Figure 23
Le champ électrique et la densité de charges sont à nouveau nuls dans le conducteur. La loi de
Gauss appliquée à une surface fermée Σ’ montre que la surface interne Σi ne peut contenir
qu’un nombre égal de charges positives et négatives (Q = 0). Il est évident que ces charges
s’attirent et s’annulent et donc que
• Le champ électrique à l’intérieur d’une cavité conductrice vide de charges est nul, quel que
soit le champ extérieur.
Cette propriété est utilisée pour protéger des équipement délicats contre des champs électriques extérieurs (blindage électrique): cage de Faraday.
4.2 Condensateurs
On appelle condensateur un ensemble de deux conducteurs séparés par le vide ou par un
diélectrique (section 5.) dont l’un est creux et contient l’autre: figure 24.
1. Des électrons sont arrachés des molécules d’oxygène et d’azote.
- 21 -
−
−
−
−
E
−
−
Q
+ +1
V1 +
+
−
−
−
−
−
Q2i V2
Q2e
−
Figure 24
Imaginons une source ayant permis de déposer, par contact, des charges sur les deux conducteurs. Soit Q1 la charge sur le conducteur intérieur et V1 son potentiel. Le conducteur extérieur,
de potentiel V2, a une charge Q2e sur sa surface externe et Q2i sur sa surface interne. Montrons
qu’il existe une relation simple entre la différence de potentiel (V1 - V2) et la charge Q1.
Remarquons tout d’abord que Q2i = - Q1. La démonstration est immédiate en appliquant la loi
de Gauss à une surface fermée Σf passant à l’intérieur du conducteur extérieur, où l’on a E = 0:
∫ E • dσ
Σf
1
= 0 = ----- ( Q 1 + Q 2i ) ⇒ Q 1 = – Q 2i
ε0
(32)
Le champ électrique n’est donc pas nul dans la cavité. Si Q1 est positif (figure 23), les lignes de
champ E partent du conducteur intérieur vers le conducteur extérieur. L’équation 29 (E = ρs/
ε0) et le principe de superposition impliquent que l’amplitude de E sera proportionnelle à Q1.
D’autre part, l’équation 23 implique que la différence de potentiel sera elle-même proportionnelle à Q1:
2
V1 – V2 =
∫ E • dl
(33)
1
E ne dépendant que de Q1, la différence de potentiel (V1 - V2) ne dépend également que de Q1;
Q2, dont dépend V2, est ici sans intérêt.
En conséquence, le rapport Q1/(V1 - V2) ne dépend que de la géométrie des deux conducteurs
et non pas de leurs charges. Le concept de capacité d’un conducteur (section 4.1) peut ainsi
être étendu au condensateur et l’on écrit:
Q1
C = ------------------V1 – V2
(34)
Les condensateurs sont très utilisés dans les circuits électroniques et électriques. Leur symbole
est donné à la figure 25.
- 22 Figure 25
Lorsqu’un conducteur n’entoure pas complètement l’autre, on parle toujours de condensateur
si toutes les lignes de champ partant d’un conducteur aboutissent à l’autre.
Condensateur plan
Un condensateur plan est un ensemble de deux conducteurs plans séparés d’une distance d: figure 26.
V1
V2
E
E
+Q
E
d
-Q
+Q
+ + + + +
- - - - -Q
E
E
Figure 26
A l’aide d’une pile par exemple, plaçons une charge +Q sur l’un des conducteurs (qui se fixera
sur sa surface) et -Q sur l’autre. Ces deux conducteurs définissent un condensateur plan. Les
lignes de champ sont perpendiculaires aux plaques si l’on néglige les effets de bords; en pratique, cela revient à imposer d << dimensions conducteurs.
Dans cette approximation ou si les dimensions sont infinies, le champ sera uniforme (direction
et amplitude constantes), de valeur ρs/ε0 (équation 29) où ρs est la densité superficielle de
charge sur la surface interne d’une plaque. On peut alors calculer la capacité de ce condensateur:
2
V1 – V2 =
ρs
E
•
dl
=
----- d
∫
ε0
1
ρs S
S
Q
==> C = ------------------- = ---------------------- = ε 0 --d
( ρs d ) ⁄ ε0
V1 – V2
(35)
On constate bien que C ne dépend pas de la charge.
Nous verrons à la section 5. que la capacité est augmentée si l’on insère un diélectrique
(isolant) entre les plaques du condensateur :
S
C = ε 0 ε r --d
(36)
εr Š 1 est la constante diélectrique ou permittivité relative de l’isolant.
Condensateurs en série et parallèle
La conception des circuits électroniques nécessite souvent la combinaison de plusieurs condensateurs. Cette opération permet d’obtenir une valeur précise de la capacité et d’éviter un
claquage (section 5.2) dû à une tension trop élevée.
- 23 Deux condensateurs sont montés en série s’ils sont connectés selon la figure 27:
C1
C2
a
b
c
+Q
-Q
+Q
d
-Q
Figure 27
Capacité du montage série:
Plaçons, à l’aide d’une pile de tension ∆V connectée aux extrémités a et d du montage série de
la figure 27, une charge +Q sur l’armature a et donc -Q sur l’armature d. Les armatures b et c
ainsi que le conducteur qui les relie avaient une charge initiale nulle et n’en ont pas reçus lors
de la mise sous tension: la charge reste donc nulle. Cependant, les armatures chargées a et d
provoquent une séparation des charges et, par influence, b porte une charge -Q et c porte +Q.
Par conséquent, chaque condensateur porte la même charge et le potentiel aux bornes de ce
montage s’écrit: ∆V = ∆Va-b + ∆Vc-d = Q/C1 + Q/C2 = Q(1/C1 + 1/C2). La capacité équivalente
Cs devant être telle que 1/Cs = Q/∆V, on a par identification 1/Cs = 1/C1 + 1/C2. En généralisant à n condensateurs en série, on obtient:
1
1
1
1
----- = ------ + ------ + ... + -----Cs
C1 C2
Cn
(37)
Deux condensateurs sont montés en parallèle dans le schéma de la figure 28:
C1
C2
Figure 28
Capacité du montage parallèle:
Par un raisonnement analogue, on obtient pour n condensateurs en parallèle:
C p = C 1 + C 2 + ... + C n
(38)
Energie stockée dans un condensateur
On propose de calculer l’énergie emmagasinée dans un condensateur de capacité C.
Imaginons que l’on a déjà chargé le condensateur avec une charge q. Pour augmenter la charge,
on peut prendre une charge positive dq de la plaque négative et la transférer à la plaque positive. La plaque négative passera ainsi de - q à - q - dq et la plaque positive de q à q + dq.
Pour transférer cette charge, il faut fournir un travail. La valeur de ce travail, donné par l’équation 21, vaut dW = Vdq, où V = q/C est la différence de potentiel entre les conducteurs formant
- 24 le condensateur. Ce travail provoque une augmentation dEc de l’énergie du condensateur.
L’énergie emmagasinée lors d’une charge de 0 à Q vaut ainsi:
Q
Q
2
1
1
1Q
2
E c = ∫ V ( q ) dq = ---- ∫ q dq = --- ------ = --- CV
2
C
2C
0
[J]
(39)
0
Cette expression permet d’interpréter l’énergie emmagasinée comme étant stockée dans
l’espace où existe un champ électrique. Considérons par exemple un condensateur plan. Le
champ électrique E = ∆V/d étant constant entre les 2 plaques, la densité d’énergie (énergie par
unité de volume) dans cet espace vaut:
Ec
1
2
e c = --------- = --- ε 0 E
Vol
2
(40)
Ce résultat peut être généralisé à toute région de l’espace dans laquelle existe un champ électrique.
4.3 Exemples d’application de l’électrostatique
En plus de la cage de Faraday, du paratonnerre et du condensateur, il existe plusieurs applications importantes de l’électrostatique, telles que par exemple:
Séparation électrostatique
Décharge corona: considérons un condensateur cylindrique dont le conducteur central est porté
à un potentiel négatif alors que le conducteur extérieur reste au potentiel de terre. Le champ E
est radial, proportionnel à r-1 et dirigé vers l’axe. On suppose que l’intensité au voisinage de
l’électrode centrale dépasse le champ de claquage dans l’air (~30 KV/cm). Cette condition est
réalisée lorsque la différence de potentiel est élevée et le rayon du conducteur central faible.
L’air devient ainsi un conducteur formé d’ions négatifs, d’électrons et de ions positifs. Sous
l’effet du champ électrique, les électrons et les ions négatifs ainsi formés sont attirés vers
l’électrode extérieure et il apparaît un courant ionique (voir section 6.). On observe une lueur
verte près de l’électrode centrale, parfois appelée décharge corona. Elle est principalement due
aux électrons qui sont arrachés de l’électrode centrale.
Le principe de décharge corona est utilisé pour débarrasser les fumées d’usine de leurs résidus
solides ou liquides: figure 29. Les ions négatifs entrant en collision avec les poussières les
chargent négativement. Sous l’effet du champ électrique, elles sont entraînées vers la paroi
extérieure où elles se collent. En “secouant” périodiquement le cylindre extérieur, on peut
récupérer les matières solides. L’efficacité d’un tel collecteur de poussière est de l’ordre de 99
%. Aux USA, on a calculé que 20 millions de tonnes de résidus sont ainsi récupérés chaque
- 25 -
année.
potentiel négatif
isolant
gaz propre
électrode
centrale
gaz sale
poids
cheminée d’usine
Figure 29
Xérographie
Le principe de la xérographie est illustré à la figure 30.
a)
Fil
V
+
+
+
+
b)
+
+
+
++++++
+
++++ ++
++++
+
original
Se
Lumière
c)
d)
Electrode +
-
-
- -
-
-
-
copie
poudre
- de C
-
Figure 30
a) Un tambour, recouvert d’une couche de sélénium (isolant photoconducteur), est chargé positivement dans l’obscurité par la décharge d’un fil porté à un potentiel V élevé (décharge
corona).
b) Une image de la page à photocopier est ensuite focalisée sur le tambour. La lumière détruit
les charges: seules les surfaces noires correspondant au texte restent chargées.
c) Le tambour passe ensuite près d’une poudre noire de carbone, chargée négativement, qui est
- 26 attirée électrostatiquement sur les parties chargées, reproduisant ainsi le texte sur le tambour.
d) Les particules de poudre (encre) sont déposées sur la feuille à imprimer qui passe entre le
tambour et une électrode positive.
e) le papier est ensuite chauffé pour fixer la poudre au papier.
Les imprimantes laser fonctionnent sur le même principe, mais l’image sur le sélénium est produite en enclenchant et déclenchant un laser.
- 27 -
5. Champ électrique dans la matière diélectrique
Objectif
L’électrostatique conduit à de nombreuses applications dont quelques unes ont été présentées à
la fin de la description des propriétés électrostatiques des conducteurs électriques (section 4.).
L’objectif de cette section est d’analyser les effets d’un champ électrique sur les matériaux
isolants ou diélectriques et d’en déduire les conséquences pratiques.
5.1 Matière diélectrique
Un dipôle électrique est constitué de deux charges ponctuelles q égales et opposées, séparées
par une très petite distance a: figure 31. Il joue un rôle important en électromagnétisme.
A
r2
r
r1
êr
θ
-q
a
0
+q
Figure 31
Cette configuration de charges conduit à la définition du moment dipolaire électrique p:
p = qa [Cm]
(41)
Par convention, le vecteur a est dirigé de la charge négative à la charge positive.
Le champ et le potentiel électriques en un point quelconque A peuvent être calculés facilement.
Pour le potentiel, on obtient en posant r2 - r1 ≅ acosθ et r1r2 ≅ r2:
p • ê r
1 q q
1 q ( r2 – r1 )
V ( r ) = ------------  ---- – ---- = ------------ ----------------------- = ----------------2


4πε 0 r 1 r 2
4πε 0 r 1 r 2
4πε 0 r
(42)
Pour le champ électrique, l’équation 24 s’écrit en coordonnées polaires:
E = –
∂V
1 ∂V
p cos θ
p sin θ
ê r – --- ê θ = ----------------ê
r + ----------------ê
3
3 θ
∂r
r ∂θ
2πε 0 r
2πε 0 r
(43)
En utilisant l’expression de p = pcosθêr -psinθêθ dans ce système de coordonnées, on obtient:
- 28 -
3ê r ( ê r • p ) – p
E = ----------------------------------3
4πε 0 r
(44)
Dans les atomes, le centre de charge1 des électrons coïncide avec celui du noyau et le moment
dipolaire moyen d’un atome est nul. En revanche, un moment dipolaire apparaît lorsque les
atomes sont plongés dans un champ électrique qui perturbe le mouvement des électrons. On
parle de moment dipolaire induit dans la direction du champ (figure 32) et l’atome est dit
polarisé.
Les molécules peuvent avoir un moment dipolaire permanent (molécules polaires): H2O, etc.
En l’absence d’un champ électrique, l’agitation thermique conduit à une orientation
quelconque des p dans la plupart de ces substances. En présence d’un champ électrique, ces
molécules vont s’aligner parallèlement au champ en raison du couple auquel elles sont
soumises: si E(q) ≅ E(-q) car a petit, C = p ^ E: figure 32.
F-
-
F+
+
p
E
p induit
F-
-
p permanent
E
p
+
F+
Figure 32
Ces effets sur les atomes et les molécules impliquent qu’un morceau de matière non conductrice, placé dans un champ électrique, devient polarisé: ses molécules ou ses atomes deviennent des dipôles orientés dans la direction du champ. Un tel milieu est appelé diélectrique ou
isolant. Contrairement à un conducteur, les électrons d’un isolant sont liés aux atomes et ne
sont donc pas libres de se déplacer.
5.2 Polarisation, susceptibilité électrique
L’alignement des dipôles électriques d’un morceau de matière en présence d’un champ fait
apparaître une charge résultante positive sur un côté du morceau et une charge négative sur le
côté opposé. Le morceau de matière devient alors un dipôle électrique macroscopique qui tend
également à s’aligner dans la direction du champ.
La polarisation P(x) d’une substance est définie comme le moment dipolaire électrique du
milieu par unité de volume:
P ( x ) = np [Cm-2]
1. Le centre de charge est défini de manière analogue au centre de masse de la mécanique.
(45)
- 29 n est le nombre d’atomes ou de molécules par unité de volume entourant le point x.
L’expérience montre que la polarisation est en général proportionnelle au champ électrique
local et l’on écrit:
P = χe ε0 E
(46)
La quantité χe [ ] (khi) est la susceptibilité électrique de la substance; c’est une grandeur positive pour la plupart des diélectriques. Elle caractérise la réponse de la substance à un champ
électrique. Quelques valeurs sont données à la figure 33.
Sous l’effet d’un champ électrique élevé, toute substance diélectrique peut devenir conductrice
par claquage. La rigidité diélectrique caractérise la valeur maximale du champ électrique que
peut supporter une substance sans subir de claquage. La figure 33 donne quelques valeurs1.
Substance
vide
air
huile
eau
caoutchouc
mica
verre
dioxyde de titane
εr = 1 + χe
[ ]
Rigidité diélectrique
[MV/m]
1
1,00059
1-5
80
3
5
4-6
100
3
10 - 15
variable
20
3000
13
150
Figure 33
Quelques diélectriques particuliers:
• Les matériaux ferroélectriques sont caractérisés par une polarisation en l’absence d’un
champ électrique et par une susceptibilité électrique élevée. La ferroélectricité disparaît
généralement au-dessus d’une certaine température.
• Les matériaux piézoélectriques présentent une polarisation selon une direction privilégiée
lorsqu’ils sont soumis à une déformation mécanique. Réciproquement, ils se déforment lorsque leur polarisation est modifiée par un champ électrique. Certains matériaux piézoélectriques sont également ferroélectriques.
• Les matériaux pyroélectriques sont caractérisés par une polarisation spontanée lorsqu’on les
chauffe.
5.3 Déplacement électrique, constante diélectrique
Un diélectrique polarisé possède donc des charges à sa surface (dipôle macroscopique). Ces
1. Ces valeurs sont obtenues pour un champ électrique constant à température ambiante. Pour un champ
alternatif, elles dépendent de la fréquence. De plus, ces valeurs dépendent de la température.
- 30 charges sont liées à des atomes ou molécules et ne sont donc pas libres de se déplacer dans le
matériau diélectrique, contrairement aux matériaux conducteurs.
Considérons une tranche de diélectrique remplissant l’espace entre deux plaques conductrices
parallèles portant chacune une même densité de charges libres ρl, mais de signe opposé: figure
34.c.
E0
-
- - −ρl
+ +
+
+ +
+ ρl
E’
E0
+ +
+
-
-
- - ρs
+
+
+
+ E0
+
P
(a)
(b)
E
+
+
+
+
+
+
-
+
+
+
+
+
+
-
(c)
Figure 34
Les charges libres produisent un champ électrique E0 = ρl/ε0 (figure 34.a) qui polarise la
tranche (figure 34.b) de telle sorte que des charges de polarisation ρs apparaissent sur chacune
des surfaces de la tranche, de signe opposé à celle de la plaque en regard. Cette polarisation
crée un champ E’. Ces charges ρs compensent partiellement les charges libres. Si P est l’amplitude de la polarisation supposée uniforme dans la tranche, la densité de charges superficielle
vaut ± P (cf exercices) et l’on a ainsi1 E’ = P/ε0. La densité de charges effective vaut ρe = ±(ρl
- P) et donne naissance à un champ électrique uniforme dans la tranche diélectrique, donné par
E = ρe/ε0 (figure 34.c), soit:
1
P
E = ----- ( ρ l – P ) = E 0 – ----- ou ρ l = ε 0 E + P
ε0
ε0
(47)
Le champ électrique dans le diélectrique est donc plus faible que le champ électrique E0 qui
existerait en absence de diélectrique.
Cette dernière équation 47 exprime la charge libre à la surface du conducteur en présence du
diélectrique en fonction du champ électrique dans le diélectrique et de la polarisation du
diélectrique. Introduisons un nouveau champ vectoriel, appelé champ de déplacement, défini
par2:
D = ε 0 E + P [Cm-2]
(48)
On constate que ρl = D; ce résultat est général et s’écrit ρl = D. n̂ : ρl correspond à la composante de D normale à la surface. n̂ est un vecteur unité normal à la surface.
Lorsque la polarisation est proportionnelle au champ électrique (équation 46), on peut écrire:
1. Le diélectrique forme un dipôle macroscopique qui peut être assimilé à 2 plans parallèles de charges
qui créent chacun un champ ρs/2ε0 qui s’ajoutent dans l’espace séparant ces plans.
2. Ce champ D permet de conserver l’expression des lois de l’électrostatique, en remplaçant E par D:
section 5.4.
- 31 D = εE , avec ε = ε r ε 0 = ( 1 + χ e )ε 0
(49)
ε est la permittivité du milieu et εr = 1+χe la permittivité relative ou constante diélectrique.
Quelques conséquences
• L’effet d’un diélectrique sur le champ électrique est de remplacer ε0 par ε dans la loi de
Gauss (équation 16) si seules les charges libres sont prises en considération:
∫
Σ ferme
Ql
E • dσ = ----ε
(50)
• Le champ et le potentiel électriques dus à une charge ponctuelle placée dans un diélectrique
diffèrent des expressions obtenues dans le vide (section 3.1 et section 3.5):
q
1 q
E ( r ) = -------------2- ê r et V ( r ) = --------- --4πε r
4πεr
(51)
on constate que Ediél = Evide/εr.
• La force d’interaction entre deux charges ponctuelles noyées dans un diélectrique diffère de
l’expression obtenue dans le vide (section 3.1)
1 q1 q2
F = --------- ---------- ê
4πε r 2 r
(52)
• La capacité d’un condensateur est augmentée si l’on insère un diélectrique entre ses
plaques: section 4.2.
5.4 Lois de l’électrostatique dans la matière diélectrique
L’expérience montre que la seconde loi de l’électrostatique (équation 17) reste valable dans un
diélectrique et l’on obtient ainsi les deux lois de l’électrostatique dans la matière:
Formes différentielles
divD ( x ) = ρ l ( x )
Formes intégrales
∫
D • dσ =
Σ ferme
rotE = 0
°∫ E • dl
∫ ρl ( x ) dω
Ω
= 0
= Ql
- 32 -
6. Courants électriques stationnaires
Objectifs
• Etablir les lois de l’électrocinétique qui décrit les propriétés de charges en mouvement, ou
courants, en régime stationnaire; elles conduiront aux lois d’Ohm et de Kirchhoff, très utiles
en pratique. Cette section traitera principalement les matériaux conducteurs et n’abordera
pas la supraconductivité et les matériaux semiconducteurs.
• Introduire la notion de circuit électrique qui regroupe l’ensemble des conducteurs et des
sources de champ électrique arrangés en boucles fermées qui permettent la circulation de
charges électriques.
6.1 Densité de courant de charges, courant électrique
Equation de bilan ou de continuité
Supposons un volume Ω rempli d’un seul type de porteurs de charge: figure 35. Ces particules
sont mobiles et se déplacent à la vitesse moyenne v. Par définition de la densité de charges
ρ(x,t), (section 2.2), la charge contenue dans ce volume s’écrit:
Qi =
∫ ρ ( x ,t ) dω
(53)
Ω
La variation temporelle de la charge intérieure à Ω, qui ne peut résulter que d’un échange avec
l’extérieur à travers sa surface fermée Σf, s’écrit:
dQ i
=
dt
∂ρ ( x ,t )
dω
∫ ----------------∂t
(54)
Ω
La dérivée partielle est une dérivée locale, calculée en un point x donné.
Le principe de conservation de la charge permet d’écrire une équation de bilan, appelée parfois
équation de continuité:
∫ ρv • dσ
Σf
∂ρ ( x ,t )
= – ∫ ----------------- dω
∂t
Ω
où ρv.dσ exprime la charge traversant la surface dσ par unité de temps: figure 35.
(55)
- 33 -
dσ
Σf
J
ρ(x,t)
vdt
Ω
Figure 35
On définit la densité de courant J de particules mobiles par:
J ( x, t ) = ρv [Am-2] = [Cs-1m-2]
(56)
J mesure la charge passant par unité de temps à travers une surface unité perpendiculaire au
vecteur vitesse des charges.
En utilisant le théorème de la divergence, on obtient l’équation de continuité sous forme
locale:
div J +
∂ρ
= 0
∂t
(57)
Courant électrique
On définit le courant électrique I à travers une surface Σ ouverte ou fermée comme le flux de
la densité de courant:
I =
∫ J • dσ
[A] = [Cs-1]
(58)
Σ
En utilisant l’équation 55, on obtient:
dQ i
dQ
I = – --------- = ------dt
dt
(59)
où Q = - Qi est la charge quittant le volume Ω, i.e. traversant la surface limitant Ω.
1 ampère correspond au passage d’une charge de 1 Cs-1 (6,2.1018 e-) dans la section où il
s’écoule.
Courant électrique stationnaire
Un processus est dit stationnaire si les grandeurs physiques qui le caractérisent ne dépendent
pas explicitement du temps. On parle donc de courant électrique stationnaire ou courant continu en pratique lorsqu’il n’y a pas de variation temporelle de la densité de charges: ρ = ρ(x).
Dans ce cas, l’équation de continuité se réduit à:
- 34 -
div J = 0
(60)
En appliquant la définition du courant à la surface fermée limitant le volume Ω de la figure 35,
on constate qu’un courant stationnaire à travers une surface fermée est nul, i.e. la charge
entrant dans Ω est égale à la charge sortant: équation 61.
I = 0 ⇔ I entrant = I sortant
(61)
Dans un conducteur, la stationnarité du courant implique que la charge traversant une section
(surface ouverte) est indépendante du temps:
dQ
I = ------- = constant
dt
(62)
Sens du courant
La direction du courant est définie comme étant celle de charges positives dans un champ électrique: figure 36. Ainsi, dans un conducteur où le courant résulte du mouvement des électrons,
le sens du courant sera opposé à celui de leur mouvement effectif: figure 36.
I
I
E
E
+
-
+
+
-
-
+
Figure 36
Vitesse des électrons
a) dans le vide
Soumis à un champ électrique, les électrons vont subir une force parallèle au champ et par conséquent une accélération. Considérons, comme illustration, l’accélération et la déviation d’un
électron dans un tube à vide, dont une application est le tube TV: figure 37.
source d’électrons
Ecran
E’
E
V1
V2
Figure 37
- 35 L’accélération des électrons soumis au champ uniforme E’ est constante: a = eE’/m, m est la
masse de l’électron. La vitesse maximale vo sera atteinte à la sortie de l’accélérateur linéaire.
La déviation sera obtenue par un champ électrique E perpendiculaire à la trajectoire des électrons. On montre facilement que la trajectoire entre les électrodes est une parabole.
b) dans un conducteur
La vitesse v dépend du type de porteurs de charges1. A titre d’exemple, calculons la vitesse des
électrons, responsables du courant électrique dans un conducteur.
Utilisons les données d’une installation domestique: un courant de 10 A circulant dans un fil de
cuivre de section 1 mm2 et de densité ρ∗ = 8960 kg/m3.
La densité de courant vaut J = 107Am-2.
Le cuivre ayant en moyenne un électron de conduction par atome (1 e- se déplace librement
dans un réseau de cations Cu+), le nombre n d’électrons par unité de volume est égal au nombre d’atomes par unité de volume. La masse molaire du cuivre valant M = 64 g, on obtient:
volume d’1 mole = M/ρ∗ ==> n = Na/(M/ρ∗) = 6,02.1023.8960/0,064 = 8,4.1028m-3.
On en déduit la charge mobile volumique ρ et sa vitesse moyenne associées à cette densité de
courant J.
ρ = n|e| = 13,5.109Cm-3 et v = J/ρ = 0,74 mms-1.
Attention, ne pas confondre:
- vitesse de déplacement v et vitesse de propagation de l’information (= c),
- densité d’un porteur de charges (ici le cuivre), densité de charges mobile et densité de charges
totale, fixe + mobile.
Origine de la résistance électrique
En présence du champ électrique, les électrons d’un matériau conducteur acquièrent une vitesse moyenne v non nulle (section 6.1) et il apparaît ainsi un courant. Ces électrons, entrant en
collisions avec les charges positives fixes (atomes) du réseau cristallin, sont freinés et se stabilisent à la vitesse v (exception: supraconducteurs). Par analogie avec le corps en chute libre
dans un milieu visqueux, nous dirons que le réseau cristallin agit comme une force visqueuse
sur le mouvement des électrons.
6.2 Loi d’ohm
Parmi les différentes façons d’induire un mouvement de charges électriques, nous souhaitons
décrire ici l’effet d’un champ électrique sur le transport de charges.
En soumettant un dispositif à une différence de potentiel, le champ électrique ainsi créé provoque un transport de charges2 caractéristique du dispositif, que l’on peut analyser par sa
1. Dans un conducteur, le mouvement des charges est uniforme et non pas uniformément accéléré
comme dans le vide. L’origine d’une force égale et opposée à la force électrique est discutée à la section 6.2.
2. Les charges ne circulent que si le circuit composé de la source de potentiel et du dispositif est fermé.
- 36 courbe courant-différence de potentiel.
Exemple: ampoule de lampe de poche: figure 38.
I [A]
0,2
0,1
0
2
4
6
VA-VB = V
Figure 38
Dans de nombreux conducteurs, cette relation est linéaire et définit la conduction ohmique
décrite par la loi d’Ohm:
V A – V B = V = RI
(63)
Par usage, on écrit V pour VA - VB.
R est la résistance du conducteur entre les points A et B, dont l’unité est l’ohm [Ω] et le symbole: figure 39.
VA
VB
R
A
B
Figure 39
Comme les condensateurs, les résistances sont très utilisés dans les circuits électroniques et
électriques.
Considérons un conducteur ohmique de section S et de longueur L soumis à une différence de
potentiel V = VA - VB et donc à un champ électrique E = V /L, parallèle au conducteur: figure
40. L’expérience montre que J et E sont parallèles dans un tel conducteur.
VA
VB < VA
L
E
S
I
J
Figure 40
On obtient ainsi une relation scalaire entre la densité de courant et le champ électrique:
RS
E = -------J = ρJ
L
ou
L
J = -------E = σE
RS
(64)
- 37 ρ est la résistivité [Ωm] (! ne pas confondre avec densité de charges) du conducteur et σ = 1/ρ
sa conductivité qui dépendent de la structure et de la température du matériau. La conductivité
est exprimée en Siemens/m [S/m].
E et J étant parallèles dans les conducteurs ohmiques, on définit la loi d’Ohm sous forme
locale:
E = ρJ ou
J = σE = – σgradV
(65)
L’équation 64 montre que deux matériaux conducteurs différents, de même longueur et de
même section, ont des résistances différentes; le facteur de proportionnalité est la résistivité:
ρL
R = ------- [Ω]
S
(66)
La figure 41 donne quelques valeurs de la résistivité et du coefficient α de variation thermique
de la résistivité à température ambiante (20 oC). Dans une gamme limitée de température, les
changements de résistivité sont généralement bien décrits par une loi linéaire:
ρ = ρ0 [ 1 + α ( T – T0 ) ]
(67)
Dans la plupart des conducteurs électriques, α est beaucoup plus grand que le coefficient de
dilatation linéaire (cours de thermodynamique, section 1.3). On peut alors négliger les variations de longueur et de section et écrire:
R = R0 [ 1 + α ( T – T0 ) ]
(68)
ρ [Ωm]
à 20 oC
α [oC-1]
à 20 oC
aluminium
2,8.10-8
cuivre
1,7.10-8
or
2,4.10-8
96.10-8
mercure
platine
10.10-8
Semi-conducteurs
silicium 640
germanium
0,46
1,4.10-5
graphite
Diélectriques
2.1015
mica
2.1011
verre
3,9.10-3
6,8.10-3
3,4.10-3
0,8.10-3
3,92.10-3
Substance
Conducteurs
Figure 41
-75.10-3
-48.10-3
-0,5.10-3
-50.10-3
-70.10-3
- 38 Les semi-conducteurs sont des matériaux dont les propriétés de conduction électrique sont
entre celles d’un conducteur et d’un isolant. Leur résistivité peut être fortement diminuée par
l’adjonction (dopage) de quelques atomes étrangers (impuretés). leur résistance électrique
diminue lorsque la température augmente, contrairement aux conducteurs. Ils sont abondamment utilisés dans les dispositifs micro-électroniques.
Un supraconducteur est un matériau dont la résistance électrique devient subitement nulle audessous d’une température critique Tc (phénomène découvert en 1911 pour le mercure: Tc = 4
K). Les applications sont potentiellement très importantes et sont liées à la découverte (Š 1986)
d’alliages dont la température critique est au-dessus de celle de l’azote liquide et à l’espoir
d’obtenir des transitions à température ambiante.
Effet Joule
Pour faire passer un courant à travers une résistance, il faut maintenir une différence de potentiel aux bornes de la résistance à l’aide d’une source de tension extérieure appelée générateur
de tension (section 6.4): figure 42.
I
générateur
de tension
A
R
V = VA - VB
B
Figure 42
Ce générateur fournit une énergie qui est dissipée dans la résistance par les collisions des électrons avec les atomes et se transforme en chaleur: effet Joule (une ampoule chauffe). Le travail
nécessaire à faire passer dq charges pendant dt vaut (équation 21, équation 23 et équation 58):
dW A – B = dq ( V A – V B ) = Idt ( V A – V B ) = IdtV
(69)
d’où l’on tire la puissance dissipée sous forme de chaleur:
2
dW
V
2
P = --------- = IV = RI = -----dt
R
[W]
(70)
6.3 Résistances en série et parallèle
Comme les condensateurs, les résistances peuvent être combinées pour obtenir une valeur précise ou une énergie dissipée suffisante: figure 43.
- 39 -
I
R1
R2
V1
V2
I
Rs
V
I1 R1
I
I
I2
Rp
R2
V
V
Figure 43
La résistance équivalente Rs à deux résistances en série est donnée par la loi d’Ohm: Rs = V/I
= (V1 + V2)/I = (R1I + R2I)/I; en généralisant à n résistances en série:
R s = R 1 + R 2 + ... + R n
(71)
De même, la résistance équivalente Rp à deux résistances en parallèle est donnée par V = R1I1
= R2I2, I = I1 + I2 = V/R1 + V/R2 et Rp = V/I = V/(V/R1 + V/R2); en généralisant à n résistances en parallèle:
1
1
1
1
------ = ------ + ------ + ... + -----Rp
R1 R2
Rn
(72)
6.4 Force électromotrice, générateur de tension
En électrostatique, nous avons vu que le champ électrique résultant de charges au repos
dérivait d’un potentiel (section 3.5):
B
VA – VB =
∫ E • dl
(73)
A
L’expérience montre que cette équation reste valable lors d’un courant stationnaire de charges,
sauf au sein d’éléments appelés générateurs de tension. Elle n’est donc pas vérifiée dans le circuit fermé parcouru par un courant stationnaire tel que celui de la figure 44:
- 40 -
générateur
A
Ri
ε
I
R
VA - VB
+
B
Figure 44
Un générateur de tension est un dispositif capable de fournir une différence de potentiel entre
ses bornes de sortie. Cette chute de potentiel, qui crée un courant, est appelée force électromotrice (fem) notée ε. Les dispositifs réels possèdent une résistance interne notée Ri. La figure 44
représente un générateur électrochimique (pile, accumulateur); le pôle positif est symbolisé par
la longue barre.
Si le générateur débite un courant I dans le circuit, la différence de potentiel entre ses bornes
vaut:
VA – VB = ε – Ri I
(74)
Convention: le sens du courant produit par le générateur dans le circuit va du pôle positif au
négatif.
L’élément créant la fem est donc capable de transporter des charges dans une direction opposée
à celle selon laquelle un champ électrique les déplacerait. Dans une pile, la force nécessaire à
cette opération résulte de l’énergie dégagée par une réaction chimique.
Exemples: pile chimique (1-2V), dynamo (1-104V), courant alternatif redressé, thermocouples
(40µV/o), etc.). L’indication de tension d’une pile est celle de la fem ε.
La fem correspond au travail par unité de charges dW/dq fourni par le générateur pour faire
circuler un courant. Pour le circuit de la figure 44, l’équation 69 conduit à l’expression du travail: εIdt = VRiIdt + VRIdt, avec q = Idt. On retrouve ainsi l’équation 74.
Application
Adaptation électrique: la puissance dissipée dans R (figure 44) est maximale si R = Ri; par
l’équation 74, I = ε/(R + Ri) ==> P = RI2 ==> dP/dR = 0 ==> R = Ri
6.5 Lois de Kirchhoff
Ces lois, très importantes en pratique, permettent de déterminer tous les courants d’un circuit.
Considérons un circuit électrique tel que celui de la figure 45, parcouru par des courants stationnaires:
- 41 -
B
R3
I3
A
1
I2
3
I5
R4
2
D
I6
ε2
R2
R6
+
I1
R5
I4
C
ε1
+
R1
I1
Figure 45
Il est constitué de noeuds et de boucles fermées orientées appelées mailles comprenant des
noeuds et des éléments discrets (ici résistances et générateurs de tension).
En appliquant l’équation 59 à un noeud quelconque et en remarquant que la charge dans ce
noeud ne change pas (dQ/dt = 0), on peut énoncer la première loi de Kirchhoff: équation 75.
∑ Il
(75)
= 0
l
Convention: un courant entrant dans un noeud a le signe -, un courant sortant le signe +.
La seconde loi est une généralisation de la loi d’Ohm qui tient compte des forces électromotrices. Dans chaque maille d’un circuit tel que celui de la figure 45, on écrit en généralisant
l’équation 74:
∑ Rk IK + ∑ εj
k
= 0
(76)
j
Convention: la chute de tension dans une résistance, dirigée selon le sens du courant, est positive si elle est dans le sens de la maille, négative sinon. Une fem est négative si la maille
traverse le générateur du pôle négatif au pôle positif.
Illustration
Appliquons les lois de Kirchhoff au circuit de la figure 45:
Première loi, noeud A: -I1+I2+I3 = 0; B: -I3+I4+I5 = 0; C: -I2-I4+I6 = 0
Pour un circuit comportant n noeuds, la première loi est appliquée à n-1 noeuds; si la loi est
satisfaite pour ces noeuds, elle l’est automatiquement pour le n-ème.
Seconde loi
maille 1: -R2I2+R3I3+R4I4-ε2=0
maille 2: R5I5-R6I6-R4I4=0
- 42 maille 3: R1I1+R2I2+R6I6-ε1+ε2=0
La seconde loi est appliquée à autant de mailles qu’il est nécessaire pour que toute branche de
conducteurs fasse au moins une fois partie d’une maille.
La résolution de ces 6 équations permet de déterminer les 6 courants inconnus.
- 43 -
7. Magnétostatique
Objectifs
• Décrire les interactions subies par des charges en mouvement dans un champ d’induction
magnétique stationnaire
• Analyser le champ magnétique créé par des charges en mouvement.
7.1 Force de Lorentz
Considérons une charge ponctuelle q en mouvement dans un référentiel d’observation. Supposons que cette charge soit soumise à l’action d’autres charges dont une partie au moins a un
mouvement par rapport à ce référentiel ou à l’action d’un corps aimanté (section 8.): figure 46.
q
x
v=x
B
Figure 46
Les expériences d’Ampère et de Faraday décrites à la section 2. ainsi que d’autres expériences
modernes sur des faisceaux de particules montrent que la charge en mouvement subit une force
proportionnelle au produit qv et perpendiculaire à v. Cette force résulte d’une propriété de
l’espace au point où se trouve la charge q, que l’on décrit par le champ d’induction magnétique
B(x), souvent appelé champ magnétique B.
Les résultats expérimentaux conduisent à l’expression suivante de cette force magnétique et
donc à une définition de B:
F = qv ∧ B
(77)
Unités: [B] = [NsC-1m-1] = [Vsm-2] = [Tesla]; 1 T = 104 Gauss
Champ terrestre moyen: 0,2 Gauss = 2.10-5 T.
Si la charge en mouvement est également soumise à l’action d’un champ électrique, la force
résultante, appelée force de Lorentz, s’écrit:
F = q( E + v ∧ B)
(78)
Application: force magnétique agissant sur un courant électrique
Considérons un conducteur de section S et de longueur L placé dans un champ d’induction
magnétique stationnaire B: figure 47. Les charges libres se déplacent à une vitesse moyenne v
constante (section 6.1) et créent ainsi une densité de courant J = ρv (équation 56), où ρ est la
densité de charges en mouvement.
- 44 -
B
B
B
B
êτ
I
J
S
Figure 47
Chaque élément volumique dω du conducteur va subir une force magnétique:
dF = ρdωv ∧ B = J ∧ Bdω
(79)
La résultante des forces correspond à une expression de la force magnétique applicable aux
courants dans un conducteur:
F = I ∫ dl ∧ B
(80)
L
où I = JS et dl est le vecteur tangent à l’axe du conducteur, i.e. parallèle à J.
Pour un conducteur rectiligne de longueur L placé dans un champ uniforme ( ê τ et B constants),
F = IL ê τ ^B est perpendiculaire à B et au conducteur.
Cette application correspond au principe de fonctionnement des moteurs (figure 48), du galvanomètre (figure 48) qui est l’élément de base de plusieurs appareils analogiques de mesure
électriques tels que voltmètres et ampèremètres (section 12.2) et celui des haut-parleurs classiques (électrodynamiques).
N
N
I
S
Moteur
Galvanomètre
B
Figure 48
I
S
- 45 7.2 Champ d’induction magnétique produit par des charges en mouvement
Nous avons défini le champ d’induction magnétique dans la section 7.1 sans préciser son origine. Nous voulons montrer ici qu’il peut être créé par des charges en mouvement1, comme le
suggère l’expérience d’Oersted de la section 2.
A partir de cette expérience dans laquelle une boussole est placée en différentes positions au
voisinage d’un courant, de nombreuses expériences complémentaires ont conduit à la loi de
Biot-Savart, permettant de déterminer l’amplitude, le sens et la direction du champ d’induction
magnétique créé par un courant stationnaire I circulant dans un circuit de forme quelconque
(figure 49):
µ 0 ê τ ∧ ê r
B = ------I ∫ --------------- dl
4π ° r 2
(81)
Les symboles intervenant dans l’équation 81 sont définis à la figure 49.
µ0 = 4π.10-7 [Vsm-1A-1] est une constante de proportionnalité, appelée perméabilité magnétique du vide.
Ce champ d’induction magnétique résulte de la somme d’un très grand nombre de contributions dB dues à chaque élément de longueur dl du circuit:
µ 0 ê τ ∧ ê r
dB = ------I --------------- dl
4π r 2
(82)
dB est donc perpendiculaire à la direction de J et à la direction radiale allant de l’élément du fil
au point de l’espace considéré.
dl = dlêτ
êr
r
p
I
x
dB
B
Figure 49
Application 1: champ d’induction magnétique créé par un fil rectiligne
Considérons un fil rectiligne infiniment long parcouru par un courant I et calculons le champ
d’induction magnétique créé à l’extérieur du fil.
1. La section 8. montrera que la matière aimantée représente également une source de champ d’induction
magnétique.
- 46 En utilisant la loi de Biot-Savart (équation 81), la direction du champ d’induction magnétique
en un point P quelconque situé à une distance R du fil est déterminée facilement en observant
que chaque élément du fil donne une contribution dans un plan perpendiculaire à l’axe du fil,
dans une direction ê θ : figure 50.
S
I
êτ
α
dl
êr
l
êR
B
êτ
r
êθ
R
êR
P
êr
I
B
Figure 50
Le champ magnétique est calculé par:
µ0
B ( R ) = ------I
4π
∞
∫
–∞
π
µ0 I
µ0 I
sin α
----------dl
=
---------sin
α
dα
=
---------2
4πR ∫
2πR
r
et B = B(R)êθ
(83)
0
où r = R/sinα et l = -Rcotgα, et donc dl = Rdα/sin2α.
Le champ magnétique créé par le fil en un point P est donc inversement proportionnel à la distance R du point P au fil et les lignes de champ1 sont des cercles concentriques. Le sens de B
est donné par la règle du tire-bouchon dirigé dans le sens du courant.
Application 2: champ d’induction magnétique créé par une spire
Considérons un fil circulaire de rayon a, appelé spire, parcouru par un courant I, et calculons le
champ d’induction magnétique sur l’axe de la spire figure 51.
Les différentes contributions dB dues à chaque élément de longueur dl de la spire conduisent à
un champ magnétique résultant parallèle à l’axe de la spire: figure 51.
1. Le champ d’induction magnétique B est représenté graphiquement comme le champ électrique: la
tangente à une ligne de B en un point donné représente la direction du champ en ce point.
- 47 -
dB⊥
êτ
dl
a
α
dB
êr
C
z
r
α
I
P
dB||
z
Figure 51
En conséquence de l’équation 82,
2
µ 0 Ia
µ 0 Ia
B ( r ) = ∫ dB cos α = ----------3- ∫ dl = -----------3
°
4πr °
2r
(84)
Pour calculer B en un point z quelconque de l’axe, on remplace r par (a2 + z2)1/2.
L’allure générale du champ magnétique hors axe d’une spire est présentée à la figure 52.
Figure 52
Loin de la spire, l’expression du champ magnétique présente une certaine analogie avec le
champ électrique sur l’axe d’un dipôle électrique (section 5.1):
2
µ 0 Ia
µ0 m
B ( z ) = -----------=
----------3
3
2z
2πz
p ⁄ ε0
E ( z ) = -----------32πz
(85)
En définissant le moment dipolaire magnétique par m = IS, où S est la surface de la spire, les
deux expressions des champs sont identiques si l’on fait correspondre p/ε0 à mµ0. Les lignes
des deux champs ont ainsi même allure. Pour cette raison le circuit formé par une spire est
appelé dipôle magnétique.
- 48 On peut réaliser un champ homogène en plaçant deux spires à une distance égale à leur rayon
et l’on parle alors de bobines de Helmholtz: figure 53.
B sur l’axe
spires
z
a
a
Figure 53
Champ d’induction magnétique d’un solénoïde
Un solénoïde est un ensemble de spires juxtaposées de même diamètre. S’il est long et mince,
on montre que le champ magnétique est uniforme à l’intérieur, de direction parallèle à l’axe du
solénoïde et que le champ est nul à l’extérieur.
En notant n le nombre de spires par unité de longueur, l’amplitude vaut:
B = µ 0 In
(86)
7.3 Propriétés du champ d’induction magnétique
L’objectif est d’examiner quelques propriétés du champ d’induction magnétique B de manière
à simplifier son calcul, lorsqu’il est produit par des courants.
Loi d’Ampère
La loi ou théorème d’Ampère relie la circulation du champ magnétique, le long d’un contour
fermé, aux sources de courant. Elle exprime la relation entre B et ses causes.
Considérons un contour fermé quelconque L entourant un fil rectiligne infiniment long parcouru par un courant stationnaire I: figure 54.
- 49 -
I
B
L
dl
êθ
dθ
R
Figure 54
La circulation d’un champ vectoriel définie à la section 3.4, appliquée au champ magnétique
calculé à la section 7.2, permet d’écrire
µ0 I
B = ----------- ê θ ==>
2πR
µ 0 I ê θ • dl
------- ∫ ---------------- = µ 0 I
B
•
dl
=
°∫
2π °
R
L
(87)
L
car êθ.dl est la composante de dl selon êθ, égale à Rdθ.
Cette expression de B est donc valable pour un contour fermé quelconque entourant un fil rectiligne parcouru par un courant. On peut montrer que ce résultat s’applique à toute forme de
circuit, et pas seulement au fil rectiligne.
Si la courbe fermée L embrasse plusieurs courants, chaque courant contribue à la circulation et
l’on obtient la loi d’Ampère: la circulation du champ d’induction magnétique le long d’une
courbe fermée qui embrasse plusieurs courants vaut
°∫ B • dl
L
= µ0 ∑ Ij
j
Pour la disposition de la figure 55, la circulation du champ magnétique vaut (I1 - I2).
(88)
- 50 -
I1
I3
L
B
dl
dl
I2
B
Figure 55
En utilisant la densité de courant définie à la section 6.1, la loi d’Ampère se récrit:
I =
∫ J • dσ
Σ
==>
°∫ B • dl
L
= µ 0 ∫ J • dσ
(89)
Σ
A l’aide du théorème de Stokes, on obtient la loi d’Ampère sous forme locale qui établit une
relation entre le champ B en un point de l’espace et la densité de courant en ce même point:
rot B = µ 0 J
(90)
Flux magnétique
La notion de flux magnétique à travers une surface quelconque, fermée ou non, est d’une
grande importance. Si la surface est fermée, l’expérience conduit à écrire:
φB =
∫ B • dσ
= 0 [Tm2] = [Vs] = [Weber]
(91)
Σf
et donc, sous forme locale:
divB = 0
(92)
- 51 -
8. Aimantation de la matière
Objectifs
• Montrer que la matière peut être une source de champ d’induction magnétique.
• Décrire les propriétés d’aimantation de la matière.
Cette section apporte les connaissances nécessaires à la compréhension de nombreuses applications de l’électromagnétisme.
8.1 Moment magnétique et aimantation
Bien que seul un modèle quantique permette de décrire de façon satisfaisante un atome, nous
pourrons nous contenter ici de considérer l’atome comme un système planétaire miniature dans
lequel chaque électron décrit une orbite circulaire autour du noyau: figure 56.
e-
+
v
Figure 56
Le mouvement circulaire d’un électron de vitesse v sur une orbite de rayon a engendre un courant dit particulaire égal à:
v
I = ---------e [A]
2πa
(93)
Dans ce modèle, chaque orbite électronique est une spire parcourue par un courant particulaire
I.
Le champ d’induction magnétique, créé par une spire circulaire de rayon a, a été calculé à la
section 7.2: figure 57. Sur l’axe z de la spire, il est donné par:
2
µ0 I
a
B = -------- ---------------------------2 3⁄2
2 2
(a + z )
(94)
Si l’on s’intéresse à ce qui se passe loin de la spire, on obtient:
µ0 m
B = -----------32πz
(95)
où m est le moment dipolaire magnétique (section 7.2) défini par:
m = IS [Am2]
(96)
- 52 -
z
B(z)
m
S
a
y
I
x
Figure 57
Les caractéristiques de la spire n’apparaissent qu’à travers le produit de sa surface S par le courant. On peut démontrer que ce résultat est vérifié en tout point de l’espace (i.e. également hors
axe) suffisamment éloigné de la spire et qu’il ne dépend pas de la forme du petit circuit dans
lequel circule le courant. Comme on l’a vu à la section 7.2, une telle spire est appelée dipôle
magnétique.
On peut ainsi considérer la matière, du point de vue de ses propriétés magnétiques, comme un
ensemble de courants particulaires décrits par leur moment magnétique m. Macroscopiquement, ces propriétés magnétiques sont caractérisées par l’aimantation M(x), définie comme le
moment magnétique par unité de volume:
1
M ( x ) = ---- ∑ m i [Am-1]
Ω
(97)
i
où la somme porte sur tous les moments magnétiques contenus dans un petit volume Ω entourant le point x.
Comme nous le verrons, un fragment de matière, à l’exception des matériaux ferromagnétiques, ne présente pas d’aimantation globale en l’absence d’un champ d’induction magnétique
extérieur. En présence d’un tel champ, la distorsion du mouvement des électrons provoque une
aimantation de la matière.
Considérons un cylindre de longueur L et de section S d’une substance uniformément aimantée
parallèlement à son axe: figure 58.
M
Im
Im
L
S
Figure 58
- 53 Tous les dipôles magnétiques (section 7.2) sont ainsi orientés parallèlement à l’axe du cylindre
et les courants particulaires sont perpendiculaires à l’axe du cylindre. La figure 58 montre que
les courants internes tendent à se compenser mutuellement et qu’aucun courant global n’est
observé à l’intérieur de la matière. L’aimantation donne donc naissance à un courant résultant à
la surface du cylindre dont chaque tranche est assimilable à une spire parcourue par un courant.
Le cylindre se comporte ainsi comme un solénoïde.
On peut déduire une relation importante entre le courant superficiel du corps aimanté et son
aimantation M. Le courant circulant dans une direction perpendiculaire à M, le “solénoïde”
possède un moment magnétique résultant selon l’axe du cylindre dont l’amplitude est donnée
par MxLS. Ce moment magnétique est par définition relié au courant:
MLS ≡ I m LS
(98)
Nous concluons que M est égal au courant d’aimantation Im par unité de longueur de
solénoïde.
Bien que ce résultat ait été obtenu pour une géométrie particulière, il est tout à fait général et
nous pouvons dire que le courant par unité de longueur à la surface d’un corps aimanté est égal
à la composante de M parallèle à un plan tangent à la surface du corps et a une direction perpendiculaire à M.
8.2 Champ magnétique
Le courant d’aimantation Im est dû à des électrons liés à des atomes ou à des molécules et ne
sont donc pas libres de se déplacer. Dans les conducteurs électriques, il existe en plus des électrons libres capables de se déplacer à travers le matériau conducteur: section 4. Pour distinguer
ce courant du courant d’aimantation, nous l’appellerons courant "libre" Il.
Considérons un cylindre de matière et plaçons-le à l’intérieur d’un solénoïde parcouru par un
courant Il et possédant n spires par unité de longueur: figure 59.
S
Il
R
M
P
Il
Q
B
Im
Figure 59
Ce courant Il crée un champ d’induction magnétique B’ qui aimante le cylindre et donne naissance à un courant d’aimantation Im parallèle à Il. Le système solénoïde+cylindre est équivalent à un seul solénoïde parcouru par un courant par unité de longueur de nIl + M. Ce courant
donne naissance à un champ d’induction magnétique B résultant parallèle à l’axe du cylindre,
- 54 dont le module est donné par l’équation 86 de la section 7.3, en remplaçant nI par nIl + M:
1
B = µ 0 ( nI l + M ) ==> -----B – M = nI l
µ0
(99)
Cette expression donne les courants de conduction ou courants libres nIl par unité de longueur
sur la surface du cylindre en fonction du champ d’induction magnétique B et de l’aimantation
M dans le milieu. B et M étant des vecteurs parallèles, ce résultat suggère d’introduire un nouveau champ de vecteurs, appelé champ magnétique ou champ magnétisant, défini par:
1
H = -----B – M [Am-1]
µ0
(100)
Dans cet exemple, H = nIl relie H au courant libre par unité de longueur du solénoïde. Pour une
longueur PQ = L, on peut écrire HL = ΣIl, où ΣIl = nLIl est le courant libre total sur une
longueur L. Cette valeur HL correspond également à la circulation de H sur le rectangle PQRS
de la figure 59.
Ce résultat est général: la circulation du champ magnétique le long d’un contour fermé est
égale au courant libre total embrassé par le contour:
°∫ H • dl
=
∑ Il
(101)
H ne dépendant que des courants libres, il est indépendant de la présence ou non de matière
aimantée.
8.3 Susceptibilité magnétique et perméabilité relative
Comme l’aimantation M d’un corps est liée physiquement au champ d’induction magnétique
local B, nous pouvons introduire une relation entre M et B similaire à l’équation 46 entre P et
E donnée dans le cas électrique (section 5.2). Pour des raisons historiques, on relie M à H.
L’expérience montrant que l’aimantation est en général proportionnelle au champ magnétisant
H, on écrit:
M = χm H
(102)
χm [ ] est la susceptibilité magnétique qui caractérise le comportement magnétique d’une substance. Quelques valeurs sont données à la figure 62.
En introduisant cette relation dans l’équation 100, on obtient:
B = µH , avec µ = µ r µ 0 = ( 1 + χ m )µ 0
µ est la perméabilité du milieu et µr la perméabilité relative.
En utilisant µ, on peut remplacer la circulation de H par:
(103)
- 55 -
°∫ B • dl
= µ ∑ Il
(104)
Cette relation est similaire à la loi d’Ampère obtenue à la section 7.3, avec µ remplaçant µ0.
Conséquences
• Le champ magnétique créé par un courant rectiligne I noyé dans un milieu aimanté vaut B =
µI/2πR; il est donc µr fois plus important qu’en l’absence de matière aimantée: équation 83.
Ce résultat est vrai pour toute source de champ B.
• Les coefficients de self induction et d’induction mutuelle, définis à la section 9.2, peuvent
être considérablement augmentés en utilisant des noyaux ferromagnétiques: section 8.4.
8.4 Matériaux dia-, para- et ferromagnétiques
Dans les corps diamagnétiques, le moment magnétique de chaque atome est nul en l’absence
d’un champ d’induction magnétique extérieur Bext. En présence d’un Bext, un courant particulaire induit apparaît, qui crée un moment magnétique de sens opposé à Bext. Du point de vue
macroscopique, il apparaît une aimantation M de sens opposé à Bext: χm < 0 et µr ≅ 1.
Dans les corps paramagnétiques, chaque atome porte un moment magnétique permanent. Lorsque Bext est nul, l’aimantation globale du corps est nulle car l’agitation thermique maintient
une orientation isotrope des moments magnétiques. En présence d’un Bext, ils s’alignent parallèlement à Bext créant ainsi une aimantation M de même sens que Bext: χm > 0 et µr ≅ 1.
Dans les corps ferromagnétiques, chaque atome porte un moment magnétique permanent et les
moments magnétiques sont alignés, même en l’absence d’un champ d’induction magnétique
extérieur. L’alignement des moments magnétiques n’existe toutefois qu’à l’intérieur de petits
domaines dits domaines de Weiss. L’orientation des domaines étant isotrope, l’aimantation globale du corps est nulle en l’absence d’un champ extérieur. Lorsqu’on applique un champ
extérieur H = Bext/µ0 en dessous d’une température critique appelée température de Curie, les
domaines sont déplacés dans le sens d’un alignement des moments: χm >> 0 et µr >> 1. Cet
alignement et par conséquent l’aimantation ainsi créée subsistent lorsque le champ est coupé;
ce phénomène définit l’aimant permanent: fer, nickel, cobalt, etc.
L’aimantation atteint une valeur maximale, dite de saturation, lorsque tous les domaines sont
alignés. Lorsque H décroît, un phénomène d’hystérèse apparaît et une aimantation rémanente
Br subsiste. La surface du cycle est une mesure de l’énergie à fournir pour déplacer les frontières des domaines de Weiss. La figure 60 montre la courbe d’hystérèse de l’ALNICO V,
alliage d’aluminium, de nickel et de cobalt. Hc, appelé champ coercitif, est le champ qui doit
être appliqué pour annuler l’aimantation rémanente Br. On voit que la relation entre B et H
d’un matériau ferromagnétique n’est linéaire que dans une certaine dynamique du champ
extérieur.
- 56 -
B
(gauss)
Br
10000
5000
-µ0Hc
-800
-400
0
400
800
Bext = µ0H
(gauss)
Figure 60
On choisira un matériau ayant une grande valeur d’aimantation rémanente pour fabriquer des
aimants permanents. Les transformateurs utilisent des matériaux à faible champ coercitif Hc
pour éviter les pertes caractérisées par la surface du cycle lors de chaque changement de la
direction du champ extérieur.
Un aimant peut avoir différentes formes, mais possède toujours deux pôles. Deux pôles similaires se repoussent et deux pôles différents s’attirent. Une boussole est un aimant permanent,
placé sur un pivot lui permettant de s’orienter, dont l’un des pôles se dirige vers le pôle nord de
la terre. Ce pôle de la boussole est ainsi appelé pôle nord. Par convention, les lignes de champ
d’induction magnétique, tangentes en tout point au vecteur B, "sortent" du pôle nord et
"entrent" dans le pôle sud d’un aimant: figure 61. La terre est un gigantesque aimant dont le
pôle sud fait un angle de 11,5 o avec le pôle nord géographique: figure 61.
Nord géographique
N
S
N
S
Figure 61
- 57 Exemples de valeurs de la susceptibilité magnétique
La figure 62 donne quelques exemples de valeurs de la susceptibilité magnétique à température
ordinaire.
χm
Substances
Diamagnétiques
Hydrogène (1 atm)
Cuivre
Diamant
Mercure
Eau
- 2,1.10-9
- 1,0.10-5
- 2,2.10-5
- 3,2.10-5
- 9,0.10-6
Paramagnétiques
Oxygène (1 atm)
Aluminium
Platine
Air
2,1.10-6
2,1.10-5
3,0.10-4
3,6.10-7
Ferromagnétiques
Fer
Permalloy 45
µ-métal
Supermalloy
5’000
25’000
100’000
800’000
Hc [A/m]
~ 150
~ 1-10
~ 1-4
~ 0,1
Figure 62
9. Induction électromagnétique
Objectifs
La section 7 a montré qu’un courant dans un conducteur crée un champ d’induction magnétique dans son voisinage. Nous voulons décrire ici l’effet inverse, i.e. un champ magnétique
variable produit un courant dans un conducteur placé dans ce champ.
Cette section analyse des expériences semblables à celle de Faraday et Henry (section 2.1),
puis aborde différentes applications qui en découlent: machines électriques, transformateur,
etc.
Notation
Les lettres minuscules i et v décrivent des courants et tensions variant dans le temps.
9.1 Loi d’induction ou loi de Faraday
Plaçons un conducteur formant un circuit fermé de forme quelconque dans un champ d’induction magnétique: figure 63.
- 58 -
B
dl
i si B décroît
i si B croît
i≠0
Figure 63
Si le flux magnétique φB (section 7.3) à travers la surface délimitée par le circuit fermé varie
avec le temps, on observe (par un appareil de mesure placé dans le circuit) un courant dans le
conducteur pendant la variation de flux. Ce courant indique qu’une fem ε est induite dans le
circuit et implique donc la présence d’un champ électrique E. Des mesures quantitatives conduisent à la loi d’induction:
Dans un flux magnétique variable, une fem est induite dans tout circuit fermé. Elle est égale à
la dérivée temporelle changée de signe du flux magnétique:
dφ B
ε = – --------dt
(105)
Le signe négatif de l’équation 105 s’explique par la conservation d’énergie. Si le signe était le
même que celui de la variation de flux, le champ magnétique produit par le courant électrique
associé à ε tendrait à faire varier le flux dans le même sens et donc augmenterait la fem, et ainsi
de suite. Cet effet (ε) s’opposant à la cause (dφB/dt) est appelé loi de Lenz.
Nous déduisons de la loi d’induction que la seconde loi de l’électrostatique n’est plus valable
ici1 et qu’il apparaît une dépendance entre les phénomènes électrique et magnétique:
°∫ E • dl
= ε≠0
(106)
La combinaison de l’équation 105, de l’équation 106 et du théorème de Stokes permet d’obtenir la forme locale de la loi d’induction :
°∫ E • dl
d
= – ----- ∫ B • dσ
dt
Σ
∂B
==> rot E = – -----∂t
(107)
1. Une observation semblable a déjà été faite lors de la description des générateurs de tension à la section
6.4.
- 59 Si le circuit est constitué d’un conducteur ohmique de résistance R, le courant i est donné par:
ε = Ri
(108)
Considérons trois procédés conduisant à une variation de flux magnétique dans le circuit:
a. B variable et conducteur fixe
La variation de φB peut être obtenue en gardant constante la surface Σ du conducteur et en variant l’induction magnétique B. La figure 64 montre une expérience dans laquelle la variation de
B est créée lors de l’établissement d’un courant dans un circuit comportant un solénoïde source
du champ B:
Σ
i≠0
Figure 64
b. Déplacement d’un conducteur dans un B non-uniforme
La variation de φB dans un circuit de surface Σ constante peut être obtenue en le déplaçant dans
un champ d’induction magnétique non-uniforme:
déplacement du circuit
Σ
i≠0
Figure 65
c. B uniforme et surface du conducteur variable
Dans l’expérience illustrée à la figure 66, la variation de φB est obtenue en déplaçant le conducteur PQ à vitesse v de façon à modifier la surface PQRS du conducteur placé dans un B
uniforme:
- 60 -
y
x
Q
R
L
B
S
v
P
z
Figure 66
Soit x la longueur SP. L’aire PQRS vaut Lx et le flux magnétique est donné par:
φB =
∫
B • dσ = BLx
(109)
Σ PQRS
où x la longueur SP et L la longueur PQ.
La fem induite aux bornes du segment PQ vaut donc:
ε = – BLv
(110)
Remarque
Nous pouvons (et devons) comprendre ce résultat en partant de la force magnétique qv^B qui
agit sur les charges q du conducteur PQ en mouvement à la vitesse v. Sous l’effet de cette
force, les électrons libres vont se déplacer le long du conducteur, pousser par répulsion électrique les électrons des parties fixes du circuit et ainsi créer un courant. La force électromotrice
a été définie à la section 6.4 comme le travail par unité de charge à fournir pour faire circuler
un courant dans un circuit. Comme seul le conducteur PQ est en mouvement et que la force
magnétique est constante le long de PQ, on obtient:
Q
ε =
°∫ ( v ∧ B ) • dl
=
∫ ( v ∧ B ) • dl
= – BLv
(111)
P
On retrouve bien le résultat obtenu à partir de la variation de flux.
Cette définition de la fem, déjà rencontrée à la section 6.4 lors de l’étude des générateurs, justifie le terme de force électromotrice.
Si les barres PSRQ ne sont pas conductrices, la force électromotrice induite existe toujours
dans la barre conductrice PQ. Lors de son déplacement à v, un mouvement transitoire de ses
électrons libres aura lieu en réponse à la force de Lorentz. Des charges positives seront ainsi
accumulées à l’extrémité P et des charges négatives à l’extrémité Q. Une différence de potentiel existe entre les extrémités de la barre PQ.
On peut montrer que cette relation est générale: la fem induite dans une boucle de forme
- 61 quelconque, constante ou variable au cours du temps, se déplaçant n’importe comment dans un
champ magnétique stationnaire s’écrit:
ε =
°∫ ( v ∧ B ) • dl
(112)
v est la vitesse de déplacement d’un élément dl de la boucle soumise au champ d’induction
magnétique B = B(x) ou uniforme.
Dans le procédé a. conduisant à une variation de flux magnétique dans le circuit, les charges
sont immobiles. La force agissant sur les charges est donc la force électrique qE et la force
électromotrice vaut ainsi:
ε =
°∫ E • dl
(113)
En combinant ce résultat avec la loi d’induction (équation 105), on retrouve l’équation 107
exprimant la dépendance entre les phénomènes électrique et magnétique.
9.2 Self-induction et induction mutuelle
Soit un circuit "1" parcouru par un courant i1, produisant un champ B1: figure 67.
i1
Σ1
B1
Σ2
B1
Figure 67
Soit φ11 le flux de B1 au travers du circuit "1" et φ12 le flux de B1 au travers du circuit "2", définis par:
φ 11 =
∫ B1 • dσ1
et φ 12 =
Σ1
∫ B1 • dσ2
(114)
Σ2
La proportionnalité du champ B1 et donc des flux magnétiques avec le courant i1 (loi de BiotSavart, équation 81) conduit à définir deux coefficients qui ne dépendent que de la géométrie
des circuits:
• le coefficient de self-induction1 L d’un circuit:
1. appelé parfois inductance propre, auto-inductance ou coefficient d’auto-induction.
- 62 φ 11
L 1 = ------- [VsA-1] = [Henry]
i1
(115)
• le coefficient d’induction mutuelle M qui caractérise le couplage magnétique entre deux circuits:
φ 12
M = ------- [Henry]
i1
(116)
Réciproquement, si le circuit "2" est parcouru par un courant i2, on définit:
φ 22
φ 21
L 2 = ------- et M = ------i2
i2
(117)
L’égalité φ12/i1 = φ21/i2 peut être démontrée.
La self ou inductance est un composant possédant un coefficient de self-induction L; il est très
utilisé en électronique et en électricité. Son symbole est donné à la figure 68:
L
Figure 68
Exemple: M de deux spires concentriques
Calculons le coefficient d’induction mutuelle M de 2 spires concentriques de rayons R1 et R2,
en supposant R2 << R1 pour considérer comme uniforme le champ B1 sur Σ2. En utilisant
l’expression du champ d’induction magnétique au centre d’une spire (équation 84, section
7.2), on obtient:
µ0 i1
B 1 = ---------2R 1
==> φ 12 =
2
πR 2 B 1
2
µ0 π R2
==> M = --------- -----2 R1
(118)
Exemple: L d’une self torique
Calculons le coefficient de self induction L d’une bobine torique de N spires, de section rectangulaire: figure 69.
- 63 -
2a
h
i
2b
r
B
B
Figure 69
Dans cette géométrie, B est tangent à des cylindres de rayon a ð r ð b.
Par la loi d’Ampère (équation 87), le champ d’induction magnétique dû aux N spires vaut:
°∫
B • dl = µ 0 iN
cercle de r
µ 0 iN
==> B ( r ) = -----------2πr
(119)
Le flux total à travers la section d’une spire de la bobine est égal à:
b
φB =
∫ B • dσ
µ 0 iN
= h ∫ ------------ dr
2πr
(120)
a
Le coefficient d’induction vaut:
2
Nφ B
µ0 N
b
L = ----------- = ------------- h ln --i
2π
a
(121)
où NφB est le flux total à travers les N spires.
Application: a = 2 cm, b = 4 cm, h = 1 cm et N = 200 ==> L = 55 µH.
Le coefficient de self induction peut être fortement augmenté (>103) en réalisant le tore avec
un matériau de perméabilité magnétique élevée: section 8.
9.3 Energie magnétique dans un circuit électrique
L’énergie magnétique d’un circuit électrique composé de résistances et d’inductances est
l’énergie qu’il faut fournir pour faire passer le courant de 0 à I0 en omettant les pertes par effet
Joule.
- 64 Soit un circuit formé d’une self et d’une résistance en série, alimenté par une batterie: figure
70. Lors de la fermeture de l’interrupteur, on observe une augmentation progressive du courant
dont la valeur limite est un courant continud I0. Ce phénomène résulte de la fem induite dans la
self qui s’oppose à la variation du flux magnétique dans cet élément.
Ri
i
R
ε
L
εind
Figure 70
L’augmentation du courant induit une fem εind = - dφ/dt = - Ldi/dt qui s’oppose au passage du
courant. Si l’on néglige la résistance interne du générateur, la seconde loi de Kirchhoff conduit
à ε + εind = Ri.
Pendant dt, le travail fourni par le générateur vaut dW = εidt = (Ri + Ldi/dt)idt. Le terme Ri2dt
est l’énergie dissipée par effet Joule, alors que le second terme est d’origine magnétique. Pour
faire passer le courant de 0 à I0, l’énergie magnétique vaut:
I0
Em =
∫ Li di
1 2
= --- LI 0
2
(122)
0
9.4 Applications de la loi d’induction
Alternateur
Un alternateur est une machine fournissant une tension alternative lorsqu’une force mécanique
fait tourner son rotor. Le principe est illustré à la figure 71 par une spire tournant (rotor) dans
un champ magnétique B constant créé dans la partie fixe de la machine, appelée stator. En pratique, de nombreuses spires sont bobinées sur le rotor pour augmenter la tension fournie.
- 65 -
axe de rotation
b
a
N
S
Rcharge
Figure 71
Courants de Foucault
La loi d’induction s’applique également au cas des conducteurs massifs soumis à un B variable
ou se déplaçant dans un B. Un tel conducteur est parcouru par des courants induits appelés
courants de Foucault, de densité J = σE.
Considérons comme exemple le conducteur cylindrique de la figure 72 plongé dans un champ
d’induction magnétique uniforme et dépendant du temps. L’équation 107 implique que la variation temporelle de B crée un champ électrique et donc une densité de courant J:
ε =
°∫ E • dl
C
dB
= – ∫ ------- • dσ
dt
(123)
Σ
Le champ d’induction magnétique étant dirigé selon z, le champ électrique et donc les courant
de Foucault sont dans un plan x-y et dirigés selon le vecteur unité ± êϕ: J = σE(r,t)êϕ. Par
symétrie, E = E(r,t) et les lignes de courant sont ainsi des cercles concentriques.
En choisissant comme contour d’intégration de l’équation ci-dessus un tel cercle de rayon r
orienté selon êϕ, on obtient:
dB 2
σ dB
E ( r, t )2πr = – ------- πr ⇒ J ( r, t ) = – ---r ------- ê ϕ
2 dt
dt
(124)
Dans ce calcul, le très faible champ d’induction magnétique B’ créé par J est négligé et l’on
considère ainsi que B n’est pas modifié.
- 66 -
z
B(t)
J (si B décroît)
êϕ
C
y
r
ϕ
x
Figure 72
Les fours à induction utilisent de tels courants pour chauffer par effet Joule et faire fondre un
conducteur massif en utilisant un champ d’induction magnétique de fréquence élevée.
Certains camions sont munis d’un frein électromagnétique utilisant la force magnétique (section 7.1) créée par les courant induits dans un conducteur soumis à un champ B. Cette force est
actuellement utilisée pour réaliser la sustentation magnétique de prototypes opérationnels de
trains à très grande vitesse.
Transformateur
Un transformateur est formé de deux bobinages de spires sur un noyau ferromagnétique de
façon à créer un champ B important (µr élevé) et réaliser un couplage magnétique (section 9.2)
maximal par canalisation des lignes de champ dans le noyau: figure 73.
Dans les transformateurs, le noyau est fabriqué par empilage de feuilles ferromagnétiques
isolées pour éviter les pertes Joule par circulation de courants de Foucault dans ce noyau.
L’utilité principale des transformateurs est de modifier l’amplitude d’une tension variable sans
perte d’énergie importante.
i1
i2
v1
v2
B
Figure 73
- 67 L’un des enroulements, le primaire, est alimenté par une source de tension variable v1(t). Une
tension plus ou moins élevée, de même fréquence, peut être prélevée au secondaire. Si le circuit secondaire est fermé, un courant i2 y circule et génère un champ d’induction magnétique
qui se combine au champ créé par i1.
Comme on l’a vu à la section 9.2, la proportionnalité entre le flux et le courant est une caractéristique du circuit qui nous a conduit à la définition des coefficients de self induction L et
d’induction mutuelle M.
En négligeant la résistance ohmique des enroulements, les tensions sont données par la seconde loi de Kirchhoff:
dφ 1
di 2
di 1
v 1 ( t ) = -------- = L 1 ------- + M ------dt
dt
dt
et
dφ 2
di 1
di 2
v 2 ( t ) = -------- = L 2 ------- + M ------dt
dt
dt
(125)
φ1 = φ11 + φ21 résulte du flux produit par i1 et par i2 dans ce primaire. De même, φ2 = φ22 + φ12,
avec φ21 = φ12.
Si toutes les lignes de champ créées dans le primaire traversent le secondaire et réciproquement, le flux est le même et l’on parle de couplage parfait: on a alors1 M = (L1L2)1/2. Dans ce
cas, l’identification de di1/dt dans les deux expressions précédentes conduit à:
v2 ( t )
N2
M
------------ = ------ = -----v1 ( t )
L1
N1
(126)
où Ni est le nombre de spires de l’enroulement i = 1, 2.
Pour ce cas idéal du couplage parfait et de pertes ohmiques négligeables, la puissance électrique v1i1 du primaire est égale à celle du secondaire v2i2. En conséquence, le rapport des courants peut être également varié en variant le nombre de spires des enroulements: équation 127.
i2 ( t )
N1
----------- = -----i1 ( t )
N2
(127)
1. Soit φ le flux créé par i1 traversant 1 spire. On a alors L1 = N1φ/i1, M = N2φ/i1 et donc M = L1N2/N1.
De même, si φ ’ est le flux créé par i2 traversant 1 spire. On a alors L2 = N2φ ’/i2, M = N1φ ’/i2 et donc
M = L2N1/N2. ==> M2 = LlL2.
- 68 -
10. Circuits électriques en régime non-stationnaire
Objectifs
Analyser quelques circuits électriques comportant des résistances, capacités et inductances
reliées par des conducteurs et alimentés par un générateur1.
On considérera d’abord le régime transitoire provoqué par l’ouverture ou la fermeture de circuits alimentés par un générateur de courant continu. Les éléments R, C et L seront ensuite
reliés à un alternateur, source de tension sinusoïdale.
Notation
Les lettres minuscules i et v décrivent des courants et tensions variant dans le temps.
Remarque
Les tensions et courants sont déterminés en utilisant le fait que la conservation de la charge et
de l’énergie, établie pour une tension continue, est vérifiée en régime non-stationnaire; à
chaque instant, les lois de Kirchhoff s’appliquent:
A chaque noeud:
∑ ik
= 0 et dans chaque maille:
k
∑ vi + ∑ εj
i
= 0
(128)
j
10.1 Circuits en régime transitoire
La connaissance de l’évolution de la tension et du courant lors de la fermeture ou de l’ouverture d’un circuit relié à un générateur de tension continue est indispensable au bon dimensionnement des éléments du circuit. Certaines caractéristiques des régimes transitoires sont
également utilisées dans différents dispositifs électriques.
Cette section présente deux exemples permettant d’illustrer la méthode d’analyse applicable à
tous les types de circuits comportant des éléments R, L et C reliés à une source de tension continue.
Exemple 1: Charge d’un condensateur
Un générateur de tension ε est branché à l’instant t = 0 sur un circuit RC série dont la capacité
n’est pas chargée: figure 74. On désire connaître l’évolution de la tension vC(t) et du courant
i(t) aux bornes du condensateur.
1. Le lecteur intéressé trouvera une analyse plus complète des circuits dans “Introduction à l’électrotechnique” - F. de Coulon et M. Jufer: section 13.
- 69 -
i
A
t=0
R
B
ε
vR
vC
C
Figure 74
La charge Q du condensateur va augmenter avec l’augmentation de la tension vC: dQ = CdvC =
idt. Les équations du circuit s’écrivent:
ε = vR + vC ,
et
v R = Ri
dv C
i = C --------dt
(129)
auxquelles il faut ajouter les conditions initiales, soit Q(t = 0) = 0 et donc vC(t = 0) = 0.
En éliminant i et vR, on obtient une équation différentielle linéaire avec second membre pour
vC, dont la solution s’obtient par les méthodes classiques:
dv C
RC --------- + v C = ε
dt
t
– --------

RC
==> v C ( t ) = ε  1 – e 


(130)
L’équation reliant la tension au courant du condensateur permet de déterminer l’évolution du
courant:
t
ε – ------RC
i ( t ) = ---- e
R
(131)
La figure 75 illustre l’évolution du courant et de la tension lors de la charge du condensateur.
ε
vC
i
τ
t
Figure 75
La vitesse de l’évolution du régime transitoire est généralement caractérisée par la constante
de temps τ du circuit, obtenue en considérant la dérivée à l’origine du courant ou de la tension;
ici (figure 75) τ = RC.
Le lecteur analysera la décharge du condensateur lorsque l’interrupteur de la figure 74 passe de
la position A à B.
- 70 Lors de ces deux régimes transitoires, le courant peut prendre des valeurs très importantes si la
résistance du circuit est faible.
Exemple 2: Etablissement du courant dans un circuit LR série
On souhaite déterminer l’évolution du courant i et de la tension vL dans un circuit LR série lors
de la fermeture de l’interrupteur: figure 76.
t=0
ε
R
i
vL
vL
εind
i
L
τ
t
Figure 76
En se rappelant (section 9.) que le courant variable passant dans la self provoque une fem
induite donnée par εind = - Ldi/dt, l’équation du circuit s’écrit:
ε + ε ind = Ri
di
==> L ----- + Ri = ε
dt
(132)
Cette équation différentielle se résout comme l’équation 130, en tenant compte de la condition
initiale i(t = 0) = 0:
R
– ---- t
ε
L
i ( t ) = ----  1 – e 
R

(133)
La tension vL est obtenue facilement en utilisant la relation vL = - εind = Ldi/dt:
v L ( t ) = εe
R
– ---- t
L
(134)
La constante de temps caractérisant l’évolution du régime transitoire vaut pour ce circuit τ = L/
R.
Le lecteur analysera l’évolution du courant et de vL lors de l’ouverture de l’interrupteur de la
figure 76 et remarquera que la tension vL devient très grande (allumage “classique” des bougies d’un moteur).
10.2 Circuits en régime sinusoïdal
Les circuits alimentés par un alternateur fournissant une tension sinusoïdale sont très utilisés
lors de la transmission d’énergie électrique, dans les moteurs, les appareils ménagers, radios et
TV, les ordinateurs et dans une grande partie des appareils électriques utilisés dans l’industrie.
- 71 Cette section a pour objectif de présenter à l’aide de quelques exemples la méthode des phaseurs, généralement utilisée pour déterminer les courants alternatifs, les tensions alternatives
et les impédances dans les circuits.
Remarques
• Les grandeurs électriques sinusoïdales sont généralement notées:
v ( t ) = V cos ωt et i ( t ) = I cos ( ωt – φ )
(135)
V et I sont les amplitudes ou valeurs de crête, ω = 2πf est la pulsation, f = 1/T la fréquence
et T la période, φ exprime le déphasage entre la tension et le courant.
Nous nous limiterons à décrire la réponse de circuits à une source de fréquence unique,
sachant que l’analyse de Fourier permet de remplacer toute forme de signal périodique par
une combinaison de signaux sinusoïdaux de fréquence f, 2f, 3f, etc.
• De manière à simplifier les calculs, les électriciens utilisent les nombres complexes pour
représenter les grandeurs alternatives. La formule d’Euler permet en effet de dire par exemple qu’une grandeur cosinusoïdale est la partie réelle d’une exponentielle complexe:
i ( t ) = Re { Ie
j ( ωt – φ )
} = Re { I cos ( ωt – φ ) + jI sin ( ωt – φ ) }
(136)
Cette notation permet une représentation graphique dans le plan complexe, appelée diagramme des phaseurs, qui simplifie l’analyse des circuits. Elle rend également aisée l’addition de tensions ou courants. Un phaseur est un vecteur courant, tension ou impédance dont
le module est égal à l’amplitude de la grandeur électrique considérée. L’angle entre deux
phaseurs correspond au déphasage entre les grandeurs correspondantes. La projection sur
un axe (ici l’axe réel) représente les grandeurs physiques. Ces vecteurs “tournent” dans le
plan complexe à une vitesse angulaire ω. La figure 77 présente les phaseurs correspondant à
l’équation 135. En pratique, le diagramme des phaseurs est décrit dans un référentiel en
rotation à la vitesse ω.
Im
V
I
φ
ωt
v(t)
i(t)
Re
Figure 77
• Une tension alternative est généralement indiquée par sa valeur efficace (par exemple 220
V), définie comme la tension continue qui conduirait à la même valeur moyenne de la puissance P dissipée par effet Joule dans une résistance R:
- 72 -
T
T
0
T
2
V eff
1
1
2
P = --- ∫ P ( t ) dt = -------- ∫ v ( t ) dt ≡ ---------T
RT
R
1 2
--- ∫ v ( t ) dt
T
==> V eff =
0
(137)
0
L’amplitude maximale d’une tension sinusoïdale, appelée valeur de crête, est donc de
2 Veff.
Circuit résistif
Considérons le circuit de la figure 78 alimenté par un générateur délivrant une tension v =
Vcosωt et calculons le courant.
i
Im
R
V
I
ωt
i(t)
v(t)
Re
v=Vcosωt
Figure 78
En utilisant la seconde loi de Kirchhoff et la loi d’ohm, on obtient:
V
v – Ri = 0 ==> i = ---- cos ω t
R
(138)
Le courant a la même phase que la tension, comme l’indique le diagramme des phaseurs de la
figure 78 que l’on construit en exprimant v et i par des nombres complexes (équation 136).
Circuit capacitif
Calculons le courant dans le circuit de la figure 79.
i
Re
C
V
ωt
i
Im
0
I
t
t*
v
v=Vcosωt
Figure 79
La seconde loi de Kirchhoff et la relation entre charge et courant dans le condensateur conduisent à l’expression du courant dans le circuit:
- 73 -
Q
dQ
π
v – v C = 0 et v C = ---- ==> i = ------- = – CωV sin ω t = CωV cos  ωt + ---

C
dt
2
(139)
Le courant est en avance de π/2 sur la tension, comme l’illustre le diagramme des phaseurs de
la figure 79.
Circuit inductif
Déterminons le courant dans le circuit inductif de la figure 80.
i
V
Im
L
ωt
v = Vcosωt
i(t)
v(t)
Re
I
Figure 80
Les équations du circuit s’écrivent:
v – v L = 0 et v L = L
di
dt
(140)
L’équation différentielle peut être résolue par la méthode de séparation des variables et l’on
obtient:
V
π
V
i = -------- sin ω t = -------- cos  ωt – ---
ωL
ωL
2
(141)
Le courant est en retard de π/2 sur la tension.
Circuit RLC série
Déterminons le courant dans le circuit RLC série de la figure 81:
R
L
Figure 81
La seconde loi de Kirchhoff conduit à l’équation du circuit:
C
- 74 -
di
Q
L ----- + Ri + ---- = V cos ω t
dt
C
(142)
Q étant une fonction du courant, il est nécessaire de l’exprimer explicitement:
2
L
di
dt
2
+R
di i
+ ---- = – ω V sin ω t
dt C
(143)
Cette équation est semblable à celle d’un oscillateur forcé. L’inductance est l’analogue de la
masse, la résistance est équivalente à la viscosité et C-1 correspond à la constante de rappel du
ressort de l’oscillateur.
Le courant dans le circuit, obtenu en résolvant l’équation 143, vaut:
1
 ωL – --------
ωC
i = I cos ( ωt – φ ) , avec φ = atan  ----------------------
R


V
et I = -----------------------------------------------------2
2
R + ( ωL – 1 ⁄ ωC )
(144)
L’utilité des nombres complexes peut être illustrée pour résoudre l’équation 143 (régime permanent) en posant1 ṽ = Vejωt et ĩ = Iej(ωt-φ) et donc pour déterminer le courant et la tension
dans ce circuit. En utilisant les règles des nombres complexes, on obtient l’équation 144.
Ce résultat peut également être obtenu graphiquement par le diagramme des phaseurs de la figure 82 où l’on a choisi arbitrairement VL > VC. Les tensions VR, VL et VC sont dessinées en
tenant compte de leur déphasage par rapport au courant pris comme référence, car commun
aux 3 éléments. Le diagramme est dessiné dans le référentiel tournant à ωt.
VL
VL = ωLI
V
VR = RI
VC = I/ωC
I
φ
VC
I
VL−VC
VR
Figure 82
Impédance
Le rapport entre tension et courant alternatifs conduit à généraliser la notion de résistance et à
définir l’impédance Z d’un élément électrique ou d’un circuit. Son symbole est représenté à la
figure 83.
1. La notation complexe de la tension ou du courant est indiquée par un tilde.
- 75 -
Z
Figure 83
L’impédance est un nombre complexe dont le module est égal au rapport des amplitudes de la
tension vZ aux bornes d’un élément (ou d’une combinaison d’éléments) et du courant iZ le traversant. L’argument δ mesure la phase de vZ(t) par rapport à iZ(t). En utilisant la notation complexe indiquée par un tilde et en omettant le facteur commun ejωt, on obtient:
jα
v˜Z
Ve
V j( α – β)
jδ
Z = ----- = ----------= ---- e
= Ze
jβ
I
ĩ Z
Ie
(145)
• Pour une résistance: Z = R
• Pour une capacité: Z =1/jωC
• Pour une inductance: Z = jωL
L’introduction de la notion d’impédance permet de généraliser la loi d’ohm en utilisant la notation complexe. En écrivant les lois de Kirchhoff sous forme complexe, on montre à nouveau
que l’impédance résultant de la mise en série de plusieurs éléments est la somme (complexe)
des impédances. De même, l’admittance Y = Z-1 résultant de la mise en parallèle de plusieurs
éléments est la somme des admittances.
Pour le circuit RLC de la figure 81, le lecteur vérifiera que:
Z =
2
R + ( ωL – 1 ⁄ ωC )
2
ωL – 1 ⁄ ωC
et tan δ = ----------------------------R
(146)
L’impédance d’un circuit peut naturellement être obtenue graphiquement par un diagramme
des phaseurs des impédances; la figure 84 illustre le résultat obtenu pour le circuit RLC série.
Im
ZL
ZC
Z
δ
ZC
ZR
I
Re
Figure 84
Puissance active
La puissance moyenne dissipée dans une impédance, appelée puissance active, dépend du
déphasage entre tension et courant:
- 76 T
1
VI
P = --- ∫ v ( t )i ( t ) dt = ------ cos δ
T
2
(147)
0
10.3 Filtres électriques
Un filtre électrique est un diviseur de tension qui ne “laisse passer” que certaines fréquences. Il
est dit passe-bas s’il ne laisse passer que les basses fréquences. Montrons que le schéma électrique de la figure 85 est un filtre passe-bas. Pour simplifier les calculs, on supposera que
l’impédance de la charge Z est beaucoup plus grande que celle de la capacité, i.e. que le courant iZ est négligeable.
R
v1
i
iZ
C
Z
v2
Figure 85
En notation complexe, les équations du circuit s’écrivent:
ĩ
ṽ 2 = Z C ĩ = ---------jωC
ṽ 1
ṽ 1
et ĩ = -------------------- = --------------------ZR + ZC
1
R + ---------jωC
(148)
La tension aux bornes de la charge vaut donc:
1
---------ṽ 1
jωC
ṽ 2 = ṽ 1 --------------------- = ----------------------------1
( 1 + jωRC )
R + ---------jωC
==>
1
ṽ 2
----- = ----------------------------------2
ṽ 1
1 + ( ω ⁄ ω0 )
(149)
On constate bien que ṽ 2 sera faible pour des fréquences élevées du générateur, telles que ω >>
ω0; ω0 = 1/RC est la fréquence de coupure du filtre à laquelle la puissance transmise est la
moitié de la puissance maximale, i.e. - 3 dB.
Le lecteur intéressé vérifiera la réponse fréquentielle des circuits de la figure 86 et en déduira
leurs fonction.
Figure 86
- 77 -
L
R
ṽ 2
1
----- = -------------------------1 + jω ⁄ ω 0
ṽ 1
ω0 = R ⁄ L
C
R
R
L
ṽ 2
1
----- = ------------------------1 – jω 0 ⁄ ω
ṽ 1
ṽ 2
1
----- = ------------------------1 – jω 0 ⁄ ω
ṽ 1
ω 0 = 1 ⁄ RC
ω0 = R ⁄ L
- 78 -
11. Equations de Maxwell
Une grande quantité de phénomènes électromagnétiques, souvent découverts par l’expérience,
a conduit Maxwell (1867) à une formulation synthétique particulièrement efficace. Pour cette
raison les lois suivantes, discutées dans les sections précédentes, sont appelées équations de
Maxwell.
Dans le vide, le champ électromagnétique (E, B) satisfait aux quatre équations de Maxwell suivantes:
Forme locale
ρ
divE = ----ε0
Forme intégrale
∫
Σ ferme
1
Q
E • dσ = ----- ∫ ρ ( x ) dω = ----ε0
ε0
Ω
∂B
rot E = – -----∂t
°∫ E • dl
∂E
rot B = µ 0  J + ε 0 

∂t 
°∫ µ-----0 • dl
=
divB = 0
∫ B • dσ
= 0
B
d
= – ----- ∫ B • dσ
dt
Σ
d
∑ I + ε0 ---dt ∫
E • dσ
Σ ferme
Σf
La troisième équation est la réciproque de la deuxième; un champ magnétique existe en un
point où règne un champ électrique non-stationnaire. Ce phénomène n’a pas été traité au cours
(section 7.3) où l’on a supposé que les courants étaient stationnaires et donc ρ constant. E et B
se présentent ainsi comme deux aspects d’une même quantité: le champ électromagnétique (E,
B).
En présence d’un milieu matériel, les deux équations de Maxwell qui caractérisent la structure
du champ électromagnétique sont évidemment inchangées.
Les deux autres équations, qui relient le champ aux sources, s’écrivent dans la matière:
Forme locale
Forme intégrale
∫
divD = ρ l
D • dσ =
Σ ferme
rot H = J +
∂D
∂t
°∫ H • dl
∫ ρl ( x ) dω
= Ql
Ω
=
d
- D • dσ
∑ I + ---dt ∫
Σ
- 79 -
12. Annexes
12.1 Notion d’angle solide
Soit sur une surface Σ un élément de surface dσ entourant un point P et soit r = OP le rayon
vecteur: figure 87.
dσ
α
P
r
Σ
êr
dΩ
O
sphère unité
Figure 87
Par définition, le produit scalaire
ê r • dσ
dΩ = ----------------[sr] (stéradian)
2
r
(150)
est l’angle solide sous lequel dσ est vu de O. Le nombre est positif ou négatif selon la valeur de
l’angle α entre r et dσ. Sa valeur absolue est la mesure de l’aire dΩ interceptée sur la sphère de
centre O et de rayon unité par le cône élémentaire ayant O pour sommet et la frontière dσ pour
directrice. En effet,
1
r • dσ = --dΩ = ê----------------- dσ cos α
2
2
r
r
(151)
est le produit par 1/r2 de la projection de l’aire dσ sur un plan perpendiculaire à OP et passant
par P; c’est aussi, à un infiniment petit près d’ordre supérieur, le produit de 1/r2 par l’aire interceptée sur une sphère de centre O et de rayon unité par le cône élémentaire. L’intégrale
ê r • dσ
∫ ∫ ----------------2
r
(152)
Σ
représente alors l’angle solide de la surface Σ relativement à O. Le signe de cet angle solide
change avec le sens de la normale à la surface.
- 80 Cas particulier: surface fermée
Si O est extérieur à Σ, l’angle solide est nul. Si O est intérieur, il vaut 4π.
En effet, si O est extérieur, on peut toujours se ramener au cas où le cône élémentaire coupe Σ
suivant deux éléments de surface dσ1 et dσ2: figure 88. On a manifestement |dΩ1| = |dΩ2|,
mais les signes de êrdσ1 et êrdσ2 sont opposés, de sorte que la somme des angles solides élémentaires correspondant au cône est nulle et, en sommant sur toute la surface, on trouve bien
un angle solide nul.
êr
êr
|dΩ1| = |dΩ2|
dσ2
O
dσ1
Figure 88
Si O est intérieur, l’angle solide est, au signe près, égal à l’aire de la sphère de rayon unité: il
vaut 4π si l’on convient, comme nous avons décidé de le faire, d’orienter la normale vers
l’extérieur.
12.2 Ampèremètre et Voltmètre
Les ampèremètres et voltmètres analogiques utilisent le principe du galvanomètre (section 7.1)
qui permet de faire varier la position angulaire d’une aiguille proportionnellement au courant
Ig traversant les spires de résistance ohmique r: figure 89. Le courant maximal pouvant traverser un galvanomètre est de l’ordre de 50 µA. Ces appareils permettent de mesurer des courants et tensions continues ou alternatives.
N
Ig
S
Figure 89
L’ampèremètre est inséré le long d’un fil conducteur d’un circuit dans lequel on veut mesurer
le courant. Sa résistance doit être minimale pour ne pas modifier les caractéristiques du circuit.
- 81 Si le courant est supérieur au courant maximal du galvanomètre, on utilise une résistance en
parallèle, dite de shunt, placée dans l’ampèremètre: figure 90.
r
I
Ig
G
galvanomètre
R
ampèremètre
Figure 90
Un voltmètre utilise la loi d’ohm du galvanomètre: sa tension est proportionnelle au courant
qui le traverse. Sa résistance doit être maximale pour ne pas modifier les caractéristiques du
circuit. Lors d’une mesure d’une tension entre deux points d’un circuit, la tension maximale
que peut mesurer un galvanomètre est de l’ordre de 1,5 mV. Pour mesurer des tensions plus
élevées, il suffit de placer une résistance en série avec le galvanomètre: figure 91.
R
r
G
galvanomètre
voltmètre
point A
circuit
point B
Figure 91
Exemple
Soit un galvanomètre de r = 30 Ω et de courant maximal Ig = 50 µA.
La mesure d’un courant de I = 1 A nécessite l’introduction d’une résistance shunt dans
l’ampèremètre de R = 1,5 mΩ.
La mesure d’une tension de V = 15 V nécessite l’introduction d’une résistance série dans le
voltmètre de R = 300 kΩ.
Remarque
L’appareil appelé multimètre combine les fonctions d’ampèremètre, de voltmètre et d’ohmmètre. Les multimètres analogiques sont actuellement souvent remplacés par des appareils digitaux.
- 82 -
13. Ouvrages de références
Alonso M., Finn E.J.
Physique générale 2, champs et ondes
InterEditions, Paris, 1992
De Coulon F., Jufer M.
Introduction à l'électrotechnique
Presses polytechniques et universitaires romandes, Lausanne, 1995
Feynman R.P.
Le cours de physique de Feynman, électromagnétisme 1 et 2
InterEditions, Paris, 1995
Halliday D., Resnick R., Walker J.
Fundamentals of physics
John Wiley, extended 6th edition, New York 2000
Hudson A., Nelson R
University physics
Saunders College Publishing, New York, 1990
Pérez J.P., Carles R., Fleckinger R.
Electromagnétisme
Masson, Paris, 1996
Purcell E. M.
Berkeley cours de physique 2, électricité et magnétisme
Armand Colin, Paris, 1973
Serway R.A.
Physics for scientists and engineers, volume 2
Saunders College Publishing, New York, 1996
- 83 -
- 84 -