Le régime sinusoïdal

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Le régime sinusoïdal
Le régime sinusoïdal
Un peu d'histoire :
À la suite de l'invention de la lampe à incandescence par Edison en 1878, un
grand nombre d'installations s'équipe en générateur à courant continu pour
l'éclairage.
Parallèlement, un générateur de courant alternatif (l’alternateur) est inventé.
Mais il ne rencontre pas le même succès, du moins au début.
Une véritable bataille entre l’alternatif et le continu :
Pourtant, un inventeur visionnaire et brillant, Nikola Tesla,
développe ce type d'électricité et invente le moteur
asynchrone qui fonctionne sous courant alternatif.
En 1884, âgé de 28 ans, Nikola Tesla débarque aux États-Unis,
où Edison vient de créer le réseau électrique alimentant la ville
de New York. Ce réseau, basé sur le courant continu, souffre
de sérieux dysfonctionnements : accidents fréquents, pannes
régulières, incendies...
Tesla est partisan de l'adoption du courant alternatif, tandis qu'Edison, ardent
défenseur du courant continu, y est totalement opposé.
L'alternatif gagne définitivement la bataille de l'électricité. Pourquoi ?
Quand les centrales électriques virent le jour, surtout dans les régions éloignées des
centres urbains, il fallut transporter l'énergie produite sur de longues distances. Mais
les câbles qui transportent l'électricité ont une résistance et cela posa un problème
majeur. Prenons un exemple :
Une ville moyenne peut avoir besoin d’une puissance d’environ 10 MW. Si cette quantité
devait être transportée sous une tension U = 100 V, le courant serait être énorme :
P 10⋅106
I= =
=100 000 A
U
100
Une ligne formée de deux câbles de cuivre de 1 cm de diamètre a une résistance R = 0,4
Ω/km. Avec un courant de 100 kA, la perte de puissance par effet Joule serait de
P J = R×I² =0,4×(100 000) 2=4 GW par km !
Impossible de transporter l’énergie en basse tension !
Il n'y avait d'autre choix économique que de baisser la valeur de l’intensité du courant.
Pour diminuer la valeur de l’intensité dans les lignes, tout en maintenant la puissance
constante, il faut augmenter la tension en proportion.
En clair, si la tension atteint 100 000 V, la même puissance pourrait être transportée
efficacement avec un courant de 100 A
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L’invention qui permet le développement des réseaux alternatifs
La tension doit être élevée pendant le transport, mais pour
l'utilisateur, elle doit être utilisable en toute sécurité. Il faut
donc un dispositif simple pour élever la valeur de la tension en
sortie de centrale et la rabaisser au niveau de l'utilisateur. Cet
appareil existe, mais fonctionne uniquement en alternatif. Il est
inventé en 1884 : Il s’agit du transformateur.
La machine qui génère les tensions alternatives
La machine qui génère la tension électrique d'alimentation des
réseaux de distribution s'appelle l’alternateur. La tension qu'elle
crée est sinusoïdale, sa fréquence dépend de sa vitesse de
rotation.
En Europe, on s'arrange pour que les alternateurs tournent à une
vitesse de rotation telle que la fréquence de la tension sinusoïdale
de sortie soit égale à 50 Hz.
Exercice 1: Pertes en haute et en basse tension :
Une installation électrique située à 10 km du transformateur EDF est alimentée
sous 230 V par une ligne monophasée de résistance 0,4 Ω/km (Attention, le
courant effectue l'aller et le retour). Elle consomme une puissance de 5 kW.
Complétez le tableau :
Expression
littérale
Tension de ligne
230 V
20 000 V
Résistance totale de la ligne
l'intensité
l'installation.
appelée
par
Chute de tension dans les fils.
Puissance perdue par effet
Joule
Tension disponible en bout de
ligne
Conclure : ____________________________________________________
____________________________________________________________
____________________________________________________________
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Rappels de trigonométrie
Le cercle trigonométrique :
π
= 90°
2
sens
Les angles sont représentés en radian
trigonométrique
(rad) ou en degrés (°).
positif
M
π
= 180°
OM ⋅ sin(α )
O
α
OM ⋅ cos(α )
0
2π = 360°
1 tour de cercle = 360° soit 2π radians
α
radians =
2π
⋅α
360
degrés
3π
= 270°
2
Représentation d’un signal sinusoïdal
v(t) = Vmax ×sin(ω×t + φ) + Vmoy
•
v(t) : Valeur instantanée du signal
•
Vmax : Valeur maximum du signal. On peut également la noter V̂
F V1max = 10V ; V2max = 5V
•
T : Période du signal (en seconde : s)
F T1 = 0,02s = 20ms ; T2 = 0,01s = 10ms
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•
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f : Fréquence du signal (en Hertz : Hz)
F F1 = 50Hz ; F2 = 100Hz
ω=2 π⋅ f
1
f=
T
•
ω : Pulsation du signal (en rad/s)
F ω1 = 314rad/s ; ω2 = 628rad/s
•
t : temps (en s). C’est la variable de l’équation sur l'axe des abscisses.
•
φ : Phase à l’origine du signal (en rad). Cela correspond à l’angle (ω×t + φ)
au moment ou t = 0.
F φ1 = 0 rad ; φ2 = 1,57rad
Remarque : On mesure la phase d’un signal par rapport à un signal de
référence considéré (arbitrairement) comme ayant une phase nulle. Cette
différence de phase se nomme le déphasage. Il n'existe que pour des
signaux de même fréquence.
Déphasage : Φ21 = φ2 - φ1
•
Vmoy : Valeur moyenne du signal. On
peut également la noter V̄ ou <v(t)>
F V1moy = 0V ; V2moy = 0V
Remarque : La valeur moyenne d’un
signal sinusoïdal sans composante
continue (centré sur zéro) est nulle
(A1 = A2).
•
V : Valeur efficace (RMS) du signal. Elle correspond à la quantité de
chaleur que produirait un signal continu (d’amplitude égale à la valeur
efficace de v(t)) pendant la même durée. On la note : Veff ou V
V max
Pour un signal sinusoïdal sans composante continue : V eff =
√2
•
Vcàc : Valeur crête à crête du signal. Cela correspond à la l’excursion
maximale : Vcrête à crête = Vmax – Vmin
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Exercice 2: Lecture et interprétation de sinusoïdes :
A partir des courbes de V1, V2 et V3, complétez le tableau ci-dessous :
V1
V2
V3
Valeur mini
(V)
Valeur maxi
(V)
Valeur crête
à crête (V)
Valeur
moyenne (V)
Valeur
efficace (V)
76,6 V
Période (s)
Fréquence
(Hz)
Pulsation
(rad/s)
Phase (rad)
0
π/2
0
Équation
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Exercice 3 : Représentation graphique de signaux sinusoïdaux :
Complétez le tableau puis représentez graphiquement les signaux V4 et V5 :
V4
V5
Valeur mini (V)
Valeur maxi (V)
Valeur crête à crête
(V)
Valeur moyenne (V)
0V
Valeur efficace (V)
10,6 V
Période (s)
200 Hz
Fréquence (Hz)
Pulsation (rad/s)
0
Phase (rad)
v5(t)=20×sin(628×t)
Équation
V5
20
15
10
5
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
t (ms)
-5
-10
-15
-20
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