Etude de la statistique spatio-temporelle des

École Normale Supérieure de Lyon
Master de Physique Théorique
Baudouin GÉRAUD
Rapport de stage
Etude des fluctuations spatio-temporelles des cristaux liquides.
sous la direction de
SERGIO CILIBERTO
Résumé
L'étude des uctuations thermiques dans les cristaux liquides nématiques dans le cadre de la transition de Fredericksz
électrique est intéressante car il s'agit d'un système dont on peut facilement observer les uctuations et contrôler la
quantité de travail injectée. Ce stage a consisté en la mise en place d'une expérience permettant de caractériser les
uctuations spatiales et temporelles d'une cellule de cristaux liquides tout en contrôlant la quantité de travail fournie au
système. Cette expérience utilise les propriétés de biréfringence des cristaux liquides. Les propriétés des uctuations
sont caractérisées par l'estimation de leurs spectres ( temporels et dans l'espace ), l'estimation de la longueur de
corrélation et de l'entropie spectrale en divers points de la transition. Une méthode de détermination de la longueur
de corrélation du système par les propriétés des distribution de probabilité des images est également proposée.
5 Avril - 30 Juillet 2010
Table des matières
Introduction
0.1
0.2
0.3
Motivations et objectifs du stage . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Présentation du système, notations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Intérêts et objectifs du stage . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1 Approche expérimentale
1.1
1.2
1.3
1.4
principe de l'approche optique .
Réalisation expérimentale . . .
Intensité moyenne . . . . . . .
Visualisation des uctuations .
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Dicultés de l'analyse spectrale . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Méthode utilisée . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.2.1 Description de la méthode . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.2.2 Justication théorique . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Spectres des uctuations dans l'espace . . . . . . . . . . . . . .
Longueur de corrélation des uctuations spatiales . . . . . . . .
Estimation de l'entropie spectrale . . . . . . . . . . . . . . . . .
Inuence de la fréquence d'acquisition sur l'estimation spectrale
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de coupure
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2 Analyse spectrale des images. Corrélations spatiales.
2.1
2.2
2.3
2.4
2.5
2.6
3 Etude des corrélations temporelles
3.1
3.2
Spectres temporels des uctuations . . .
3.1.1 Obtention des spectres . . . . . .
3.1.2 Analyse des spectres. . . . . . . .
Inuence du paramètre de contrôle ε sur
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la fréquence
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2
2
2
3
4
4
5
6
7
9
9
9
9
10
11
12
13
14
15
15
15
15
16
4 Analyse probabiliste des uctuations d'intensité et Longueur de Corrélation
17
Conclusion et Perspectives
21
A Présentation du montage préliminaire : Observation à l'aide d'un microscope
22
B Paramètres α et β
24
C Approche stationnaire de la transition de Frederickz
25
Bibliographie
28
4.1
4.2
Principe et méthode utilisée . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Forme des fonctions de densité de probabilité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1
17
18
Introduction
0.1 Motivations et objectifs du stage
Considérons un système à l'équilibre (un uide par exemple) que l'on soumet à une force extérieure. D'après le
second principe de la thermodynamique, le travail reçu par le système et son taux de production d'entropie doivent
être positifs. Cependant, pour les systèmes de petites dimensions pour lesquels les uctuations thermiques sont importantes, on peut se demander si les uctuations peuvent conduire à des gains de travail négatifs sur de courtes durées
[16]. Ceci correspondrait à des taux de production d'entropie négatifs qui représenteraient des "violations instantannées du second principe". Beaucoup de questions entourent ces phénomènes :
Dans quelles conditions peut-on les observer ?
À quel état du système correspondent ces uctuations ?
Quelles informations peuvent-elle apporter sur le système ?
Si le Théorème de Fluctuation 1 apporte des éléments de réponse à la première question, il n'en est rien pour les deux
autres et la question reste très ouverte.
En particulier,on peut se demander si à ces violations instantannées du second principe correspondraient des structures ou une organisation particulière du système, que l'on pourrait caractériser par certaines observables telles une
longueur de corrélation ou bien l'entropie spectrale. A notre connaissance, aucune étude expérimentale n'a été menée
sur cette question. Pourtant, l'intérêt qu'elle suscite est très grand, car elle aiderait à la compréhension de nombreux
systèmes biologiques, pour lesquels les uctuations thermiques jouent un rôle très important.
Le but de ce stage était donc de réaliser une expérience qui permette de détecter et de caractériser de telles
uctations lorsqu'elles surviendraient tout en contrôlant précisément le travail fourni au système. Il s'agissait donc
d'un travail préliminaire à une étude plus vaste, qui consistait d'abord en la mise au point de l'expérience et en la
compréhension et à l'analyse des données obtenues. Nous avons procédé à beaucoup de tâtonnements, ce qui explique
le manque de reproductibilité de certains résultats, ou leur faible précision. Nous avons travaillé sur des cellules de
cristaux liquides, car on peut contrôler de façon assez précise le travail qu'on leur fournit lorqu'on les soumet à la
transition de Fredericksz électrique.
0.2 Présentation du système, notations
Description du système
Dans ce stage, les cristaux liquides utilisés étaient du 5CB 2 .Le système dans lequel nous avons étudié les cristaux
liquides est représenté gure 1(a) ; il est constitué de deux lames de verre parallèles entre lesquelles les cristaux liquides
sont connés en phase nématique. Dans ce stage, les épaisseurs des cellules utilisées étaient de 8 et 16 microns et leurs
dimensions étaient de 2, 5.10−5 m2 (5mm × 5mm). Un traîtement de surface utilisant des polymères permet de xer
une couche de molécules sur chaque paroi selon une direction déterminée ( Cette direction est la même sur chaque
paroi ). Nous avons travaillé à une température T d'environ 25◦ C inférieure à la température de transition de phase
nématique-isotrope. L'orientation des molécules est représentée par un vecteur unitaire ~n qui leur est tangent. Enn,
les parois de la cellule sont recouvertes d'ITO 3 sur les lames de verre constituant la cellule. Ces électrodes sont reliées
à un générateur basse fréquence (GBF) qui permet de provoquer le transition de Fredericksz électrique.
Notations
Nous noterons e~x le vecteur unitaire parallèle à l'orientation des molécules le long des lames de verre, et e~z le
vecteur unitaire orthogonal aux deux lames de verre. le vecteur e~y est choisi tel que la base (e~x , e~y , e~z ) soit orthonormée.
L'origine O du repère est choisi sur l'une des plaques, de sorte que le plan (O, e~x , e~y ) soit confondu avec la surface de la
première lame de verre. L'épaisseur de la cellule sera notée L. . Les notations utilisées pour caractériser les orientations
des directeurs sont présentées gure 1(b).
1. Ce théorème donne une relation entre les probabilités d'observation des taux de production d'entropie négatifs et positifs
2. Le 5CB est le 4-pentyl-4-biphénylcarbonitrile.
3. ITO signie oxyde d'indium-étain. C'est un alliage conducteur et transparent de formule chimique InSn2 O3 [6].
2
(a)
(b)
Figure 1 (a) Système utilisé lors du stage : le cristal liquide conné entre les deux lames de verre est dans la phase nématique : les
molécules ont la même orientation, mais leurs positions sont aléatoires. Les lignes de pointillés délimitent les couches ancrées à la lame de
verre.
(b) Conventions utilisées dans ce rapport. θ représente l'angle entre ~n et le plan (O, e~x , e~y ) tandis que φ représente l'angle entre la
projection de ~n sur le plan (e~x , e~y ) et le vecteur e~x . Les coordonnées de ~n dans la base (e~x , e~y , e~z ) s'écrivent donc sous la forme de
nx = cos θ. cos φ , ny = cos θ. sin φ , nz = sinθ où la dépendance de ~
n, θ et φ en ~
r, le vecteur position, est implicite.
Brève description de la transition de Frédéricksz
L'étude de cette transition se trouve présentée de manière très complète dans les références [1, 2, 3, 7, 6], mais
nous en rappelons juste les points principaux. Une présentation plus détaillée de la transition de Fredericksz électrique
vous est présentée en annexe (C).
Les cristaux liquides sont des matériaux diélectriques qui se polarisent sous l'eet d'un champ électrique. Il y a
alors compétition entre une énergie de type élastique et une énergie de type électrique. Lorsque V est supérieure
à une tension critique Vc , le champ d'orientation des directeurs bascule, comme illustré sur la gure (2). Le prol
d'orientation θ(z) peut alors être décrit par l'approximation sinusoïdale (équation 1)
θ = θm sin(
.
πz
)
L
(1)
1.5
θm
1
0.5
0
(a)
0
0.5
1
1.5
2
V/Vc
2.5
3
3.5
(b)
~ jusqu'à
Figure 2 (a) Représentation de la transition de Frederickz. Les directeurs s'inclinent progressivement sous l'eet du champ E
une inclinaison maximale θm en z = L
2
(b) Estimation numérique du graphe de bifurcation de la transition de θm en fonction de VVc . Ce graphe a été réalisé à l'aide des résultats
exposés dans la référence [7]
On dénit alors le paramètre de contrôle[6, 7] qui doit être nul à la transition par : ε =
³
V
Vc
´2
− 1.
0.3 Intérêts et objectifs du stage
L'intérêt de la transition de Frederickz est que l'on peut très facilement contrôler le travail que l'on fournit au
système par l'intermédiaire du GBF. D'autre part, les propriétés optiques des cristaux liquides permettent d'étudier
les uctuations thermiques d'orientation des directeurs. Dans tout le rapport, les uctuations dont il sera question sont
des uctuations d'origine thermique. On décrira ces uctuations comme la somme d'un prol stationnaire (marqué
d'un 0 en indice) et d'une uctuation : θ(~r) = θ0 (z) + δθ(~r)
L'objectif de ce stage était de mettre au point une expérience qui permette d'étudier les uctuations d'orientation
des directeurs tout en contrôlant le travail fourni au système, nous avons étudié les propriétés de ces uctuations en
divers points de la transition, en essayant de les caractériser par diverses grandeurs.
3
Chapitre 1
Approche expérimentale
1.1 principe de l'approche optique
Une propriété célèbre de la phase nématique (non distordue) est qu'elle est biréfringente et uniaxe [2, 1]. Ceci
explique la très grande utilisation des cristaux liquides dans le domaine de l'optique, que ce soit à la maison (écrans)
ou au laboratoire. Dans la cellule décrite précédemment, l'axe extraordinaire est selon la direction e~x . Les indices
optiques relatifs à l'axe extraordinaire et aux axes ordinaires seront notés respectivement ne et no . Lorsqu'un rayon
lumineux de longueur d'onde λ traverse la cellule, il est décomposé en deux polarisations rectilignes selon les axes
neutres de la lame. Ces deux polarisations sont déphasées et le déphasage ϕ qui dépend de l'orientation des directeurs
vaut en sortie de la lame :
2π
ϕ=
λ
Z
L
nef f [θ(z)] − no dz
0
avec
ne no
nef f [θ(z)] = q
n2o cos2 θ(z) + n2e sin2 θ(z)
(1.1)
La formule (1.1) montre que le déphasage dépend de l'orientation θ des directeurs. Sans uctuations, Nous avons
vu que l'on peut décrire le prol d'orientation des directeurs par un prol stationnaire θ0 (z). On associe à ce prol
un déphasage ϕ0 . Lorsqu'il y a des uctuations, le prol de θ uctue : θ = θ0 + δθ. Le déphasage entre les rayons
ordinaires et extraordinaires traversant la lame vaut alors : ϕ = ϕ0 + δϕ. Mesurer le déphasage entre ces deux
polarisations permettrait donc de remonter aux uctuations d'orientation des directeurs. Ceci est possible en plaçant
un polariseur P et un analyseur A avant et après la cellule et faisant respectivement des angles αP et αA avec l'axe
extraordinaire ~ex , comme indiqué en gure (1.1-a) tandis que la gure (1.1-b) illustre le principe des mesures.
(a)
(b)
Figure 1.1 (a) Conventions utilisées pour les angles des polariseurs. Le polariseur et l'analyseur sont orientés parallèlement aux
vecteurs unitaires ~uP et ~uA qui font des angles αP et αA avec l'axe extraordinaire ~ex de la cellule.
(b) Principe de l'approche optique. Un GBF délivrant une tension ecace V permet de contrôler précisément à quel point on place le système
dans la transition de Frederickz et inue sur la partie stationnaire du déphasage total de la cellule ϕ = ϕ0 + δϕ. Un faisceau lumineux
incident, représenté par un champ électromagnétique transverse élecrique et transverse magnétique (pour une meilleure compréhension) de
~i , B
~i ) est envoyé sur le polariseur P. L'analyseur sert à recomposer les polarisations. L'intensité lumineuse transmise
vecteur d'onde k~i , (E
~t ) dépend de ϕ selon la formule (1.2).
du champ (E~t , B
On envoie un faisceau de lumière parallèle polarisée rectilignement faisant un angle αP avec l'axe extraordinaire de
la cellule. Ce faisceau est décomposé en deux faisceaux polarisés selon les lignes neutres de la cellule. En sortie de cellule
ces deux polarisations sont déphasées de ϕ. Le GBF délivre une tension ecace V et permet de contrôler la valeur
stationnaire du déphasage ϕ0 . L'analyseur A permet sommer ces polarisations. On peut alors exprimer l'intensité
lumineuse transmise I en fonction de l'intensité l'umineuse incidente après le polariseur P notée I0 et du déphasage
ϕ1 :
ϕ
(1.2)
I = I0 [cos2 (αP − αA ) − sin(2αP ) sin(2αA ) sin2 ( )]
2
1. On remarque que l'on retrouve la loi de Malus dans l'équation (1.2) lorsque ϕ est nul.
4
Une caméra est ensuite placée sur l'axe optique. Elle permet d'enregistrer les variations d'intensités lumineuse dûes
aux uctuations en diérents points de la cellule dans les directions ~ex et ~ey . On peut donc faire une cartographie
des uctuations dans le plan (x,y) de la cellule. Comme la caméra moyenne l'intensité lumineuse sur une durée
caractéristique Td , en notant h.iTd la moyenne temporelle sur Td , et t l'instant où cette moyenne est réalisée, on
enregistre avec la caméra l'intensité lumineuse :
ϕ
iT (x, y, t)]
(1.3)
2 d
L'équation (1.3) donne la relation entre l'intensité enregistrée et le déphasage. En réalité, il faut aussi tenir compte
d'une intensité résiduelle on nulle lorsque ϕ = ±2π , et d'un facteur d'atténuation du contraste dû aux pertes d'intensité
à travers les éléments de l'optique. Dans les expériences réalisées, nous avons choisi deux congurations αP = ±45◦
et αA = 45◦ , de façon à ce que l'intensité transmise dépende le plus possible du déphasage. L'équation (1.3) est
intéressante parce qu'elle montre que si on intègre l'intensité lumineuse sur un temps Td susament faible, on doit
pouvoir remonter aux uctuations de la phase ϕ = ϕ0 + δϕ. C'est ce que nous avons fait en enregistrant les variations
d'intensité avec une caméra qui pouvait acquérir des images jusqu'à une fréquence de 260 Hz.
I(x, y, t) = I0 (x, y)[cos2 (αP − αA ) − sin(2αP ) sin(2αA ) hsin2
Montage préliminaire
Nous avons d'abord voulu réaliser un montage en utilisant des montages analogues à ceux présentés aux références
[8, 9] , pour traiter les images obtenues d'une manière analogue à celle présentée en [10]. Un montage préléminaire a
donc été réalisé avec un microscope et est présenté en annexe (A). Cependant, les images obtenues avec le microscope
présentaient un très faible contraste et les ( grandes ) dicultés liées à l'interprétation des spectres nous ont incité
à choisir un autre montage 2 , où le faisceau de lumière incidente est bien parallèle . Nous avons donc préféré réaliser
l'expérience avec un laser, comme ceci est décrit dans la section suivante.
1.2 Réalisation expérimentale
(a)
(b)
Figure 1.2 Montages réalisés. Dans chaque montage on trouve un polariseur en sortie du laser an de régler l'intensité lumineuse
incidente, la cellule et la lunette inversée qui permet d'agrandir les images.
(a) Dans ce montage, nous avons utilisé une autre "lunette inversée" composée des focales f10 et f20 avec f10 < f20 pour élargir le faisceau
gaussien incident de façon à ce que le prol d'intensité incident soit plat sur la région de la cellule dont on fait l'image. Malheureusement,
les images étaient toujours aussi médiocres à cause des franges produites par les polariseurs.
(b) Montage nal que nous avons utilisé. Nous avons utilisé des cristaux de calcite (biréfringents) que nous avons tourné de façon à ce que
la polarisation du rayon ordinaire αP soit celle désirée, et nous avons stoppé le rayon extraordinaire avec un diaphragme.
Montage optique
Nous avons utilisé comme source un laser de longueur d'onde λ = 632 nm et de 30 mW de puissance. Il permet
d'obtenir des images avec un contraste susant qui se prêtent bien à l'analyse d'images. Cependant, la grande cohérence
du laser peut être aussi un inconvénient, à cause des multiples franges d'interférence ou de diraction qu'elle génère. En
2. Nous n'avons compris que plus tard d'où venait la forme étrange des spectres. Ceci sera présenté au paragraphe 2.6.
5
eet, comme le laser est une source très cohérente, les polariseurs utilisés se comportaient comme des interféromètres
de Fabry-Pérot en produisant de nombreux systèmes de franges qui "polluaient" les images. Ils ont été remplacés par
des cristaux de calcite, biréfringents que nous orientons à 45◦ de l'axe de la cellule. Malgré tout, de nombreuses franges
subsistaient sur les images en se superposant aux immages des uctuations, mais les lms que nous avons obtenus
étaient tout de même exploitables. Nous avons également tenté de remplacer le laser par une diode électro-luminescente,
mais comme lors des expériences avec le microscope, nous n'avions pas assez de contraste sur les enregistrements.
La mise au point des images était eectuée sur un bord de la cellule. Pour qu'elle soit plus précise, la focale f1 a
été remplacée par un objectif de microscope monté sur platine.
Enn, une "lunette inversée" composée de deux lentilles convergentes de focales f1 et f2 avec f1 < f2 permet de
grossir l'image des uctuations d'un rapport G = ff12 . Les grossissements optiques utilisés variaient entre 10 et 40. Les
diérents montages réalisés sont présentés sur la gure 1.2.
Acquisition
Le GBF utilisé est un Agilent 33220 A. Un voltmètre Keithley 196 system DMM permet de mesurer précisément la
tension imposée entre les parois de la cellule. La caméra utilisée est du modèle Prosilica EC750. Elle enregistre les vidéos
au format .avi. Les images obtenues sont en noir et blanc et codées en 8-bits. Comme la caméra enregistre l'intensité
lumineuse sous forme de niveaux de gris, par soucis de commodité, nous considérerons que les intensités lumineuses
s'expriment sans unité dans la suite du rapport. Une carte d'acquisition branchée en dérivation du voltmètre est reliée
au même ordinateur que la caméra. Lorsqu'on déclenche l'enregistrement, la carte permet de mesurer la tension aux
bornes de la cellule à chaque instant où une image est enregistrée. Un exemple d'image enregistrée est présenté gure
(1.3) :
Image obtenue à un instant donné
Figure 1.3 Exemple d'image enregistrée.
Les dimensions de l'image sont de 256 × 256 pixels pour faciliter l'estimation spectrale. Le contraste étalé sur 134 niveaux de gris. On a
donc ici un peu plus de 7-bits de données. Nous verrons dans le paragraphe (1.4) une méthode pour visualiser les uctuations. Le paramètre
de contrôle du système vaut ici ε = 4, 85.10−2 et les dimensions réelles des images sont de 77.10−6 m × 77.10−6 m .
1.3 Intensité moyenne
Avant d'étudier les uctuations d'intensité que nous allons enregistrer avec la caméra, on peut se demander quelle
information apporte l'intensité moyenne des images, et en particulier si l'on peut observer la transition de Fredericks
lorsqu'on fait varier la tension. Pour celà, nous avons réalisés plusieurs enregistrements d'images à diérentes tensions
lorsque le système est en régime stationnaire. On moyenne alors pour chaque lm les intensités enregistrées sur chaque
image d'abord, puis sur l'ensemble des images, ce qui revient à moyenner l'équation (1.3) en temps et selon les directions
x et y. On obtient alors l'intensité moyenne des images de chaque lm en fonction de la tension imposée. Les résultats
obtenus sont présentés sur la gure (1.4a). Nous nous étions alors placé dans la conguration αP = αA = 45◦ .
On peut constater que l'on voit bien un eet sur l'intensité moyenne enregistrée car à partir d'une tension seuil,
elle se met à osciller en fonction de la tension. Ceci est une manifestation de la transition de Frederickz. Mais dans
une transition classique, on s'attend plutôt à observer une bifurcation de type "fourche", avec une croissance en loi de
puissance d'exposant 21 après le point critique. En réalité, la transition de Frederickz porte sur le déphasage ϕ entre
les deux polarisations émergentes ( ordinaire et extraordinaire) de la cellule. En eet, si on moyenne en temps et en
espace l'équation (1.3) dans la conguration choisie,en notant h.ix,y,t les moyennes selon les directions x,y et en temps,
on obtient comme relation 3 :
hI0 ix,y,t
(1 + cos ϕ0 )
hIix,y,t =
2
En soustrayant l'intensité résiduelle à l'intensité enregistrée, on peut alors obtenir les variations du déphasage du
système en régime stationnaire ϕ0 en fonction de la tension (en autorisant ϕ0 à prendre des valeurs supérieures à 2π ).
3. En réalité il y a aussi une contribution de la forme Ch|δθ|2 ix,y,t comme nous le verrons au paragraphe (2.2.2) mais elle est négligeable
et ne change rien au raisonnement
6
Détermination de la tension critique
2
120
1
Déphasage φ0 en radians
Intensité moyenne des films
en niveaux de gris
Intensité moyenne des films en fonction de la tension
140
100
80
60
0
−1
−2
40
φ0(V2)
−3
extrapolations linéaires
20
0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
Tension V en Volts
0.6
0.7
−4
0.8
0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
V2: Carré de latension appliquée aux bornes de la cellule ( en V2)
(a)
(b)
Figure 1.4 (a) Variation de l'intensité moyenne enregistrée sur les images en fonction de la tension imposée aux bornes de la cellule.
Les barres d'erreur correspondent à l'écart-type de la distribution des intensités moyennes des images. L'erreur relative maximale enregistrée
est de 1,78 %.
¡ ¢2
(b) Variations du déphasage en fonction du paramètre de contrôle ε = VVc − 1. Les extrapolations linéaires aux extrémités de la courbe
ont permis de déterminer la tension critique Vc = 683 mV.
Cependant, il y a une ambiguité sur le signe de ϕ0 car la fonction cosinus est paire. On peut lever cette ambiguité en
considérant la relation (1.1). En intégrant numériquement cette équation, et en utilisant l'approximation sinusoïdale
(relation 1), on peut constater que ϕ0 doit décroître lorsque le prol d'orientation des directeurs bascule, c'est-à-dire
lorsque θm passe de 0 à une valeur positive. En extrapolant les extrémités de la courbe ϕ0 (V 2 ) par des droites, on
³ ´2
peut déterminer la tension critique Vc de façon à ce que le paramètre de contrôle ε = VVc − 1 soit nul à la transition,
c'est-à-dire à l'intersection des droites. On a ainsi pu déterminer la tension critique de la transition de la cellule qui
vaut environ Vc = 683 mV, comme ceci vous est présenté sur la gure (1.4-b). C'est en général une mesure assez
dicile à réaliser car comme vous pouvez le voir sur la courbe, la transition est "arrondie" au point critique. D'autres
méthodes peuvent donner d'autres valeurs d'une tension critique pour une même cellule et il faudra donc considérer
les valeurs du paramètre de contrôle ε avec précaution. L'arrondi est en réalité dû à l'ancrage des cristaux liquides qui
n'est pas parfait sur les parois de la cellule, l'angle y est d'environ 3◦ au lieu d'être nul [7, 6]. Cependant, le fait que les
extrémités de la courbe des variations de ϕ0 en fonction du paramètre d'ordre quadratique ε puissent être modélisées
par des droites avec une relativement bonne approximation 4 montre bien que l'on a à faire à une bifurcation de type
"fourche". L'expérience présentée montre donc que l'intensité moyenne des images enregistrées par le montage permet
de savoir à quel point se trouve le système dans la transition de Fredericks. Nous allons maintenant voir si cette
expérience permet d'en savoir plus sur les uctuations thermiques dans les cristaux liquides.
1.4 Visualisation des uctuations
La méthode pour visualiser les uctuations se décompose en quelques étape et est illustrée sur la gure (1.5) :
On fait la moyenne de toutes les images du lm. On obtient la superposition des franges du laser et de l'image
créée par la lumière transmise à travers tous les composants optique entre le laser et la caméra.
On fait la diérence de chaque image avec l'image moyenne. Comme la caméra enregistre les images sur tout
l'intervalle de temps Td entre deux prises d'images, on regarde bien la moyenne des uctuations sur cette durée.
On divise la diérence par l'image moyenne pour éliminer la contribution de l'intensité de l'image moyenne qui
module l'intensité de l'image des uctuations.
On obtient ainsi les images des uctuations où la contribution de l'image moyenne a quasiment disparu, comme on
peut le voir sur la gure (1.5c). On observe alors des taches qui correspondent à des domaines de l'espace où les
uctuations thermiques d'orientation sont corrélées. L'estimation spectrale de ces uctuations est alors intéressante
car elle devrait permettre de remonter à la longueur de corrélation du système. Cette démarche est abordée au chapitre
suivant.
4. Les écarts relatifs moyens de la courbe ϕ0 (V 2 ) avec les extrapolations linéaires sont respectivement de 2,7% et 3,5% dans les parties
gauche et droite de la courbe.
7
Image obtenue à un instant donné
Image moyenne d un enregistrement de 1000 images.
(a)
(b)
Image des fluctuations
(c)
Figure 1.5 Présentation de la méthode utilisée pour visualiser les uctuations à ε = 4, 85.10−2 , on est donc assez proche de la
transition. Les dimensions réelles des images sont de 77.10−6 m × 77.10−6 m .
(a) Image obtenue par l'expérience décrite au paragraphe (1.2). L'image (a) présente un contraste étalé sur 134 niveaux de gris. On a donc
environ 7-bits de données.
(b) Image moyenne obtenue en moyennant les 1000 images du lm sur le temps.
(c) Image des uctuations obtenues en réalisant la diérence des images (a) et (b) puis en divisant par l'image moyenne (b). Le contraste
de cette image a été augmenté pour une meilleure lecture mais n'est pas représentatif des enregistrements.
8
Chapitre 2
Analyse spectrale des images. Corrélations
spatiales.
2.1 Dicultés de l'analyse spectrale
Bien qu'une expression analytique ait été trouvée pour l'expression du spectre des uctuations spatiales [6, 15] 1 ,
nous n'avons trouvé aucune gure de spectre des uctuations spatiales dans la littérature. D'après ce modèle, le spectre
des uctuations s'exprime en fonction des composantes du vecteur d'onde kx et ky sous la forme de la formule (2.1) :
h|δθ|2 i =
2π 2 kB T γ
1
2 K
L
3
2
2
SL
γ ω + [ π2 ( K kx2 +
1
K2 2
K1 ky )
− ε]2
(2.1)
Où γ représente un coecient de frottement visqueux ( Pour le 5CB, le fournisseur indique que γ vaut 8, 3.10−2
Pa.s) [6] et où les coecients Ki sont respectivement les constantes élastiques de "déformation en éventail" et de
exion pour i = 1, 3 et s'expriment en Newtons 2 3 et ω la fréquence du mode d'oscillation des directeurs considéré..
Nous avons rencontré de grandes dicultés pour trouver la méthode adéquate qui permette d'obtenir des spectres
qui vérient cette loi. En réalité, en prenant simplement le spectre des images, nous observions une décroissance en
k −8 et non en k −4 comme le suggère l'équation (2.1). Nous avons donc cherché une méthode qui permette d'évaluer
correctement les spectres. Cette méthode vous est présentée au paragraphe suivant, mais nous ne maîtrisons pas
susament sa justication théorique, même si un argument qualitatif peut être proposé. Pourtant, c'est la seule qui
donne des résultats en accord avec les prédictions théoriques [1, 6, 15].
2.2 Méthode utilisée
2.2.1 Description de la méthode
On réalise les spectres sur les images des uctuations obtenues par la méthode décrite au paragraphe (1.4), c'est à
dire que l'on réalise les spectres de la fonction à deux dimensions (l'instant t étant xé) :
˜ y, t) = I(x, y, t) − I(x, y)
I(x,
I(x, y)
où . représente la moyenne dans le temps. En fait, on regarde une fonction de contraste.
Etant donné que l'on évalue des spectres à deux dimensions, une manière simple d'évaluer les spectres est de les
réduire à une dimension, c'est à dire, si l'on considère par exemple la direction x, de xer ky à une certaine valeur.
On réalise celà on moyennant les spectres des colonnes (qui correspondent à la direction x) des matrices représentant
les images. On réalise ainsi une estimation du spectre en xant ky à la valeur de l'échantillonnage ke de l'image dans
la direction y. On obtient donc bien le spectre en fonction de kx tout en ayant xé ky à ke . Ceci revient à considérer
chaque colonne comme une réalisation de la mesure des uctuations dans une direction. On a donc :
˜ x ) = h|F [I]|
˜ 2 ik =k
Sp[I](k
y
e
où F[.] représente l'opérateur de transformée de Fourier et h.iky =ke la moyenne sur les réalisations à ky = ke .
Très curieusement, en faisant cette opération, on n'obtient pas la forme des spectres attendue. On obtient uniquement la décroissance en k −4 en considérant les spectres des valeurs absolues des intensité I˜. Faute de mieux, une
ébauche de justication vous est présentée au paragraphe suivant.
1. Il y a une erreur dans la référence [15], mais elle a inspiré le calcul développé en [6]
2. Le coecient K2 est le coecient élastique de torsion et correspond à une autre déformation.
3. Pour nos cristaux liquides, ces coecients valent K1 = 6, 4.10−12 N , K2 = 3.10−12 N et K3 = 10−11 N
9
2.2.2 Justication théorique
L'expression de l'intensité mesurée pour une image est donnée par l'équation (1.3). Plaçons nous dans la conguration αP = −45◦ et αA = 45◦ . En développant le sinus au carré, on obtient :
I(x, y, t) =
I0 (x, y)
[1 − hcos ϕiTd ] avec ϕ = ϕ0 + δϕ(x, y, t)
2
où ϕ0 est stationnaire et correspond au déphasage induit par le basculement des cristaux liquides dans la transition de
Fredericks et Td la durée sur laquelle le détecteur enregistre les images. L'équation précédente devient donc :
I(x, y, t) =
I0 (x, y)
[1 − cos ϕ0 hcos δϕiTd + sin ϕ0 hsin δϕiTd ]
2
Or, on peut écrire δϕ sous la forme
δϕ = αδθ + βδθ2
(2.2)
où les moyennes h.iTd sont désormais implicites avec α et β qui sont des paramètres qui dépendent de ε. Leurs expressions sont compliquées et vous sont proposées au paragraphe (B). On remplace δϕ par son expression 4 et on développe
en se limitant aux deux premiers ordres en δθ :
I0 (x, y)
[1 − cos ϕ0 + C1 δθ + C2 δθ2 ]
2
³ 2
´
avec C1 = (α sin ϕ0 ) et C2 = α2 cos ϕ0 − β sin ϕ0 qui sont des constantes vis-à-vis des variables x,y et t, mais pas
de la tension V (par l'intermédiare de ϕ0 ).
Lorsqu'on réalise l'image moyenne sur un lm, on moyenne l'équation précédente dans le temps. Or si δθ est
centrée 5 (δθ = 0), il n'en est pas de même pour δθ2 . Il vient :
I(x, y, t) =
I(x, y) =
C3
I0 (x, y) avec C3 = [1 − cos ϕ0 + C2 δθ2 ] qui dépend aussi de V
2
(2.3)
ainsi, lorsque l'on évalue la contribution des uctuations, on a, à t xé :
˜ y, t) = 1 [C2 (δθ2 − δθ2 )(x, y, t) − C1 δθ(x, y, t)]
I(x,
C3
A ce point, faire l'estimation spectrale de I˜ reviendrait à réaliser l'estimation spectrale de la somme qui contient
un terme enδθ2 . Si le spectre de δθ est eectivement en kx−4 , le terme δθ2 doit faire apparaitre la convolution de deux
spectres en kx−4 ce qui donnerait bien une décroissance en kx−8 .
De plus, la diérence ∆ = δθ2 − δθ2 peut être considérée comme une variable aléatoire centrée dont le signe change
au cours du temps, tout comme δθ. Evaluer le spectre de I˜ peut donc prêter à confusion puisque on regarde le spectre
d'une diérence de variables aléatoires dont le signe change au cours du temps . Si on considère le signe des variables
aléatoires comme une fonction du temps, on risque d'estimer autre chose que le spectre des corrélations spatiales. On
évaluera donc la valeur absolue de I˜. Si ce dernier point est contestable, on peut chercher à vérier que les propriétés
de la variable dont on cherche à estimer le spectre ne sont pas trop modiées, c'est-à-dire que le signal n'a pas été trop
modié par rapport à l'original. Si on prend la valeur absolue de la relation précédente, on obtient :
¯ ¯¯
¯ ¯
¯
¯ 1 ¯¯
¯ ˜¯
¯
¯I ¯ (x, y, t) = ¯¯ ¯¯ ¯C2 (δθ2 − δθ2 )(x, y, t) + C1 δθ(x, y, t)¯
C3
Considérons que δθ est une variable aléatoire Gaussienne. On peut estimer numériquement son écart-type à l'aide
des incertitudes sur les estimations de ϕ présentées au paragraphe (1.3). Cet écart-type est de l'ordre de 10−2 randians. 6 .
On peut estimer numériquement le rapport des écarts-types des variables aléatoires δθ et ∆. Numériquement, si
σδθ vaut 1, 3. 10−2 , on obtient σ∆ = 2, 3.10−4 ce qui donne un rapport des écarts-types proche de 56. On peut donc
considérer
que les
de ∆ seront masquées par celles de δθ et que l'on estimera approximativement le spectre
¯
¯ ¯
¯ variations
¯ ¯
¯ C1 ¯
|δθ(x,
y,
t)|
de ¯I˜¯ (x, y, t) = ¯ C
¯
3
¯ ¯¯ ¯
¯ 3 ¯ ¯ ˜¯
C2
La gure (2.1 a) vous montre les fonctions de densité de probabilité de δθ, de |δθ| et du terme ¯ C
C1 ¯ ¯I ¯ = |δθ + C1 ∆|
lorsque le rapport
C2
C1
vaut 10, ce qui est son ordre de grandeur usuel. On constate que les distributions de probabilité
4. La dépendance de δθ dans les variables x,y, et t est implicite pour alléger l'écriture.
5. δθ est centrée car l'énergie libre est une fonction paire de θ, donc le directeur n'a aucune raison de privilégier un sens plutôt que
l'autre lorsqu'il uctue.
6. Ceci peut paraître faible, mais comme les variations de ϕ sont reliées à celle de θ par l'équation (2.2) et que les coecients α et β sont
sont respectivement compris entre 1 et 23 et entre 33 et 19 des que θm est compris entre les 10−2 et 0, 6, c'est à dire dans notre plage de
travail, ces valeurs correspondent bien aux incertitudes sur ϕ indiquées au paragraphe (1.3). Vous pouvez vous rendre à l'annexe B montre
les variations de α et β avec l'angle θm
10
−1
0
10
10
Valeurs de la fonction de densité de probabilité
Valeurs des fonctions de densité de probabilité
densité de probabilité de | ∆ |
−2
10
−3
10
−4
10
densité de probabilité de δ θ
densité de probabilité de |C3/C1| | I |
−1
10
−2
10
−3
10
−4
10
densité de probabilité de |δ θ|
−5
10
−0.06
−5
−0.04
−0.02
0
0.02
0.04
Valeurs des Variables aléatoires
0.06
10
−0.5
0.08
(a)
0
0.5
1
Valeurs de | ∆ |
1.5
2
2.5
−3
x 10
(b)
Figure 2.1 Visualisation de quelques distributions de probabilité. Ces distribution ont été obtenues numériquement et estimées sur
un échantillon de 50 000 valeurs.
¯ ¯¯ ¯
3 ¯ ¯ ˜¯
(a) Distributions de probabilité des variables δθ, |δθ| et du terme ¯ C
I
Leurs écarts-types valent respectivement
C1
−2
−3
−3
1, 1.10
, 6, 7.10
et 6, 9.10 .
(b) Distribution de probabilité de ∆. Son écart-type vaut 1, 8.10−4
¯ ¯¯ ¯
¯ C3 ¯ ¯ ˜¯
de |δθ| et de ¯ C
¯ ¯I ¯ sont très similaires. Ceci prouve que l'inuence du terme en ∆ devient négligeable lorsque l'on
1
prend la valeur absolue du spectre. Cependant, il est certain que l'ajout de la valeur absolue est articiel, mais le
fait que cette méthode donne des spectres en accord avec [1, 6, 15] nous conforte, et nous pouvons ajouter un autre
argument mais de type qualitatif :
Étant donné que l'énergie libre du système peut s'esprimer sous la forme d'une fonction paire en θm , les uctuations thermiques d'orientations doivent être paires, c'est-à-dire qu'elles sont insensible au signe. De plus, celui-ci est
également articiel, puisqu'il est obtenu par des diérences d'intensités alors qu'on enregistre un contraste en réalité.
2.3 Spectres des uctuations dans l'espace
La méthode précédente permet donc d'obtenir le spectre des uctuations spatiales selon la direction x à ky xé à
la valeur d'échantillonnage ke , ainsi que le spectre des uctuations spatiales dans la direction y à kx xé à la même
valeur. Les spectres sont présentés gure (2.2). Ces spectres sont ici tous réalisés à ε xé. Ils présentent un plateau
jusqu'à un certain vecteur d'onde de coupure à partir duquel il y a une décroissance en loi de puissance en kx−4 (respectivement ky−4 ), puis cette décroissance cesse et laisse place à un second plateau. Ce second plateau correspond
à un "bruit" qu'enregistre la caméra avec les images et correspond à la limite de résolution en intensité lumineuse
enregistrée du système expérimental. La partie des spectres qui nous intéresse est donc sur la gauche des graphes,
avant le second plateau. L'écart entre les deux plateaux (de deux décades sur la gure (2.2-a) ) correspond aux nombre
de bits exploitables sur les images des uctuations.
On peut constater une légère diérence entre les spectres dans les directions x et y. Cette anisotropie était en fait
K2
3
prévisible puisque dans la formule (2.1) les termes kx2 et ky2 ont des préfacteurs diérents, respectivement K
K1 et K1 .
La gure (2.2-b) montre un ajustement d'une loi du type de l'équation (2.4) :
f (kx ) =
akx4
1
+ bkx2 + c
(2.4)
où les coecients a,b, et c sont à déterminer, sur le spectre an de vérier que l'équation (2.1) permet bien de modéliser
le spectre obtenu. Etant donné que l'on a xé ky à la valeur ke , les relations entre les coecients de l'ajustement et
l'équation du spectre (2.1) sont :
¯ ¯
2
kB T γ ¯ C1 ¯ −1 L2 K3 2
et s'exprime en m4 .
a = ( 2π SL
¯ C3 ¯) .( π2 K1 )
¯
¯
2
2
kB T γ ¯ C1 ¯ −1 L2 K3
K2
2
b = 2.( 2π SL
et s'exprime en m2 .
¯ C3 ¯) .( π2 K1 ).(( L
π 2 K1 )ke − ε)
¯
¯
2
2
kB T γ ¯ C1 ¯ −1
K2
2 L2 K2 2
c = ( 2π SL
et s'exprime sans dimension.
¯ C3 ¯) .[γ 2 ω 2 + ε2 + ( L
π 2 K1 )ke .( π 2 K1 ke − 2ε)]
On peut constater que tous ces paramètres d'ajustement dépendent de ε. Sur l'ajustement présenté gure(2.2-b),
si l'on ne considère pas la première valeur des spectres ni leur partie correspondant au bruit de la caméra, l'écart
relatif moyen entre le spectre et l'ajustement est de 4%. En général, cet écart est de l'ordre de 5% et dépend beaucoup
11
Spectre des différences d intensité normées (sans dimension)
Spectre différences d intensité normées (sans dimension)
en moyennés dans les directions y et x
3
10
Spectre de á | ∆ I / I0 | ñ
y
en fonction de kx
Spectre de á | ∆ I / I0 | ñ
x
en fonction de ky
2
10
1
10
0
10
−1
10
5
6
10
10
7
10
4
10
Spectre de á | ∆ I / I0 | ñ
y
ajustement de la forme (a k4x + b k2x + c)−1
3
10
2
10
1
10
0
10
−1
10
4
5
10
6
10
10
−1
7
10
−1
kx (ou ky) en m
kx (en m )
(a)
(b)
Figure 2.2 Spectres des uctuations spatiales obtenues par la méthode décrite au paragraphe (2.2.2).
(a) superposition des spectres des uctuations dans les directions x et y à kx et ky xés.
1
(b) Spectres des uctuations dans la direction x et ajustement sur une loi du type ak4 +bk
2 +c .
x
x
de la qualité de l'enregistrement des lms. Grâce à cet ajustement, on peut évaluer la longueur de corrélation des
uctuations spatiales. Cette démarche est présentée au paragraphe suivant.
2.4 Longueur de corrélation des uctuations spatiales
La modélisation des spectes par l'équation (2.4) permet de déterminer un vecteur d'onde de coupure kc correspondant à une longueur sur laquelle les orientations des nématiques sont corrélées. Cette longueur, notée Lc correspond
à la taille moyenne des domaines sur lesquels les directeurs uctuent de la même façon. On devrait pouvoir obtenir
cette longueur de deux façons :
En introduisant ∆ = b2 − 4ac dans l'équation (2.4), on obtient f (kx ) = a1 (k2 + b 1)2 − ∆ , d'où l'on peut déduire la
x
longueur de corrélation :
2a
4a2
r
2a
(2.5)
b
D'autre part, on peut dénir une longueur de corrélation à partir l'intersection des asymptotes des spectres aux faibles
et grands vecteurs d'onde. On trouve alors :
r
a
4
Lc = 2π.
(2.6)
c
Lc = 2π.
Les deux méthodes sont comparées sur la gure (2.3).
Par les deux méthodes, on détecte un maximum des longueurs de corrélation au voisinage de la valeur ε = 0. Ceci
correspond à ce que l'on attend car à la transition, la taille des domaines de uctuation est censée augmenter [6].
Cependant, on pourrait être troublé par le fait que le maximum ne correspond pas à la valeur ε = 0. Ceci est dû au
fait que le seuil de la transition de Fredericks est très mal déni dans la cellule de cristaux liquides, nottamment à
cause de l' "arrondi" au niveau du point critique sur le graphe de bifurcation de la transition, comme nous l'avons vu
au paragraphe 1.3. On peut également constater l'augmentation de cette longueur de transition une fois le maximum
dépassé pour des valeurs de ε supérieures à 0,25. Nous n'avons pas vraiment compris d'où provenait cette augmentation, même si l'on peut supposer qu'il s'agit d'un eet du déphasage stationnaire ϕ0 dont le cosinus change de signe
pour ε ≈ 0, 3.
On peut aussi remarquer que les longueurs de corrélation calculées à l'aide de la relation (2.5) varient entre 10 et
100 microns en fonction de ε tandis qu'elles sont de l'ordre de 6 microns lorsqu'elles sont calculées avec la relation
(2.6). Expérimentalement, la taille des domaines de uctuations enregistrés par la caméra sont plutôt de l'ordre de 6
microns. Même si nous ne comprenons pas vraiment pourquoi, cette observation pourrait donner raison à la deuxième
méthode, d'autant plus que des longueurs de corrélation de l'ordre de quelques microns ont également été mesurées sur
des systèmes assez similaires au notre. De plus, et assez curieusement, les mesures de longueurs de corrélaton sont bien
plus reproductibles en utilisant la deuxième méthode que la première, en particulier parce que les signe du coecient
b peut varier d'un spectre à l'autre, c'est-à-dire avec ε.Pourtant, contrairement à la seconde méthode, la première
donne la variation attendue de la longueur de corrélation autour du point critique. On peut ajouter que la longueur
de corrélation maximale mesurée par cette méthode n'est pas anodine puisqu'elle correspond presque à la largeur des
12
−5
10
−6
x 10
7.5
x 10
7
8
Longueur de corrélation (en m)
Longueur de corrélation (en m)
9
7
6
5
4
3
6.5
6
5.5
2
1
−1
−0.8
−0.6
−0.4
ε
−0.2
0
0.2
5
−1
0.4
−0.8
−0.6
(a)
−0.4
−0.2
ε
0
0.2
0.4
0.6
(b)
Figure 2.3 Comparaison des deux méthodes pour obtenir les longueurs de corrélation.
(a) Longueur de corrélation obtenue par la formule 2.5. Certains points de mesure présentaient un coecient b négatif en n'ont pas été
représentés.
(b) Longueur de corrélation obtenue par la formule 2.6 sur la même série de lms.
images enregistrées.
Cependant, les résultats obtenus dépendent très fortement de la qualité du montage ( alignement de l'optique, faible
nombre de franges, bon contraste), ce qui peut poser des problèmes de reproductibilité. Une solution pourrait être de
faire plusieurs réalisations d'une même mesure pour obtenir une meilleure estimation des longueurs de corrélation.
2.5 Estimation de l'entropie spectrale
Une autre quantité qu'il peut être intéressant d'étudier est l'entropie spectrale. Cette quantité est intéressante car
elle pourrait nous indiquer des congurations spatiales anormales du système qui pourraient apparaitre lors de sa
dynamique. Elle se dénit comme :
−1 X
H=
.
P (kx ). ln P (kx )
(2.7)
ln Nkx
kx
où Nkx est le nombre de modes et P (kx ) est la probabilité d'apparition du mode kx dénie comme :
E(kx )
kx E(kx )
P (kx ) = P
et E(kx ) est la composante spectrale de vecteur d'onde kx . Cette quantité, comprise entre 0 et 1, peut permettre de
détecter certaines structures. Par exemple, si toute l'énergie du système est concentrée dans un seul mode, l'entropie
sera nulle. Nous avons estimé l'entropie spectrale des spectres obtenus à diérentes valeurs de varepsilon et le résultat
est présenté sur la gure (2.4).
Evolution de l entropie spectrale en fonction du paramètre de contrôle
0.28
0.275
0.27
Entropie spectrale
0.265
0.26
0.255
0.25
0.245
0.24
0.235
0.23
−1
Figure
−0.5
0
ε
0.5
1
2.4 Evolution de l'entropie spectrale en fonction de ε
13
On peut remarquer une décroissance globale de H lorsque ε croît. Cependant, il existe un maximum local pour
une valeur de ε proche de 0. En comparant avec la gure (2.3), on peut remarquer qu'il s'agit de la même valeur de
ε qui présentait un maximum local de la longueur de corrélation. Intuitivement, on pourrait s'attendre à ce que la
longueur de corrélation et l'entropie spectrale aient des croissances opposées en ε. En eet, on peut considérer que
plus la longueur de corrélation est importante, plus l'entropie sera faible (le système présentera moins de désordre
puisqu'il sera corrélé à plus grande échelle). On constate ici que ce n'est pas le cas au voisinage du point critique. Mais
il faut également se souvenir que l'on réalise ici des mesures sur des domaines de taille nie. Lorsque la longueur de
corrélation devient susament grande, il peut y avoir des eets taille nie qui pourraient provoquer une augmentation
virtuelle du désordre.
2.6 Inuence de la fréquence d'acquisition sur l'estimation spectrale
L'équation (2.1) fait intervenir un terme temporel γ 2 ω 2 qui peut fortement modier la forme des spectres observés
dans le paragraphe (2.3). La gure (2.5-a) vous montre un spectre obtenu sur des lms enregistré à une fréquence
d'acquisition proche de 1 Hz. On peut constater l'apparition d'une bosse située à kx ≈ 3, 4.104 m−1 . Dautre part, on
peut constater que l'écart entre les plateaux a diminué par rapport aux spectres de la gure (2.2) ce qui signie que
l'on a perdu en contraste sur les images. Enn, on peut constater que la décroissance des spectres en kx−4 a disparue.
La gure (2.5-b) vous montre la déformation progressive des spectres lorsque l'on diminue la fréquence d'acquisition
de la caméra. Lorsque la fréquence d'acquisition est de 5 Hz, la forme des spectres est la même que celle observée au
paragraphe (2.3). En dessous de cette fréquence, les spectres sont très déformés.
influence d une faible fréquence d acquisition
2
10
Acquisition à f=1.108Hz
2
<| ∆I |2>y
2
<| ∆I | >
y
10
1
10
1
10
4
5
10
10
6
Acquisition à f=1.108Hz
Acquisition à f=2.217Hz
Acquisition à f=3.325Hz
Acquisition à f=4.99Hz
4
10
5
10
10
kx en m−1
kx en m−1
(a)
(b)
6
10
Figure 2.5 Inuence de la fréquence d'acquisition sur l'estimation spectrale. Ces spectres ont été obtenus à ε = 0, 3.
(a) Spectre obtenu sur un lm enregistré à une fréquence de 1,1 Hz.
(b) Evolution de l'allure des spectres avec la fréquence d'acquisition des lms.
Les spectres obtenus sont très similaires à ceux que nous avions avec le microscope et que nous ne comprenions pas.
L'observation de spectres similaires avec le montage du laser nous a permis d'expliquer la forme étrange de ces spectres :
La caméra moyenne l'intensité lumineuse enregistrée sur une durée égale à l'inverse de la fréquence d'acquisition, donc
lorsque cette fréquence est trop faible, les images obtenues sont des images des uctuations moyennées, et présentent
donc un contraste plus faible. Dans le cas du microscope, nous avions une fréquence d'acquisition de 25 Hz, mais le
contraste était beaucoup plus faible (on avait 3 voire 4 bits de signal) parceque l'on travaillait en lumière blanche. En
n de compte, acquérir à basse fréquence revient au même qu'acquérir des images avec un faible contraste puisque
l'on moyenne les uctations : le rapport signal sur bruit diminue fortement. Le contraste diminuant, on perd des
informations sur le système et l'on ne perçoit plus sur les images qu'un aspect "granulaire" d'ou l'apparition d'une
bosse sur les spectres qui correspond à la taille des domaines de uctuations enregistrés sur les images. Ces observations
nous ont beaucoup rassuré car nous ne comprenions pas la forme des spectres obtenus avec le microscope. Le fait que
nous obtenions des résultats similaires à des fréquences d'acquisition beaucoup plus faible ( quelques Hertz dans le cas
du montage avec le laser contre 25 Hertz dans le cas du microscope) provient du fait que les images obtenues avec le
laser sont beaucoup plus contrastées et qu'il est donc beaucoup plus dicile de moyenner les uctuations enregistrées.
Ce paragraphe nous permet de comprendre l'inuence de la fréquence d'acquisition sur l'estimation spectrale, mais
soulève également la question des caractéristiques des corrélations temporelles des uctuations. Cette question est
abordée dans le chapitre suivant.
14
Chapitre 3
Etude des corrélations temporelles
L'étude des corrélations temporelles a déja été réalisée sur des cristaux liquides [11, 12]. Elle peut donc servir de
référence pour vérier si le montage expérimental permet de retrouver des résultats connus. On peut ainsi accéder au
temps de réponse du système.
3.1 Spectres temporels des uctuations
3.1.1 Obtention des spectres
Acquisition
On impose une tension de façon à placer le système à un ε donné. On enregistre les images des uctuations à une
fréquence de 193,6 Hz, bien supérieure à la fréquence de variation des domaines de uctuations de façon à ce que le
critère de Shanon soit vérié. Pour chaque valeur de ε, on fait dix réalisations de la même mesure.
Traitement
L'intensité I(x, y, t) enregistrée sur les images est ensuite moyennée dans les directions x et y. On obtient donc le
signal hIixy (t). On réalise le spectre de ce signal par la méthode de Welch sur une fenêtre temporelle appropriée puis
l'on moyenne les spectres des dix réalisations eectuées. Nous avons choisi ici d'utiliser l'estimation spectrale comme
moyen d'étudier les corrélations temporelles des uctuations car les estimateurs de fonctions de corrélation dont nous
disposions étaient moins ables que les estimateurs spectraux. L'allure du spectre obtenu est présenté gure (3.1).
3.1.2 Analyse des spectres.
Spectres des fluctuations temporelles de l intensité moyenne à ε =
0
10
Spectres des fluctuations temporelles
de l intensité moyenne I0 (sans dimension)
ε = −1
ajustement sur une loi lorentzienne (a ω2 + b )−1
−1
10
−2
10
−3
10
0
1
10
10
2
10
pulsation ω (en s−1)
Figure 3.1 Spectre des uctuations temporelles de l'intensité moyenne et ajustement sur une loi Lorentzienne. L'écart relatif moyen
entre le spectre enregistré et l'ajustement est de 8%.
La relation 2.1 nous indique que les spectres obtenus par la méthode précédente devraient être des spectres lorentziens. Pour vérier ceci, nous avons réalisé un ajustement d'une loi du type :
g(ω) =
1
aω 2 + b
15
d'où l'on peut trouver la fréquence de coupure par la relation
r
1
b
f0 =
.
2π
a
. L'écart relatif moyen des ajustements avec les spectres est de 11,6%, ce qui est en soi assez important, mais il faut
se rappeler que l'on a moyenné les spectres sur seulement 10 réalisations, et que l'estimation des spectres sur environ
2000 points ( c'est le nombre d'images des lms enregistrés) est forcément bruyante. On peut donc considérer que ces
spectres sont lorentziens dans une certaine mesure, d'autant plus que la décroissance des spectres en ω −2 est assez
marqué comme cela a déja été observé [6, 7, 11]. On pourrait donc nettement nettement diminuer l'incertitude sur nos
mesures en en augmentant le nombre de réalisations.
3.2 Inuence du paramètre de contrôle ε sur la fréquence de coupure
Tout en gardant une certaine prudence concernant la validité de ce qui va être présenté (ces résultats sont très
approximatifs compte tenu de la faible précision de nos mesures), on peut s'intéresser à l'inuence du paramètre de
contrôle ε sur la fréquence de coupure. Ces résultats sont présentés sur la gure (3.2) :
1
Spectres des fluctuations temporelles de l intensité moyenne à différents ε
fréquence de coupure en fonction de ε
3.8
ε = −1
ε = −0.067936
ε = 0.048465
ε = 0.17171
0
10
3.6
fréquence de coupure ( en Hz)
Spectres des fluctuations temporelles
de l intensité moyenne I0 (sans dimension)
10
−1
10
−2
10
3.4
3.2
3
2.8
2.6
−3
10
0
10
1
2
10
−1
10
−1
pulsation ω (en s )
(a)
−0.5
0
ε
0.5
1
1.5
(b)
Figure 3.2 Inuence du paramètre de contrôle ε sur la fréquence de coupure.
(a) Diérents spectres temporels mesurés sur 10 réalisations à des ε diérents. Le redressement des spectres aux basses fréquences a déja
été observé et étudié [11].
(b) Mesure de la fréquence de coupure à diérents ε.
Le redressement des spectres aux basses fréquences que l'on observe sur la gure (3.2-a) a déja été observé et
étudié [11]. Il n'est pas vraiment étonnant que ces résultats ressemblent à ceux présentés dans la référence [11] puisque
l'auteur a également mesuré des variations temporelles de l'intensité moyenne transmise à travers une cellule de cristaux
liquides mais avec des photodiodes. Cependant, il peut évaluer des spectres jusqu'à des fréquences de 200 Hz tandis
que cela ne nous était pas possible. Ceci est dû à la caméra qui pouvait dicilement acquérir des images au dela de
250 Hz (ce qui reviendrait à évaluer des spectres jusqu'à 125Hz) et, si elle y parvenait, la durée entre deux images
était trop courte pour que l'on ait des images d'une qualité susante.
La gure (3.2-b) montre les mesures de la fréquence de coupure à diérents ε. Il semble que cette fréquence
augmente au voisinage de ε ≈ 0, ce qui a également déjà été étudié [6], mais elle est sensée se poursuivre au delà de ce
domaine ce qui n'est pas observé. On peut penser qu'avec le faible niveau de précision de nos mesures, une estimation
correcte des coecients a et b de la fonction g(ω) est presque impossible. On peut cependant remarquer que l'écart
relatif moyen entre les spectre enregistrés et les ajustements des 4 premiers points qui forment la croissance de f0 (ε)
était inférieure à 10%, ce qui n'est pas le cas des autres ajustements pour lesquels cet écart est supérieur. On peut donc
espérer qu'avec une meilleure précision on puisse observer la croissance de la fréquence de coupure avec ε . Cependant,
l'ordre de grandeur de f0 semble être en bon accord avec ce qui a été vu au paragraphe (2.6) où nous avions vu que les
spectres des uctuations spatiales ne pouvaient être correctement estimés avec des fréquences d'acquisition inférieures
à 5 Hz lorsque le système se situait à ε = 0, 3. Sur ce graphe, on peut lire que f0 (0, 3) ≈ 2, 8 Hz, et la déformation des
spectres observée en (2.6) provient du non respect du critère de Shannon.
16
Chapitre 4
Analyse probabiliste des uctuations
d'intensité et Longueur de Corrélation
4.1 Principe et méthode utilisée
Principe
˜ y, t). Nous
Dans ce chapitre, nous nous intéressons à la distribution de l'intensité des uctuations enregistrées I(x,
caractérisons ces uctuations par les moments de leurs fonction de densité de probabilité, et en particulier par leur
moment d'ordre 3 et 4 centrés et normés. Nous nous sommes interrogés sur l'évolution des fonctions de densité de
probabilité avec la taille de la zone dont on évalue cette fonction et si on peut en tirer des informations sur la longueur
de corrélation des uctuations spatiales.
En eet, lorsque l'on étudie la distribution de probabilité des uctuations sur des domaines grands devant la
longueur de corrélation du système, le Théorème de la limite centrale nous indique que cette distribution doit être
gaussienne. Par contre, lorsque la taille du domaine dont on regarde les uctuations d'intensité est inférieure à la
longueur de corrélation du système, on regarde les uctuations d'un domaine spatialement corrélé et le théorème
précédent ne s'applique plus. On s'attend alors à observer des distributions de probabilité non gaussiennes, du type
de Gumbel généralisée.
Nous allons donc appliquer ce principe à nos images vidéos en étudiant les uctuations d'intensité de domaines
de taille carrée sur les vidéos. Pour celà, on détermine la taille Lp des somaines et on moyenne l'intensité des pixels
comme présenté sur la gure (4.1). Si Lp est inférieure à la longueur de corrélation, on ne s'attend plus à observer des
uctuations Gaussiennes, puisque les grandeurs moyennées ( les intensités de chaque pixels du domaine ) ne sont plus
indépendantes. En regardant le caractère gaussien ( ou non) des distributions de probabilité lorsqu'on augmente la
taille du système uctuant, on peut donc remonter à la longueur de corrélation du système. Cette méthode pourrait
être utilisée dans d'autres domaines où interviennent des uctuations.
Figure 4.1 On moyenne les intensités sur des domaines carrés de taille Lp et on évalue la distribution de probabilité de la grandeur
obtenue. Admettons que la longueur de corrélation du système corresponde à une distance de 4 pixels sur les images. On s'attend à ce que
la distribution de probabilité de l'intensité moyenne du domaine rouge ne soit pas Gaussienne, contrairement à celle du domaine vert.
Méthode appliquée
Lorsque l'on veut évaluer les fonction de densité de probabilité des uctuations moyennes d'intensité associées à
une zone d'une certaine taille et à un ε, on procède par les étapes suivantes :
On xe une taille Lp de pixels. On moyenne les intensités des images des uctuations sur des domaines carrés de
˜ y, t1 ),
taille Lp × Lp pixels. Si on note I˜n,m (t1 ) l'intensité du pixel (n, m) de l'image enregistrée à l'instant t1 , I(x,
17
on réalise l'opération :
ILp (t1 ) =
n0 +Lp m0 +Lp
1 X X ˜
In,m (t1 )
L2p n
m
0
(4.1)
0
On répète éventuellement cette opération autour de quelques pixels (n0 , m0 ) susament espacés sur l'image an
d'améliorer la statistique. La distance entre les pixels (n0 , m0 ) est choisie de façon à ce que les uctuations des
intensités sur les domaines carrés soient complètement décorrélés. Pour celà on utilise les spectres obtenus au
chapitre 2. On a donc pour chaque image Nim mesures de ILp (t) :
IL1 p (t1 ) , IL2 p (t1 ) , . . . ILNpim (t1 )
On répète les deux étapes précedentes sur les images des instants t1 , t2 . . . tN et l'on obtient alors une série de
valeurs {I}Lp :
{I}Lp = IL1 p (t1 ) , IL2 p (t1 ) , . . . ILNpim (t1) , IL1 p (t2 ) , IL2 p (t2 ) , . . . ILNpim (t2) , . . .
On évalue caractérise la distribution de probabilité de {I}Lp en estimant ses moments centrés et normés d'ordres
3 et 4, respectivement nommés "Skewness" et "Kurtosis". Pour une loi normale, le coecient de Skewness vaut
0 et le Kurtosis vaut 3.
On répète les étapes précédentes pour une nouvelle taille Lp .
4.2 Forme des fonctions de densité de probabilité
Quelques distributions de probabilité des intensités vous sont présentés sur la gure (4.2). Les coecients de Skewness ( noté SK ) et le Kurtosis ( noté K ) ne sont pas déterminés à l'aide de ces représentations mais à partir des séries
{I}Lp enregistrées. Etant donné que l'on fait ces estimations sur quelques milliers de réalisations, on peut considérer
qu'une distribution de probabilité est gaussienne si son coecient de Skewness est compris entre ±0, 1 et si son Kurtosis est compris entre 2,8 et 3,2.
La gure (4.2) vous propose la comparaison entre quelques distributions de probabilité. On peut faire les constats
suivants :
À ε xé, le caractère non gaussien des distributions s'évanouit lorsque la taille des domaines est susament
importante.
À une faible taille xée, le caractère non Gaussien des uctuations parît plus marqué pour les grandes valeurs
de ε.
Lorque la taille des domaines est susamment importante, la représentation des distributions par des lois normales semble satisfaisante.
L'évolution des coecients de Skewness et du Kurtosis avec la taille des domaines pour ε = 0, 63 est présentée
sur la gure (4.3). On peut eectivement constater que pour de faibles tailles de domaines, le caractère non gaussien
des distributions de probabilité est très marqué : le Skewness est de l'ordre de 1,2 et le Kurtosis de 5,3. Ces valeurs
chutent brutalement autour d'une taille de 7 microns pour le skewness et de 10 microns pour le Kurtosis. Au delà
de ces tailles, les valeurs continuent à décroître, mais moins fortement. Cette décroissance semble s'arrêter lorsque la
taille vaut 42 microns, où il semble y avoir une discontinuité des grandeurs estimées. Au delà de cette taille, les valeurs
semblent osciller autour des valeurs caractéristiques des lois normales.
Il est dicile de sortir de ces données une valeur de longueur de corrélation, mais au vu de la décroissance rapide
du Kurtosis et de la Skewness aux faibles tailles de domaines, on peut estimer que la valeur de 7 microns donne un
bon ordre de grandeur de la longueur de corrélation. Cependant, la discontinuité de ces valeurs autour de la taille de
42 microns est assez troublante. Si on compare ces estimations avec les observations du paragraphe (2.4), on se rend
compte que les deux méthodes donnent a peu près les mêmes ordres de grandeurs ( 6 et 100 microns par l'estimation
spectrale et 7 et 42 microns ici ). Ceci indique peut-être que la taille de 42 microns représente une taille ou une longueur
caractéristique du système, mais il est dicile de déterminer à quoi elle correspond.
On pourrait réaliser une analyse plus complète de ces propriétés du système en moyennant les résultats de plusieurs
réalisations d'une même mesure, et en faisant plusieurs mesures sur une gamme de valeurs de ε. L'aspect des courbes des
gures (4.3) devrait être alors beaucoup plus lisses et il serait intéressant de vérier si il y a toujours une discontinuité
du coecient de Skewness et de Kurtosis à 42 microns. Cependant, même avec une réalisation, on a pu voir que cette
méthode permet bien d'estimer de façon assez satisfaisante un ordre de grandeur de la longueur de corrélation du
système, 7 microns, si l'on fait la comparaison avec les résultats du paragraphe (2.4).
18
fonction de densité de probabilité des différences d intensité normées
sur un pixel (environ 0.5µm ´ 0.5µm) à ε = 0.11
−1
fonction de densité de probabilité des différences d intensité normées
sur un pixel (environ 0.5µm ´ 0.5µm) à ε = 0.63
10
ε = 0.11
−1
ε = 0.63
fonction de densité de probacilité
fonction de densité de probacilité
10
−2
10
−3
10
−4
10
−2
10
−3
10
−4
10
−5
−0.6
−0.4
−0.2
0
0.2
0.4
différences d intensité normées
0.6
10
−0.1
0.8
−0.05
(a)
0
0.05
différences d intensité normées
0.1
0.15
(b)
fonction de densité de probabilité des différences d intensité normées
moyennées sur (40 ´ 40) pixels (environ 19µm ´ 19µm) à ε = 0.11
fonction de densité de probabilité des différences d intensité normées
moyennées sur (80 ´ 80) pixels (environ 38µm ´ 38µm) à ε = 0.63
−1
−1
10
fonction de densité de probacilité
fonction de densité de probacilité
10
−2
10
−3
10
−4
10
ε = 0.11
ajustement sur une loi normale
−2
10
−3
10
ε = 0.63
ajustement sur une loi normale
−5
10
−4
−0.1
−0.05
0
0.05
0.1
différences d intensité normées
0.15
10
−0.04
0.2
(c)
−0.03
−0.02
−0.01
0
0.01
0.02
différences d intensité normées
0.03
0.04
0.05
(d)
Figure 4.2 Représentations des fonctions de densité de probabilités ( pdf ) des variations d'intensités moyennées sur des domaines
carrés de taille Lp × Lp .
(a) ε = 0, 11. Taille du domaine : 0,5 µm × 0, 5µm. SK = 0,45 K = 3,38.
(b) ε = 0, 63. Taille du domaine : 0,5 µm × 0, 5µm. SK = 1,1 .K = 5,2.
(c) ε = 0, 11. Taille du domaine : 19 µm × 19µm. SK = 0,1 . K = 3 . L'ajustement d'une loi Gaussienne sur les données fournit le même
écart-type (3, 8.10−2 ).
(d) ε = 0, 63. Taille du domaine : 38 µm × 38µm. SK = 0,2 .K = 2,8 . L'ajustement d'une loi Gaussienne sur les données fournit le même
écart-type (1, 3.10−2 ).
19
Moment normé d ordre 4 des différences d intensités
Moment normé d ordre 3 des différences d intensités
6
Moment normé d ordre 4 des différences d intensités
Moment normé d ordre 3 des différences d intensités
1.4
1.2
1
0.8
0.6
0.4
0.2
0
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
5.5
5
4.5
4
3.5
3
2.5
1.2
−4
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
1.2
−4
Largeur du domaine où les différences d intensités sont moyennées (en m) x 10
x 10
Largeur du domaine où les différences d intensités sont moyennées (en m)
(a)
(b)
Figure 4.3 Evolution des coecients de Skewness et du Kurtosis avec la taille des domaines
(a) Evolution du coecient de Skewness avec la taille des domaines.
(b) Evolution du Kurtosis avec la taille des domaines.
20
Conclusion et Perspectives
Ce stage à permis de mettre au point une expérience qui permette d'étudier les propriétés des uctuations thermiques dans une cellule de cristaux liquides tout en contrôlant le travail qu'on injecte au système ( par l'intermédiaire
du générateur de tension ). Nous n'avons pas eu le temps d'aborder la question de l'étude des structures associées à un
taux de production d'entropie négatif, mais nous avons mis au point et testé des protocoles qui permettent d'étudier
certaines propriétés des uctuations, par l'intermédiaire d'estimations de l'entropie spectrale et de la longueur de
corrélation, bien qu'il subsiste de nombreuses questions :
La longueur de corrélation des uctuations spatiales d'orientation augmente au voisinage du point critique et
semble être de quelques microns. Cependant, l'estimation de la longueur de corrélation reste à approfondir. En
particulier, il faudrait réaliser plus de mesures an d'estimer Lc avec une meilleure précision et vérier si les
deux méthodes de détermination de cette longueur concordent.
L'entropie spectrale des uctuations spatiales est assez sensible à l'état dans lequel se trouve le système. Elle
présente notamment un pic à ε = 0. L'origine de ce pic et la détermination des structures qui en sont la
cause restent à déterminer, mais on dispose avec cette mesure d'un estimateur qui peut s'avérer très utile pour
caractériser le système lorsqu'on fera des études dynamiques.
L'étude des corrélations temporelles a bien montré que les spectres des uctuations tempporelles de l'intensité
moyenne sont des lorentziennes, ce qui correspond à des corrélations temporelles de type exponentielles.
L'estimation des fonctions de densité de probabilité de l'intensité des uctuations peut s'avérer précieuse pour
l'étude du système et notamment pour la recherche de longueurs de corrélation. Il faudrait cependant caractériser
plus précisément les distributions de probabilité rencontrées au chapitre 4, ce que nous n'avions pas eu le temps
de faire, étant donné que l'analyse d'une dizaine de lms prend plusieurs heures.
De plus, la mise en place dénitive du montage sur un banc d'optique et sous cloche devrait permettre d'améliorer
grandement la qualité des lms et donc la précision des mesures.
L'étape suivante serait d'utiliser ce montage an de détecter d'éventuelles structures qui seraient liées à des taux
de production d'entropie négatifs. Nous avions tout juste commencé à aborder cette question en regardant la réponse
du système lorsqu'on le soumet à une tension sinusoïdale modulée en amplitude. Nous avons pu voir que le système
répondait à l'excitation, mais nous n'avons pas encore mis en place une procédure pour détecter certaines structures.
21
Annexe A
Présentation du montage préliminaire :
Observation à l'aide d'un microscope
Cette annexe a pour but de vous présenter les résultats obtenus avec un montage préliminaire utilisant un microscope. Le principe de la mesure est exactement le même que celui présenté au capitre (1), et nous avons travaillé dans
la conguration αP = −45◦ et αA = 45◦ . Le contraste des images était d'environ 4-bit et nous acquérions les images
à une fréquence de 25 Hz. Une image est présentée gure (A.1-a).
image obtenue avec le microscope
0
Spectre des fluctuations d intensité normées
moyennés dans la direction y (sans dimension)
10
ε = −1
ε = −0,2
ε = 5.10−3
ε = 0,16
ε = 0,58
−1
10
−2
10
5
6
10
10
7
10
kx (en m−1)
(a)
(b)
Figure A.1 (a) Image obtenue avec le microscope. Les dimensions de l'image sont de 98µm × 98µm.
(b) Spectres obtenus dans la direction x à diérents ε
Les spectres dans la direction x sont présentés sur la gure (A.1-b). La présence d'une bosse aux faibles vecteurs
d'onde nous a posé beaucoup de problèmes de compréhension car nous ne noue attendions pas du tout à ces formes
de spectres. Nous avons cru qu'il s'agissait d'un eet de focalisation de la lumière traversant la cellule ce qui nous
a conduit à réaliser le montage avec le laser où la lumière arrive bien perpandiculairement sur la cellule en faisceau
parallèle.
Nous avons également estimé l'entropie spectrale sur ces spectres et le résultat est présenté gure (A.2). On peut y
distinguer une légère décroissance en lorsque ε croît mais le peu de précision de l'estimation ne nous permet pas d'en
dire plus.
22
Evolution de l entropie spectrale en fonction du paramètre de contrôle
0.96
Entropie spectrale
0.94
0.92
0.9
0.88
0.86
0.84
−1
Figure
−0.5
0
ε
0.5
1
A.2 Evolution de l'entropie spectrale en fonction de ε
23
Annexe B
Paramètres α et β
Cette petite annexe vous fournit les expressions des coecients α et β qui interviennent dans le paragraphe 2.2.2.
En développant θ = θ0 (z) + δθ dans l'équation (1.1), on obtientδϕ sous la forme
δϕ = αδθ + βδθ2
avec
α=
−π
λ
Z
L
n2e − n2o
3
0
(n2o cos2 θ0 (z) + n2e sin2 θ0 (z)) 2
.ne no sin(2θ0 (z)).dz
et
−π
β=
λ
Z
0
L
n2e − n2o
(n2o cos2 θ0 (z) + n2e sin2 θ0 (z))
3
2
[cos(2θ0 (z)) −
n2e − n2o
. sin2 (2θ0 (z))]dz
2(n2o cos2 θ0 (z) + n2e sin2 θ0 (z))
On peut tracer numériquement les variations de α et β en fonction de θm . Le résutat est tracé sur la gure (B.1)
α(θm)
β(θm)
25
35
30
25
β(θm) (sans dimension)
α(θm) (sans dimension)
20
15
10
20
15
10
5
0
5
−5
0
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
θm (en radians)
1.2
1.4
−10
1.6
(a)
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
θm (en radians)
1.2
1.4
1.6
(b)
Figure B.1 Variations de α et β en fonction de θm obtenues par intégration numérique. Lors de ce stage, nous avons travaillé à des
valeurs de θm inférieures à 0,7.
24
Annexe C
Approche stationnaire de la transition de
Frederickz
Ce qui est écrit dans cet annexe n'est pas un travail réalisé durant le stage, mais un bref résumé des références
[7, 1, 2, 6] qui peut être utile pour la compréhension de la transition de Fredericksz.
Considérons une cellule à l'équilibre, sans contrainte extérieure. Le champ ~n(~r) sera constant et vaudra ~n(~r) = ~ex ,
c'est-à-dire que l'orientation des directeurs sera déterminée par la direction des molécules ancrées sur les lames de
verre. Si maintenant le système est à l'équilibre en étant soumis à des contraintes telles que les directeurs ont changé
d'orientation, et en négligeant les eets de surface, l'énergie libre volumique élastique sera donnée par l'énergie libre
de Franck-Oseen [2, 3, 1] :
1
1
~ n)2 + 1 K3 (~n ∧ rot~
~ n)2
Fvel = K1 (div~n)2 + K2 (~n.rot~
2
2
2
où les coecients Ki sont respectivement les constantes élastiques de "déformation en éventail" de torsion et de exion
pour i = 1, 2, 3 et s'expriment en Newtons. La substitution des expressions des coordonnées de ~n dans l'équation précédente conduit à un calcul très fastidieux, nous allons donc simplier le problème :
Les contraintes appliqués aux cristaux liquides n'étant pas selon les directions e~x et e~y , nous pouvons supposer
que le système est invariant par translation selon ces directions (En réalité il y a toujours des uctuations locales
mais cette apporximation est vraie au sens statistique). Les dépendances en ~r deviennent donc simplement des
dépendances en z.
Etant donné qu'il n'y a pas de contraintes selon les directions e~x et e~y , la valeur moyenne (temporelle et d'ensemble) de φ est inchangée par rapport au cas sans contrainte et vaut toujours 0 ; on peut donc faire une
approximation de champ moyen et remplacer φ par sa moyenne (Les écarts de φ à sa moyenne sont dûs aux
uctuations et sont donc négligés pour décrire le système en régime stationnaire).
On obtient alors comme expression de l'énergie libre volumique élastique :
Fvel (z)
1
K3 − K1
= K1 (1 +
sin2 θ(z))
2
K1
µ
¶2
dθ
(z)
dz
(C.1)
Les cristaux liquides sont également des matériaux diélectriques qui se polarisent sous l'eet d'un champ électrique.
Le vecteur polarisation P~ dépend de l'orientation des directeurs de la phase nématique[4] :
~ + (χk − χ⊥ )(E.~
~ n)~n]
P~ = ε0 [χ⊥ E
où χk et χ⊥ représentent respectivement les susceptibilités électriques du milieu dans les directions parallèles et per~ . Or sous l'eet d'un champ électrique E
~ , le vecteur polarisation tend à s'aligner avec le
pandiculaires au champ E
~ . Le champ électrique tend à aligner les directeurs avec sa direction de façon à
champ sous l'eet du couple ~Γ = P~ ∧ E
~ E
~ , où D
~ est le champ déplacement électrique. L'application
minimiser l'énergie libre volumique électrique FvE (z) = −D.
d'un champ électrique dans la cellule est possible grâce à la formation par dépôt d'électrodes d'ITO
délivre une tension notée V 1 .
L'énergie libre volumique totale lorsqu'on applique un champ électrique est donc la somme des deux précédentes.
Après intégration selon l'axe (0, ~ez ) on obtient comme énergie libre surfacique totale[7, 13, 14] :
Z
Fs =
0
L
(Fvel + FvE )dz
soit :
1. L'utilisation d'une tension alternative permet d'éviter un transport de charge au sein de la cellule et est justiée par l'équation (C.2) :
étant donnée que V apparaît au carré, seule sa valeur ecace comptera. De plus, la fréquence choisie, de l'ordre du kHz, est très grande
devant le temps de réponse du système, qui est de l'ordre de quelques secondes.
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Z
Fs =
0
L
K3 − K1
1
K1 (1 +
sin2 θ(z))
2
K1
µ
¶2
dθ
(z) dz − R L
dz
2 0
ε0 V 2
dz
εk sin2 θ+ε⊥ cos2 θ
(C.2)
où V représente la tension appliquée aux bornes de la cellule, et où εk et ε⊥ représentent respectivement les per~ . Cette équation montre
mittivités relatives du milieu dans les directions parallèles et perpandiculaires au champ E
bien la compétition entre une énergie de type élastique et une énergie de type électrique. Une fois le champ appliqué, le
système évoluera de façon à minimiser la fonctionnelle Fs [θ] donnée par l'équation (C.2). Il apparaît alors une tension
critique Vc qui constitue le seuil de la transition :
Pour V < Vc : L'orientation moyenne des directeurs est toujours selon la direction θ = 0, xée par l'ancrage des
premières couches sur les parois. L'élasticité domine.
Pour V > Vc : Les molécules s'inclinent sous l'eet du champ électrique : C'est la transition de Frederickz. Comme
les molécules ancrées aux parois ne peuvent s'incliner et que l'élasticité et le champ ont des eets antagonistes,
l'inclinaison des directeurs sera progressive le long de l'axe z de la cellule jusqu'à sa valeur maximale θm à la
cote L/2, du fait des symétries du système (gure 2).
Une approximation utile pour décrire le prol stationnaire de θ est l'approximation sinusoïdale[6, 7] : aux faibles
champs, on peut écrire le prol stationnaire ( marqué par l'indice 0 ) d'orientation θ0 (z) sous la forme :
θ = θm sin(
πz
)
L
Il est alors possible de développer F en fonction de θm sous la forme [7] :
2
4
F = a0 − (a2 .ε)θm
+ a4 (ε)θm
Il apparait que cette transition est du second ordre, dont le point critique correspond à une valeur V = Vc , au delà
de laquelle il existe un θm minimisant l'énergie libre. L'inclinaison des directeurs a ainsi des eets sur les propriétés
optiques du milieu qui sont exploitées au chapitre 1.
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Remerciements
Je voudrais remercier chaleureusement Sergio Ciliberto qui m'a permis de réaliser ce stage et grâce à qui j' ai
beaucoup appris. Je remercie également Artyom Petrosyan pour son aide précieuse au travers de nos discussions et
lors des expériences, Patrick Oswald qui nous a prêté son microscope,Aude Caussarieu, Pierre Borgnat et Sylvain
Joubaud qui m'ont beaucoup aidé lorsque j'avais des questions à leur poser. Toutes ces personnes m'ont entouré de
leur présence amicale et je les en remercie beaucoup.
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Bibliographie
Livres
[1] P.G. de Gennes et J. Prost, The Physics of Liquid Crystals, Oxford Science Publications, second edition, 1993.
[2] Patrick Oswald et Pawel Pieranski, Les cristaux liquides, concepts et propriétés physiques illustrés par des expériences Tome1, Gordon and Breach Science Publishers, 2000.
[3] Patrick Oswald, Rhéophysique - ou comment coule la matière, éditions Belin, 2005.
[4] Pierre Papon, Jacques Leblond et Paul H.E. Meijer, Physique des transitions de phases - Concepts et applications,
Dunod, seconde édition, 1999.
[5] J. Max, Méthodes et techniques de traîtement du signal et applications aux mesures physiques Tome 1, Masson,
1972.
Rapport de thèse et manuscrit
[6] Sylvain Joubaud, Fluctuations dans les systèmes hors d'équilibre. Thèse de l'Ecole Normale Supérieure de Lyon,
2008.
[7] Aude Caussarieu, Etude de la transition de Frederickz électrique dans le 5CB - Aspects statistiques, Manuscrit,
2009-2010.
Articles de recherche
[8] S. Rasenat, G. Hartung, B.L. Winkler et I. Rehberg, Experiments in Fluids 7, 412-420 (1989).
[9] S.Q. Zhou et G. Ahlers, arXiv :nlin/0409015v2 (2004).
[10] R. Cerbino et V. Trappe, Phys. Rev. Lett. 100, 188102 (2008).
[11] P. Galatola , J. Phys. II France, 2,1995-2010 (1992).
[12] H. Orihara, A. Sakai et T. Nagaya, Mol. Cryst. and Liq. Cryst., 366, 143-149 (2001).
[13] H.J. Deuling, Mol. Cryst. and Liq. Cryst., 19, 123-131 (1972).
[14] E.M. Terentjev et M. Warner, Phys. Rev. E 60, 2 (1999).
[15] M. San Miguel, Phys. Rev. A 32, 6 (1985).
[16] S. Joubaud, G. Huillard, A. Petrosyan et S. Ciliberto J. Stat. Mech 88, P01033, (2009).
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