Énergie électromagnétique

MP – Cours de physique
Jean Le Hir, 3 septembre 2005 Page 1 sur 7
THÉORIE ÉLECTROMAGNÉTIQUE DE MAXWELL
Chapitre 3
Énergie électromagnétique
3.1. Puissance cédée par le champ électromagnétique
aux porteurs de charge
Expression de la force de Lorentz
Dans un référentiel galiléen, chaque particule de charge électrique
i
q
animée d’une vitesse
i
v
non
relativiste
(
)
i
v c
≪ , est soumise à chaque instant à une force de Lorentz :
( )
i i i
f q E v B
= + ∧
Force de Lorentz
Puissance développée par la force de Lorentz
La force de Lorentz se décompose en une force électrique
e i i
f q E
= et une force magnétique
m i i i
f q v B
= ∧
. La puissance développée par la force magnétique est nulle à tout instant :
(
)
(
)
m
, , 0
i i i i i i i i
f v q v B v q v B v
⋅ = ∧ ⋅ = =
Il s’ensuit que la puissance développée par la force de Lorentz s’exprime à chaque instant en fonction de
la seule contribution électrique du champ électromagnétique :
i i i i i
f v q E v
= ⋅ = ⋅
P
Puissance cédée par le champ aux porteurs de charge
Considérant un ensemble de charges électriques en mouvement, nous avons défini la densité de
courant
(
)
M,
j t
en un point M de l’espace à l’instant t (Cf cours d’électrocinétique, chapitre 1 :
l’approximation des régimes quasi stationnaires , section 1.1 : les sources du champ électromagnétique )
comme la limite mésoscopique suivante :
mésoscopique
1
lim
i i
j q v
τ→ τ
=τ
∑
Nous en déduisons l’expression de la puissance volumique de la force résultante de Lorentz :
i i
q v E
δτ
δ = ⋅ δτ
∑
P
j E
δ
= ⋅
δτ
P
{ }
,
E B
Puissance volumique cédée par
le champélectromagnétique
aux porteurs de charges

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3.2. Théorème de Poynting
Densité volumique d’énergie électromagnétique
Sans démonstration, par généralisation des expressions démontrées en électrostatique et en
magnétostatique, nous admettrons l’expression de la densité volumique d’énergie électromagnétique
(
)
em
M,
u t
associée en chaque point M de l’espace et à chaque instant t à la présence du champ
électromagnétique
( ) ( )
{
}
M, , M,
E t B t
:
( ) ( ) ( )
2 2
em 0 0
1 1
M, M, M,
2 2
u t E t B t
= ε + µ
Densité volumique
d’énergie électromagnétique
Expression locale de la non conservation
de l’énergie électromagnétique
John Henry Poynting, physicien anglais, a défini ce que l’on appelle
aujourd’hui le vecteur de Poynting associé au transport de puissance par unité
de surface par une onde électromagnétique. Il établit la loi de conservation
d’énergie du champ électromagnétique en l’absence de courants et de sa non
conservation en présence de courants.
Vecteur de Poynting, vecteur densité de courant d’énergie électromagnétique
En chaque point M de l’espace et à chaque instant t, nous définissons le vecteur de Poynting associé à un
champ électromagnétique
( ) ( )
{
}
M, , M,
E t B t
par la relation :
( ) ( ) ( )
0
M, M,
M,
E t B t
t
∧
Π = µ
Vecteur de Poynting
Remarque : le vecteur de Poynting a une définition absolue. Sa valeur algébrique est indépendante de la
convention choisie pour orienter l’espace. Sa valeur algébrique est également indépendante de la
convention du signe des charges.
Le vecteur de Poynting indique par son orientation la direction et le sens de déplacement de la puissance
associée à un champ électromagnétique.
Pour le démontrer
1
, nous utiliserons l’expression de la divergence d’un produit vectoriel : il s’agit là
d’une identité conséquence des seules définitions des opérateurs. La démonstration n’est pas bien
compliquée et l’on peut mémoriser le résultat par la formule de dérivation d’un produit vectoriel non
commutatif :
(
)
(
)
(
)
( ) ( ) ( )
div rot rot
E B E B E B
E B E B E B
∇ ⋅ ∧ = ∇ ∧ ⋅ − ⋅ ∇ ∧
∧ = ⋅ − ⋅
Nous pouvons donc exprimer la divergence du vecteur de Poynting :
(
)
0
1
div rot rot
B E E B
Π = ⋅ − ⋅
µ
1
La démonstration n’est pas exigible comme question de cours des classes de MP

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Et, compte tenu des équations de Maxwell-Faraday rot
B
E
t
∂
= −
∂
et de Maxwell-Ampère
0 0 0
rot
E
B j
t
∂
=µ +ε µ
∂
:
2 2
0 0 0 0 0
0 0
1 1 1
div 2 2
B E
B E j j E E B
t t t
∂ ∂ ∂
Π = ⋅ − − ⋅ µ +ε µ = −µ ⋅ − ε +
µ ∂ ∂ ∂ µ
Nous obtenons finalement la relation de Poynting :
( ) ( ) ( ) ( )
em
M,
div M, M, M, M,
u t
t j t E t t
t
∂
Π + = − ⋅ ∀ ∀
∂
Relation de Poynting
Cette relation n’est pas sans rappeler, par sa structure, l’équation de continuité
div 0
j
t
∂ρ
+ =
∂
qui est
l’expression locale de la conservation de la charge électrique. Le vecteur de Poynting se manifeste comme
un « vecteur densité de courant d’énergie électromagnétique ». De la même façon que l’équation de
continuité exprime la conservation de la charge électrique, la relation de Poynting exprime la non
conservation de l’énergie électromagnétique, due à l’interaction du champ électromagnétique avec les
porteurs de charges. C’est en cela que consiste le théorème de Poynting.
Théorème de Poynting
Notons
( ) ( )
em em
P
P,
U t u t
∈τ
= δτ
∫∫∫
l’énergie électromagnétique présente à l’instant t dans le volume τ.
Le taux de variation temporelle
(
)
em
dU t
dt
de cette énergie
(
)
em
U t
s’exprime par l’intermédiaire de la
formule de Poynting :
(
)
(
)
( ) ( ) ( )
( )
em em
P P
P, P, P, div P, dU t u t j t E t t
dt t
∈τ ∈τ
∂
= δτ = − ⋅ + Π δτ
∂
∫∫∫ ∫∫∫
Le théorème d’Ostrogradski permet d’exprimer l’intégrale de la divergence comme un flux et nous
obtenons l’expression suivante, S étant la surface fermée entourant le volume τ :
( ) ( )
ext
P M
div P, M,
S
t t n dS
∈τ ∈
Π δτ = Π ⋅
∫∫∫ ∫∫
Théorème de Poynting
Le flux sortant du vecteur de Poynting à travers une surface fermée correspond à la puissance
électromagnétique rayonnée à travers cette surface. La puissance traduisant la décroissance de
l’énergie électromagnétique intérieure à cette surface est égale à la somme de cette puissance
rayonnée et de la puissance cédée par le champ électromagnétique aux porteurs de charges.
(
((
(
)
))
)
(
((
( )
))
) (
((
( )
))
) (
((
( )
))
)
em
M P
M, P, P,
décroissance puissance puissance
de l’énergie électromagnétique cédée
électromagnétique
rayonnée aux porteurs de charge
ext
S
dU t t n dS j t E t
dt
∈ ∈τ
∈ ∈τ∈ ∈τ
∈ ∈τ
− = Π ⋅ + ⋅ δτ
− = Π ⋅ + ⋅ δτ− = Π ⋅ + ⋅ δτ
− = Π ⋅ + ⋅ δτ
∫∫ ∫∫∫
∫∫ ∫∫∫∫∫ ∫∫∫
∫∫ ∫∫∫

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3.3. Exemples d’application
Voici deux exemples d’application du théorème de Poynting. Il ne s’agit pas de questions de cours, mais
de problèmes extrêmement classiques dont l’étude permet de comprendre la signification du théorème de
Poynting. D’autres exemples seront étudiés dans les chapitres suivants, en particulier à propos de la
propagation des ondes électromagnétiques.
Cas particulier d’un conducteur ohmique en régime continu
Champ électrique
Considérons un conducteur cylindrique d’axe
O
z
de longueur
ℓ
et de rayon a parcouru par un courant
continu i de densité uniforme
2
z
i
j e
a
=π dans toute la section. Le matériau est un conducteur ohmique
ayant des propriétés électromagnétiques assimilables à celle du vide (le cuivre est un bon candidat).
Dans un conducteur ohmique, la loi d’Ohm s’exprime localement par la relation
j E
= γ
définissant la
conductivité γ du conducteur. Le champ électrique est donc uniforme à l’intérieur du conducteur et nul à
l’extérieur. En chaque point M intérieur au conducteur :
( )
2
1
M
z
i
E j e
a
= =
γ π γ
Champ d’induction magnétique
Dans le cours de magnétostatique (Chapitre 1 : champ d’induction magnétique, section 1.3. calcul de
champ d’induction magnétique par application du théorème d’Ampère) nous avons déjà étudié ce
problème et nous connaissons l’expression du champ magnétique en un point M intérieur au conducteur
dans la base cylindro-polaire
(
)
, ,
z
e e e
ρ ϕ
:
( )
0 0 2
M22
j i
B e e
a
ϕ ϕ
µ ρ µ ρ
= = π
Puissance rayonnée
Le vecteur de Poynting, non nul à l’intérieur du conducteur ohmique, est
donc un vecteur radial constant ayant pour expression :
( )
(
)
(
)
2 2
2 4 2 4
0
M M
M2 2
z
E B i i
e e e
a a
ϕ ρ
∧ρ ρ
Π = = ∧ = −
µ π γ π γ
Il nous intéresse, en particulier, de faire le bilan de puissance dans le volume intérieur d’un morceau de
conducteur de longueur
ℓ
. Le vecteur de Poynting étant radial, le flux se limite au flux à travers la paroi
latérale. Le vecteur de Poynting étant radial entrant, le flux sortant du vecteur de Poynting est négatif et a
pour expression :
( )
lat lat
2
ext 2
S S S
n dS e dS a dS i
a
ρ ρ
Π⋅ = Π⋅ = Π = −
π γ
∫∫ ∫∫ ∫∫
ℓ
Ce flux exprime la puissance électromagnétique rayonnée :
2
ray ext
S
n dS Ri
= Π⋅ = −
∫∫
P avec
2
R
a
=
π γ
ℓ
, résistance du segment de conducteur
z
e
B
Π
E

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Bilan de puissance
La puissance cédée aux porteurs de charge correspond à l’effet Joule de puissance
2
Ri
:
2 2
2 2
2
j i
j E a Ri
a
τ
⋅ δτ = ×π = =
γπ γ
∫∫∫
ℓ
ℓ
Les champs étant constants, l’énergie électromagnétique
em
U
contenue dans le volume τ est invariante et
le théorème de Poynting se traduit par la relation :
( ) ( )
em
M P
2 2
0 P P
ext
S
dU n dS j E
dt
Ri
Ri
∈ ∈τ
− = = Π⋅ + ⋅ δτ
+
−
∫∫ ∫∫∫
Bilan de puissance dans un solénoïde en régime ARQS
Expression du champ d’induction magnétique
Considérons un solénoïde de longueur
ℓ
et de rayon a initialement alimenté par un générateur de courant
constant
0
i
. Le solénoïde est le siège d’une énergie électromagnétique
2
m0 0
1
2
U Li
= que nous
considérerons uniformément répartie dans tout le volume intérieur. Cela revient à considérer que le
champ d’induction magnétique est uniforme et nous arrivons à ce résultat en traitant le solénoïde fini
comme un morceau de longueur finie d’un solénoïde infini et il faut pour cela que
a
ℓ ≫
. On dit aussi
bien que l’on néglige les « effets de bords ».
Nous allons mener cette étude dans la base cylindro-polaire
(
)
, ,
z
e e e
ρ ϕ
À l’instant
0
t
=
on court-circuite le générateur de courant,
obligeant ainsi la bobine à décharger son énergie à travers
une résistance R.
L’étude électrocinétique, dans l’approximation des
régimes quasi stationnaires, montre alors que le courant
(
)
i t
dans la bobine décroît exponentiellement avec une
constante de temps caractéristique
L
R
τ =
:
( )
0
t
i t i e
−
τ
=
En notant N le nombre de spires et
z
e
le vecteur unitaire dans la direction de l’axe du solénoïde, le champ
d’induction magnétique uniforme a pour expression :
( ) ( )
0 0 0
t
z z
N N
B t i t e i e e
−τ
=µ =µ
ℓ ℓ
(
)
B t
z
e
ℓ
a
(
)
i t
0
i
(
)
i t
R
L
0
t
=