19- Courants dérivés

22 courants dérivés
Plan détaillé
A – répartition des
courants
1
1 – conducteurs en série
a – Montage
b – Intensité
c – Tension
d – Résistance équivalente
2
2 – conducteurs en dérivation ou en parallèle
a – Montage
b – Intensité
c – Tension
d – Résistance équivalente
1o- Définition et mesure
2o- Théorème des conductances
3o- Calcul des intensités des courants dérivés
B – applications
1 – shunt des ampèremètres
Un shunt est une faible résistance, que
l’on monte entre les bornes d’un
ampèremètre afin de dériver la plus
grande partie du courant en dehors de
l’appareil, ce qui permet de l’utiliser pour
mesurer
des
courants
d’intensité
supérieure à son calibre.
𝒔=
𝒈
𝒏−𝟏
2 – montage des lampes
1 – conducteurs en série
a - Montage
Entre deux points d’un circuit électrique, montons plusieurs conducteurs :
deux résistances R1 et R3, une lampe R2 et un ampèremètre. Puisque ces
conducteurs sont placés bout à bout, on dit qu’ils sont montés en série.
b – Intensité
Faisons passer un courant électrique dans ces conducteurs : l’ampèremètre
indique une intensité I.
Coupons chaque conducteur et intercalons un ampèremètre dans chaque
coupure. Faisons passer le courant, les ampèremètres indiquent tous la
même intensité I.
Donc : Quand des conducteurs sont montés en série, l’intensité du
courant qui les traverse est la même pour tous.
c – Tension
Conservons le montage précédent et mesurons la d.d.p. entre les extrémités
A et D de la série, nous lisons la valeur U.
Mesurons successivement la d.d.p. entre les extrémités de chaque portion de
la série; nous lisons successivement les d.d.p. U1, U2, U3, et nous constatons
que :
U = U1 + U2 + U3.
Donc : Quand des conducteurs sont montés en série, la tension entre les
extrémités de la série est égale à la somme des tensions entre les
extrémités de chaque portion de la série.
CONCLUSION ► Dans un montage en série :
─ l’intensité est la même dans toutes les parties du circuit,
─ les tensions aux bornes des différentes portions s’ajoutent.
d – Résistance équivalente
Les résistances r1, r2, r3, montées
entre les points A et D du circuit,
sont traversées par le même
courant d’intensité I.
La loi d’Ohm s’écrit, pour chacune d’elles :
VA – VB = r1 ٠ I
VB – VC = r2 ٠ I
VC – VD = r3 ٠ I
soit , en additionnant membre à membre :
VA – VD = I (r1 + r2 + r3).
L’ensemble des conducteurs r1, r2, r3, est équivalent à un conducteur unique
de résistance :
R = r1 + r2 + r3
Lorsque plusieurs conducteurs sont placés en série leurs résistances
s’ajoutent.
2 – conducteurs en dérivation
a – Montage
Soit un circuit électrique
comprenant, entre deux points
A et B, deux (ou plusieurs)
branches allant toutes de A en
B. On dit que ces branches
sont montées en dérivation ou
en parallèle.
On appelle :
─ courant principal, le courant I qui circule avant et après les dérivations;
─ courants dérivés, les courants qui circulent dans les branches en dérivation.
b – Intensité
Intercalons un ampèremètre dans le circuit principal : il indique une intensité I.
Intercalons successivement un ampèremètre dans chacune des dérivation :
nous lisons respectivement des intensités i1, i2, et nous constatons que :
I = i1 + i2.
Donc : Quand des conducteurs sont montés en dérivation, l’intensité du
courant principal est égale à la somme des intensités des courants
dérivés.
c - Tension
Avec un voltmètre, mesurons la d.d.p. entre les points A et B du circuit
précédent : nous lisons une tension U.
Mesurons successivement la tension entre les points A1 et B1 de la première
dérivation, A2 et B2 de la seconde dérivation, tous ces points étant
respectivement très proches de A et B : nous lisons toujours la même tension
U.
Donc : Quand des conducteurs sont montés en dérivation, la différence
de potentiel entre les extrémités de chaque branche est la même.
CONCLUSION ► Lois des courants dérivés.
Dans un montage en dérivation :
─ l’intensité du courant principal est égale à la somme des intensités
des courants dérivés,
─ les tensions aux bornes des dérivations sont égales.
Il résulte de tout ce qui précède que;
─ Dans un montage en série, tous les appareils sont traversés par la même
intensité.
─ Dans un montage en dérivation, tous les appareils sont soumis à la même
différence de potentiel.
d – Résistance équivalente
– Définition et mesure. On nomme
résistance équivalente à l’ensemble des
dérivations r1, r2, et r3 la résistance unique R
qui, placée entre les points M et N, maintient
entre ces points la même d.d.p. que
l’ensemble des dérivations en laissant
passer un courant de même intensité dans
le circuit principal.
Soit R la résistance équivalente à
l’ensemble des 3 résistances r1, r2 et r3 de la
figure ci-contre. R doit être telle que l’on ait, d’après la loi d’Ohm :
1o
U = RI.
D’où
I=
U
R
.
D’autre part, appliquons la loi d’Ohm à chaque dérivation :
U
U = r1i1.
D’où:
i1 =
.
r1
U
U = r2i2. D’où:
i2 = r .
2
U
U = r3i3. D’où:
i3 =
.
r3
Or:
I = i1 + i2 + i3.
U
U
𝑈
U
Ou:
= + + .
𝑅
r1
r2
r3
Simplifions par U :
1
1
1
1
= + + .
R
r1
r2
r3
L’inverse de la résistance équivalente est égale à la somme des inverses des
résistances montées en parallèle.
2o – Le théorème des conductances. On appelle conductance d’un
conducteur l’inverse 1/R de sa résistance ; le résultat précédent exprime le
théorème des conductances :
La conductance d’un ensemble de conducteurs placés en dérivation est
égale à la somme des conductances de ceux-ci.
Remarque.─ 1. Le rapport 1/R est plus grand que tout rapport 1/r ; donc
R < r.
2. Si l’on monte n résistances égales à r, la formule ci-dessus devient :
1/R = 1/r + 1/r + 1/r + …+ 1/r = n fois 1/r = n/r.
R=
On en déduit :
𝐫
𝐧
.
3o – Le calcul des intensités des courants dérivés. Connaissant l’intensité
I du courant principal et les résistances r1, r2, r3, des dérivations, le calcul de
la résistance équivalente conduit à la détermination des intensités i 1, i2, i3.
Par définition, on doit donc avoir :
RI = U = r1i1 = r2i2 = r3i3 = …,
on en déduit :
i1 =
U
r1
, i2 =
U
r2
, i3 =
U
r3
.
Exercices types
1 – Trois résistances mortes, r1=2Ω, r2=3Ω, r3=6Ω,
sont montées en dérivation entre deux points M et N
présentant une d.d.p. de 12V.
1o – Calculer les intensités des courants circulant
dans chacune de ces résistances.
2o – En déduire l’intensité du courant dans le circuit
principal et la valeur de la résistance équivalente, R.
3o – Vérifier ce dernier résultat en calculant R à partir
de r1, r2, r3 (directement).
Solution
1o – Les intensités des courants circulant dans chacune des branches sont
données par l’application de la loi d’Ohm :
𝒊𝟏 =
𝑈𝑀 − 𝑈𝑁
𝑟1
=
12
2
= 𝟔𝑨,
𝒊𝟐 =
𝑼𝑴 − 𝑼𝑵
𝒓𝟐
=
𝟏𝟐
𝟑
= 𝟒𝑨,
𝒊𝟑 =
𝑼𝑴 − 𝑼𝑵
𝒓𝟑
=
𝟏𝟐
𝟔
= 𝟐𝑨.
2o – L’intensité du courant dans le circuit principal est la somme des intensités
des courants dérivés :
𝑰 = 𝑖1 + 𝑖2 + 𝑖3 = 6 + 4 + 2 = 𝟏𝟐𝑨.
La résistance équivalente doit laisser passer un courant d’intensité 12A si l’on
établit entre ses bornes une d.d.p. de 12V. La valeur de cette résistance est
encore donnée par la loi d’Ohm :
𝑹=
𝑈𝑀 − 𝑈𝑁
12
=
= 𝟏𝜴.
𝐼
12
3o – Nous pouvons calculer directement la résistance équivalente en
appliquant la formule :
1 1
1
1
1 1 1
6+4+2
= + +
= + + =
= 1𝛺.
𝑅 𝑟1 𝑟2 𝑟3
2 3 6
12
2 – La résistance d’un ampèremètre de calibre 50mA est
g=1Ω. On veut mesurer avec cet appareil des courants
dont les intensités peuvent atteindre jusqu’à 5 ampères.
1o – Quelle doit-être la résistance du shunt ?
2o – Quelles sont alors la d.d.p. maximale entre les bornes
de l’appareil et la résistance équivalente à l’ampèremètre
shunté ?
Solution
1o – Le rapport de l’intensité maximale du courant principal à l’intensité du
courant dans l’ampèremètre est :
𝐼
5
𝑛= =
= 100,
𝑖 0,05
l’appareil est donc shunté au 1/100.
La résistance du shunt convenable est donnée par la relation :
𝑔
1
𝒔=
=
= 0,0101 𝛺 ≈ 𝟎, 𝟎𝟏 𝜴.
𝑛 − 1 100 − 1
2o – La d.d.p. maximale entre les bornes de l’appareil est obtenue lorsque
l’ampèremètre est traversé par le courant d’intensité maximale 0,05A. Sa
valeur est :
𝑼 = 𝑔𝑖 = 1 ∙ 0,05 = 0,05 𝑉 = 𝟓𝟎 𝒎𝑽.
Dans ce cas l’intensité du courant principal est également maximale : I=5A.
La résistance équivalente laisse passer un courant d’intensité I si l’on établit
entre ses bornes la d.d.p. U=50mV. La valeur de cette résistance équivalente
est :
𝑈 0,05
𝑹= =
= 𝟎, 𝟎𝟏 𝜴.
𝐼
5
On aurait pu calculer cette résistance de la façon suivante ;
1
𝑅
1
1
1
1
𝑔
𝑠
1
0,0101
= + = +
et :
≈
100
1
,
1
R = 100 = 0,01 𝛺.
Exercices avec réponses
1 – Un courant de 1,2A se partage entre 3 dérivations dont les résistances sont 4, 6 et
12 ohms. Calculer la résistance équivalente et les intensités dans les 3 branches.
■ 2 Ω ; 0,6 A ; 0,4 A ; 0,2 A.
2 – Une installation d’éclairage comporte 1 lampe de 100W, 2 lampes de 50W et 4
lampes de 25W ; ces lampes sont montées en parallèle entre deux conducteurs, de
résistance négligeable, présentant une d.d.p. fixe égale à 120V. Calculer la résistance
équivalente lorsque toutes les lampes sont allumées.
■ 48 Ω.
3 – 6 lampes à incandescence ayant chacune une résistance de 576Ω sont montées en
dérivation ; elles fonctionnent sous une tension de 127V. calculer :
1o) l’intensité du courant qui traverse chaque lampe ;
2o) l’intensité du courant principal ;
3o) la résistance équivalente à toute les lampes.
■ 1o) 0,22 A ; 2o) 1,32 A ; 3o) 96 Ω.
4 – 4 résistances sont associées comme l’indique
la figure ci-contre. On demande les intensités des
courants qui les traversent lorsque la d.d.p. entre
A et B a pour valeur U=30V.
■ 3 A ; 1 A ; 2 A.
5 – Un courant d’intensité égale à 2,4A se divise en 3 branches, AMB, ANB, APB, entre
2 points A et B ; ces branches sont formées de fils métalliques. Sachant qu’en 6min
58s il se dégage 360cal dans la branche AMB, 180cal dans ANB, 900cal dans APB,
calculer :
1o) les intensités des courant qui passent dans les 3 branches ;
2o) les résistances des 3 fils qui les constituent ;
3o) la d.d.p. entre A et B.
■ 1o) 0,6, 0,3 et 1,5 A ; 2o) 10, 20 et 4 Ω ; 60 V.
6 – On monte un shunt de 0,07Ω entre les bornes d’un ampèremètre de résistance
0,42Ω. Calculer l’intensité du courant principal lorsque l’aiguille de l’ampèremètre se
fixe sur la division 0,43A.
■ 3,01 A.
7 – Un ampèremètre sensible, dont la résistance est 0,12Ω, est gradué de 0 à 5A. On
voudrait l’utiliser jusqu’à 100A. Quelle est la résistance du shunt qu’il faut monter en
dérivation entre ses bornes ?
■ 63٠10-4 Ω.
8 – Un ampèremètre sensible, qui a été
gradué sans shunt, est pourvu d’un shunt
dont le multiplicateur est 100 ; l’appareil
shunté, branché en série dans un circuit,
indique 20mA ; qu’elle est l’intensité du
courant qui parcourt ce circuit ? Calculer la
résistance de l’ensemble ampèremètre-shunt
sachant que celle de l’ampèremètre est de
2Ω.
■ 2 A ; 0,02 Ω.
9 – 1o- Un ampèremètre très sensible a une résistance g=250Ω ; on place en dérivation
entre ses bornes une résistance s=g/999Ω ; calculer la résistance de l’ampèremètre
ainsi shunté.
2o- L’ampèremètre shunté est placé dans un circuit traversé par un courant d’intensité
constante 1A. L’aiguille de l’ampèremètre est déplacée de 10 divisions à partir du zéro
de la graduation. Quelle est l’intensité i du courant qui traverse l’ampèremètre luimême ?
En déduire l’intensité correspondant à une division du cadran de
l’ampèremètre shunté et non shunté.
■ 1o) 0,25 Ω ; 2o) 1mA ; 0,1A ; 0,1 mA.