Mouvement d`une particule dans un champ électrique et magnétique

Physique des Plasmas I Semestre d'Ete 2004
MOUVEMENT D'UNE PARTICULE DANS DES CHAMPS ELECTRIQUES ET
MAGNETIQUES
Le plasma étant constitué de particules chargées, il est primordial de
connaître leur mouvement dans diverses configurations de champs
électrique, magnétique, statique ou oscillatoire. En principe, il suffit de
résoudre l'équation de Newton, Nous allons dériver quelques propriétés des
trajectoires de particules. Là où les calculs ne sont pas trop compliqués,
nous utiliserons les équations du mouvement relativiste:
dp
dt
= q [ E + v x B ]
v =
p
γm
γ=1
1!-!v2
c2!1/2
=  !1!+!p2
m2c2! 1/2
m est la masse au repos de la particule.
I) MOUVEMENT D'UNE PARTICULE DANS UN CHAMPS ELECTRIQUE
CONSTANT Eo (Bo!=!0)
L'équation du mouvement est:
dp
dt
=qEo(I-1)
dont l'intégration est immédiate
p = q Eot(I-2)

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On voit que la vitesse v a pour valeur la limite c.
v =
p
γm
= qEot
m! 1!+!(qEot)2
m2c21/2
Pout t tendant vers l'infini,
p → ∞ et v →qEot!mc
mq!Eot = c
On retrouve le résultat bien connu que la vitesse d’une particule ne peut
pas dépasser la vitesse de la lumière.
II) MOUVEMENT D'UNE PARTICULE DANS UN CHAMP MAGNETIQUE
CONSTANT Bo (Eo = 0)
L'équation du mouvement est :
dp
dt
=q [ ] v!x!Bo (II-1)
L'énergie γ est conservée car la force de Lorentz est perpendiculaire à v.
L'équation (II-1) se ramène alors à
γm
dv
dt
=q [v x Βo]
dv
dt
=v ∧ q
γm Bo = v x Ωc(II-2)
où Ωc = q
γm Bo. Ωc est la fréquence cyclotron relativiste de la particule

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concernée. Notre définition montre que Ω
c
est un nombre algébrique: Ω
c est
positif pour les ions et négatif pour les électrons.
L'équation (II-2) montre que, selon la direction parallèle à Ωc, il n'y a pas de
force: le long du champ Bo le mouvement est uniforme. La conservation de
l'énergie implique que la magnitude de la composante de p ou de v,
perpendiculaire à Bo, est également une constante
||!p⊥!||
γm =|| v⊥ || = constante (II-3)
Choisissons Bo selon l'axe Oz. Dans le plan Oxy on a:
dvx
dt =
€
qBo
γ m
vy(II-4) (II-4)
dvy
dt =-
€
qBo
γ m
vx(II-5)
Les équations (II-4) et (II-5) admettent comme solutions:
dx
dt = vx = v⊥ sinΩct(II-6)
dy
dt = vy = v⊥ cosΩct(II-7)
L'intégration de (II-6) et (II-7) donne:
x = - v⊥
Ωc cosΩct(II-8)
y = v⊥
Ωc sinΩct(II-9)

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La particule décrit dans le plan Oxy un mouvement circulaire. Si q est
positif, le sens de rotation est celui des aiguilles d'une montre et si q est
négatif il est opposé à celui des aiguilles d'une montre (sens
trigonométrique). Le centre des orbites de giration des particules est appelé
centre de guidage (en anglais "guiding center" ou encore "gyro-center")
La quantité v⊥/ |Ωc| est le rayon de Larmor. ρc.
ρc=Rayon de Larmor v⊥
|Ωc| (II-10)
En conclusion dans un champ magnétique uniforme Bo le mouvement d'une
particule dans le plan perpendiculaire à Bo est circulaire. La composante
v|| de v parallèle à Bo n'est pas affectée. Si v|| est constant, alors le
mouvement de la particule est une hélice.
Comme il sera montré dans la section VI) de ce chapitre, on peut associer à
la rotation de Larmor des ions et des électrons un courant microscopique IL.
Le champ magnétique généré par ce microcourant est déterminé par la loi
d'Ampère et est opposé au champ magnétique externe B
0
pour les deux
espèces: ions et électrons. La réponse des particules chargés qui composent
le plasma est telle que le plasma se comporte comme un milieu
diamagnétique.
III) MOUVEMENT D'UNE PARTICULE DANS UN CHAMP MAGNETIQUE Bo
ET SOUS L'ACTION D'UNE FORCE CONSTANTE F
L'équation du mouvement non relativiste est:
dv
dt
=
F
m
+ q
m v × Bo(III-1)
qui se sépare en un mouvement parallèle à Bo (noté avec //) et un
mouvement perpendiculaire à Bo (noté avec ⊥ ):
dv||
dt =F
||
m (III-2)

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et
dv!⊥
dt =F⊥ m + q m (v ⊥ × Bo) (III-3)
Le mouvement parallèle à Bo est un mouvement uniformément accéléré.
Pour résoudre (III-3), introduisons une vitesse de dérive vD donnée par
vD=1
q F⊥!×!Bo
Bo
2 (III-4)
vD est appelé vitesse de dérive et est par définition constante, car la force
F⊥ et Bo sont constantes par définition. Ce terme de vitesse est introduit
pour que l'on puisse éliminer F⊥
m par la suite.
Réécrivons la vitesse v⊥ comme
v⊥=
˜ v ⊥
+ vD(III-5)
Ceci est tout simplement une décomposition de v⊥ (i.e. un changement de
référentiel galiléen).
On a alors
dv⊥
dt =
d˜ v
⊥
dt
=
q
m˜
v
⊥×Bo
[ ]
+ 1
m (F⊥!×!!Bo)!×!Bo
Bo
2 + F⊥
m (III-
6)