Énergie électromagnétique

MP – Cours de physique
THÉORIE ÉLECTROMAGNÉTIQUE DE MAXWELL
Chapitre 3
Énergie électromagnétique
3.1. Puissance cédée par le champ électromagnétique
aux porteurs de charge
Expression de la force de Lorentz
Dans un référentiel galiléen, chaque particule de charge électrique qi animée d’une vitesse vi non
relativiste vi ≪ c , est soumise à chaque instant à une force de Lorentz :
(
)
(
f i = qi E + vi ∧ B
)
Force de Lorentz
Puissance développée par la force de Lorentz
La force de Lorentz se décompose en une force électrique f ei = qi E et une force magnétique
f mi = qi vi ∧ B . La puissance développée par la force magnétique est nulle à tout instant :
f mi ⋅ vi = qi vi ∧ B ⋅ vi = qi vi , B , vi = 0
(
)
(
)
Il s’ensuit que la puissance développée par la force de Lorentz s’exprime à chaque instant en fonction de
la seule contribution électrique du champ électromagnétique : Pi = f i ⋅ vi = qi E ⋅ vi
Puissance cédée par le champ aux porteurs de charge
Considérant un ensemble de charges électriques en mouvement, nous avons défini la densité de
courant j ( M, t ) en un point M de l’espace à l’instant t (Cf cours d’électrocinétique, chapitre 1 :
l’approximation des régimes quasi stationnaires, section 1.1 : les sources du champ électromagnétique)
1
comme la limite mésoscopique suivante : j =
lim
qi vi
∑
τ→ mésoscopique τ
τ
Nous en déduisons l’expression de la puissance volumique de la force résultante de Lorentz :
δP =
qi vi ⋅ E δτ
∑
δτ
δP = j ⋅E
δτ
Jean Le Hir, 3 septembre 2005
Puissance volumique cédée par
le champélectromagnétique {E , B }
aux porteurs de charges
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Chapitre 3
Énergie électromagnétique
3.2. Théorème de Poynting
Densité volumique d’énergie électromagnétique
Sans démonstration, par généralisation des expressions démontrées en électrostatique et en
magnétostatique, nous admettrons l’expression de la densité volumique d’énergie électromagnétique
uem ( M, t ) associée en chaque point M de l’espace et à chaque instant t à la présence du champ
électromagnétique E ( M, t ) , B ( M, t ) :
{
}
uem ( M, t ) =
1 2
1 2
ε 0 E ( M, t ) +
B ( M, t )
2
2µ 0
Densité volumique
d’énergie électromagnétique
Expression locale de la non conservation
de l’énergie électromagnétique
John Henry Poynting, physicien anglais, a défini ce que l’on appelle
aujourd’hui le vecteur de Poynting associé au transport de puissance par unité
de surface par une onde électromagnétique. Il établit la loi de conservation
d’énergie du champ électromagnétique en l’absence de courants et de sa non
conservation en présence de courants.
Vecteur de Poynting, vecteur densité de courant d’énergie électromagnétique
En chaque point M de l’espace et à chaque instant t, nous définissons le vecteur de Poynting associé à un
champ électromagnétique E ( M, t ) , B ( M, t ) par la relation :
{
}
E ( M, t ) ∧ B ( M, t )
Π ( M, t ) =
µ0
Vecteur de Poynting
Remarque : le vecteur de Poynting a une définition absolue. Sa valeur algébrique est indépendante de la
convention choisie pour orienter l’espace. Sa valeur algébrique est également indépendante de la
convention du signe des charges.
Le vecteur de Poynting indique par son orientation la direction et le sens de déplacement de la puissance
associée à un champ électromagnétique.
Pour le démontrer1, nous utiliserons l’expression de la divergence d’un produit vectoriel : il s’agit là
d’une identité conséquence des seules définitions des opérateurs. La démonstration n’est pas bien
compliquée et l’on peut mémoriser le résultat par la formule de dérivation d’un produit vectoriel non
commutatif :
∇ ⋅ E ∧B = ∇ ∧E ⋅B − E ⋅ ∇ ∧B
div E ∧ B = rot E ⋅ B − E ⋅ rot B
(
(
) (
) (
)
)
(
(
)
)
(
1 Nous pouvons donc exprimer la divergence du vecteur de Poynting : div Π =
B ⋅ rot E − E ⋅ rot B
µ0
1
)
La démonstration n’est pas exigible comme question de cours des classes de MP
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Chapitre 3
Énergie électromagnétique
∂B
rot E = −
∂t
Et, compte tenu des équations de Maxwell-Faraday
et de Maxwell-Ampère
∂E
rot B = µ 0 j + ε 0µ0
:
∂t
1   ∂ B   ∂  1 2
∂E 
1 2 
div Π =  B ⋅  −
− E ⋅  µ 0 j + ε 0µ 0
= −µ0 j ⋅ E −  ε 0 E +
B 



2µ0
µ 0   ∂t 
∂t  
∂t  2


Nous obtenons finalement la relation de Poynting :
∂u ( M, t )
divΠ ( M, t ) + em
= − j ( M, t ) ⋅ E ( M, t )
∂t
∀M, ∀t
Relation de Poynting
∂ρ
Cette relation n’est pas sans rappeler, par sa structure, l’équation de continuité div j +
= 0 qui est
∂t
l’expression locale de la conservation de la charge électrique. Le vecteur de Poynting se manifeste comme
un « vecteur densité de courant d’énergie électromagnétique ». De la même façon que l’équation de
continuité exprime la conservation de la charge électrique, la relation de Poynting exprime la non
conservation de l’énergie électromagnétique, due à l’interaction du champ électromagnétique avec les
porteurs de charges. C’est en cela que consiste le théorème de Poynting.
Théorème de Poynting
Notons U em ( t ) =
∫∫∫
P∈τ
uem ( P, t ) δτ l’énergie électromagnétique présente à l’instant t dans le volume τ.
dU em ( t )
Le taux de variation temporelle
dt
de cette énergie U em ( t ) s’exprime par l’intermédiaire de la
formule de Poynting :
dU em ( t )
dt
=
∫∫∫
∂uem ( P, t )
∂t
P∈τ
δτ = −
∫∫∫ ( j ( P, t ) ⋅ E ( P, t ) + divΠ ( P, t )) δτ
P∈τ
Le théorème d’Ostrogradski permet d’exprimer l’intégrale de la divergence comme un flux et nous
obtenons l’expression suivante, S étant la surface fermée entourant le volume τ :
∫∫∫
P∈τ
divΠ ( P, t ) δτ =
∫∫
M∈S
Π ( M, t ) ⋅ next dS
Théorème de Poynting
Le flux sortant du vecteur de Poynting à travers une surface fermée correspond à la puissance
électromagnétique rayonnée à travers cette surface. La puissance traduisant la décroissance de
l’énergie électromagnétique intérieure à cette surface est égale à la somme de cette puissance
rayonnée et de la puissance cédée par le champ électromagnétique aux porteurs de charges.
−
dU em ( t )
dt
décroissance
de l’énergie
électromagnétique
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=
∫∫
M∈S
Π ( M, t ) ⋅ next dS +
puissance
électromagnétique
rayonnée
∫∫∫
P∈τ
j ( P, t ) ⋅ E ( P, t ) δτ
puissance
cédée
aux porteurs de charge
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Énergie électromagnétique
3.3. Exemples d’application
Voici deux exemples d’application du théorème de Poynting. Il ne s’agit pas de questions de cours, mais
de problèmes extrêmement classiques dont l’étude permet de comprendre la signification du théorème de
Poynting. D’autres exemples seront étudiés dans les chapitres suivants, en particulier à propos de la
propagation des ondes électromagnétiques.
Cas particulier d’un conducteur ohmique en régime continu
Champ électrique
Considérons un conducteur cylindrique d’axe Oz de longueur ℓ et de rayon a parcouru par un courant
i continu i de densité uniforme j = 2 ez dans toute la section. Le matériau est un conducteur ohmique
πa
ayant des propriétés électromagnétiques assimilables à celle du vide (le cuivre est un bon candidat).
Dans un conducteur ohmique, la loi d’Ohm s’exprime localement par la relation j = γ E définissant la
conductivité γ du conducteur. Le champ électrique est donc uniforme à l’intérieur du conducteur et nul à
l’extérieur. En chaque point M intérieur au conducteur :
1 i E (M) = j =
ez
γ
π a2 γ
Champ d’induction magnétique
Dans le cours de magnétostatique (Chapitre 1 : champ d’induction magnétique, section 1.3. calcul de
champ d’induction magnétique par application du théorème d’Ampère) nous avons déjà étudié ce
problème et nous connaissons l’expression du champ magnétique en un point M intérieur au conducteur
dans la base cylindro-polaire eρ , eϕ , ez :
(
)
µ j ρ µ0 i ρ B (M) = 0
eϕ =
eϕ
2
2π a 2
B
Puissance rayonnée
Le vecteur de Poynting, non nul à l’intérieur du conducteur ohmique, est
donc un vecteur radial constant ayant pour expression :
E (M) ∧ B (M)
ρi 2 ρi 2 Π (M) =
= 2 4 ez ∧ eϕ = − 2 4 eρ
µ0
2π a γ
2π a γ
ez
Π
E
Il nous intéresse, en particulier, de faire le bilan de puissance dans le volume intérieur d’un morceau de
conducteur de longueur ℓ . Le vecteur de Poynting étant radial, le flux se limite au flux à travers la paroi
latérale. Le vecteur de Poynting étant radial entrant, le flux sortant du vecteur de Poynting est négatif et a
pour expression :
ℓ 2
Π ⋅ next dS =
Π ⋅eρ dS = Π ρ ( a )
dS = −
i
S
Slat
Slat
π a2γ
∫∫
∫∫
∫∫
Ce flux exprime la puissance électromagnétique rayonnée :
ℓ
Pray =
Π ⋅ next dS = − Ri 2
avec R =
, résistance du segment de conducteur
S
π a2γ
∫∫
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Énergie électromagnétique
Bilan de puissance
La puissance cédée aux porteurs de charge correspond à l’effet Joule de puissance Ri 2 :
j2
ℓi 2
j ⋅ E δτ = × πa 2 ℓ = 2 = Ri 2
γ
τ
πa γ
∫∫∫
Les champs étant constants, l’énergie électromagnétique U em contenue dans le volume τ est invariante et
le théorème de Poynting se traduit par la relation :
dU em
−
=0=
Π ⋅ next dS +
j ( P ) ⋅ E ( P ) δτ
dt
M∈S
P∈τ
2
+ Ri 2
− Ri
∫∫
∫∫∫
Bilan de puissance dans un solénoïde en régime ARQS
Expression du champ d’induction magnétique
Considérons un solénoïde de longueur ℓ et de rayon a initialement alimenté par un générateur de courant
1
constant i0 . Le solénoïde est le siège d’une énergie électromagnétique U m0 = Li02 que nous
2
considérerons uniformément répartie dans tout le volume intérieur. Cela revient à considérer que le
champ d’induction magnétique est uniforme et nous arrivons à ce résultat en traitant le solénoïde fini
comme un morceau de longueur finie d’un solénoïde infini et il faut pour cela que ℓ ≫ a . On dit aussi
bien que l’on néglige les « effets de bords ».
ℓ
i (t )
B (t )
a
ez
(
Nous allons mener cette étude dans la base cylindro-polaire eρ , eϕ , ez
)
À l’instant t = 0 on court-circuite le générateur de courant,
obligeant ainsi la bobine à décharger son énergie à travers
une résistance R.
L’étude électrocinétique, dans l’approximation des
régimes quasi stationnaires, montre alors que le courant
i ( t ) dans la bobine décroît exponentiellement avec une
R
t=0
i0
i (t )
L
t
−
L
i ( t ) = i0 e τ
constante de temps caractéristique τ = :
R
En notant N le nombre de spires et ez le vecteur unitaire dans la direction de l’axe du solénoïde, le champ
d’induction magnétique uniforme a pour expression :
t
− N
N
τ
B ( t ) = µ 0 i ( t ) ez = µ 0 i0 e ez
ℓ
ℓ
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Chapitre 3
Énergie électromagnétique
Expression du champ électrique induit
À ce champ magnétique variable correspond un champ électrique E ( M, t ) vérifiant l’équation de
Maxwell-Faraday, c’est-à-dire tel que :
t
∂ B µ0 Ni0 − τ rot E ( M, t ) = −
=
e ez
∂t
ℓτ
Les lignes de champ électrique s’enroulent donc autour de l’axe Oz et, compte tenu de l’invariance du
problème par rotation autour de cet axe, nous pouvons affirmer que le champ électrique est de la forme :
E ( M, t ) = Eϕ ( ρ, t ) eϕ
Sur un parcours circulaire C de rayon ρ orthogonal à l’axe Oz, la circulation du champ électrique a pour
valeur :
e ( ρ, t ) =
E ( M, t ) ⋅ d ℓ = 2πρEϕ ( ρ, t )
∫
M∈C
Le champ d’induction magnétique étant uniforme, son flux φC B à travers ce même parcours C a pour
valeur :
φC B ( ρ, t ) =
t
−
N
B ( P, t ) ⋅ n+ dS = πρ2 Bz = πρ2µ 0 i0 e τ
ℓ
P∈S
∫∫
La loi de Lenz-Faraday appliquée au contour C nous donne ainsi l’expression du champ électrique :
eC ( ρ, t ) = −
∂φC B ( ρ, t )
∂t
t
t
µ Ni −
= 2πρEϕ ( ρ, t ) = πρ 0 0 e τ
ℓτ
2
⇒
µ Ni −
Eϕ ( ρ, t ) = ρ 0 0 e τ
2ℓ τ
Remarque : pour la valeur particulière ρ = a , rayon du solénoïde, nous obtenons l’expression du flux
propre φB ( t ) = N φC B ( a, t ) = πa 2µ0
N2
i ( t ) = L i ( t ) et de la f.e.m. d’auto induction e ( t ) = NeC ( a, t ) :
ℓ
e (t ) = −
d φB ( t )
dt
= −πa 2µ0
di ( t )
N 2 di ( t )
= −L
ℓ dt
dt
Expression du vecteur de Poynting
E ∧ B
Les champs E et B étant déterminés, nous en déduisons le vecteur de Poynting Π =
:
µ0
1  µ N

µ0 N 2 2
µ 0 N 2 2 N
0
i ( t ) eϕ ∧ µ0 i ( t ) ez  = ρ 2 i ( t ) eϕ ∧ ez = ρ 2 i ( t ) eρ
Π=
ρ
µ 0  2ℓτ
ℓ
2ℓ τ
2ℓ τ

(
Il nous intéresse, en particulier, de faire le bilan de puissance dans le
volume intérieur du solénoïde, nappe de courant non comprise. Le
vecteur de Poynting étant radial, ce flux se limite au flux à travers la
paroi latérale du solénoïde. Le flux sortant du vecteur de Poynting
est positif et a pour expression :
Π ⋅ next dS =
Π ⋅eρ dS = Π ρ ( a, t )
dS = Π ρ ( a, t ) × 2πaℓ
∫∫
S
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∫∫
Slat
∫∫
)
js
Π
E
ez
B
Slat
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Chapitre 3
Énergie électromagnétique
Ce flux exprime la puissance électromagnétique rayonnée :
Pray =
Π ⋅ next dS = Ri 2 ( t )
∫∫
S
Remarque importante : la puissance électromagnétique rayonnée est totalement transmise aux porteurs de
charges dans la nappe de courant. Le solénoïde ne rayonne pas vers l’extérieur (les champs sont nuls à
l’extérieur et le vecteur de Poynting est donc nul pour ρ > a ). Cette puissance, véhiculée par les porteurs
de charge, est ensuite dissipée par effet Joule dans la résistance R. Il faut bien distinguer les deux
phénomènes : le transfert d’énergie du champ électromagnétique vers les porteurs de charge n’implique
pas nécessairement que cette énergie soit dissipée par effet Joule.
Énergie électromagnétique
Les deux contributions électrique et magnétique à l’énergie électromagnétique ne sont pas du même ordre
de grandeur. Nous pouvons nous en rendre compte simplement en calculant chacune d’entre elles et en
exprimant leur rapport.
Pour la contribution magnétique, c’est très simple puisque le champ magnétique, et donc aussi la densité
volumique d’énergie magnétique, est uniforme dans tout le volume du solénoïde :
U m (t ) =
∫∫∫
τ
um ( t ) d τ = um ( t ) × πa 2ℓ
avec
um ( t ) =
U m ( t ) = πµ0
1 2 µ0 N 2
2
B =
i (t ) ,
2
2µ0
2ℓ
soit :
N 2a2
2
i (t )
2ℓ
Pour la contribution électrique, le champ électrique étant fonction de ρ, c’est un peu plus délicat. Il nous
faut intégrer par couches cylindriques :
Ue =
∫∫∫
τ
ue d τ = 2πℓ
∫
a
0
ue ( ρ, t ) ρ d ρ
avec
ε µ2 N 2
1 2
2
ue = ε0 E = ε 0ρ2 0 20 2 i ( t )
2
8ℓ τ
Compte tenu de la relation ε0µ0 c 2 = 1 , cela s’écrit :
Ue (t ) = π
µ0 N 2
2
i t
2 2 ( )
4ℓc τ
∫
a
0
ρ3 d ρ = π
µ0 N 2a 4
a2
2
i
t
=
Um (t )
(
)
16ℓc 2 τ2
8c 2 τ2
Le rapport 2a c est le temps de propagation de l’interaction électromagnétique d’un bord à l’autre d’une
spire. L’hypothèse ARQS dans laquelle nous nous sommes placés et qui permet, rappelons-le, de
considérer que le courant i ( t ) a la même valeur à chaque instant en tout point du solénoïde, suppose que
le temps de propagation ℓ c d’un bout à l’autre du solénoïde soit petit par rapport au temps τ
caractéristique des variations de i ( t ) . Dans l’hypothèse où l’on néglige les effets de bords, nous avons
ℓ ≫ a et donc ℓ c ≪ τ ⇒ a c ≪ τ . Dans ce problème, l’énergie peut être principalement attribuée au
champ d’induction magnétique :
U em ( t ) = U e ( t ) + U m ( t ) ≈ U m ( t )
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