Force de Lorentz 29.(M) Sachant que le flux du champ magnétique

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Force de Lorentz
29.(M) Sachant que le flux du champ magnétique est conservatif, décrire (qualitativement) la
trajectoire d’une particule chargée dans un champ magnétique non uniforme tel celui dont les
lignes de champ sont représentées ci-dessous. Les rayons cosmiques sont des particules char-
gées de très haute énergie produites dans l’espace, qui bombardent en permanence la Terre. Le
flux des particules qui frappent les pôles est plus important qu’à l’équateur. Pourquoi ?
R : - On rappelle qu’une charge ponctuelle q , de masse m et de vitesse initiale décrit, lorsqu’elle
est plongée dans un champ uniforme orthogonal à , un cercle de rayon . Si
n’est pas orthogonale au champ appliqué, elle est toujours la somme d’une composante qui
lui est parallèle et d’une autre qui lui est perpendiculaire ; q progresse alors à la vitesse selon
la direction de , en décrivant une hélice dont le rayon est orthogonal à .
Le flux de à travers la section S d’un tube de champ est, par définition :
.
En prenant pour section S une surface (gauche) orthogonale à en tout point, donc telle que soit
parallèle à en tout point , on obtient :
si est choisi de même sens que . Ainsi, puisque, par propriété, est invariant le long d’un tube
de champ (ce pourquoi on le dit « conservatif »), sera d’autant plus faible, en moyenne, que la
section S du tube sera plus large, et d’autant plus fort, en moyenne, que cette section sera plus étroite. En
conséquence de quoi, l’hélice décrite par une particule soumise à un champ , verra son rayon

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augmenter ou diminuer selon que le tube s’évasera ou se rétrécira, puisque R est inversement
proportionnel à d’après les expressions rappelées précédemment (voir la figure ci-dessous).
On arrive à cette même conclusion en remarquant, simplement, que l’hélice décrite par une charge
soumise à un champ , « s’inscrit » nécessairement dans un tube de champ puisque cette charge
progresse à une vitesse de même direction que (on peut encore dire que sa trajectoire est décrite
sur la paroi d’un tube).
- Les tubes du champ magnétique terrestre présentent une forme d’entonnoir au voisinage des pôles ; ils
canalisent ainsi, vers ces derniers, les particules chargées qui les atteignent, en leur imprimant des
trajectoires en hélice dont le rayon s’amenuise au fur et à mesure de leur approche du sol.
30.(D) Dans un repère cartésien attaché à un référentiel galiléen, une particule
ponctuelle de charge q et de masse m , est soumise à un champ électrostatique uniforme,
de même direction et sens que , et à un champ magnétique , également uniforme, de
même direction et sens que . La particule étant abandonnée sans vitesse au point O ,
étudier son mouvement en négligeant l’action de la pesanteur ; préciser sa trajectoire selon le
signe de q . Déterminer la vitesse maximum de cette particule.
R : - La particule étant immobile en O à l’instant , elle ne subit que la force électrostatique
qui la met en mouvement selon la direction de l’axe des y . Prenant alors une vitesse de même
sens que l’unitaire si q est positive et de sens opposé si elle est négative, la particule subit la force
magnétique qui incline sa trajectoire vers l’axe des x sans lui permettre de quitter le
plan (voir la figure ci-dessous pour les deux cas q positive et négative).

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Etablissons, maintenant, l’équation de cette trajectoire.
Dans le repère supposé attaché à un référentiel galiléen, on peut écrire , ,
pour la vitesse de la charge q , et pour la force de
Lorentz qu’elle subit. La pesanteur étant négligée, le PFD sur q se réduit à :
,
soit :
; d’où :
.
On obtient ainsi :
.
La dernière égalité indique que est une constante qui, d’après les conditions initiales, doit être nulle.
La trajectoire est donc bien décrite dans le plan comme prévu ; pour en trouver l’équation,
dérivons par rapport à t les deux premières égalités ; on obtient le second jeu d’égalités :
et
que l’on peut réécrire en utilisant les expressions des dérivées premières de données par les premières
égalités, comme :
et ;
soit encore, en faisant le changement de variable :
et .

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Les solutions générales de ces deux équations différentielles peuvent s’écrire respectivement :
et , avec , les constantes C , D et dépendant
des conditions initiales. Comme à , on a facilement et , d’où il
vient que et . Ainsi, la première égalité
permet-elle d’écrire , dont on déduit que et, par
conséquent, que :
et .
En intégrant par rapport à t , il est alors possible de trouver les équations paramétriques de la trajectoire,
soit :
et , K et K’ étant ces constantes.
Comme à , on a et ; on obtient donc :
et ,
qui sont les équations paramétriques d’une « cycloïde » (voir la figure ci-dessous).
- Le module de la vitesse dont on cherche la valeur maximum est , soit :

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.
Ce module est donc maximum pour et vaut alors ; il est minimum et nul pour
. Les abscisses des maxima et des minima de sont, d’après l’équation paramétrique
de x :
et ;
et leurs ordonnées :
et .
31.(D) Un cyclotron est constitué de deux armatures horizontales en forme de demi-cylindres
creux mis face à face.
Dans l’espace qui les sépare, une tension V crée un champ électrique uniforme
perpendiculaire aux plans de séparation des armatures. On injecte un faisceau de protons de
vitesse parallèle à , depuis le centre de l’une des armatures. On admet que le champ
est nul à l’intérieur des armatures.
a) Quel doit être le sens de pour que les particules soient accélérées ? Quelle est leur vitesse
lorsqu’elles arrivent sur l’autre armature ?
b) A l’intérieur des armatures ne règne qu’un champ magnétique vertical (perpendiculaire à
). Les particules sont déviées et reviennent vers l’autre armature.
i) Donnez les caractéristiques de la trajectoire des particules. A quelle distance de son
point d’entrée dans l’armature une particule en ressort-elle ?
ii) Combien de temps lui aura-t-il fallu ? Montrer que cette durée est indépendante de sa
vitesse initiale.