TD de math - Alexis Bonnecaze

ESIL, Année 2007-2008
TD de math
1. Déterminer tous les entiers premiers inférieurs à 30 qui sont congrus à 3 mod 4. (3,7,11,19,23)
2. Calculer l’inverse de 65 mod 101. (= 14)
3. Calculer 8∗29 mod 33. (= 1)
4. Calculer l’inverse de 2919 mod 33. (= 8, par theo d’Euler)
5. Calculer l’inverse de 13 mod 29. (= 9)
6. Calculer 51 ∗25 mod 91. (= 1)
7. Calculer 2571 mod 91. (= 51)
8. Calculer φ(85), φ(1024), φ(759).(64,512,440)
9. Soit ppremier, aest un résidu quadratique modulo p(RQ) si a<pet si x2=amod ppour un certain
x. Calculer tous les RQ modulo 7puis modulo 23.
(RQ mod 7 = {1,2,4}, RQ mod 23 = {1,2,3,4,6,8,9,12,13,16,18})
Combien l’entier 2admet-il de racines carrées modulo 23? (2)
Combien l’entier 4admet-il de racines carrées modulo 1155? (16)
10. Le symbole de Legendre L(a, p), p > 2est défini comme suit
L(a, p) = 0 si aest divisible par p
L(a, p) = 1 si aest un RQ modulo p
L(a, p) = −1si an’est pas un RQ modulo p
L’entier 2est-il un RQ modulo 101 ? (non)
Calculer L(4,7), L(18,23), L(3,11), L(4,101), L(97,101).
1pour les cinq cas.
11. Calculer xtel que 
x= 12 mod 21
x= 4 mod 5
x= 6 mod 22
(= 1524 mod 2310)
12. Calculer xtel que x= 12 mod 18
x= 5 mod 12 (pas de solution)
13. Déterminer xet ytel que 5x+ 17y= 1. (7, -2)
14. Déterminer Z∗
14 ainsi que tous ses générateurs. Calculer l’ordre de 11. Quels sont les ordres possibles
des éléments de Z∗
14? (il y a deux générateurs (φ(φ(14)) :3et 5. 13 est d’ordre 2, 9 et 11 d’ordre 3.)
15. Quel est le dernier chiffre de (257!) ? (0 car c’est un multiple de 10)
16. Résoudre 2x≡2ymod 8.(x≡ymod 4)
1. Le groupe (Z8,+,0) est-il isomorphe à (Z∗
30, ., 1)?
Les ensembles ont le même nombre d’éléments. Par contre le premier groupe est cyclique (donc
possède un générateur, élément d’ordre 8, alors que le deuxième groupe n’est pas cyclique. S’il existait
un isomorphisme entre les deux groupes l’image d’un générateur serait un générateur.
idem avec (Z6,+,0) et (Z∗
14, ., 1).
Ici, les deux groupes sont cycliques et ils admettent le même nombre d’éléments de même ordre. En
particulier, ils ont tous deux 2générateurs : 1et 5pour le premier groupe et 3et 5pour le second. Pour
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montrer qu’il existe un isomorphisme entre les deux, il faut exhiber un isomorphisme. Par exemple
f(x)=3xest une bijection et un morphisme. f(0) = 1, f(1) = 3, f(2) = 9, f (3) = 13, f(4) = 11, f (5) =
5.f(x) = 5xest un autre isomorphisme entre les deux groupes.
2. Quels sont les générateurs du groupe cyclique additif Z? (±1)
3. Sachant que tous les éléments de Z∗
15 ont un ordre multiplicatif qui divise 4, est-il possible de savoir si
Z∗
15 est cyclique? S’il était cyclique, il aurait un élément d’ordre 8.
4. Soit G={0, a, b, c}un ensemble muni d’une loi additive définie par sa table :
+ 0 a b c
0 0 a b c
a a 0c b
b b c 0a
c c b a 0
Cette structure est-elle un groupe? (oui)
Soit H={0, a}un ensemble muni d’une loi additive définie par sa table :
+ 0 a
0 0 a
a a 0
Montrer que (H, +) est un groupe isomorphe à Z2. (facile)
(H, +) est-il un sous-groupe de (G, +)? (oui)
(G, +) est-il isomorphe au groupe (G0,∗)de quatre éléments dont la loi ∗est telle que x∗x= 0,∀x∈
G0?(oui)
5. Soit φ:G1→G2un morphisme de groupes (finis). Montrer que Im(φ)est un sous-groupe de G2.
Im(φ)n’est pas vide car il contient l’élément neutre de G2
Soit a, b deux éléments de Im(φ). Alors il existe x, y dans G1tel que a=φ(x)et b=φ(y). Puisque
G1est un groupe, x+y∈G1et donc φ(x+y) = φ(x) + φ(y)∈Im(φ).Soit a∈Im(φ)Alors il existe
xdans G1tel que a=φ(x). Puisque G1est un groupe, −x∈G1et φ(−x) = −φ(x) = −a∈Im(φ).
6. Montrer que Cx={y∈G|xy =yx}, x ∈G, est un groupe de G(Gétant un groupe fini).
Cxn’est pas vide car contient l’élément neutre de G.
Soit a, b ∈Cx, alors on a xa =ax et xab =axb. Mais xb =bx donc on obtient xab =abx et ab ∈Cx.
Soit a∈Cx, alors xa =ax. Donc a−1xaa−1=a−1axa−1. Donc a−1x=xa−1. Donc a−1∈Cx.
1. Calculer (x+ 1)(x+ 2)(x2+ 1) dans F3[x]. (x4+ 2)
Montrer que x2+ 1 est irréductible. Si x2+ 1 est réductible, ses facteurs sont de degré 1. Donc il
admet des racines dans F3. Puisque ni 0ni 1, ni 2ne sont racines, le poly est irréductible.
Construire un corps de neuf éléments.
9=32donc le corps de base est F3et il faut un poly irréductible de degré 2. Par exemple f=x2+ 1.
Soit αune racine de f. Alors f(α) = 0 donc α2=−1 = 2. Les éléments de F9sont tous les polys à
coefficients dans F3de degré strictement inférieur à 2. donc
F9={ai+biα, ai, bi∈F3}
la table d’addition ne pose pas de problème et la table de multiplication a été faite en TD. On remarque
que l’ordre de αest 4, ce qui signifie que αn’est pas une racine primitive (elle ne génère pas le groupe
cyclique composé des éléments non nuls). On sait qu’il existe 4générateurs (φ(8) = 4). On peut vérifier
que β=α+ 1 est un générateur. Donc F9={0}∪{1, β, β2, . . . , β7}.
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2. Soit f(x) = x4+x+ 1 ∈F2[x]. Soit αune racine de f.
(a) Calculer α5,α6,α7,α8,α9,α10,. . ..
fest un poly irréductible dans F2[x]mais il admet 4racines dans une extension de F2. Soit α
une racine de f. Alors α4+α+ 1 = 0. Donc α4=α+ 1. Donc α5=α2+α, . . . et α15 = 1.
(b) Calculer (α4+α+ 1)2.
(f(α))2= 0
(c) Calculer les inverse de α12, α8, α14
L’inverse de αiest α15−icar αi.α15−i= 1
(d) Construire le corps F2[x]/(f(x)).
En calculant toutes les puissances de α, on obtient tous les éléments non nuls du corps et
F={0} ∪ {1, α, α2, . . . , α14}. Les éléments admettent trois représentations (voir le support
de cours AlgCodCycl.pdf sur ma page). Les additions se font plus facilement sur les vecteurs et
les multiplications se font facilement sur les puissances de α.
3. Soit pun entier premier. On considère le polynôme a:= xp+x∈Zp[x].Déterminer a(α)pour tout
α∈Zp.
a(α) = αp+α. D’après Fermat, on a αp≡αmod p. Donc a(α)=2α.
4. Donner un exemple où le degré du produit de deux polynômes aet best strictement inférieur à
deg(a) + deg(b).
Dans Z4[x]a:= 2x2+ 1 et b:= 2x2+x+ 2.
5. Calculer amod bdans F3, avec a=x4+ 2x3+x+ 2, b =x3−1. (2x+ 1)
6. Calculer a.a0mod bdans F5, avec a0= 2x2+x+ 2. (x2sauf erreur)
7. Montrer qu’un idéal propre d’un anneau Ane peut contenir d’éléments inversibles.
Si l’idéal contient un élément inversible, il contient aussi son inverse donc le produit de lui-même avec
son inverse qui donne 1. Tout idéal qui contient 1est égal à A.
8. Montrer qu’un anneau est un corps si et seulement si il n’a pas d’idéal propre non nul.
Si Aest un corps, tous ses éléments sont inversibles donc il n’existe pas d’idéal propre non nul de A.
Réciproquement, supposons que An’est pas un corps, alors il admet un élément non inversible. Soit
x∈Anon inversible, considérons l’idéal engendré par x(tous les multiples de x). Cet idéal ne contient
pas 1, il est donc propre et non nul.
9. Soit αune racine de x3+x2+ 1 ∈F2[x]. Quelles sont les autres racines de ce polynôme (en fonction
de α)?
Si αest racine du poly, alors α2est aussi racine, ainsi que α4et α8=α.
10. Soit αune racine de (x4+x+ 1). Quel est le polynôme minimal Mde α3(polynôme unitaire de plus
bas degré tel que M(α3)=0)?
Le poly min de α3est (x−α3)(x−α6)(x−α12)(x−α9) = x4+x3+x2+x+ 1 car la classe cyclotomique
de 3est C3={3,6,12,9}.
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