Ensimag - Grenoble INP

Ensimag 2014/2015
2A – Optimisation Combinatoire
Feuille 1
DEGRÉS
Exercice 1.1. —
(a) Montrer que la somme des degrés des sommets d’un graphe G= (V, E)non-orienté est égale à
deux fois le nombre d’arêtes, c’est-à-dire Pv∈VdG(v)=2|E|.
(b) En déduire que le nombre de sommets de degré impair est pair.
Exercice 1.2. — Montrer que pour un sous-ensemble Xde sommets d’un graphe orienté D= (V, A)
on a
(a) Pv∈Xd−
D(v) = d− D(X) + |A(D[X])|,
(b) Pv∈Vd+
D(v) = Pv∈Vd− D(v).
(c) Pv∈Xd+
D(v)−d− D(v)=d+ D(X)−d− D(X).
CHAÎNES - CHEMINS
Exercice 1.3. — Soit Gun graphe non-orienté. Montrer que les conditions suivantes sont équivalentes :
(a) Il existe une chaîne entre uet vdans G.
(b) Il existe une chaîne simple entre uet vdans G.
(c) Il existe une chaîne élémentaire entre uet vdans G.
Exercice 1.4. — (Caractérisation de l’existence d’un (s, p)-chemin) Soient set pdeux sommets
d’un graphe orienté D. Montrer que les conditions suivantes sont équivalentes :
(a) Il existe un chemin de sàp.
(b) Pour tout sous-ensemble Xde sommets tel que s∈X, p /∈X, on a d+
D(X)≥1.
(c) Il existe un chemin élémentaire de sàp.
CONNEXITÉ - FORTE CONNEXITÉ
Exercice 1.5. — Soient Cun cycle d’un graphe connexe Get eune arête de C. Montrer que G−e
est connexe.
Exercice 1.6. — (Caractérisation des graphes connexes) Montrer qu’un graphe Gnon-orienté
est connexe si et seulement si dG(X)≥1pour chaque ∅ 6=X⊂V(G).
Exercice 1.7. — Soit Gun graphe non-orienté simple à 2nsommets. Montrer que si le degré de
chaque sommet est au moins nalors Gest connexe.
Exercice 1.8. — Etant donné un graphe orienté D= (V, A), on pose la relation suivante sur les
sommets : x∼Dys’il existe un chemin de xàyet un chemin de yàxdans D.
(a) Montrer que ∼Dest une relation d’équivalence.
Comme ∼est une relation d’équivalence elle défini les classes d’équivalence V1, ..., Vk.Les sous-
graphes D[V1], . . . , D[Vk]sont les composantes fortement connexes de D.
(b) On définit D0:= (((D/V1)/V2)/ . . .)/Vk.Montrer que le graphe réduit D0est sans circuit.
Exercice 1.9. — (Caractérisation des graphes fortement connexes) Montrer qu’un graphe D
orienté est fortement connexe si et seulement si d+
D(X)≥1pour chaque ∅ 6=X⊂V(D).

22A –
CYCLES - CIRCUITS
Exercice 1.10. — Soit P:= {v1, ..., vl}une plus longue chaîne élémentaire dans un graphe Gnon-
orienté. Alors chaque voisin ude v1se trouve dans {v2, ..., vl}.
•Montrer que si tous les degrés des sommets d’un graphe Gnon-orienté simple sont supérieurs ou
égaux à deux, alors Gadmet un cycle élémentaire.
Exercice 1.11. — Montrer qu’un graphe orienté D= (V, A)admet un circuit élémentaire si d+
D(v)≥
1∀v∈V.
Exercice 1.12. — (Caractérisation des graphes bipartis) Montrer qu’un graph Gest biparti si
et seulement si Gne contient pas de cycle impair.
GRAPHES EULÉRIENS
Exercice 1.13. — (Caractérisation des graphes eulériens)
(a) Montrer qu’un graphe Gnon-orienté sans sommets isolés contient un cycle eulérien si et seule-
ment si Gest connexe et chaque sommet de Gest de degré pair.
(b) Montrer qu’un graphe Gsans sommets isolés contient une chaîne eulérienne si et seulement si
Gest connexe et le nombre de sommets de degré impair de Gest inférieur ou égal à 2.
Exercice 1.14. — (Justification de l’algorithme de Fleury (Fig. 1))
Algorithme de Fleury :
Entrée : Un graphe non-orienté connexe Gdont tous les sommets sont de degré pair.
Sortie : Un cycle eulérien Cde G.
Etape 1 : Initialisation.
Choisir un sommet u0de G, C0:= u0, G0:= G, i := 0.
Etape 2 : Construction du cycle.
Tant que uin’est pas un sommet isolé faire :
Choisir une arête ei+1 =uiui+1 de Giincidente à ui, si possible contenue dans
un cycle de Gi.
Ci+1 := Ciei+1ui+1,
Gi+1 := Gi−ei+1,
i:= i+ 1.
Etape 3 : Fin de l’algorithme.
C:= Ci,
STOP.
Figure 1 – Algorithme de Fleury.
Soient Ci, Giet uila suite, le graphe et le sommet de la i-ième itération de l’Etape 2 de l’algorithme
de Fleury appliqué au graphe Gpour 1≤i≤k, où kest le nombre d’itérations de l’Etape 2.
(a) Montrer que les ensembles d’arêtes de Ciet de Giforment une bipartition de l’ensemble des
arêtes de G.
(b) Montrer que Ciest une chaîne simple d’extrémités u0et ui.
(c) Montrer que Gicontient une chaîne eulérienne d’extrémités u0et ui.
(d) Montrer qu’une suite Cconstruite par l’algorithme de Fleury est un cycle eulérien de G.
Exercice 1.15. — Montrer que pour un graphe Dorienté les conditions suivantes sont équivalentes :
(a) Il existe une partition des arcs de Den circuits élémentaires.
(b) Il existe une partition des arcs de Den circuits.
(c) d+
D(v) = d− D(v)∀v∈V(D).

Feuille 1 3
Exercice 1.16. — (Caractérisation de l’existence d’un circuit eulérien) Montrer qu’un graphe
orienté Dsans sommet isolé possède un circuit eulérien si et seulement si Dest connexe et d+
D(v) =
d−
D(v)∀v∈V(D).
GRAPHES ORIENTÉS SANS CIRCUIT
Exercice 1.17. — (Caractérisation des graphes orientés sans circuit) Soit Dun graphe orienté.
Montrer qu’il existe un ordre topologique de Dsi et seulement si Dest sans circuit.
Exercice 1.18. — Soit Dun graphe orienté. Montrer qu’il existe une partition {A1, A2}des arcs de
Dtelle que les graphes partiels de Dinduits par A1et A2soient sans circuits.
Exercice 1.19. — (Justification de l’algorithme Ordre Topologique (Fig. 2))
Algorithme Ordre Topologique :
Entrée : Un graphe orienté D.
Sortie :Un ordre topologique de Dou un circuit de D.
Etape 0 : Initialisation.
D0:= D, i := 1.
Etape 1 : Choix du sommet.
Tant qu’il existe v∈V(Di)tel que d−
Di(v) = 0 faire :
Di+1 := Di−v, vi:= v, i := i+ 1.
Etape 2 : Arrêt avec un ordre topologique.
Si V(Di) = ∅,alors STOP avec v1, . . . , vnoù nest le nombre de sommets de D.
Etape 3 : Construction d’un circuit.
Choisir un sommet u1de Di,P0:= ∅, j := 1.
tant que uj/∈V(Pj−1)faire :
Pj:= ujPj−1,
Choisir un arc uj+1ujde Di,j:= j+ 1,
Etape 4 : Arrêt avec un circuit.
STOP avec le circuit C:= Pj−1[uj−1, uj] + ujuj−1.
Figure 2 – Algorithme Ordre Topologique.
ARBRES
Exercice 1.20. — Montrer que le nombre d’arêtes d’un arbre à nsommets est n−1.
Exercice 1.21. — Montrer qu’un graphe non-orienté est un arbre si et seulement si pour toute paire
x, y de sommets il existe une et une seule chaîne simple entre xet y.
Exercice 1.22. — (Caractérisation de l’existence d’un arbre couvrant) Montrer qu’un graphe
Gnon-orienté admet un arbre couvrant si et seulement si Gest connexe.
Exercice 1.23. — ∗Soient G1et G2deux arbres sur le même ensemble Vde sommets. Montrer que
pour toute arête e1de G1il existe une arête e2de G2telle que G1−e1+e2et G2+e1−e2soient des
arbres.

42A –
ALGORITHME DE MARQUAGE
Exercice 1.24. — (Justification de l’algorithme de Marquage Orienté (Fig. 3))
Algorithme de Marquage Orienté :
Entrée : Un graphe orienté Det un sommet sde D.
Sortie :L’ensemble Sdes sommets qui peuvent être atteints depuis spar un chemin dans D,
et un ensemble Fd’arcs de Dtel que (S, F )soit une s-arborescence.
Etape 0 : Initialisation.
S1:= {s}, i := 1 et A1:= ∅.
Etape 1 : Marquage.
Tant qu’il existe un arc uv de Dtel que u∈Si, v /∈Sifaire :
Si+1 := Si∪ {v},
Ai+1 := Ai∪uv,
i:= i+ 1.
Etape 2 : Fin de l’algorithme.
S:= Si, F := Ai,STOP.
Figure 3 – Algorithme de Marquage Orienté.
Exercice 1.25. — Un guide emmène trois randonneurs pour une ascension du Mont Blanc, une femme,
son mari et un célibataire. Ils doivent traverser une cheminée étroite (au plus deux personnes peuvent
l’emprunter en même temps) et difficile (l’aide du guide est indispensable pour les randonneurs). Depuis
le départ de la randonnée, le célibataire courtise la femme et le mari est très jaloux. Pour éviter tout
incident, le guide ne veut pas laisser le célibataire en tête à tête avec la femme ou avec le mari. Comment
peut-il faire traverser la cheminée à ses trois clients en respectant ces contraintes ?
Exercice 1.26. — (Caractérisation de l’existence d’une s-arborescence couvrante)
Soit sun sommet d’un graphe orienté D. Montrer que les conditions suivantes sont équivalentes :
(a) Pour tout sommet pde D, il existe un chemin de sàpdans D.
(b) Pour tout sous-ensemble Xde sommets de Dcontenant smais pas tous les sommets de D, il
existe au moins un arc de Dqui sort de X.
(c) Il existe une s-arborescence couvrante de D.