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THÉORIE ÉLECTROMAGNÉTIQUE DE MAXWELL Chapitre 3 Énergie électromagnétique
JLH 20/12/2009 Page 4 sur 7
3.3. Exemples d’application
Voici deux exemples d’application du théorème de Poynting. Il ne s’agit pas de questions de cours, mais
de problèmes extrêmement classiques dont l’étude permet de comprendre la signification du théorème de
Poynting. D’autres exemples seront étudiés dans les chapitres suivants, en particulier à propos de la
propagation des ondes électromagnétiques.
Cas particulier d’un conducteur ohmique en régime continu
Champ électrique
Considérons un conducteur cylindrique d’axe
de longueur
et de rayon a parcouru par un courant
continu i de densité uniforme
2
i
=π
dans toute la section. Le matériau est un conducteur ohmique
ayant des propriétés électromagnétiques assimilables à celle du vide (le cuivre est un bon candidat).
Dans un conducteur ohmique, la loi d’Ohm s’exprime localement par la relation
définissant la
conductivité γ du conducteur. Le champ électrique est donc uniforme à l’intérieur du conducteur et nul à
l’extérieur. En chaque point M intérieur au conducteur :
( )
2
1
M
i
a
= =
Champ d’induction magnétique
Dans le cours de magnétostatique (Chapitre 1 : champ d’induction magnétique, section 1.3. calcul de
champ d’induction magnétique par application du théorème d’Ampère) nous avons déjà étudié ce
problème et nous connaissons l’expression du champ magnétique en un point M intérieur au conducteur
dans la base cylindro-polaire
ρ ϕ
:
( )
0 0 2
M22
j i
a
= = π
Puissance rayonnée
Le vecteur de Poynting, non nul à l’intérieur du conducteur ohmique, est
donc un vecteur radial constant ayant pour expression :
( )
2 2
2 4 2 4
0
M M
M2 2
z
E B i i
a a
∧ρ ρ
Π = = ∧ = −
Il nous intéresse, en particulier, de faire le bilan de puissance dans le volume intérieur d’un morceau de
conducteur de longueur
. Le vecteur de Poynting étant radial, le flux se limite au flux à travers la paroi
latérale. Le vecteur de Poynting étant radial entrant, le flux sortant du vecteur de Poynting est négatif et a
pour expression :
( )
lat lat
ext 2
S S S
a
ρ ρ
Π⋅ = Π⋅ = Π = −
∫∫ ∫∫ ∫∫
Ce flux exprime la puissance électromagnétique rayonnée :
ray ext
S
= Π⋅ = −
P
avec
R
=
, résistance du segment de conducteur