Sciences physiques

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2C3 233
Ecole Normale Supérieure de Cachan
SECOND CONCOURS –ADMISSION EN CYCLE
MASTER PHYSIQUE
Session 2013
Épreuve
de SCIENCES PHYSIQUES
Durée : 5
heures
Aucun document n’est
autorisé
L’usage de calculatrice électronique de poche à alimentation autonome, non
imprimantes et sans document d’accompagnement, est autorisé selon la circulaire
n°99018 du 1er février
1999. De plus, une seule calculatrice est admise sur la table, et aucun échange n’est autorisé
entre les candidats.
Si, au cours de l’épreuve, un candidat repère ce qui lui semble être une erreur
d’énoncé, il le signale sur sa copie et poursuit sa composition en expliquant les raisons
des initiatives qu’il est amené à prendre.
Le candidat traitera les deux parties de l’épreuve sur deux copies
séparées .
1ère partie :
PHYSIQUE
Cette partie compte pour 2/3 de
l’épreuve.
2ème partie : CHIMIE
Cette partie compte pour 1/3 de l’épreuve

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PARTIE PHYSIQUE
Ce sujet est composé de trois problèmes indépendants. Le premier problème s’intéresse aux
effets de marées produits par une planète sur un satellite. Le second problème s’intéresse à un
système de deux points matériels reliés par un fil. Le troisième problème s’intéresse au
fonctionnement d’un moteur à réaction.
I) Limite de Roche
Le mathématicien Roche démontra dès 1850 que les effets de marées produits par une
planète sur un satellite conduisent à la dislocation de ce satellite s’il s’approche trop près de la
planète.
Nous proposons ici, dans le cadre d’un modèle très simple, de retrouver l’existence de la
distance critique correspondante appelée « limite de Roche ». On pose les hypothèses suivantes :
 Le référentiel barycentrique de la planète P, défini comme un référentiel en translation
par rapport au référentiel de Copernic et centré sur le barycentre de la planète, est
considéré comme une bonne approximation d’un référentiel galiléen (cela revient à
négliger les effets dus à l’attraction solaire) ;
 La planète P est sphérique et homogène, de centre d’inertie O, de masse MP, de rayon Rp
et de masse volumique P ;
 Le satellite, de masse volumique  est en orbite circulaire de rayon d autour de la planète.
Il est constitué de deux sphères homogènes S1 et S2 identiques de centres O1 et O2 , de
masse m et de rayon a<<d ; les points O, O1 et O2 sont constamment alignés. On suppose
également que les sphères ne sont liées entre elles que par leur attraction gravitationnelle
mutuelle, avec G6,67 10
11SI.
On analyse le mouvement dans le cas où les sphères sont en contact. On pourra introduire le
vecteur unitaire u dirigé de O vers le satellite.
1) Analyser dans le référentiel barycentrique de la planète les forces s’exerçant sur chacune des
deux sphères, sans oublier la force de contact que l’on aura pris soin définir. Ecrire pour chacune
des sphères la relation fondamentale de la dynamique.
O
d
O1 O
2
I
2a
RP
u

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2) En déduire une expression de d2OI dt2 (I milieu de O1O2), la nature uniforme du mouvement
et l’expression de la vitesse angulaire  du satellite en fonction des données ; on en donnera une
expression approchée à l’ordre 1 en a/d que l’on conservera dans la suite du problème.
3) Déduire de même une expression de d2O1O2dt2 faisant intervenir la force de contact.
Compte tenu du mouvement du satellite, établir l’expression de la force de contact à l’ordre 1 en
a/d.
4) A quelle condition le contact est-il rompu entre les deux composantes du satellite ? En déduire
que le contact cesse lorsque d devient inférieure à une valeur dmin que l’on exprimera en fonction
de P ,  , et RP .
5) Calculer la valeur de dmin pour la Terre agissant sur la Lune : M
T
5,9.1024 kg;
RT6,4.103km ;
Lune 3,5.103kg
m
3. Commenter.
6) Calculer la valeur de dmin pour Saturne : M
P
5,7.1026 kg ; RT6.104km ;
P
.
Commenter le fait que son satellite le plus proche (Mimas) est à 185600km et que Saturne
possède des anneaux, les plus denses étant contenus dans un rayon de 136000 km.
II) Deux points matériels reliés par un fil
Deux points matériels M1 et M2, de masses respectives m1 et m2, sont liés par un fil idéal
(inextensible et de masse nulle) de longueur l. Ce fil passe sans frottement par une ouverture
ponctuelle O percée dans un plan (xOy) horizontal sur lequel M1 glisse sans frottement.
A) Etude d’une situation initiale particulière
Le fil étant initialement tendu, M1 étant au point A situé sur l’axe Ox (xA=x0, yA=0, zA=0), M2
se trouvant à la verticale de O, on libère sans vitesse initiale les points matériels M1 et M2.
A.1) Déterminer l’expression de la position z2(t) du point M2 en fonction de l, x0, g, m1 m2 et t .
A.2) Calculer la date t1 à laquelle M1 parvient en O.
A.3) Soit T2 la force exercée par le fil sur le point matériel M2. Calculer le travail de T2 entre
t=0 et t=t1 en fonction de x0, m1, m2 et g. Commenter son signe.
O
M2
M1
x
y
z
gge
z

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B) Etude générale
Dans cette partie, M1 décrit une trajectoire courbe dans le plan (xOy) qui peut être décrite par
les coordonnées polaires (r,). La base mobile associée est notée er,e
.
On supposera que le fil est constamment tendu et que le point M2 reste toujours à la verticale
du point O (x2(t)=y2(t)=0). On choisit les conditions initiales suivantes :
 Pour M2 : v2(0) 0
 Pour M1 :
r
(0) 
r
0
l
, (0) 0 , v1(0) v0e
B.1) Montrer que pour une certaine valeur de v0, notée v0*, que l’on exprimera en fonction de
r0, m1, m2, g , la trajectoire de M1 peut être circulaire.
B.2) On suppose désormais que v0 est inférieure à v0*.
a) Montrer que le moment cinétique de M1 par rapport à O est constant. En déduire une
relation entre r(t), (t), r0 et v0.
b) En appliquant le PFD aux points M1 et M2, trouver une équation différentielle reliant r(t)
et (t).
c) A l’aide des deux équations précédentes, déterminer une équation différentielle vérifiée
par r(t). On pose m=m1+m2. Ecrire cette équation sous la forme :
(E): mr
f(r)
où f(r) est une fonction que l’on exprimera en fonction de m1, m2, g, r0, v0 et r.
B.3) Afin d’analyser les propriétés des solutions de l’équation (E), nous allons étudier un autre
problème de mécanique vérifiant la même équation différentielle. Considérons un point
matériel M de masse m se déplaçant sans frottement le long d’un axe (O,u), u étant un vecteur
unitaire, et posons OM ru. Ce point matériel est soumis à la force ff(r)u, où f(r) est la
fonction définie précédemment.
a) Préciser les conditions initiales de r(0) et r
(0) pour que ce problème ait la même
solution r(t) que celle du problème de la question précédente.
b) Calculer l’énergie potentielle associée à la force f.
c) En déduire une intégrale première du mouvement.
d) Justifier par une méthode graphique que r oscille entre deux valeurs extrêmes r1 et r2,
avec r1<r2.
e) Comparer r0, r1 et r2 (on rappelle que v0<v0*).
B.4) A l’aide des questions précédentes, décrire qualitativement les trajectoires de M1 et M2
dans le cas où v0<v0*.
x
y
M1
z
O 
e
r
e
r

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III) Etude d’un turboréacteur
A) Préliminaires : bilan d’énergie pour un écoulement permanent
Un gaz s’écoule en régime permanent dans une canalisation (1), il traverse ensuite une partie
active où il échange avec le milieu extérieur un travail w (autre que celui des forces de pression
nécessaire pour faire entrer et sortir le fluide d’un volume de contrôle que l’on définira avec
précision) et la quantité de chaleur q (w et q étant des échanges d’énergie définis pour l’unité
de masse de gaz qui transite), puis il s’écoule dans une canalisation (2). Les parois des deux
canalisations sont adiabatiques et horizontales. Dans la canalisation (1), le gaz a pour pression
P1, pour volume massique v1, pour vitesse c1 et pour enthalpie massique h1 ; dans la
canalisation (2), le gaz a pour pression P2, pour volume massique v2, pour vitesse c2 et pour
enthalpie massique h2.
A.1) Démontrer la relation suivante, tirée du premier principe de la thermodynamique :
h2h11
2(c22c12)wq
On demande pour la démonstration une grande rigueur dans la définition du système choisi et
l’argumentation.
A.2) Rappeler l’expression de la capacité thermique massique à pression constante cP d’un gaz
parfait en fonction de la constante  (rapport des capacités thermiques à pression constante et
volume constant du gaz), de R (constante des gaz parfaits) et de la masse molaire M du gaz.
Que vaut cP pour l’hélium, pour lequel
53 et M=4 g.mol-1 ?
A.3) Rappeler l’expression de la variation h d’enthalpie massique d’un gaz parfait entre deux
températures T et T’ (on suppose les capacités thermiques constantes sur l’intervalle de
température considéré).
A.4) On s’intéresse ici à un gaz parfait de masse molaire M, de coefficient
constant.
a) Donner et démontrer l’expression de l’entropie massique s(T,P) du gaz parfait en
fonction de sa température T et sa pression P. On appellera s0 la valeur de s à la pression P0
et température T0.
b) Le gaz parfait passe de l’état (P1, T1) à l’état (P2, T2) de façon isentropique. Démontrer la
relation suivante : T1
P11 T2 P21
c) Déterminer l’équation d’une transformation isobare réversible du gaz parfait (P=P1) dans
un diagramme entropique (T, s). Comment se situe l’isobare P1 par rapport à l’isobare P2 si
P2>P1 dans ce diagramme ?
(1), P1 , v1 , c1 , h1 (2), P2 , v2 , c2, h2
Zone active
w
q