memoire (kassimi)

Ministère de l’Education Nationale, de l’Enseignement Supérieur, de la
Formation des Cadres et de la Recherche Scientifique
Département de l’Education Nationale
Ecole Normale Supérieure
RABAT
MEMOIRE DE LA DEUXIEME ANNEE DU CYCLE DE
PREPARATION A L’AGREGATION DES SCIENCES PHYSIQUES
OPTION PHYSIQUE
Introduction à la Spectrométrie Optique
Proposé et dirigé par : Pr. Abdelfattah BARHDADI
Réalisé par : Mr. Abdellatif KASMI
Département de Physique
Juin 2006
Remerciements
Remerciements
Aucune dédicace ne saurait traduire les grandes estimes et les profonds
respects que je porte à mon Professeur A. Barhdadi. Je tiens à le remercier
beaucoup pour la direction de ce mémoire et pour tous ses conseils précieux et
ses encouragements tout au long de sa réalisation.
Mes remerciements vont aussi à toutes les personnes qui ont contribué de
près ou de loin à l’élaboration de ce modeste travail.
2
Table des Matières
Introduction
Chapitre 1: Notions de base
I- Les lois de réflexion et de réfraction
I-1- Les lois de réflexion
I-2- Les lois de réfraction
II- Les interférences des ondes lumineuses
II-1- Addition des vibrations lumineuses
II-2- Etude de la figure d’interférence
III- La diffraction des ondes lumineuses
Chapitre 2 : Spectrométrie optique
I- Définitions et généralités
II- Notions de bases de la spectroscopie optique
II-1- Propriétés et caractéristiques des spectres
II-2- Spectre d’émission et spectre d’absorption
II-3- Importance des spectres optiques
II-4- Performance d’un appareil spectroscopique
Chapitre 3 : Les systèmes dispersifs utilisés en spectrométrie
I- Types de systèmes dispersifs
II- Spectromètre à prisme
III- Spectromètre à réseau
III-1- Le réseau par transmission
III-2- Le réseau par réflexion
IV- Spectromètre interférentiel
Chapitre 4 : Spectrométrie à prisme
I- Réfraction dans un prisme : formules du prisme
II- Spectromètre à prisme
II-1- Schéma de principe de l’appareil
II-2- Notion de dispersion angulaire et de dispersion linéique
II-3- Pouvoir de résolution
II-4- Ordre de grandeur
Chapitre 5 : Spectrométrie à réseau
I- Introduction
II- Théorie élémentaire du réseau
II-1- Différence de marche entre deux rayons consécutifs
II-2- Maxima d’intensité lumineuse et formation des Spectres
III- Calcul de l’intensité lumineuse diffractée
III-1- Représentation scalaire d’une onde lumineuse
III-2- Expression de l’onde lumineuse diffractée
III-3- Etude de la courbe Iθ (φ)
III-4- Amélioration de l’intensité de l’onde diffractée Iθ (φ)
IV- Formation des spectres
IV-1- Réseau éclairé en lumière blanche
3
IV-2- Angle de déviation des spectres
IV-3- Etalement normal du spectre
V- Conclusion
Chapitre 6 : Spectrométrie par transformation de Fourier
I- Introduction
II- Interféromètre de Michelson
III- Principe de la spectrométrie par transformation de Fourier
IV- Conclusion
4
Par définition, l’instrumentation optique est l’ensemble des instruments et
techniques de mesure, de contrôle et d'analyse utilisés dans le domaine de
l’optique. Depuis les années quatre-vingt, on a commencé à voir parfois figurer
le terme d’instrumentation simultanément avec les mesures. En réalité, bien que
ce terme paraisse plus "accrocheur" à certains, il n’y a vraiment pas de
différence fondamentale de sens entre les deux mots. Les mesures se font avec
des instruments, et les instruments, dans le domaine qui nous préoccupe, sont
bien destinés aux mesures.
Comme le domaine de l’optique englobe plusieurs filières, il y a donc lieu
de considérer l’instrumentation optique spécifique à chaque filière. D’où
l’existence de plusieurs familles d’instrumentation optique dont les plus connues
sont la focométrie, la photométrie et la spectrométrie optique. La focométrie
c’est l’ensemble des techniques et méthodes de détermination expérimentales
des éléments d’un système centré dans l’approximation de Gauss (voir le cours
sur l’optique géométrique). La photométrie s’occupe de la mesure des grandeurs
physiques relatives aux rayonnements lumineux, telles que l'intensité lumineuse,
le flux lumineux ou l'éclairement, selon l'impression produite sur l'œil. Par
extension, la photométrie concerne également la mesure de l'énergie de tout
rayonnement électromagnétique. Ainsi, elle est utilisée dans des domaines aussi
variés que la photographie, l'astronomie ou l'industrie de l'éclairage électrique.
Quant à la spectrométrie optique, qui nous intéresse plus particulièrement dans
ce travail, elle constitue l’ensemble des instruments et techniques utilisés dans
l'étude et l’analyse des spectres optiques.
Le but de ce travail est d’introduire la spectrométrie optique en se limitant à
la présentation et la description de ses instruments les plus représentatifs.
5
Chapitre 1
I- Les lois de réflexion et de réfraction :
L'optique géométrique repose sur la notion fondamentale de rayon
lumineux. Les rayons lumineux se propagent en ligne droite dans des milieux
homogènes transparents. Leur comportement à la surface d'un dioptre ou d'un
miroir est décrit par les lois de Snell-Descartes.
I-1- Les lois de réflexion :
1°) Le rayon réfléchi est dans le plan d'incidence.
2°) L'angle d'incidence i et l'angle de réflexion i’ sont égaux : i = i’
i et i’ sont respectivement les angles que font les rayons incident et réfléchi
avec la normale au dioptre.
Figure 1-1
6
I-2- Les lois de réfraction :
Il y en a également deux (figure 1-2) :
1°) le rayon réfracté est dans le plan d’incidence.
2°) l’angle d’incidence i et l’angle de réfraction r sont liés par la relation :
n1 sin i = n2 sin r
Figure1-2
i et r sont respectivement les angles que font les rayons incident et réfracté
avec la normale au dioptre. n1 et n2 sont respectivement les indices de réfraction
absolus du milieu d’incidence et de réfraction.
• lorsque n2 > n1 (le second milieu est plus réfringent que le premier), on
peut toujours calculer l’angle r tel que sin r = n1 / (n2 sin i) < 1; le rayon réfracté
existe toujours.
• Lorsque n2 < n1 (le second milieu est moins réfringent que le premier),
l’angle r ne peut pas être calculé si n1 / (n2 sin r) > 1. Il existe une valeur limite
supérieure l de l’angle d’incidence i telle que sin l = n2 / n1. Pour les incidences
telles que i < l, il n’y a pas de rayon réfracté; on dit alors qu’il y a réfraction
totale. l est appelé l’angle de réfraction limite.
Notons que toutes ces lois sont contenues dans le principe de Fermat qui est
à la base d’une présentation de l’optique des rayons lumineux, indépendante de
la nature ondulatoire de la lumière.
7
II- Les interférences des ondes lumineuses :
Lorsque deux ou plusieurs ondes lumineuses se superposent, on ne peut
généralement pas décrire d'une manière simple les phénomènes observés.
Prenons le cas de deux ondes provenant d'une même source lumineuse
ponctuelle et monochromatique. Dans la région de superposition, l'intensité
lumineuse varie d'un point à l'autre entre des maxima qui dépassent la somme
des intensités de deux ondes prises séparément et des minima qui peuvent être
nuls. Ceci constitue le phénomène d'interférence où la nature ondulatoire de la
lumière joue un rôle essentiel.
L'obtention d'interférences en optique est plus délicate et fait apparaître de
façon fondamentale la notion de cohérence entre les vibrations qui doivent
interférer.
II-1- Addition des vibrations lumineuses: Termes d'interférence :
Considérons différents rayons lumineux arrivant au même point M de
ρ
l'espace. Le champ E (M, t ) est donné, en ce point, par la somme des champs
ρ
E j (M, t ) associés aux différents rayons :
ρ
ρ
E (M, t) = ∑ E j (M, t)
j
ρ
Nous nous limitons ici au cas où les différents termes E j (M, t )
correspondent à des vibrations monochromatiques de même pulsation ω et de
ρ
même état de polarisation caractérisé par le vecteur unitaire u tel que :
ρ
ρ
E j (M, t ) = S j ( M, t ) u
Avec :
=
S j(M , t)
Et :
S(M, t ) =
a j ( M ) exp i [ ϕ j ( M ) − ω t ]
∑ S ( M, t )
j
∑ a (M) exp i [ϕ (M) − ωt ]
=
j
j
j
j
Ou encore :
S(M, t ) = a (M ) exp (− iωt )
Avec :
a (M ) =
∑ a (M) exp i [ϕ (M)] est l’amplitude complexe de S(M, t ) .
j
j
j
Notons que les termes de phases φj jouent ici un rôle décisif.
8
A partir de l'expression de S(M, t ) on calcule l'intensité au point M à un
instant t donné :
I(M ) = S(M ) . S ( M )
*
Après le calcul, on obtient le résultat suivant:
I( M ) =
∑a
∑ ∑ 2a
+
2
j
j
j
l< j
j
a l cos [ϕ j (M ) − ϕl (M )]
En posant I j = a j , on écrira la dernière formule de manière équivalente,
mais peut être plus parlante :
2
I(M ) =
∑ I (M)
j
+
∑∑2
j
j
l< j
I j (M ) I l (M ) cos [ϕ j (M ) − ϕl (M )]
Le premier terme correspond à la somme des intensités, et le deuxième
correspond au terme d'interférences.
Intéressons nous maintenant au cas de deux vibrations lumineuses issues de
deux sources s1 et s2 et calculons l'intensité lumineuse résultante de leur
superposition en un point M d’un écran d’observation :
S(M, t ) = S1 (M, t ) = S2 (M, t )
On a directement :
I(M) = I1(M) + I2 (M) + 2 I1(M) I2 (M) cos[ϕ2 (M) − ϕ1(M)]
Pour mettre en évidence les interférences dans le domaine lumineux, il faut
qu'en chaque point M de l'écran, le terme φ2 (M) – φ1 (M) demeure constant
dans le temps à fin d'obtenir un phénomène stable. Lorsqu'il en est ainsi, les
sources s1 et s2 des vibrations lumineuses sont dites cohérentes ou synchrones.
Soient deux sources lumineuses s1 et s2 ponctuelles monochromatiques et
synchrones (cohérentes). Les vibrations de s1 et s2 en un point M sont de la
forme :
ρ
ρ
E1 (M, t ) = E10 (M) cos [ωt − ϕ1 (M)]
et
ρ
ρ
E 2 (M, t ) = E 20 (M) cos [ωt − ϕ 2 (M )]
Avec :
ϕ1 = 2 π / λd1
et
Alors :
9
ϕ 2 = 2 π / λd 2
ϕ2 − ϕ1 = 2π / λ (d2 − d1) = 2π / λ δ
Où la quantité δ = d2 – d1 est appelée la différence de marche entre les deux
rayons.
Les lieux des points de même intensité I sont obtenus pour ϕ2 − ϕ1 = Cte. Ils
constituent des hyperboloïdes de révolution de foyers s1 et s2. Ainsi, des
hyperboloïdes d'amplitude maximale sont obtenus pour Φ = 2kπ ou δ = d2 – d1 =
kλ et des hyperboloïdes d'amplitude minimale sont obtenus pour Φ = (2k + 1) π
ou δ = (k + 1/2) λ.
II-2- Etude de la figure d'interférence :
On a :
δ = s 2 M − s1M = d 2 − d 1
;
s1s 2 = 2 a
; O' O = d
; OM = x
Pour d >> x et d >> a, et en faisant un développement limité, on trouve
que :
δ = d2 − d1 ≈ 2ax/ d
Ainsi, les franges brillantes sont obtenues pour :
δ = kλ = 2axk / d
ou
xk = kλd / 2a
et les franges sombres sont obtenues pour :
δ = (k' + 1/2) λ = 2axk’ / d
ou
xk’ = (k' + 1/2) λd / 2a
Le terme i = λd/2a est appelé interfrange ; il représente la distance entre
deux franges homologues consécutives. La quantité p = δ/λ = 2ax/λd = x/i est
appelée ordre d'interfrange. La frange centrale correspond donc à un ordre
d'interférence nul.
Il convient de préciser que l'observation des interférences lumineuses
nécessite un certain nombre de conditions :
• Les sources s1 et s2 doivent être synchrones, c'est-à-dire que les deux
sources vibrent à la même fréquence : ν1 = ν2 = ν
10
• Les vibrations de s1 et s2 doivent être cohérentes, c'est-à-dire que ∆ϕ =
φ2 – φ1 = Constante (au cours du temps).
• Les deux vibrations doivent être peu inclinées ou presque parallèles.
L'un des dispositifs les plus utilisés pour obtenir des interférences est celui
des trous d'Young; son importance historique a été importante car il a permis,
pour la première fois, d'évaluer des longueurs d'ondes lumineuses.
Remarque:
Le même raisonnement peut être appliqué dans le cas des interférences à
ondes multiples.
III- La diffraction des ondes lumineuses :
La diffraction est le phénomène d'éparpillement de la lumière observé
lorsqu'une onde électromagnétique rencontre une ouverture, un obstacle ou un
bord d'écran. De ce fait, elle joue un rôle de la plus haute importance dans toutes
les branches de la physique où la propagation des ondes intervient.
Ce phénomène est associé à des écarts par rapport à l'optique géométrique.
Contrairement aux prévisions de cette dernière, les variations de l'éclairement au
voisinage de l'ombre d'un diaphragme D ne sont pas brutales, mais présentent
des oscillations.
Figure1-3
11
L'étude générale du phénomène de diffraction repose sur le principe de
Huygens Fresnel qui a permis de prévoir toutes les figures de diffraction.
Considérons une onde plane monochromatique tombant sur un diaphragme
D comme le montre la figure 1-4.
Figure 1-4
L'amplitude de l'onde dans le plan du diaphragme est ψ0(M). Au un point P,
son amplitude complexe est la somme des amplitudes complexes des ondes
sphériques, émises par les points M situés à l'intérieur du domaine de D, et
pondérées par la fonction ψ0(M) nulle à l'extérieur de D. Par conséquent :
ρρ
ψ(P) = ∫ ψ 0 (M ) Q exp (ik r ) / r ds
où
r = MP et k = 2π/λ
D
Désignons par Oxy le plan pupillaire, par Oz la normale à ce plan et par (X,
Y, Z) les coordonnées du point P. En supposant que R est suffisamment grand
devant les autres dimensions de telle sorte que le coefficient d'inclinaison Q soit
une constante, et en utilisant l'approximation dite de Fraunhofer, on arrive à
l'expression suivante:
ρρ
ρ
ρ
ρ
Q exp (ik r )
ψ(P) =
ψ
(
M
)
exp
(
−
i
k
OM
)
ds
avec
k
=
k
e
= (2 π / λ ) ( OP / OP )
0
∫D
r
12
En introduisant les fréquences spatiales u ≡ α/λ et v ≡ β/λ avec α et β sont
ρ
respectivement les composantes de e = OP / OP suivant les axes Ox et Oy,
l'amplitude complexe s'écrit alors:
ρρ
Q exp (ik r )
ψ(P) =
∫D ψ 0 ( x, y) exp [− i2π (ux + vy)] dx dy
r
On remarque alors que l'amplitude de l'onde diffractée est proportionnelle à
∫ψ
0
( x , y) exp [ − i 2π(ux + vy)] dxdy
D
Cette expression n’est rien d’autre que la transformation de Fourier de
ψ 0 ( x , y) .
Lorsque l'onde incidente est plane et tombe normalement sur le
diaphragme, la fonction ψ 0 ( x, y) s'identifie à la fonction caractéristique du
diaphragme appelée encore transmittance que l'on définit par le rapport des
amplitudes complexes immédiatement avant et après le diaphragme :
+
ψ 0 ( x, y )
t ( x, y ) =
−
ψ 0 ( x, y )
Dans ces conditions, l'amplitude complexe diffractée s'écrit :
ρρ
Q exp (ik r )
ψ(P) =
iλ r
∫∫ t ( x, y) exp [− i2π (ux + vy)] dxdy
D
et l'intensité de l'onde diffractée se déduit aisément de ce qui précède :
2
*
I ( u , v ) = ψ ( u , v ) ∗ ψ ( u , v) = ψ ( u , v )
2
≈
∫∫ t (x, y) exp [− i2π(ux + vy)] dxdy
D
13
Chapitre 2
I- Définitions et généralités :
La spectrométrie optique c’est le nom attribué à l’instrumentation associée
à l'étude des spectres optiques. C’est donc l’ensemble des instruments et
techniques de mesure, de contrôle et d'analyse des spectres optiques.
La spectrométrie optique a un grand rapport de sens avec la spectroscopie
optique. Pour préciser la différence entre les deux, on se propose de faire un
petit rappel sur les notions de base à travers lequel on essayera de lever un
certain nombre d'ambiguïtés. Toutefois, il convient de signaler au passage que la
spectroscopie optique est très souvent appelée spectroscopie tout court.
II- Notions de base de la spectroscopie optique :
Lorsqu’elle traverse les gouttes d’eau de la pluie, la lumière blanche du
soleil se décompose en ses constituants colorés: c’est l’arc-en-ciel. Cet effet est
dû à la réfraction qui est un phénomène par lequel la lumière subit un
changement de direction quand elle passe d’un milieu à un autre. La même
décomposition s’observe lorsque la lumière blanche traverse un prisme
transparent dont l’indice de réfraction et, par conséquent, l’angle de réfraction
dépendant de la couleur de la lumière (figure 2-1). La spectroscopie est une
technique d’analyse fondée sur ce phénomène. Cette technique est tellement
importante qu’elle a pu constituer à elle seule tout un nouveau domaine de la
physique fondamentale qui a eu un impact considérable lors de la naissance de
la physique moderne.
Figure 2-1 : Lumière décomposée par un prisme transparent.
Lorsqu'un faisceau de lumière blanche traverse un prisme transparent, il est
réfracté et décomposé en rayonnements monochromatiques.
14
Du point de vue expérimental, la spectroscopie optique utilise
principalement un système dispersif (ou "disperseur"), constitué d’instruments
optiques, qui permet de disperser non seulement la lumière blanche mais tous les
rayonnements électromagnétiques en général. L’image donnée par ce système
dispersif constitue ce qu’on appelle le spectre de la lumière dispersée. Celui ci
n’est généralement rien d’autre qu’une représentation graphique de l’intensité
lumineuse en fonction de la longueur d’onde λ de la lumière dispersée. Le
système dispersif se trouve habituellement intégré dans des appareils de
caractérisation et de mesure optique que les "spectroscopistes" regroupent dans
ce qu’ils appellent l’appareillage dispersif ou encore l’appareillage
spectroscopique optique. Chaque appareil a un nom inspiré de sa fonction
spécifique et surtout de la nature de l’information qu’il délivre à sa sortie. Parmi
les appareils spectroscopiques optiques les plus connus on trouve:
• Le spectroscope optique (spectroscope): il produit de la lumière
dispersée et permet l’observation visuelle directe du spectre de cette lumière.
• Le spectrographe optique (spectrographe): il produit de la lumière
dispersée et permet l’enregistrement photographique du spectre de cette lumière
grâce à un système de réception des images. En fait, le spectrographe n’est rien
d’autre qu’un spectroscope dont le viseur est remplacé par un appareil
photographique. Il n'est pas nécessaire d'employer la photographie couleur pour
distinguer les différentes couleurs sur le spectre car les longueurs d'onde
correspondantes peuvent être calculées d'après leurs positions sur le film. Dans
le cas particulier où la source lumineuse étudiée est le soleil, on emploie alors un
spectrographe adapté, appelé spectrohéliographe, qui photographie les détails de
la surface solaire.
• Le spectromètre optique (spectromètre): il produit de la lumière
dispersée et permet d’effectuer une mesure directe et précise des longueurs
d’ondes de cette lumière ainsi que de l’intensité lumineuse correspondante grâce
à un système de réception du flux. Aussi, Il permet d’analyser la répartition
spectrale de l’énergie dans cette lumière. Les spectromètres enregistrent les
spectres élément par élément à l’aide d’un détecteur photoélectrique suivi d’une
chaîne de mesure appropriée. Les détecteurs employés sont très variés:
photomultiplicateur,
photodiode,
photopile,
cellule
photorésistante,
phototransistor, etc. Actuellement, les spectromètres optiques classiques sont de
plus en plus remplacés par une nouvelle génération de spectromètres
multicanaux. Ceux ci permettent l’enregistrement simultané des éléments d’un
spectre grâce à l’utilisation de détecteurs multicanaux tels que les barrettes et les
matrices de photodiodes. Ces instruments, souvent couplés à des systèmes
informatiques d’acquisition, de traitement et de stockage des données,
connaissent un développement très rapide.
15
• Le spectrophotomètre optique (spectrophotomètre): il associe un
spectroscope et un photomètre, qui est appareil de mesure de l'intensité
lumineuse, et permet la comparaison quantitative d’un spectre produit avec un
spectre étalon. Le spectrophotomètre est généralement muni d'un détecteur
adapté à la mesure et l’analyse des spectres infrarouges et ultraviolets.
• Le monochromateur: il n’est muni d’aucun récepteur et sert à
transmettre un élément spectral de largeur déterminée vers un autre instrument
optique.
On voit donc bien que la fonction du spectroscope est surtout qualitative
alors que celle du spectromètre est plutôt quantitative. Par extrapolation, on peut
dire alors que la spectroscopie optique s’intéresse à l’étude qualitative des
spectres optiques tandis que la spectrométrie optique s’occupe plutôt de leur
étude quantitative. Ainsi, l’utilisation d’une terminologie équivoque serait
évitée.
II-1- Propriétés et caractéristiques des spectres optiques :
Généralement, les spectres optiques se présentent soit sous forme
discontinue (spectre de raies) soit sous forme continue (spectre de bandes). Le
spectre de raies est obtenu lorsque la lumière dispersée comprend un nombre
restreint de composantes (figure 2-2), chacune d’entre elles a une longueur
d’onde λ bien définie et, de ce fait, appelée radiation monochromatique. Le
spectre de bande, appelé aussi spectre continu, est obtenu lorsque les
composantes de la lumière dispersée sont trop larges et trop serrées pour être
distinguées par le système dispersif.
Il est d’usage courant en spectrométrie de caractériser les radiations
monochromatiques de la lumière dispersée par leur longueur d’onde λ plutôt que
par leur fréquence ν. En outre, au lieu de considérer la fréquence ν d’une
radiation monochromatique donnée, les "spectroscopistes" ont depuis longtemps
pris l’habitude de considérer une autre grandeur qui est proportionnelle ν et
connue avec la même précision que λ. Cette grandeur est appelée le nombre
d’onde dans le vide σ et définie par :
σ= 1 =ν
λ c
où c est la vitesse de la lumière dans le vide.
16
Figure 2-2 : Spectres de raies de quelques éléments chimiques
Quand un composé est vaporisé et que sa vapeur est chauffée jusqu'à émission
de lumière, une couleur unique prédomine, comme le jaune des lampes à vapeur
de sodium, le rouge des lampes au néon et le bleu-vert des lampes à vapeur de
mercure. Le spectre du composé vaporisé est alors formé de plusieurs raies
séparées par des zones de noir absolu.
II-2- Spectre d’émission et spectre d’absorption :
Il existe en général deux grandes classes de spectres optiques: les spectres
d’émission et les spectres d’absorption. Un spectre d’émission est constitué de
toutes les composantes de lumière d’une source lumineuse donnée, tandis qu’un
spectre d’absorption résulte de l’arrêt d’une partie de la lumière émise par la
source lumineuse par un échantillon matériel placé sur le trajet du rayonnement.
Les raies ou les bandes d’absorption apparaissent alors en noir sur le fond coloré
du spectre de la source lumineuse (figure 2-3), et sont caractéristiques de la
composition chimique de l’échantillon. Ainsi, l’étude du spectre d’absorption
d’une substance permet d’analyser ses constituants et de la caractériser.
Un spectre d’émission peut être caractérisée par la fonction L(σ) qui
représente la luminance L de la source lumineuse émettrice des radiations en
fonction du nombre d’onde σ de ces radiations. De même, un spectre
d’absorption peut être caractérisé par la fonction A (σ) qui représente le facteur
d’absorption A de la substance traversée par la lumière dispersée en fonction du
nombre d’onde σ des radiations composant cette lumière. Un des rôles essentiels
des appareils utilisés en spectrométrie c’est fournir le maximum possible
d’informations sur les fonction L (σ) et A (σ).
17
Figure 2-3 : Spectre du Soleil
Le rayonnement émis par le Soleil est photographié par un spectrographe puis
analysé. Les raies noires sont les raies d'absorption; elles sont dues à l'absorption
des rayonnements par les éléments présents dans l'atmosphère du Soleil. L'étude
de ces raies permet aux scientifiques d'identifier les éléments constitutifs du
Soleil. Par exemple, les raies dans le jaune indiquent la présence de sodium.
Si la source lumineuse considérée donne, après dispersion de sa lumière, un
spectre de raies, alors sa luminance L est parfaitement définie pour chaque
valeur de σ. Si, par contre, elle donne un spectre de bandes, alors dans ce cas sa
luminance L ne peut être définie pour chaque valeur de σ mais plutôt pour un
petit intervalle spectrale de nombres d’ondes dσ. Pour cela, on introduit une
nouvelle grandeur physique notée Lσ, définie par Lσ = ∂L/∂σ et appelée
luminance par unité de nombres d’ondes ou encore densité spectrale de
luminance. Ainsi, la luminance dL de la source lumineuse dans un petit
intervalle spectrale de nombres d’ondes dσ est donnée par :
dL
=
∂L
∂σ
dσ
=
Lσ d σ
Dans ces conditions, le spectre de bandes de la source sera donc caractérisé
par la fonction Lσ = f(σ) et c’est bien cette fonction que devra fournir l’appareil
spectroscopique optique utilisé.
II-3- Importance des spectres optiques en physique :
Les spectres optiques que l’on obtient grâce aux appareils spectroscopiques
précités constituent un outil puissant pour connaître la structure électronique des
atomes et des molécules. La haute résolution fournit même avec les structures
hyperfines des données sur la structure des noyaux atomiques. Ces spectres
permettent aussi l’étude de sources hors de notre portée (astrophysique, hautes
températures, plasmas), l’analyse minérale ou organique. La majeure partie des
connaissances actuelles de l’univers a pour origine l’étude d’un spectre (analyse
18
et synthèse de la lumière blanche par Newton, théorie du quanta de Planck,
théorie atomique de Bohr, mécanique quantique de De Broglie et ses
successeurs, atmosphères planétaires et stellaires, expansion de l’univers). Les
analyses chimiques des contrôles de processus industriels, les analyses
biomédicales, les analyses de pollutions atmosphériques sont pour une grande
part faites par spectrométrie optique.
II-4- Performances d’un appareil spectroscopique :
Pour déterminer le mieux possible la fonction Lσ = f (σ) d’un spectre de
bandes, l’appareil spectroscopique optique utilisé doit découper la région
spectrale étudiée en petits intervalles de largeur ∆σ nécessairement finis, appelés
éléments spectraux, et fournir un signal proportionnel à la luminance ∆L de la
source lumineuse pour chacun d’entre eux. Suivant la complexité du spectre
étudié et selon la qualité des informations recherchées, l’élément spectral ∆σ
considéré devra être plus ou moins grand. Plus ∆σ est petit, plus le spectre est
finement résolu; c’est pourquoi ∆σ est aussi appelé l’élément spectral résolu.
Très souvent, à la place de l’élément spectral résolu ∆σ on considère plutôt
la quantité R, appelée pouvoir de résolution ou "résolvance", définie par:
R = σ = λ
∆σ ∆λ
où σ et λ sont respectivement les valeurs mesurées au milieu des plus petits
éléments spectraux résolus ∆σ et ∆λ, c-à-d qui correspondent à la limite de
résolution.
Les pouvoirs de résolution des appareils spectroscopiques optiques vont de
quelques centaines pour les plus simples à plusieurs millions pour certains
montages interférentiels. En fait, pour qu’un appareil spectroscopique optique
présente de bonnes performances, il ne suffit pas que sa valeur de R soit bien
grande. Mais, en plus, pour chacun des éléments spectraux ∆σ, il doit permettre
une mesure aussi précise que possible de la luminance ∆L de la source
lumineuse. Autrement dit, il doit fournir un signal, proportionnel à ∆L, d’une
amplitude suffisamment élevée.
19
Chapitre 3
I- Types de systèmes dispersifs :
En spectrométrie optique, les spectromètres utilisés sont très variés.
Certains sont plus résolvants, d’autres plus rapides, certains plus sensibles ou
plus simples d’emploi. Seule une estimation complète des avantages et des
inconvénients d’un spectromètre donné permet de faire un choix judicieux, et ce
choix reste spécifique.
On a souvent l’habitude de classer les spectromètres en fonction du type du
système dispersif (le "disperseur") qu’ils utilisent. Rappelons que le système
dispersif est un dispositif constitué d’instruments optiques qui permet de
disperser et séparer les radiations émises par une source lumineuse. On
distingue, en général, deux types de systèmes dispersifs:
• Les systèmes dispersifs classiques dont le principe repose sur la
dispersion de la lumière soit par le phénomène de la réfraction, soit par les
phénomènes de la réflexion ou de la diffraction. Ceux qui provoquent la
dispersion de la lumière en exploitant le phénomène de la réfraction sont
constitués d’instruments optiques dont l’élément principal est tout simplement
un prisme homogène, transparent et réfringent. Ces systèmes ont permis de
mettre au point les spectromètres à prisme. Ceux qui provoquent la dispersion de
la lumière en exploitant les phénomènes de la réflexion ou de la diffraction sont
constitués d’instruments optiques dont l’élément principal est un réseau. Ces
systèmes ont permis de mettre au point les spectromètres à réseau.
Les spectromètres à prisme et les spectromètres à réseau sont aussi appelés
spectromètres à fentes et disperseur parce qu’ils sont généralement équipés de 2
petites fentes (fines ouvertures): une fente d’entrée, du côté de la source
lumineuse, pour limiter l’étendue du faisceau incident et une fente de sortie, du
côté de l’observateur, pour éventuellement isoler une bande dans le spectre
fourni par le disperseur.
• Les systèmes dispersifs modernes ou évolués dont le principe repose sur
la dispersion de la lumière par le phénomène des interférences. Ils sont
constitués d’instruments optiques dont l’élément principal est un interféromètre.
Ces systèmes ont permis de mettre au point les spectromètres interférentiels.
20
II- Spectromètre à prisme :
Cet appareil spectroscopique optique comporte (figure 3-1) une fente, qui
laisse entrer la lumière provenant d'une source lumineuse extérieure, un groupe
de lentilles, un prisme et un détecteur (qui peut être visuel, graphique ou autre).
La lumière émise par la source lumineuse traverse d'abord un collimateur, qui
permet d'obtenir un faisceau de rayons parallèles, puis le prisme. L'image de la
fente est enfin focalisée dans le détecteur. Si la source lumineuse extérieure
émet de la lumière blanche, on observe alors un spectre optique composé d’une
série de bandes de différentes couleurs, qui résultent de la dispersion de la
lumière par le prisme. Si l'on place la substance à analyser juste avant le système
dispersif, on remarque dans le viseur une série de raies noires qui correspondent
aux longueurs d'onde absorbées par l'échantillon.
Figure 3-1 : Spectromètre à prisme
Le spectromètre à prisme comprend une fente laissant entrer les rayons d'une
source de lumière, un prisme et plusieurs lentilles. En plaçant l'échantillon à
analyser juste avant le prisme, le détecteur enregistre une série de raies noires
correspondant aux longueurs d'onde absorbées par la substance étudiée.
III- Spectromètre à réseau :
Le réseau dont il s’agit est un instrument optique utilisé pour analyser les
différentes longueurs d'onde d'un faisceau de lumière. Parce qu’il possède la
propriété de disperser la lumière blanche en fonction de sa longueur d’onde, le
réseau optique est très utilisé en spectrométrie optique. On distingue, en général,
deux types de réseaux optiques: ceux qui fonctionnent par transmission en
exploitant le phénomène de la diffraction de la lumière (réseaux par
transmission) et ceux qui fonctionnent par réflexion en exploitant le phénomène
de la réflexion de cette lumière (réseaux par réflexion).
21
III-1- Le réseau par transmission :
Le réseau par transmission est une sorte de structure périodique qui a la
forme d’un petit écran rigide percé d’un grand nombre N de fentes très fines,
identiques, parallèles, équidistantes et situées dans un même plan. La distance
qui sépare deux points homologues de deux fentes consécutives est appelée la
période spatiale ou le pas du réseau. Ce réseau est généralement constitué d'une
surface réfléchissante sur laquelle ont été gravés plusieurs milliers de sillons
étroits et parallèles. Lorsqu'il atteint une telle surface, un faisceau lumineux est
dispersé, ou diffracté, dans toutes les directions à partir de chaque sillon. Pour
chaque longueur d'onde de la lumière, on observe au-delà du réseau des maxima
d'interférences dans certaines directions et des amplitudes nulles dans d'autres.
Ces directions d'interférences constructive et destructive dépendent de la
longueur d'onde.
Les effets caractéristiques des réseaux par transmission peuvent aussi être
observés sur des ailes de papillons, des écailles de poissons, des enregistrements
CD ou d'autres surfaces rayées.
III-2- Le réseau par réflexion :
Le réseau par réflexion est le plus souvent utilisé en spectrométrie. Il est
généralement obtenu en traçant, à la surface d’une couche métallique déposée
sur une lame de verre plane, des traits réguliers qui se comportent comme des
bandes opaques. Le support de verre n’est pas traversé par la lumière et ses
défauts d’homogénéité n’interviennent donc pas dans le fonctionnement de ce
réseau, ce qui constitue un grand avantage sur le réseau par transmission.
D’autre part, le réseau par réflexion peut être utilisé dans l’ultraviolet ou
l’infrarouge alors qu’un support en verre ne pourrait plus convenir dans ces
régions.
Les premiers réseaux furent mis au point en 1814 par le physicien allemand
Fraunhofer. Ils étaient obtenus en enroulant un fil fin de cuivre sur deux tiges
filetées parallèles permettant ainsi de former une série de fentes parallèles et
équidistantes et, donc, réaliser des réseaux par transmission. Vers la fin du 19ème
siècle, le physicien américain Rowland fabriqua des réseaux par transmission
très performants qui peuvent comporter jusqu’à environ 8000 rainures par cm.
Ces réseaux fut réalisés en gravant, au moyen d’un diamant, une série de sillons
équidistants sur des plaques de verre et en considérant que deux sillons
consécutifs délimitent une fente très fine. Ensuite, des réseaux par réflexion ont
été également fabriqués, selon le même concept, en gravant des sillons
équidistants sur des surfaces métalliques tendres et réfléchissantes. Aujourd'hui,
l'utilisation des interféromètres permet de fabriquer des réseaux de très bonnes
22
performances comportant environ 50 000 lignes par cm; on utilise aussi des
lasers pour fabriquer ces réseaux.
Si un faisceau, provenant d’une source lumineuse ponctuelle infiniment
éloignée (ou placée au foyer d’une lentille de collimation), éclaire un réseau par
transmission, on peut voir que cette lumière sera transmise non seulement dans
la direction de transmission rectiligne, mais aussi dans un certain nombre
d’autres directions très bien déterminées qui sont des maxima d’interférences.
De même, si le faisceau considéré éclaire un réseau par réflexion, on peut aussi
voir que cette lumière sera réfléchie non seulement dans la direction de réflexion
régulière, mais aussi dans un certain nombre d’autres directions très bien
déterminées qui sont aussi des maxima d’interférences. Comme, dans les deux
cas, les positions des maximas d’interférences dépendent de la longueur d’onde
λ, la lumière émise par la source ponctuelle est alors dispersée et on peut obtenir
des spectres optiques. Ces derniers sont d’ailleurs plus détaillés par rapport à
ceux obtenus par prisme car un réseau possède un pouvoir de résolution
nettement meilleur.
Remplaçons maintenant la source lumineuse ponctuelle par une fente
parallèle aux sillons du réseau par transmission et arrangeons nous pour que
cette fente soit placée dans le plan focal d’une lentille L1, et l’observation de la
lumière dispersée s’effectue dans le plan focal d’une lentille L2 placée après le
réseau. Si on éclaire la fente en lumière polychromatique, on voit l’image
géométrique F0 de la fente, qu’on aurait s’il n’y avait pas de réseau, et de chaque
côté de cette image F0 des spectres qui sont des juxtapositions des images de la
fente correspondant au maximas d’interférences pour les diverses longueurs
d’ondes présentes dans la lumière polychromatique.
Puisque les réseaux optiques donnent des spectres optiques bien résolus, ils
ont très vite remplacé avantageusement les prismes, en particulier dans les
domaines de l’infrarouge et de l’ultraviolet, pour lesquels il n’existe pas de
substance transparente et où l’on peut employer des réseaux par réflexion.
IV- Spectromètre interférentiel :
Dans les spectromètres interférentiels, l’analyse de la lumière émise par une
source est due au phénomène des interférences lumineuses obtenues à l’aide
d’un interféromètre à deux ondes du type Michelson (spectromètre interférentiel
de Michelson), ou bien à l’aide d’un interféromètre à ondes multiples du type
Fabry Pérot (spectromètre interférentiel de Fabry Pérot). Au lieu de séparer les
différentes radiations monochromatiques de la lumière incidente à l’aide d’un
prisme ou d’un réseau de diffraction, on sépare les franges d’interférence
produites par chacune de ses radiations. On peut ainsi analyser la structure fine
23
d’une radiation lumineuse et mesurer avec une très grande précision les
longueurs d’onde qu’elle contient.
Dans le cas d’un spectromètre interférentiel de Fabry Pérot, on fait passer la
lumière à analyser dans l’interféromètre et on étudie les franges d’interférence
qui apparaissent. Si la lumière incidente est composée de n radiations
monochromatiques, on observe alors n systèmes de franges qui peuvent être
distincts.
Dans le cas d’un spectromètre interférentiel de Michelson, lorsque
l’interféromètre est éclairé par une source lumineuse quelconque, le flux
lumineux qui en sort est fonction de la composition spectrale de la source et de
la différence de marche entre les faisceaux lumineux qu’elle émet. En mesurant
le flux lumineux sortant en fonction de la différence de marche, on peut alors en
déduire la composition spectrale de la source.
Les spectromètres interférentiels de Michelson ont évolué rapidement et se
sont enrichis par de nouvelles méthodes d’investigation et d’analyse qui ont
conduit au développement récent de la spectrométrie par transformation de
Fourier que nous allons étudier dans la quatrième leçon de ce cours.
24
Chapitre 4
I- Réfraction dans un prisme : Formules du prisme
Le prisme est un milieu réfringent, transparent, homogène, isotrope, limité
par deux dioptres plans formant un dièdre. Actuellement, il est surtout employé
pour changer le sens de propagation de la lumière. On s'en sert aussi pour
analyser une lumière complexe grâce à ses propriétés dispersives.
Considérons le prisme représenté par la figure 4-1. Pour rappeler les
formules du prisme, plaçons nous dans le cas où le prisme, d'indice n, est plongé
dans l'air et les rayons lumineux incidents contenus dans le plan de section
principale (cas du rayon lumineux monochromatique).
Les quatre équations qui relient l'angle A du prisme, les angles d’incidence
et de réfraction à l'entrée (i et r), les angles à la sortie du prisme (r', i') ainsi que
la déviation D sont les suivantes:
sin i = n sin r
sin i = n sin r'
A = r + r'
D = i + i’ – A
Les deux premières équations traduisent la loi de Snell-Descartes à l'entrée
et à la sortie, alors que les deux dernières sont des relations géométriques.
Figure 4-1
25
II- Spectromètre à prisme :
II-1- Schéma du principe de l'appareil:
Figure 4-2
Le système est éclairé par un faisceau de lumière parallèle. A la sortie, on
obtient pour chaque longueur d'onde λ un faisceau émergent. Cette
décomposition du rayonnement lumineux suivant la longueur d'onde permet
l'analyse de sa répartition spectrale.
II-2- Notion de dispersion angulaire et dispersion linéique:
On appelle dispersion angulaire la quantité Da donnée par :
Da = (b / a).(dn / dλ)
où a désigne la largeur du faisceau émergent et b la base du prisme. Le facteur
dn /dλ est caractéristique du matériau.
On montre d'ailleurs qu'en se plaçant au minimum de déviation, on a :
dD / dn = b / a
Dans le cas où le spectre est observé dans le plan focal d'une lentille, on
introduit alors la dispersion linéique Dl exprimée par :
Dl = f . Da = f . (b / a) . (dn / dλ) où f est la distance focale de la lentille.
26
II-3- Pouvoir de résolution :
Notons ∆λ le plus petit écart en longueur d'onde détectable dans le plan
d'observation, le pouvoir de résolution P.R. est défini par :
P.R. ≡ λ / ∆λ
Si la fente source est suffisamment mince, on montre que :
P.R. ≡ b . dn / ∆λ
Si l'image de la fente source dans le plan de détection est élargie afin de
recevoir davantage de lumière, ∆λ est défini par la largueur ε de cette image :
∆λ = ε / Dl
d’où
P.R. ≡ λ / ∆λ = Dl . λ / ε
Les conditions idéales de travail (source suffisamment large pour le confort
lumineux et limitation par diffraction) sont celles qui réalisent l'égalité entre la
largueur de l'image de la fente et la largueur du pic de diffraction. On a alors :
ε =λf/a
et
P.R. = Dl . λ / ε = a Dl / f = b . (dn / dλ)
II-4- Ordre de grandeurs :
Pour f = 20 cm, a = 2 cm, λ = 0.5 µm et Dl = 20 µm/nm, on obtient un
pouvoir de résolution P.R. d’une valeur égale à 2000.
Généralement, la largeur de la fente limite ce pouvoir de résolution. Ainsi,
si ε = 40 µm, ∆λ = ε / Dl = 0.5 nm et P.R. = λ / ∆λ = 1000.
De nos jours, les spectromètres à prisme optique, avec leur pouvoir de
résolution théorique de l'ordre de 2000, sont pratiquement remplacés par les
spectromètres à réseaux qui sont plus performants. L’étude de ces derniers fait
l’objet du chapitre suivant.
27
Chapitre 5
I- Introduction :
Un réseau optique est un dispositif composé d'une série de fentes parallèles
(réseau par transmission), ou de rayures réfléchissantes (réseau par réflexion).
Ces traits sont identiques et espacés de manière régulière. Leur espacement est
appelé la période spatiale ou le pas du réseau. Ce pas est généralement très petit,
facilement inférieur au 1/100 mm.
Un réseau optique possède la propriété de disperser la lumière
polychromatique en fonction de sa longueur d’onde. De ce fait, il est très utilisé
en spectrométrie optique.
Il existe deux types de réseaux optiques: les réseaux par transmission et les
réseaux par réflexion. Nous allons nous limiter dans la présente leçon à l’étude
théorique du premier type de réseaux sachant que des conclusions analogues
sont valables pour l’autre type.
II- Théorie élémentaire du réseau optique :
Considérons un réseau optique par transmission constitué par un
diaphragme percé de N fentes fines, identiques, parallèles et équidistantes de a
(le pas du réseau est donc égal à a). D’après le principe d’Huygens Fresnel,
chaque fente du réseau peut-être considérée comme une source secondaire. Si le
réseau est éclairé de façon cohérente, ces sources secondaires vont diffracter la
lumière transmise et interférer entre elle (figure 5-1). Pour une direction donnée,
on peut faire interférer les rayons lumineux issus des N fentes du réseau et on
aura donc un phénomène d’interférences à ondes multiples par division du front
d’onde.
La figue 5-2 schématise les rayons lumineux diffractés par les N fentes du
réseau dans une direction θ donnée. Ces rayons viennent interférer au point M
dans le plan focal de la lentille L. Il y a autant de rayons lumineux qui
interfèrent en M qu’il y a de fentes sur le réseau.
28
Figure 5-1
Division du front d’onde: schéma du principe d’un réseau optique par
transmission
θ
M
θ
Réseau
Lentille (L)
F’
Plan focal de L
Figure 5-2
Intérférence au point M des différents rayons lumineux issus des fentes du
réseau. La figure utilise le fait que le rayon passant par le centre de la lentille L
n’est pas dévié
II-1- Différence de marche entre deux rayons consécutifs :
Considérons maintenant le cas où le réseau est éclairé par un faisceau
parallèle de lumière monochromatique de longueur d’onde λ, sous un angle
d’incidence i. Nous allons nous placer dans le cas d’une diffraction à l’infini et
nous allons nous intéresser au faisceau diffracté dans la direction repérée par
l’angle θ (figure 5-3).
29
J
θ
i
a
H
K
i
θ
I
Figure 5-3 : Calcul de la différence de marche
Pour le faisceau incident (l’onde incidente) comme pour le faisceau
diffracté (l’onde diffractée), les surfaces d’onde (ou surfaces équiphases) sont
des plans perpendiculaires à la direction des rayons lumineux. Les traces de ces
surfaces d’onde sont représentées par IH et JK (figure 5-3). Ainsi, le rayon
lumineux marqué d’une seule flèche parcourt le trajet supplémentaire HJ, alors
que celui marqué de deux flèches parcourt le trajet supplémentaire IK. Calculons
la différence de marche δ entre ces deux rayons lumineux consécutifs diffractés
dans la direction repérée par l’angle θ:
δ = JH – IK = a sin θ – a sin i
soit:
δ = a (sin θ – sin i)
(4)
Les rayons lumineux consécutifs diffractés présentent donc entre eux un
déphasage φ "à l’infini" égal à :
φ = 2πδ / λ = 2π a (sin θ – sin i) / λ
(5)
φ est donc le déphasage "à l’infini" entre les ondes diffractées par deux
fentes successives.
II-2- Maxima d’intensité lumineuse et formation des spectres :
On sait très bien que, quand il y a un phénomène d’interférences
lumineuses, un maximum d’intensité est obtenu pour:
δ = k λ ⇔ φ = 2πδ / λ = 2π k
30
où k est un nombre entier
(6)
Donc, le maximum d’intensité lumineuse est obtenu lorsque les deux
rayons consécutifs présenteront un déphasage φ multiple de 2π et il est évident,
de proche en proche, que tous les rayons diffractés seront en phase entre eux (à
un multiple de 2π près).
Les maxima d’intensité lumineuse seront donc observés dans les directions
θk telles que:
(7)
sin θk = sin i + k (λ / a)
On voit donc que la direction de ces maxima dépend de la valeur de l’entier
k et, pour un k donné, elle dépend de la longueur d’onde λ. Pour k = 0, on a sin
θk = sin i, donc la position des maxima d’intensité lumineuse est obtenue par
prolongement du faisceau incident. Pour k ≠ 0, leur position sera fonction de la
longueur d’onde λ. On peut observer ceci sur un écran d’observation éloigné ou,
mieux, dans le plan focal d’une lentille convergente (figure 5-2). Sur cet écran,
on obtiendra des franges très fines parallèles aux fentes du réseau et
correspondant aux différentes valeurs du nombre entier k.
Si notre réseau est éclairé par de la lumière blanche, la formule précédente
montre que la lumière transmise présente des maxima dans des directions qui
dépendent de la longueur d’onde λ. Dans ce cas, sur l’écran d’observation, à la
place des franges préalablement obtenues, on trouvera plutôt des spectres
optiques qui correspondent aux différentes valeurs du nombre k. |k| est appelé
ordre du spectre.
III- Calcul de l’intensité lumineuse diffractée :
Ce que nous venons de voir nous permet de dire qu’un réseau par
transmission fonctionne comme un interféromètre à N ondes lumineuses issues
des N fentes de ce réseau. Les interférences lumineuses qu’il produit
apparaissent sur un écran d’observation situé dans le plan focal d’une lentille
convergente. Elles se manifestent ou bien sous forme de franges très fines,
parallèles aux fentes du réseau, dans le cas d’une lumière monochromatique, ou
bien sous forme d’une série de spectres optiques pour une lumière polychromatique. Dans ce qui suit, nous allons calculer l’intensité lumineuse Iθ
diffractée dans la direction θ en supposant toujours que les fentes sont très fines
et le réseau est éclairé en lumière monochromatique.
III-1- Représentation scalaire d’une onde lumineuse :
Jusqu’à maintenant, nous nous sommes contentés de représenter les ondes
lumineuses par des rayons. Cette représentation simplifiée est très convenable
lorsqu’il s’agit de déterminer mathématiquement les conditions dans lesquelles
31
la lumière diffractée donne des franges d’interférence ou bien des spectres
optiques bien positionnés sur l’écran d’observation. Toutefois, quand il s’agit de
déterminer l’expression de l’intensité lumineuse diffractée sur cet écran, une
autre représentation des ondes lumineuses doit être considérée.
On sait que le long d’un rayon lumineux monochromatique se propage les
vibrations d’une grandeur physique vectorielle s ayant une amplitude so qui
varie sinusoïdalement dans le temps avec la fréquence angulaire ω. La nature
physique de s a été précisée dans le cours d’optique de l’année dernière. Dans
l’étude des interférences et de la diffraction de la lumière, sauf dans le cas
particulier d’une lumière polarisée, on peut négliger le caractère vectoriel de la
grandeur s et l’assimiler plutôt à une grandeur scalaire s. Ceci permet de ne
dégager que l’essentiel de ces phénomènes dont la multitude des aspects sort du
cadre de ce cours.
Si nous nous limitons au cas très courant où les ondes lumineuses sont
supposées planes et monochromatiques, la grandeur scalaire associée s s’écrit
généralement de la manière suivante :
s = so cos (ωt + φ) en notation réelle
et s = so exp i (ωt + φ) en notation complexe
(8)
(9)
Dans ces expressions, la phase φ dépend de la position du point considéré
sur le rayon lumineux.
III-2- Expression de l’intensité lumineuse diffractée Iθ
Désignons par :
s1 = so exp iωt l’onde lumineuse diffractée par la 1ère fente du réseau
s2 = so exp i (ωt + φ) = so exp (iωt) exp (iφ) l’onde lumineuse diffractée
par sa 2ème fente
sp = so exp (iωt) exp i(p-1)φ l’onde lumineuse diffractée par sa pième fente.
Dans ses expressions, φ n’est rien d’autre que le déphasage "à l’infini"
entre les ondes lumineuses diffractées par deux fentes successives. Son
expression est donnée par la formule (5). L’amplitude so des ondes diffractées
dépend à priori de l’angle θ; mais comme on a supposé que les fentes du réseau
sont très fines, on peut alors admettre en première approximation que so reste
constante.
32
En un point M de l’écran d’observation, les ondes lumineuses diffractées
par les N fentes du réseau dans la direction de l’angle θ (figure 5-3) vont
s’ajouter pour donner une onde lumineuse totale telle que :
[
N
s = ∑ sp = soe iωt 1 + e iϕ+ e 2iϕ+ e 3iϕ+........+ e i(N − 1)ϕ
p =1
s = s oe
Soit :
]
e iNϕ 
 1 − e iϕ 


iωt 
1 −
(10)
(11)
Transformons maintenant l’expression (11) :
s = soe iωt
e i ( Nϕ / 2 )
e i (ϕ/ 2)
 e i ( Nϕ / 2 ) − e −i ( Nϕ / 2 ) 


 e i ( ϕ / 2 ) − e −i ( ϕ / 2 ) 


(12)
sin (Nϕ / 2 )
sin (ϕ / 2 )
(13)
Soit encore :
s = soe iωt e i ( N −1) ( ϕ / 2 )
On remarque que l’amplitude totale a la phase de l’onde lumineuse
diffractée par la fente du milieu du réseau.
L’intensité lumineuse diffractée Iθ est donc :
 sin (Nϕ / 2 ) 
Iθ = s . s∗ = so2 
 sin (ϕ / 2 ) 
avec φ est tel que :
2
2
 sin (Nϕ / 2 ) 
= Io 
= Iθ (ϕ)
 sin (ϕ / 2 ) 
(14)
φ = 2π a (sin θ – sin i) / λ
III-3- Etude de la courbe Iθ(φ) :
Les fentes du réseaux étant supposées très fines, l’amplitude Io de
l’intensité lumineuse diffracté Iθ (φ) est alors considérée constante.
L’expression de Iθ (φ) montre que :
Iθ (φ ) = 0
pour sin (Nφ/2) = 0
et
sin (φ/2) ≠ 0
c’est-à-dire :
Iθ (φ) = 0 pour Nφ/2 = pπ avec p est un nombre entier ≠ 0 et non multiple de N.
33
Pour sin (φ/2) = 0, c’est-à-dire pour φ = 2kπ (où k est entier), l’expression
de Iθ (φ) est indéterminée. Mais, étant donnée la périodicité de Iθ (φ), on peut
lever cette indétermination en examinant le comportement de Iθ (φ) au voisinage
de φ = 0. En effet, près de φ = 0, on a:
sin (Nφ/2) ≈ Nφ/2
sin (φ/2) ≈ φ/2
et
2
2
 sin (Nϕ / 2 ) 
 Nϕ / 2 
lim Iθ (ϕ) = lim Io 
= Io 
= Io N 2

ϕ→0
ϕ→0
ϕ
sin
(
/
2
)


 ϕ / 2 
donc :
(15)
La figure 5-4 représente les variations de l’intensité lumineuse diffractée
Iθ(φ). Pour obtenir une figure claire, nous nous sommes contentés de considérer
un réseau optique constitué de N fentes. En réalité, N est évidemment beaucoup
plus grand.
Iθ(φ)
Iθo = IoN²
Iθ1

−2π
N
0
Iθ2 Iθ3
Iθ4




2π
N
4π
N
6π
N
8π
N

10π
N
2π
4π
φ
Figure 5-4
Variation de l’intensité lumineuse Iθ, diffractée par les N fentes du réseau
(N = 6) dans la direction définie par l’angle θ, en fonction du déphasage φ entre
deux ondes lumineuses diffractées par deux fentes successives.
Entre 2 minima nuls on obtient des maxima secondaires (ou des maxima
principaux, deux fois plus larges, pour un déphasage φ = 2kπ). Une discussion
graphique de la dérivée dIθ/dφ = 0 permet de montrer que les maxima
secondaires sont très peu marques. On peut facilement vérifier ceci en calculant
l’intensité Iθ1 pour φ = 3π/N, c-à-d pratiquement pour le 1er maximum
secondaire bordant le maximum principal correspondant à φ = 0 :
34
2
Iθ1
2
−1
Io
 sin (3π / 2 ) 


= Iθ (3π / N) = Io 
= Io 
=
2


sin (3π / 2 N)
 sin (3π / 2 N) 
 sin (3π / 2 N) 
si N >> 1, on a alors: sin (3π / 2N) ≈ 3π / 2N
dans ce cas, Iθ1 devient :
Iθ1 ≈ Io . 4N2 / 9π2 ≈ 4.10-2 N2 Io
or, N2 Io n’est rien d’autre que Iθo qui représente l’intensité lumineuse du
maximum principal correspondant à φ = 0.
Ainsi :
Iθ1 / Iθo ≈ 4.10-2
Les maxima secondaires sont donc pratiquement invisibles, seuls seront
observés les maxima principaux qui correspondent à φ = 2kπ.
Comme le déphasage φ s’exprime par : φ = 2π a (sin θ – sin i) / λ , on a
alors :
sin θ = sin i + kλ / a
On retrouve alors la relation (7) donnée plus haut dans le paragraphe II-2,
qui spécifie les directions θk dans lesquelles les maxima d’intensité lumineuse
seront observés.
En résumé, lorsqu’un réseau par transmission, dont les fentes sont
équidistantes de a, est éclairé par une onde lumineuse monochromatique de
longueur d’ondeλ, on obtiendra alors des maxima principaux d’intensité
lumineuse dans les directions de diffraction définies par: a (sin θk – sin i) = kλ
avec k est un nombre entier. Ces maxima principaux d’intensité, dont la position
sur le plan d’observation est prévue par la théorie, sont entourés par des maxima
secondaires invisibles dans la pratique.
III-4- Amélioration du calcul de l’intensité lumineuse diffractée Iθ
Dans le calcul de l’intensité lumineuse diffractée Iθ que nous venons de
présenter, nous avons supposé que les fentes du réseau considéré étaient
tellement fines que l’on puisse négliger la variation de l’amplitude so des ondes
lumineuses diffractées en fonction de l’angle de diffraction θ. Si l’on tient
compte de la largeur des fentes, on doit alors appliquer à chacune d’entre elles
les résultats de la théorie de la diffraction à l’infini par une fente rectangulaire de
largeur bien définie.
35
IV- Formation des spectres :
Nous venons d’étudier le fonctionnement d’un réseau par transmission
lorsqu’il est éclairé par une lumière monochromatique de longueur d’onde λ. On
va maintenant voir ce qui va se passer lorsqu’il est éclairé par une lumière
blanche.
IV-1- Réseau éclairé en lumière blanche :
Considérons le montage expérimental schématisé par la figure 9. Dans ce
montage, une petite fente rectangulaire F est éclairée par une source de lumière
blanche (non représentée sur le schéma). La fente F est située dans le plan focal
objet d’une lentille convergente L1; ce qui permet d’éclairer le réseau R sous une
incidence donnée. On choisira pour cette expérience une incidence normale au
plan du réseau. Une seconde lentille convergente L2 permet d’observer sur un
écran d’observation, confondu avec le plan focal image de L2, les phénomènes
de diffraction "à l’infini" produits par l’éclairement du réseau.
Comme on a choisi le cas d’une incidence normale au plan du réseau (i =
0), la formule (7), précédemment établie, sin θ = sin i + kλ/a, devient alors :
sin θ = kλ / a
(16)
Cette relation montre que pour une valeur donnée de k ≠ 0, chaque radiation
lumineuse monochromatique de longueur d’onde λ sera diffractée suivant un
angle de diffraction θ dépendant de λ. Autrement dit, pour une valeur donnée de
k ≠ 0, on obtiendra un spectre optique. A chaque valeur de k ≠ 0 va donc
correspondre un spectre optique que l’on appelle spectre d’ordre k et qui sera
visible sur l’écran d’observation comme indiqué sur la figure 5-5.
Pour k = 0, on a sin θ = 0 quel que soit la valeur de λ. Ceci veut dire que la
lumière incidente n’est pas diffractée et on obtient alors une image "blanche" de
la fente source sur le plan focal image de la lentille L2.
On retiendra donc qu’un réseau optique disperse de lumière blanche comme
un prisme. Le mécanisme qui régit cette dispersion est cependant très différent
dans les deux cas. En particulier, pour un réseau optique, les radiations rouges
sont plus déviées que les radiations bleues pour un ordre k donné. Ce qui est le
contraire de ce qu’on obtient avec un prisme.
36
k=-3
R
k=-2
V R
k=-1
V R
V
k=0
k=1
V
k=2
R V
k=3
R V
R
Image de
la fente
Lentille L2
Réseau R
Fente
source
Lentille L1
Figure 5-5
Formation de spectres optiques par un réseau en transmission
L’expérience que nous venons de présenter montre que, à partir d’une
certaine valeur de k, on assiste à un phénomène d’empiètement des spectres les
uns sur les autres. Ce phénomène est facile à comprendre. En effet, il y a
empiètement des spectres lorsqu’une même direction de diffraction (même angle
θ) correspond à deux valeurs différentes de λ et à deux valeurs différentes de
l’ordre k. Cherchons alors à partir de quel ordre k commence l’empiètement des
spectres optiques obtenus par le réseau.
D’après l’expression (16) de sinθ, l’empiètement commence entre les
spectres d’ordre k et k + 1 tels que:
k λ1 = (k + 1) λ2
où λ1 et λ2 sont deux longueurs d’onde du spectre optique visible. Autrement dit,
elles appartiennent au domaine [0.39 µm, 076 µm].
La valeur de k est alors :
k = λ2 / (λ1 - λ2)
Pour obtenir la valeur minimale de k, on minimise le numérateur et on
maximise le dénominateur. Autrement dit, on prend λ1 = 0.76 µm et λ2 = 0.39
µm. Ainsi, on obtient :
k = 0.39 / 0.37 = 1.05
37
La valeur minimale de k correspond à l’entier immédiatement supérieur à
1.05, soit: kmin = 2. L’empiètement des spectres optiques commence donc entre
les spectres du 2ème et 3ème ordre.
IV-2- Angle de déviation des spectres :
Dans l’expérience que nous venons de présenter, nous avons considéré le
cas le plus simple d’un éclairement sous incidence normale au plan du réseau (i
= 0). Dans le cas général où le réseau est éclairé sous un angle d’incidence i ≠ 0
et diffracte la lumière dans la direction θ, les spectres optiques obtenus sur
l’écran d’observation se trouvent déviés. L’angle de déviation D est, par
définition:
(17)
D=θ–i
Or, on sait que, pour un maximum d’intensité d’ordre k, et une certaine
longueur d’onde λ, les angles d’incidence i et de diffraction θ sont liés par la
relation (7) :
sinθ = sini + kλ / a
soit, en différenciant:
cosθ dθ = cosi di
Calculons alors la dérivée dD/di:
dD/di = dθ/di - 1 = cos i / cos θ - 1 = (cos i - cos θ) / cos θ
Soit:
θ +i
 θ −i 
sin 
. sin 


 2 
 2 
dD = −2
di
cos θ
(18)
L’angle de déviation D est extrémale lorsque la dérivée dD/di est nulle.
Cette condition est satisfaite lorsque: θ = i ou bien θ = - i ou bien les deux à la
fois.
Si θ = i et θ = - i à la fois, on aura donc θ = i = 0. Ce qui veut dire que la
lumière arrive sur le réseau sous une incidente normale et elle n’est pas
diffractée par les fentes du réseau. On obtiendra donc une image "blanche" de la
fente source sur le plan focal image de la lentille L2 (voir figure 5-5)
Si θ = i, le rayon lumineux diffracté sera donc un prolongement du rayon
lumineux incident (rayon direct). La différence de marche δ ainsi que le
déphasage φ entre deux rayons consécutifs seront nuls. Conformément à la
38
courbe Iθ(φ) de la figure 5-4, nous allons donc obtenir un maximum d’intensité
lumineuse Iθo = Io N2 dans une image "blanche" de la fente source sur l’écran
d’observation. La position de cette image est justement repérée par l’angle de
diffraction θ (voir par exemple la figure 5-2).
Si θ = - i, l’angle de déviation D est extrémale et on peut facilement vérifier
qu’elle est minimale.
Pour calculer la valeur Dm de D qui correspond à un minimum de déviation,
partons de la relation (7). On a donc:
 θ −i 
θ +i 
a (sin θ − sin i) = k λ = 2 a sin 
 . cos  2 
2




Or, on sait que: D = θ – i et, pour θ = – i, on a: D = Dm. Ainsi :
sin (Dm/2) = kλ / 2a
où k est l’ordre du spectre
(19)
On voit que ce résultat ne dépend pas de l’angle d’incidence i qui doit
d’ailleurs être très bien réglé de façon que l’on soit justement dans la condition
du minimum de déviation. Si l’on connaît le pas a du réseau, en mesurant Dm
pour une valeur de k donnée, on peut alors déterminer la longueur d’onde λ de
manière "absolue". Cette méthode manque cependant de précision et elle n’est
plus utilisée de nos jours.
Notons que si l’on mesure les angles de déviation minimale Dm et D'm pour
deux radiations monochromatiques différentes λ et λ’ avec un même réseau
optique, on aura alors d’après la relation (19) :
D'
sin  m 
 2 
λ' = k
λ
k'
D
sin  m 
 2 
on peut ainsi comparer deux longueurs d’onde λ et λ’.
39
(20)
Réseau
i
i
θ
D
Figure 5-6
Calcul de l‘angle de déviation D pour un réseau de transmission
IV-3- Etalement normal du spectre :
Partons toujours de la relation (7) qui donne les directions des maxima
d’intensité lumineuse sur l’écran d’observation: a (sin θ - sin i) = kλ, et
cherchons maintenant comment varie l’angle de diffraction θ en fonction de la
longueur d’onde λ pour un angle d’incidence i donné :
a cos θ dθ = k dλ
soit
dθ / dλ = k / (a cos θ)
Pour cos θ = 1 (c-à-d θ = 0), on a:
dθ / dλ = k / a = Cte
ce qui correspond à un étalement normal du spectre autour de la longueur
d’onde λ considérée. Les conditions d’utilisation du réseau sont celles de la
figure 5-6.
réseau
Figure 11
Etalement normal du spectre
40
V- Conclusion :
Les réseaux optiques sont des éléments constitutifs de nombreux appareils
spectroscopiques optiques tels que les spectromètres, les spectrophotomètres et
les monochromateurs. Nous avons, dans la présente leçon, considéré des réseaux
optiques par transmission, mais il existe aussi des réseaux optiques qui
fonctionnent par réflexion. Ceux ci remplacent avantageusement les prismes en
verre, en particulier dans le domaine de l’infrarouge où ces derniers présentent
une absorption optique très importante.
C’est en utilisant des mesures spectrométriques avec des réseaux optiques
sous incidence rasante que l’on a pu obtenir les premières déterminations
précises des longueurs d’onde des rayons X. Ces derniers, très utilisés dans
l’étude de la diffraction par des cristaux, ont permis de relier les dimensions de
la maille des cristaux à la longueur d’onde λ utilisée.
41
Chapitre 6
I- Introduction :
Si on dispose d'un spectre formé de N intervalles élémentaires et on veut
mesurer le flux correspondant à ce grand nombre d'éléments spectraux différents
à l'aide d'un seul récepteur, on est conduit à envisager une technique
s'apparentant à celle bien connue dans le domaine des télécommunications et
permettant de disposer de nombreux "canaux d'informations" sur une seule
ligne.
Pour distinguer les différents éléments spectraux, il suffit de leur appliquer,
avant qu'ils ne tombent sur le récepteur, des modulations sinusoïdales de
fréquences différentes. A la sortie du récepteur, le signal complexe obtenu est
formé par la superposition de N signaux sinusoïdaux, ayant chacun une
amplitude proportionnelle au flux lumineux transporté par l'élément spectral
correspondant.
Pour obtenir le spectre, c'est-à-dire pour connaître la grandeur du flux
associé à chacun de ces éléments spectraux, il suffit de faire subir au signal issu
du récepteur une analyse harmonique dite analyse de Fourier; ce qui justifie le
nom de spectrométrie par transformation de Fourier donné à cette méthode.
Cette dernière repose entièrement sur l'interférométrie pour moduler à une
fréquence différente chacun des éléments spectraux à étudier. Pour ceci on
utilise le plus souvent un interféromètre de Michelson. Aussi convient-il avant
d'aller plus loin de faire un petit rappel sur cet instrument optique très utilisé
pour faire de l'interférométrie.
II- Interféromètre de Michelson:
C'est un interféromètre à deux faisceaux séparés. Il se composé
essentiellement de (figure 6-1) :
• 2 miroirs plans M1 et M2 situés dans deux plans perpendiculaires.
• 2 lames de verre plan parallèles identiques S (la Séparatrice) et C (la
Compensatrice) inclinées à 45ْ par rapport aux plans des miroirs.
42
La face ab de la séparatrice S est semi réfléchissante. Grâce à la
compensatrice C, les faisceaux (1) et (2) effectuent chacun 4 traversées de
lames, et la symétrie des chemins optiques est conservée. Cependant la réflexion
en O se fait dans le sens air → verre pour le rayon (1) et dans le sens verre → air
pour le rayon (2); ce qui introduit une différence de marche supplémentaire λ/2
entre les deux rayons.
Selon que les miroirs sont ou non exactement perpendiculaires, on obtient
des systèmes d'interférences différents. Nous ne traiterons ici que le cas des
miroirs exactement perpendiculaires, c'est-à-dire le cas du système
d'interférences en anneaux d'égale inclinaison.
Soit M'1 le miroir symétrique de M1 par rapport au plan ab. Si M1 et M2
coïncident, les rayons (1) et (2) présentent alors une différence de marche quelle
que soit l'orientation du rayon incident S1O. On dit qu'il y a contact optique entre
les deux miroirs et il n'y aura donc pas de figures d'interférences.
Si M'1 et M2 sont parallèles sans coïncider, la différence de marche entre
les rayons (1) et (2) est, au terme λ/2 près, celle que créerait la réflexion sur une
lame d'air à faces parallèles comprises entre les plans M'1 et M2 (figure 6-2).
L'interféromètre étant éclairé par un faisceau de lumière convergente, les
d'interférences sont pour des raisons de symétries évidentes des anneaux. De
plus, les rayons émergents (1) et (2) étant parallèles, ces anneaux sont localisés à
l'infini et on les observe dans le plan focal d'une lentille. La différence de
marche entre les rayons (1) et (2) est :
δ = 2 e cos i + λ/2
Au centre de la figure d'interférences, la différence de marche est:
δ0 = 2 e + λ/2 = p λ
Pour une épaisseur quelconque e, p n'est entier, ni demi-entier et le centre
des anneaux n'est ni clair ni sombre.
43
Figure 6-1
Figure 6-2
Différence de marche entre les rayons (1) et (2)
La différence de marche géométrique δg est telle que : δg = (IJ + JK) – IH = 2 e cos i
La différence de marche physique δp est telle que : δp = δg + λ/2 = 2 e cos i + λ/2
Au centre, on a: i = 0 ⇒ (δp)0 = 2 e + λ/2
Il est facile de monter que cet interféromètre, de la même façon qu'un
réseau, réalise une séparation dans l'espace des différentes radiations qui
l'éclairent et joue donc le rôle de disperseur.
44
III- Principe de la spectroscopie par transformation de Fourier :
Supposons d'abord que l'appareil est éclairé par en lumière
monochromatique. En tout point M du champ d'interférences, la différence de
marche qui existe entre les deux faisceaux qui interfèrent (dans le cas des
interférences à deux ondes) est bien déterminée. Cette condition est en effet
nécessaire pour assurer une visibilité correcte du système de franges. Au point
M considéré, l'ordre d'interférences p varie donc seulement avec le nombre
d'onde σ de la radiation incidente puisque p = σ δ (avec σ = λ-1). Toute variation
dσ de σ se traduit en M par une variation dp de l'ordre d'interférences p telle que
dp/p = dσ/σ et par un déplacement dx des franges. Ce déplacement est tel que
dx = i dp = i p dσ/σ puisque entre deux franges brillantes consécutives, séparées
par l'interfrange i, l'ordre p diffère d'une unité.
Si, maintenant, l'interféromètre est éclairé simultanément par deux
radiations de nombres d'ondes voisins σ et σ + dσ, ils forment deux systèmes de
franges décalés l'un par rapport à l'autre de la quantité dx précédente. La
séparation des radiations de nombres d'ondes σ et σ + dσ se ramène donc à la
séparation des franges d'interférences correspondantes. Il est ainsi possible de
calculer la résolvance théorique qu'un interféromètre, utilisé comme appareil
dispersif, est susceptible de fournir.
Si on admettra que deux franges d'interférences voisines sont séparées si la
distance de leurs centres est au moins égale à leur largeur à mi-hauteur. De point
de vue largeur, les franges d'interférences peuvent être caractérisées par le
coefficient de finesse F, défini par le rapport de l'interfrange à la largeur à mihauteur d'une frange. Ainsi, il est facile de montrer que la résolvance théorique
de l'instrument est donnée par l'expression :
R0 = σ/dσ = p F
Aucun facteur ne limitant, à priori, l'ordre d'interférences p que l'on peut
utiliser; donc la résolvance théorique R0 d'un spectromètre interférentiel est en
principe illimitée.
En un point du champ d'interférences correspondant à la différence de
marche δ se superposent les franges brillantes dues à toutes les radiations dont
les nombres d'ondes sont données par la relation σ = k / δ dans laquelle k peut
prendre toutes les valeurs entières positives. Cette suite de valeurs de σ forme
une progression arithmétique dont la raison définie par ∆σ 0 = 1/δ est l'intervalle
spectral libre qui représente l'étendue du domaine spectral que l'instrument peut
recevoir sans qu'il y ait superposition des spectres d'ordres différents. Puisque
∆σ 0 = 1/δ = σ / p et ∆σ = σ / R0, il vient :
45
∆σ 0 / ∆σ = R0 / p = F
Ce rapport est donc égal au coefficient de finesse des franges, alors que
dans le cas des réseaux, il est égal au nombre total de traits.
Il est souhaitable que le rapport ∆σ 0 / ∆σ, qui représente le nombre
d'éléments spectraux qu'un appareil dispersif peut étudier simultanément sans
superposition d'ordres, soit le plus élevé possible. Même si le coefficient de
finesse F ne dépasse jamais quelques dizaines, on peut utiliser un appareil
interférentiel pour analyser des spectres étendus sans sacrifier les avantages
primordiaux de ce type de disperseur : une résolvance illimitée est une
luminosité bien supérieure à celle des spectromètres à réseaux.
Supposons maintenant que l'interféromètre est éclairé par un rayonnement
complexe et appelons Фσ(σ) le flux monochromatique incident qui correspond
au nombre d'ondes σ. Le flux élémentaire transporté par l'élément spectral dσ est
Фσdσ et le flux émergent total s'écrit :
∞
Φ1 (δ) = 1 / 2 ∫ Φ σ (σ) [1 + cos (2 π σ δ)] dσ
0
Sa partie variable :
∞
Φ (δ) = 1 / 2 ∫ Φ σ (σ) cos (2 π σ δ)] dσ
(1)
0
n'est autre, au coefficient 1/2 près, que la Transformée de Fourier en cosinus de
la fonction Фσ (σ), elle-même proportionnelle à la fonction source Lσ (σ) qui
représente les variations, en fonction du nombre d'onde, de la luminance
monochromatique de la source étudiée. On peut donc énoncer le résultat
fondamental suivant :
Si l'on fait varier la différence de marche δ introduite par un interféromètre
à deux ondes éclairé par un rayonnement complexe et que l'on enregistre la
partie variable du signal issu d'un récepteur recevant le flux transmis par
l'instrument, on obtient une fonction de δ, appelée interférogramme. Celle-ci est
égale, à un coefficient près, à la Transformée de Fourier en cosinus de la
fonction Lσ (σ) qui représente les variations, en fonction du nombre d'ondes σ,
de la luminance monochromatique de la source éclairant l'appareil.
La transformation de Fourier étant une opération réciproque, le problème de
l'analyse du rayonnement incident est donc, en principe, résolu. Il suffit de
calculer la transformée de Fourier de l'interférogramme pour obtenir la fonction
source Lσ (σ). La fonction enregistrée (1) s'identifiant, à un coefficient près, à la
46
fonction (2) ci-dessous que nous désignons dorénavant sous le nom
d'interférogramme :
∞
L (δ) = ∫ L σ (σ) cos (2 π σ δ)] dσ
(2)
0
L (δ) est évidement une fonction paire, tandis que Lσ (σ) n'est définie que
pour les nombres d'ondes positifs; les valeurs négatives de σ n'ayant pas de
signification physique. La formule d'inversion de l'intégrale de Fourier (2)
s'écrit, pour les valeurs positives de σ :
+∞
+∞
−∞
0
L σ (σ) = 2 ∫ L (δ) cos (2 π σ δ)] dδ = 4 ∫ L (δ) cos (2 π σ δ)] dδ
(3)
Comme prévu, le spectre s'obtient donc par le calcul de la transformée de
Fourier de l'interférogramme. Malheureusement cette opération est souvent
extrêmement laborieuse. La forme de l'intefrérogramme dépend de celle de la
fonction source Lσ (σ).
Dans le cas idéal d'une radiation incidente strictement monochromatique, la
fonction L(δ) est sinusoïdale. Lorsque le rayonnement incident est contenu dans
une bande spectrale étroite ∆σ, on a pour interférogramme une pseudo-sinusoїde
amortie, dont l'amplitude décroît d'autant plus vite avec δ que ∆σ est plus grand.
Quand le spectre du rayonnement incident est étendu, les sinusoïdes
correspondantes aux différentes vibrations monochromatiques qui le composent
sont déphasées de manière quelconque les unes par rapport aux autres, sauf au
voisinage de δ = 0, position pour laquelle elles sont toutes en phase.
L'interférogramme paraît alors se réduire à quelques franges au voisinage de
l'abscisse δ = 0.
Dans ce qui suit, nous donnons quelques exemples d'interférogrammes qui
mettent en évidence l'influence de la largeur spectrale du rayonnement incident
(figure 6-3):
a. Radiation de longueur d'onde λ = 5461 Å émise par une lampe à
mercure à basse fréquences.
b. Bande spectrale de largeur ∆λ ≈ 1000 Å vers λ = 10 000 Å.
c. Rayonnement émis par une lampe à incandescence, le récepteur étant
une cellule au sulfure de plomb.
47
Figure 6-3
L'expression (3) montre que, pour calculer Lσ (σ), il faudrait connaître la
fonction L (δ) pour toutes les valeurs de la différence de marche entre 0 et ∞.
Matériellement, on ne peut évidemment faire varier δ que jusqu'à une valeur
maximale δM. Ce qui signifie, en d'autre terme, qu'au lieu de la fonction L (δ), on
ne connaît que son produit par la fonction rectangulaire rect (δ/2 δM) de largeur 2
δM et de hauteur unité. Lorsque l'on effectue le calcul du spectre, c'est donc la
transformée de Fourier F (σ) de ce produit que l'on obtient, et non celle de L (δ).
Or, on sait que la transformée de Fourier du produit de deux fonctions est égal
au produit de convolution de leurs transformées. Au lieu de la fonction source
Lσ (σ) cherchée, on obtient donc :
F (σ) = Lσ (σ) * A 0 (σ)
(4)
Où A0 (σ) désigne la transformée de Fourier de la fonction rectangulaire rect
(δ/2 δM). La relation (4) montre que A0 (σ) joue le rôle de fonction d'appareil
pour le spectromètre par transformation de Fourier. Son expression, bien
connue, est, à un coefficient près :
A0 (σ) = sin (2 π σ δM ) / (2 π σ δM )
La résolvance théorique correspondante serait égale à :
R0 = 2 σ δM
Le spectre s'obtient, à partir de l'interférogramme, par une transformation
de Fourier, d'après la relation (3). Dans la réalité, l'interférogramme L (σ) étant
48
d'abord multiplié par la fonction apodisante H (σ), on a donc pour obtenir le
spectre à calculer l'intégrale :
F (σ) =
+∞
∫ L (δ) H (δ) cos (2 π σ δ)] dδ
(5)
0
Cette intégrale doit nécessairement être remplacée par une somme portant
sur un nombre discret de valeurs relevées sur l'interférogramme. On relève donc
sur l'interférogramme les valeurs L0, L1, …, Ln correspondantes à des abscisses
équidistantes 0, h, …, nh (avec nh = δM) et on calcule la somme :
F' (σ) = h (1/2 H0 L0 + H1 L1 + …+ Hn Ln)
Où H0, H1, …, Hn sont les valeurs prises par la fonction apodisante H (σ) pour
les valeurs correspondantes de δ. Lorsqu'on remplace l'intégrale (5) par la
somme F' (δ) précédente, on peut dire que l'on multiplie l'inteférogramme par la
somme d'une infinité de distributions de Dirac d'abscisses équidistantes δ = k h,
formant ce que l'on appelle quelques fois une distribution en peigne de Dirac :
+∞
ρ (δ) =
∑ δ (δ – k )
−∞
Le produit de convolution de la fonction d'appareil A (σ) par cette
distribution se traduit par la répétition de A (σ) avec la période 1/h.
Le fait de remplacer alors l'intégrale de Fourier (5) par une somme discrète
portante sur des valeurs de L (δ) équidistantes de H, a pour conséquence que la
fonction d'appareil, au lieu de présenter un maximum isolé, est formée d'une
infinité de pics distants de 1/h.
L'interférogramme s'étend entre 0 et δM, et l'intervalle spectral résolu ∆σ est
égale à :
∆σ = 1 / δM
Le nombre minimal de points à relever sur l'interférogramme est δM / h. Ce
nombre varie entre 2 (σ2 - σ1) ∆σ et 4 (σ2 - σ1) / ∆σ, c'est-à-dire entre 2N et 4N,
où N désigne le nombre d'éléments spectraux résolus contenus dans la portion
du spectre étudié qui s'étend entre des nombres d'ondes σ1 et σ2 .
IV- Conclusion :
Les résultats obtenus lors de l’analyse des spectres de certaines planètes à
l’aide de cette spectroscopie par transformation de Fourier, à savoir la présence
49
absolument imprévue, d’acide chlorhydrique et d’acide fluorhydrique dans
l’atmosphère de Vénus, confirment pleinement l’intérêt de la méthode qui
différent notablement de toutes les autres, cependant, il reste beaucoup de travail
à accomplir pour tirer pleinement parti de ses possibilités.
50
Notre étude de la spectrométrie optique nous laisse distinguer, en général,
deux types de systèmes dispersifs : classiques d’une part et modernes d’autre
part. les premiers où figurent les spectromètres à prisme ou à réseau qui se
basent soit sur le phénomène de réfraction soit sur les phénomènes de réflexion
et de diffraction, et les seconds qui reposent sur le phénomène des interférences
et qui ont permet de mettre au point les spectromètres interférentiels. Malgré
cette variété, le but de la spectrométrie demeure le même : analyser le spectre
d’un échantillon afin d’enlever la voile sur sa face cachée tout en en cherchant
les conditions optimales d’emploi de notre système.
Une étude rigoureuse des propriétés de ces systèmes a permet de mettre en
œuvre des dispositifs de plus en plus compliqués aux performances parfois
surprenants. Ainsi la spectroscopie dans le sens très large du mot a connu une
évolution très rapide dans les années dernières à tel point qu’elle trouve souvent
des
applications
dénombrables
dans
de
nombreux
domaines
de
la
science :physique fondamentale, astrophysique, métrologie, microélectronique
et bien d’autres.
Grosso modo, on peut dire que c’est grâce à la spectrométrie que notre
connaissance du monde physique a été développée, même tout ce que nous
savons sur l’Univers, nous le devons à cette branche de physique qui a pu
analyser la lumière qui nous parvient des profondeurs de l’espace et qui à partir
de certaines sources, met des milliards d’années à nous atteindre.
51
Bibliographie
(1)
P.Pousquet.
« Spectroscopie instrumentale »
(2)
P. et J. Provost.
« Optique-vol.2 optique ondulatoire et cohérence »
(3)
José-Philippe PEREZ.
« OPTIQUE -Fondements et applications- »
(4) Encyclopédie « Universalis »
52