TD de math - Alexis Bonnecaze

ESIL,
Année 2007-2008
TD de math
1. Déterminer tous les entiers premiers inférieurs à 30 qui sont congrus à 3 mod 4. (3,7,11,19,23)
2. Calculer l’inverse de 65 mod 101. (= 14)
3. Calculer 8 ∗ 29 mod 33. (= 1)
4. Calculer l’inverse de 2919 mod 33. (= 8, par theo d’Euler)
5. Calculer l’inverse de 13 mod 29. (= 9)
6. Calculer 51 ∗ 25 mod 91. (= 1)
7. Calculer 2571 mod 91. (= 51)
8. Calculer φ(85), φ(1024), φ(759). (64, 512, 440)
9. Soit p premier, a est un résidu quadratique modulo p (RQ) si a < p et si x2 = a mod p pour un certain
x. Calculer tous les RQ modulo 7 puis modulo 23.
(RQ mod 7 = {1, 2, 4}, RQ mod 23 = {1, 2, 3, 4, 6, 8, 9, 12, 13, 16, 18})
Combien l’entier 2 admet-il de racines carrées modulo 23? (2)
Combien l’entier 4 admet-il de racines carrées modulo 1155? (16)
10. Le symbole de Legendre L(a, p), p > 2 est défini comme suit
L(a, p) = 0 si a est divisible par p
L(a, p) = 1 si a est un RQ modulo p
L(a, p) = −1 si a n’est pas un RQ modulo p
L’entier 2 est-il un RQ modulo 101 ? (non)
Calculer L(4, 7), L(18, 23), L(3, 11), L(4, 101), L(97, 101).
1 pour les cinq cas.

 x = 12 mod 21
x=
4 mod 5 (= 1524 mod 2310)
11. Calculer x tel que

x = 6 mod 22
x = 12 mod 18
12. Calculer x tel que
(pas de solution)
x = 5 mod 12
13. Déterminer x et y tel que 5x + 17y = 1. (7, -2)
∗
14. Déterminer Z14
ainsi que tous ses générateurs. Calculer l’ordre de 11. Quels sont les ordres possibles
∗
des éléments de Z14
? (il y a deux générateurs (φ(φ(14)) : 3 et 5. 13 est d’ordre 2, 9 et 11 d’ordre 3.)
15. Quel est le dernier chiffre de (257!) ? (0 car c’est un multiple de 10)
16. Résoudre 2x ≡ 2y mod 8. (x ≡ y mod 4)
∗
, ., 1)?
1. Le groupe (Z8 , +, 0) est-il isomorphe à (Z30
Les ensembles ont le même nombre d’éléments. Par contre le premier groupe est cyclique (donc
possède un générateur, élément d’ordre 8, alors que le deuxième groupe n’est pas cyclique. S’il existait
un isomorphisme entre les deux groupes l’image d’un générateur serait un générateur.
∗
, ., 1).
idem avec (Z6 , +, 0) et (Z14
Ici, les deux groupes sont cycliques et ils admettent le même nombre d’éléments de même ordre. En
particulier, ils ont tous deux 2 générateurs : 1 et 5 pour le premier groupe et 3 et 5 pour le second. Pour
1
montrer qu’il existe un isomorphisme entre les deux, il faut exhiber un isomorphisme. Par exemple
f (x) = 3x est une bijection et un morphisme. f (0) = 1, f (1) = 3, f (2) = 9, f (3) = 13, f (4) = 11, f (5) =
5. f (x) = 5x est un autre isomorphisme entre les deux groupes.
2. Quels sont les générateurs du groupe cyclique additif Z? (±1)
∗
3. Sachant que tous les éléments de Z15
ont un ordre multiplicatif qui divise 4, est-il possible de savoir si
∗
Z15 est cyclique? S’il était cyclique, il aurait un élément d’ordre 8.
4. Soit G = {0, a, b, c} un ensemble muni d’une loi additive définie par sa table :
+
0
a
b
c
0
0
a
b
c
a b
a b
0 c
c 0
b a
c
c
b
a
0
Cette structure est-elle un groupe? (oui)
Soit H = {0, a} un ensemble muni d’une loi additive définie par sa table :
+
0
a
0 a
0 a
a 0
Montrer que (H, +) est un groupe isomorphe à Z2 . (facile)
(H, +) est-il un sous-groupe de (G, +)? (oui)
(G, +) est-il isomorphe au groupe (G0 , ∗) de quatre éléments dont la loi ∗ est telle que x ∗ x = 0, ∀x ∈
G0 ?(oui)
5. Soit φ : G1 → G2 un morphisme de groupes (finis). Montrer que Im(φ) est un sous-groupe de G2 .
Im(φ) n’est pas vide car il contient l’élément neutre de G2
Soit a, b deux éléments de Im(φ). Alors il existe x, y dans G1 tel que a = φ(x) et b = φ(y). Puisque
G1 est un groupe, x + y ∈ G1 et donc φ(x + y) = φ(x) + φ(y) ∈ Im(φ). Soit a ∈ Im(φ) Alors il existe
x dans G1 tel que a = φ(x). Puisque G1 est un groupe, −x ∈ G1 et φ(−x) = −φ(x) = −a ∈ Im(φ).
6. Montrer que Cx = {y ∈ G| xy = yx}, x ∈ G, est un groupe de G (G étant un groupe fini).
Cx n’est pas vide car contient l’élément neutre de G.
Soit a, b ∈ Cx , alors on a xa = ax et xab = axb. Mais xb = bx donc on obtient xab = abx et ab ∈ Cx .
Soit a ∈ Cx , alors xa = ax. Donc a−1 xaa−1 = a−1 axa−1 . Donc a−1 x = xa−1 . Donc a−1 ∈ Cx .
1. Calculer (x + 1)(x + 2)(x2 + 1) dans F3 [x]. (x4 + 2)
Montrer que x2 + 1 est irréductible. Si x2 + 1 est réductible, ses facteurs sont de degré 1. Donc il
admet des racines dans F3 . Puisque ni 0 ni 1, ni 2 ne sont racines, le poly est irréductible.
Construire un corps de neuf éléments.
9 = 32 donc le corps de base est F3 et il faut un poly irréductible de degré 2. Par exemple f = x2 + 1.
Soit α une racine de f . Alors f (α) = 0 donc α2 = −1 = 2. Les éléments de F9 sont tous les polys à
coefficients dans F3 de degré strictement inférieur à 2. donc
F9 = {ai + bi α, ai , bi ∈ F3 }
la table d’addition ne pose pas de problème et la table de multiplication a été faite en TD. On remarque
que l’ordre de α est 4, ce qui signifie que α n’est pas une racine primitive (elle ne génère pas le groupe
cyclique composé des éléments non nuls). On sait qu’il existe 4 générateurs (φ(8) = 4). On peut vérifier
que β = α + 1 est un générateur. Donc F9 = {0} ∪ {1, β, β 2 , . . . , β 7 }.
2
2. Soit f (x) = x4 + x + 1 ∈ F2 [x]. Soit α une racine de f .
(a) Calculer α5 , α6 , α7 , α8 , α9 , α10 , . . ..
f est un poly irréductible dans F2 [x] mais il admet 4 racines dans une extension de F2 . Soit α
une racine de f . Alors α4 + α + 1 = 0. Donc α4 = α + 1. Donc α5 = α2 + α, . . . et α15 = 1.
(b) Calculer (α4 + α + 1)2 .
(f (α))2 = 0
(c) Calculer les inverse de α12 , α8 , α14
L’inverse de αi est α15−i car αi .α15−i = 1
(d) Construire le corps F2 [x]/(f (x)).
En calculant toutes les puissances de α, on obtient tous les éléments non nuls du corps et
F = {0} ∪ {1, α, α2 , . . . , α14 }. Les éléments admettent trois représentations (voir le support
de cours AlgCodCycl.pdf sur ma page). Les additions se font plus facilement sur les vecteurs et
les multiplications se font facilement sur les puissances de α.
3. Soit p un entier premier. On considère le polynôme a := xp + x ∈ Zp [x]. Déterminer a(α) pour tout
α ∈ Zp .
a(α) = αp + α. D’après Fermat, on a αp ≡ α mod p. Donc a(α) = 2α.
4. Donner un exemple où le degré du produit de deux polynômes a et b est strictement inférieur à
deg(a) + deg(b).
Dans Z4 [x] a := 2x2 + 1 et b := 2x2 + x + 2.
5. Calculer a mod b dans F3 , avec a = x4 + 2x3 + x + 2, b = x3 − 1. (2x + 1)
6. Calculer a.a0 mod b dans F5 , avec a0 = 2x2 + x + 2. (x2 sauf erreur)
7. Montrer qu’un idéal propre d’un anneau A ne peut contenir d’éléments inversibles.
Si l’idéal contient un élément inversible, il contient aussi son inverse donc le produit de lui-même avec
son inverse qui donne 1. Tout idéal qui contient 1 est égal à A.
8. Montrer qu’un anneau est un corps si et seulement si il n’a pas d’idéal propre non nul.
Si A est un corps, tous ses éléments sont inversibles donc il n’existe pas d’idéal propre non nul de A.
Réciproquement, supposons que A n’est pas un corps, alors il admet un élément non inversible. Soit
x ∈ A non inversible, considérons l’idéal engendré par x (tous les multiples de x). Cet idéal ne contient
pas 1, il est donc propre et non nul.
9. Soit α une racine de x3 + x2 + 1 ∈ F2 [x]. Quelles sont les autres racines de ce polynôme (en fonction
de α)?
Si α est racine du poly, alors α2 est aussi racine, ainsi que α4 et α8 = α.
10. Soit α une racine de (x4 + x + 1). Quel est le polynôme minimal M de α3 (polynôme unitaire de plus
bas degré tel que M (α3 ) = 0)?
Le poly min de α3 est (x − α3 )(x − α6 )(x − α12 )(x − α9 ) = x4 + x3 + x2 + x + 1 car la classe cyclotomique
de 3 est C3 = {3, 6, 12, 9}.
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