démontrer qu`un triangle est rectangle exercices type

DÉMONTRER QU'UN TRIANGLE EST RECTANGLE
EXERCICES TYPE
1 Trace le cercle de diamètre [SR] tel que
SR = 7 cm puis place sur ce cercle un point H tel
que RH = 4 cm. Démontre que le triangle RHS est
rectangle en H.
2 MON est un triangle, U est le milieu de [MN]
et on a : MN = 8 cm ; OU = 4 cm. Démontre que le
triangle MON est rectangle en O.
Données
Le point H appartient au cercle de diamètre [SR].
Propriété
Si un triangle est inscrit dans un cercle de diamètre l'un
de ses côtés alors ce triangle est rectangle et admet ce
diamètre pour hypoténuse.
Conclusion
Le triangle SHR est rectangle en H.
Étape préliminaire : Dans le triangle MNO, [OU] joint le
sommet O et le milieu U de [MN] donc [OU] est la
médiane relative au côté [MN].
Données
Dans le triangle MNO,
[OU] est la médiane relative au côté [MN],
MN = 8 cm et OU = 4 cm.
Propriété
Si, dans un triangle, la longueur de la médiane relative à
un côté est égale à la moitié de ce côté alors ce triangle
est rectangle et admet ce côté pour hypoténuse.
Conclusion
Le triangle MNO est rectangle en O.
3 NEZ est un triangle tel que NE = 75 cm ;
EZ = 45 cm et NZ = 60 cm. Démontre que ce
triangle est rectangle.
4 Le triangle PAF est tel que
PAF
=33° et
PFA
=57°. Démontre que ce triangle est rectangle.
Dans le triangle NEZ, le plus long côté est [NE] donc on
calcule séparément NE2 et EZ2 + NZ2 :
D'une part, NE2 = 752
NE2 = 5625
D'autre part, EZ2 + NZ2 = 452 + 602
EZ2 + NZ2 = 2025 + 3600
EZ2 + NZ2 = 5625
On constate que NE2 = EZ2 + NZ2.
Donc, d'après la réciproque du théorème de Pythagore,
le triangle NEZ est rectangle en Z.
Si un triangle a deux angles complémentaires
alors il est rectangle.
Dans le triangle PAF, on a :
PAF
+
PFA
= 33°+57°=90°.
Le triangle PAF possède deux angles complémentaires
donc il est rectangle en P.
5 Le triangle ABC est tel que AB = 5 cm et
AC = 4 cm. Le point H est le pied de la hauteur
issue de A. Quelle est la nature du triangle AHC ?
6 Le triangle EFG est tel que EF = 3,2 cm,
FG = 5,3 cm et
EFG
=36°. La médiatrice de [FG]
coupe [FG] en J et [EG] en K. Démontre que le
triangle KJG est rectangle.
Dans le triangle ABC, le point H est le pied de la hauteur
issue de A.
Or, une hauteur dans un triangle est une droite
passant par un sommet et perpendiculaire au
côté opposé.
Donc (AH)
⊥
(BC), le triangle AHC est rectangle en H.
La médiatrice de [FG] coupe [FG] en J et [EG] en K.
Or, la médiatrice d'un segment est la droite
perpendiculaire à ce segment en son milieu.
Donc (JK)
⊥
(FG), et comme J
∈
[FG], (JK)
⊥
(JG), le
triangle JKG est rectangle en J.
7 Dans un triangle ABC rectangle en A, les
points D et H sont des points respectivement de
[BC] et [AC] tels que (DH) // (AC). Quelle est la
nature du triangle DHB ?
8 Soit C le cercle de centre O et de rayon 5 cm.
La droite (d) est la tangente au cercle C en A. Le
point B est un point quelconque de (d). Quelle est
la nature du triangle OAB ?
On sait que le triangle ABC est rectangle en A donc
(AC) // (AB), et on sait également que (DH) // (AC).
Or, si deux droites sont parallèles et qu'une troisième
est perpendiculaire à l'une, alors elle est
perpendiculaire à l'autre.
Donc (DH)
⊥
(AB) et comme H
∈
[AB], (DH)
⊥
(HB), le triangle DHB est rectangle en H.
La droite (BA) est la tangente au cercle C en A.
Si une droite est tangente à un cercle en un point alors
elle est perpendiculaire au rayon du cercle qui a
pour extrémité ce point.
Donc (BA)
⊥
(OA), le triangle OAB est rectangle en A.

DÉMONTRER QU'UN TRIANGLE EST RECTANGLE
PROPRIÉTÉS UTILES
P1. Si deux droites sont parallèles et si une troisième
droite est perpendiculaire à l'une alors elle est
perpendiculaire à l'autre.
(d1) ⊥ (d3) et (d1) // (d2)
donc
(d2) ⊥ (d3).
P2. Si un quadrilatère est un losange alors ses
diagonales sont perpendiculaires. (Ceci est aussi vrai pour
le carré qui est un losange particulier.)
ABCD est un losange
donc
(AC) ⊥ (BD).
P3. Si un quadrilatère est un rectangle alors ses côtés
consécutifs sont perpendiculaires. (Ceci est aussi vrai
pour le carré qui est un rectangle particulier.)
ABCD est un rectangle
donc
(AB) ⊥ (BC), (BC) ⊥ (CD),
(CD) ⊥ (AD) et (AD) ⊥ (AB).
P4. Si un triangle possède un angle droit, alors il est
rectangle en ce sommet.
BAC
= 90°
d'où
le triangle ABC est rectangle en A
P5. Si un triangle a deux angles complémentaires alors
il est rectangle.
Les angles
ABC
et
ACB
sont
complémentaires
d'où
ABC est un triangle
rectangle en A
P6. Si une droite est la médiatrice d'un segment alors
elle est perpendiculaire à ce segment.
(d) est la médiatrice du segment
[AB] donc
(d) est perpendiculaire à [AB].
P7. Si une droite est tangente à un cercle en un point
alors elle est perpendiculaire au rayon de ce cercle qui a
pour extrémité ce point.
(d) est tangente en M au cercle de
centre O
donc
(d) est perpendiculaire à [OM].
P8. Réciproque du théorème de Pythagore :
Si, dans un triangle, le carré de la longueur du plus grand
côté est égal à la somme des carrés des longueurs des
deux autres côtés alors le triangle est rectangle et il
admet ce plus grand côté pour hypoténuse.
Dans le triangle ABC,
BC2 = AB2  AC2
donc
le triangle ABC est rectangle en A.
P9. Si dans un triangle, la longueur de la médiane
relative à un côté est égale à la moitié de la longueur de
ce côté alors ce triangle est rectangle et il admet ce côté
pour hypoténuse.
Dans le triangle ABC, O est le milieu
de [BC] et
OA =
BC
2
donc le triangle ABC est rectangle
en A.
P10. Si un triangle est inscrit dans un cercle de diamètre
l'un de ses côtés alors il est rectangle et il admet ce
diamètre pour hypoténuse.
C appartient au cercle de diamètre
[AB]
donc
ABC est un triangle rectangle en C.
A
B
C
D
AB
C
D
(d3)
(d2)
(d1)
AB
(d)
A
B
C
O
A
C
B
A
C
BO
A
B
C
A
B
C
O
M
(d)