EL 20 - TD N°1

EL 20 - TD N°1
Exercice 1 : Que vaut la résistance vue entre A et B, soit RAB ?
Exercice 2 : Quelle est la valeur de la résistance vue entre A et B, soit RAB ?
Exercice 3 :
Déterminez l’équivalent de Thévenin du montage suivant entre les bornes A et M.
R1
R3
10k
15k
A
R1 = 10 k
R2 = 10 k
R3 = 15 k
V0 = 12 V
R2
V0
12 V
10k
M
Exercice 4 :
Déterminez l’équivalent de Norton du montage suivant entre les bornes A et B.
R2
R4
12k
22k
R1
R3
56k
33k
A
R1 = 56 k
R2 = 12 k
R3 = 33 k
R3 = 22 k
V0 = 10 V
V0
10 V
B
Exercice 5 :
Soit le pont en double T de la figure suivante. En utilisant le théorème de Millmann, calculer la valeur de la tension
V lorsque le pont est à vide (I = 0).
I
V
V0
UTBM
R'/2
R/2
2R
R'/2
R/2
2R'
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EL20
Exercice 6 :
On se propose d’étudier le montage suivant, appelé « pont de Wheatstone ».
A
R1
R3
1 Montrez que si :
C
B
R2
+
R4
-
D
R1 R3
alors U AB  0 V .

R2 R4
2 Exploitation du pont de Wheastone pour la mesure d'une contrainte.
On suppose à présent que R1 = R2 = R3 = R, et que R4 est une
résistance variable en fonction d'une grandeur physique que l'on souhaite
mesurer. Par exemple, on remplace R4 par une jauge de contrainte dont
la résistance varie en fonction de la contrainte que lui est appliquée. On
aura ainsi : R4 = k  ( contrainte).
On place un voltmètre entre A et B afin de mesurer UAB.
Déterminez l'expression de  en fonction de UAB et des paramètres du
circuit.
E
Exercice 7: Soit le montage suivant :
7.1) Transformer les sources de courant (i1, r1) et (i2, r2) en sources de tension.
7.2)Calculer, par la méthode de votre choix, les courants I4 et I5.
Exercice 8 : K représente un interrupteur fermé, R une résistance.
L’interrupteur est supposé parfait :
- la chute de tension à ses bornes est nulle lorsqu’il est fermé.
- le courant qui le traverse est nul lorsqu’il est ouvert.
On donne u
(t) et l’état de
K en fonction
du temps :
Tracer uK (t) et u R (t) en concordance de temps avec u (t).
Exercice 9 : On considère le montage ci-dessous :
Calculer i en utilisant le théorème de superposition.
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EL20
EL 20 - TD N°2
1.Circuit RC.
Soit le circuit suivant :
R
Ve(t)
avec :
E
V(t)
C
Ve(t)
0
On pose
T/2
T
t
  RC , constante de temps du circuit. On s'intéresse au régime permanent et au cas où   T
1.1.Charge du condensateur, pour 0  t  T 2 .

t  0  , la tension aux bornes du condensateur est minimale et on note v(0 )  Vmin .
· Déterminer l'expression de v (t ) .
· Exprimer v (T ) que l'on notera Vmax . Simplifier cette expression en tenant compte du fait que   T .
2
A
1.2.Décharge du condensateur, pour T 2  t  T .
· En prenant T comme nouvelle origine des temps, déterminer l'expression de v (t ) sur cette demie période.
2
· Sachant qu'en régime permanent v (t ) est périodique, déduire une nouvelle relation entre Vmin et Vmax , en tenant
compte du fait que   T .
1.3.Exprimer Vmin et Vmax en fonction de E , T et  .
1.4.On pose V  Vmax  Vmin .
Montrer que l'on peut écrire :
Exprimer
Vmin  V0 
V
V
et Vmax  V0 
.
2
2
V0 et V , puis vérifier que V0 est égal à la valeur moyenne de ve (t )
1.5.Représenter l'allure de v(t ) .
1.6.Calculer le taux d'ondulation
V
.
V0
1.7.Application : soit un signal carré de fréquence 1kHz dont on veut extraire la valeur moyenne avec un taux d'ondulation
inférieur à 1%. Déterminer les valeurs possibles de  .
Rappels :
e  x  1  x pour x  1
1
 1  x pour x  1
1 x
2.Circuit RL
On considère le circuit ci-dessous, dans lequel l’inductance est initialement déchargée. La tension d’entrée e(t) = 0V
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EL20
1.1.E(t) vaut maintenant E (>0). Etablir l’équation différentielle donnant iL(t) et résoudre cette équation.
1.2.Quelle est la forme de la tension UL(t) dans ce circuit ?
1.3.Quelle est l’énergie fournie par le générateur au cours de la charge ? Quelle est l’énergie dissipée par effet Joule ?
1.4.Quelle est l’énergie stockée dans l’inductance en fin de charge ? Quelle égalité énergétique peut-on écrire ?
3.Charge et décharge du circuit RC
A t = 0, l’interrupteur K est en position 1
2.1) Donner le schéma électrique équivalent au circuit
2.2) Déterminer l’équation différentielle associée
2.3) Déterminer Uc(t), en tenant compte des conditions initiales (CI)
2.4) Calculer UC pour t =  = RC
2.5) On bascule K en position 2, à t = t
2.5.1) Donner le schéma électrique équivalent au circuit
2.5.2) Déterminer UC(t) en tenant compte des CI.
N.B. : il pourra être intéressant de faire le changement de variable t’ = t - 
3) Tracer U(t) , UR(t) et UC(t) en concordance de temps entre t = 0 et t = 5.
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EL20
EL 20 - TD N°3
3.1.Transformées de Laplace.
On considère les fonctions suivantes définies par leur graphe. Déterminer sans calcul leur transformée de Laplace :
f1
f2
bt+c
at
t
t
f4
f3
E
exp(-dt)
t
0
t1
t2
t
3.2.Réponse à un échelon de tension dans un circuit RC série.
On considère le circuit suivant :
i(t)
R1
C
e(t)
R2
s(t)
Pour t=0-, le condensateur est déchargé.
e(t) est un échelon de tension d'amplitude E.
1. Calculer S(p) et I(p).
2. A l'aide de S(p) et I(p), déterminez i(0+), s(0+), i(+) et s(+). Retrouver ces résultats à l'aide de considérations
physiques sur les tensions et les courants du circuit.
3. Déterminer les expressions de s(t) et i(t) et les représenter graphiquement.
3.3.Réponse temporelle d'un circuit RLC.
R
e(t)
L
C
s(t)
R=4,7k
L=50mH
C=2,2nF
1. Etablir l'équation différentielle liant s(t) à l'entrée e(t).
2. Sachant que le circuit est initialement au repos, en déduire l'expression de S(p) en fonction de E(p).
3. On applique à t=0s un échelon d'amplitude 5V en entrée du circuit. Donner l'expression de S(p) qui en résulte. En déduire
l'expression de s(t), solution de l'équation différentielle établie précédemment.
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EL20
3.4.Réponse à un créneau bref pour un circuit RC.
On considère le montage suivant, attaqué par le signal ve(t).
R
e(t)
ve(t)
C
s(t)
0
Pour t<0, le condensateur est déchargé.
On pose =RC, et on a t0=/10.
t0
t
1. Déterminer Ve(p)=L[ve(t)], puis calculez Vs(p). En déduire l'expression de vs(t).
2. Déterminer la valeur maximale de vs(t), notée Vsmax, et montrer que V s max  E
t0

3. Représenter l'allure de la tension vs(t).
4. On remplace à présent le créneau bref par une impulsion de Dirac de poids Et0.
ve(t)
Et0
0
t
Calculer Vs(p). En déduire l'expression de vs(t). Représenter graphiquement l'allure de vs(t). Conclure.
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EL20
EL 20 - TD N°4
4.1)Application : utilisation du modèle linéaire de la diode
Soit une diode à jonction, dont la caractéristique est la suivante
On place cette diode dans un circuit comportant un générateur linéaire et une résistance. Le générateur est une source de
courant pure (noté ).
1) Exprimer I circulant dans R quand
 varie (distinguer deux cas, diode « bloquée » et diode « passante »).
L’intensité maximale supportée par R est 10 mA. Quelle valeur maximale positive  max peut prendre ?
4.2) Circuit diode inductance capacité en régime libre
On considère un circuit LC + diode + interrupteur K en série, dans lequel la diode est parfaite. Le condensateur est
initialement chargé sous la tension U0. A l’instant t = 0, on ferme l’interrupteur K.
1) Avec la convention d’orientation prise sur le dessin ci-dessus, donner le(s) signe(s) possible(s) pour U0 pour qu’il se passe
quelque chose lorsqu’on ferme l’interrupteur K.
2) Représenter l’évolution en régime libre de i(t), uc(t) et uD(t).
3) Indiquer le trajet du point de fonctionnement sur la caractéristique courant tension de la diode.
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EL20
4.3) CONVERSION ALTERNATIF/CONTINU EN TRIPHASE.
4.3.1) Introduction.
Le courant triphasé est un ensemble de trois courants monophasés. Lorsqu'on parle de courant monophasé (une phase), ou
triphasé (trois phases), il s'agit automatiquement de courant alternatif sinusoïdal. En effet, la phase est une des
caractéristiques d'un tel courant.
EDF produit du courant alternatif triphasé. Ses alternateurs fournissent trois composantes monophasées, décalées les unes
par rapport aux autres d'un tiers de période.
Bon nombre des appareils électriques que nous utilisons demandent une tension continue d'alimentation. Pour les
alimenter correctement à partir du réseau EDF, on utilisera donc des convertisseurs alternatif/continu.
4.3.2) Représentation des tensions.
Les trois tensions qui constituent le triphasé s'expriment :
v1 (t )  V 2 sin  t
2
)
3
4
v 3 (t )  V 2 sin( t 
)
3
On a représenté ce système de trois tensions triphasées en annexe 1, ainsi que les tensions composées :
u12 (t )  v1 (t )  v 2 (t )
u 23 (t )  v 2 (t )  v 3 (t )
u 31 (t )  v 3 (t )  v1 (t )
Repérer ces trois tensions et leurs opposées sur l'annexe 1.
v 2 (t )  V 2 sin( t 
4.3.3) Redressement triphasé à diodes – cathodes communes.
Soit le montage suivant :
u1(t)
D1
u2(t)
D2
u3(t)
D3
K
i(t)
R
u(t)
4.3.3.1)Conduction de D1.
On suppose que D1 conduit.
Quel est alors le potentiel au point K ?
Quelles sont les expressions des tensions aux bornes des diodes D2 et D3 ?
A quelle(s) condition(s) D2 et D3 seront-elles bloquées ?
Représenter sur l'annexe 1 les intervalles durant lesquels D2 et D3 seront bloquées.
Quelle est l'expression de u(t) lorsque D1 conduit ?
4.3.3.2)Conductions de D2 et D3.
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EL20
Par un raisonnement analogue, déterminer successivement les intervalles durant lesquels D1 et D3 seront bloquées (D2
passante) puis D1 et D2 seront bloquées (D3 passante), et les reporter sur l'annexe 1.
Donner l'expression de u(t) dans ces différents cas.
4.3.3.3)Valeurs remarquables.
Tracer l'allure de la tension u(t) sur l'annexe 1.
Déterminer <u(t)>, valeur moyenne de u(t). En déduire la valeur du facteur d'ondulation : k 
u max  u min
.
2  u (t) 
Tracer uD1(t), tension inverse de la diode D1 sur l'annexe 1. En déduire la valeur de la tension inverse maximale aux bornes
de la diode.
Annexe 1
4.6)Diode de roue libre.
Une diode de roue libre est une diode de protection placée en parallèle sur une branche de circuit
inductif, et dont le rôle est d'empêcher l'apparition d'une étincelle lors de la coupure du courant.
K
E
i(t) R
u(t)
L
D
Pour la suite, on considérera le modèle suivant pour la diode passante :
i
rd
Vd
1. Pour t<0, l'interrupteur K est fermé et le circuit est en régime établi.
Quel est l'état de la diode D ? Justifiez.
Quelle est l'expression du courant i(t) ?
2. A t=0, on ouvre l'interrupteur. Déterminez i(0+), expression du courant à l'instant t=0+.
Quel est l'état de la diode ? Justifiez.
Déterminer l'expression de la tension u(t) aux bornes de l'interrupteur K.
3. Que se passerait-il si la diode était supprimée ?
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EL20
EL20 – TD N°5
5.1) Dans le montage 1 le coefficient d’amplification en courant  du transistor est 200 et on suppose que celui-ci n’est pas
saturé. Quelle est la valeur de RE ?
5.2) Dans le montage 2 ci-dessous, le coefficient  d’amplification en courant du transistor, supposé non saturé) est 120. La
résistance RC a pour valeur 0,5 k.
Quelle est l’intensité iC du courant de collecteur ?
5.3) Le transistor du montage 3 ci-dessous a pour coefficient d’amplification en courant du transistor = 75, et pour tension
de saturation VCEsat = 0V (cas idéal).
Quelle est l’intensité minimale iB qui permet de saturer le transistor ?
5.4)Montage 4 (schéma page suivante )
Données : min = 100 (pour IC = 100 mA) IC max = 800 mA
VCE max = 25 V VCE sat = 0,7 V
VBE = 0,6 V VCC = 12 V
RC = 100 VE = 5 V
 Trouver la valeur de R1 pour saturer le transistor avec un coefficient de sursaturation égal à 2.
 Pour cela :
 Vérifier si on ne dépasse pas les caractéristiques en courant ou en tension du transistor utilisé.
 Calculer IC.
 Calculer IB.
 Calculer R1
UTBM
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EL20
+VCC
RC
IC
Montage 4
R1 IB
VC E
Ve
T
5.5) Montage 5
T fonctionne en commutation
VCEsat = 0,1V et 100 <  < 300.
On donne pour le relais, RL = 400  et pour la diode LD1, VD = 1,6V.
1) Expliquer l'utilité d'un relais dans une interface de sortie.
2) Calculer la valeur de ICsat.
3) Calculer Ibsat min.
4) Le transistor est commandé par une tension de 0, 5V. Calculer la valeur de R1 pour respecter un coefficient de
sursaturation de 3.
5) Quel est le rôle de D1 ? Quel est le rôle de LD1 ?
15V
RL-1RT
D1
Montage 5
LD1
R1
UTBM
T1
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EL20
EL 20 - TD N°6
6.1)Schémas divers à amplificateur linéaire intégré.
Dans les schémas suivants, calculer la tension de sortie Vs en fonction de la (ou des) tensions(s) d'entrée(s). Les
amplificateurs linéaires intégrés sont supposés idéaux.
1)
R
R
2)
4R
R1
R2
V1
Ve
Vs
3)
R2
R1
V2
R1
V1
R2
Vs
V2
4)
V3
R4
R2
R3
R1
Ve
Vs
6.2) Montages avec éléments réactifs
Donnez l'expression de Vs(p) fonction de V1(p) et V2(p) puis Ve(p) pour les montages suivants :
1)
2)
C
R
ve(t)
-
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v2(t)
R
C
R
+
v1(t)
R
R
+
vs (t)
C
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vs (t)
EL20
EL 20 - TD N°7
7.1) Filtre actif du second ordre : structure de Rauch.
R
R
R
C2
Ve
Calculer la fonction de transfert
C1
T( p ) 
Vs
Vs
de ce filtre et la mettre sous la forme canonique suivante :
Ve
T( p ) 
T0
p  p 
1  2m
 
0   0 
2
Expliciter T0, m et 0.
7.2) Multiplicateur par  1.
On souhaite réaliser le multiplicateur décrit par le schéma suivant :
ve(t)
*
v(t)
vs(t)=signe(v(t)) * ve(t)
R1
Une réalisation de cette fonction peut être :
R1
R2
D1
Ru
ve(t)
v(t)
Ro
D2
Les diodes D1 et D2 sont identiques et leur tension de seuil est VD=0,6V.
Le signal ve(t) est un signal de signe constant de valeur moyenne Ve et de composante variable d'amplitude vem, telle que
0<vem<Ve.
Le signal v(t) est un signal carré de valeur maximale V1>Ve+vem et de valeur minimale V2<0.
1. Déterminez la valeur du signal de sortie vs(t) lorsque v=V1, puis lorsque v=V2.
Conclure que vs(t)=signe(v(t)) * ve(t).
2. Quelle modification devrait-on effectuer pour obtenir un signal de sortie vs(t)= - signe(v(t)) * ve(t) ? Justifiez votre réponse.
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EL20
EL 20 - TD N°8
8.1) Circuit à avance de phase.
Soit le circuit suivant :
C
R1
Ve
R2
Vs
1. Montrer que la fonction de transfert complexe de ce circuit est de la forme : H ( j ) 
V s ( j )
V e ( j )
 H0
1  j
1  j
1
2
2. Tracer le diagramme de Bode de ce circuit sur papier semi-logarithmique. On introduira les pulsations : 1 
2 


.
1
,
1
1 , et
 0   1 2 .
2
Sachant que ve( t )  A cos(  0 t ) , donnez l'expression de vs(t), à partir du diagramme asymptotique de bode dans un premier
temps puis à partir de H(j0) dans un second temps.
AN : R1  R 2  10k et C  10nF .
8.2) Filtre passe-bas
On considère un filtre passe-bas dont la transmittance est de la forme : T ( j )  K
1  j  2
1   02 2
 2 jm 0
1  j 2
1. Montrer que l'on peut mettre cette transmittance sous la forme : T ( j )  T 0
.
(1  j 1 )(1  j 3 )
, où m  1.
2. En fonction des valeurs de 1, 2, 3, tracer les diagrammes de Bode asymptotiques de ce filtre.
3. Par identification entre les fréquences de cassure du diagramme asymptotique et celles qui sont imposées ci-dessous,
calculer successivement les valeurs numériques de :  02 ,  1 ,  3 et  2 .
20log |T|
50Hz
500Hz 2120Hz
f1
20log |To|
f2
f3
f(Hz)
-20dB/décade
-20dB/décade
4. Sachant que T0  0,45 , déduire du diagramme asymptotique la valeur de T à la fréquence f  10kHz .
8.3) Filtre passe-bas actif
2C
R
L' ALI est idéal
R
Ve
Calculer la transmittance de ce filtre : T ( j ) 
C
Vs
Ve
Vs
. Représenter la réponse à un échelon de tension du filtre
Représentez la réponse fréquentielle (diagramme de bode) de ce filtre
UTBM
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EL20
8.3)Etude d'un diagramme de Bode
On considère un amplificateur caractérisé par le diagramme asymptotique de Bode de l'amplitude donné ci dessous.
20log |T(j)|
A = 20 dB
f0 = 1 kHz
A
Ve(j)
T(j)
-40dB/décade
Vs(j)
f0
f
fT
8.3.1)Tracez le diagramme asymptotique de Bode de la phase
8.3.2)Donnez l'équation de la fonction de transfert complexe T(j)
8.3.3)Déterminez la valeur de la fréquence de transition fT.
8.3.4) On souhaite ajouter un deuxième étage d'amplification de manière à avoir une bande passante de 100 kHz selon la
caractéristique suivante :
20log |G(j)|
Ve(j)
T(j)
H1(j)
A
Vs(j)
-40dB/décade
f
100f0
G(j)
8.3.4.1) Donnez le diagramme asymptotique de Bode de l'amplitude du deuxième étage d'amplification.
8.3.4.2) Donnez l'expression de la fonction de transfert H1(j)
?
8.3.4.3) Cette fois ci on souhaite corriger la fonction de transfert en plaçant un second étage en parallèle avec le premier,
donnez le diagramme asymptotique de Bode de l'amplitude de H2(j)
H2(j)
+
T(j)
Vs(j)
Ve(j)
G(j)
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EL20
EL 20 - TD N°9
9.1) Trigger inverseur
_
+
Ve
R2
Vs
R1
Vref
Expliquez pourquoi le montage précédent est un montage non linéaire
Sachant que l'ALI est alimenté en +15, -15 volts que R1 = 10k et R2 = 20k, donnez la caractéristique d'entrée/sortie du
système
Que devient cette caractéristique si Vref = 0 et que l'on place une diode en sortie de l'amplificateur
_
+
Ve
R2
Vs
R1
Cette fois ci l'ALI est un circuit comparateur à sortie collecteur ouvert alimenté en 0, 5V, donnez la caractéristique
5V
5V
_
Ve
R1
+
R1
Vs
R1
d'entrée/sortie
9.2) Montage astable :
(1-x)R
r
xR
r
4
+E
2
1
8
3
C
Vc(t)
R2
R1
r
-E
V(t)
E=15V
VZ=4,5V
VD=0,6V
R=10k
r=1k
R1=10k
R2=12k
C=10nF
9.2.1)Etude du montage astable.
1- Représentez graphiquement l'allure de v(t) et vc(t).
2- Déterminez la période de v(t).
3- Donnez l'expression du rapport cyclique de v(t) en fonction de x, R et r.
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EL20
9.2.2) Etude du signal de sortie.
On suppose dans cette partie que le rapport cyclique est de 1 2 .
v(t)
A
T/2
0
T
t
-A
L'origine des temps étant choisie de manière à ce que v(t) soit un signal impair, décomposez ce signal en série de Fourier
sous la forme de fonctions sinus.
Donnez la valeur efficace du fondamental ainsi que les valeurs efficaces des deux premiers harmoniques non nuls.
9.2.3)Transformation (filtrage).
Soit le montage suivant :
C0
R0
R0=4,7k
C0=4,7nF
R3=R4=10k
R0
R4
C0
Ve(t)
Vs(t)
R3
1- Déterminez la fonction de transfert complexe de ce montage
V s ( j )
V e ( j )
2- De quel type est ce filtre ?
3- On applique à l'entrée du filtre le signal carré issu du montage astable.
astable
filtre
V(t)
Vs(t)
v(t) étant exprimé sous la forme d'une somme de sinus, quelle sera la forme de l'expression de vs(t) ?
Quelle sera l'allure du signal vs(t) ?
A partir du diagramme de Bode asymptotique de ce filtre, déterminez les valeurs efficaces du fondamental et des deux
premiers harmoniques non nuls de vs(t).
Représentez graphiquement l'allure de vso(t), signal résultant de la somme du fondamental et des deux premiers harmoniques
non nuls de vs(t).
Qu'observerait-on en sortie du montage si on mettait plusieurs filtres de ce type en cascade derrière l'astable ?
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