notes de cours - Département de physique

MÉCANIQUE QUANTIQUE
PHY731
par
David SÉNÉCHAL
Ph.D., Professeur Titulaire
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UNIVERSITÉ DE SHERBROOKE
Faculté des sciences
Département de physique
10 août 2016

2

Table des matières
1 Principes fondamentaux et Révision 11
A Rappels de mécanique classique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
A.1 Équations de Lagrange . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
A.2 Équations de Hamilton . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
A.3 Exemple : oscillateur harmonique simple . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
B Quantification canonique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
B.1 Espace des états . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
B.2 Observables et opérateurs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
B.3 Probabilités et processus de mesure . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
B.4 Quantification canonique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
B.5 Évolution temporelle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
B.6 Représentation en coordonnées . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
C Puits et barrières de potentiel en une dimension . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
C.1 Effet tunnel et matrice de transfert . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
C.2 Effet tunnel résonant . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
D Oscillateur harmonique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
D.1 États propres et opérateurs d’échelle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
D.2 États cohérents . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
2 Théorie de la symétrie 33
A Opérations de symétrie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
A.1 Symétries et transformations unitaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
A.2 Translations et représentation en impulsion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
A.3 Évolution temporelle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37
A.4 Parité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38
A.5 Systèmes composites . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39
B Théorie du moment cinétique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39
B.1 Générateurs et moment cinétique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39
B.2 États propres du moment cinétique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41
B.3 Matrices de rotation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42
B.4 Composition du moment cinétique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44
C Théorie des groupes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44
C.1 Définitions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44
C.2 Exemples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45
C.3 Représentations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45
C.4 Algèbres de Lie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47
C.5 Les groupes SU(2)et SO(3). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48
D Lois de conservation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49
D.1 Théorème de Noether . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49
D.2 Écoulements de symétrie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50
3

4 TABLE DES MATIÈRES
3 Théorie des perturbations 59
A Perturbations stationnaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59
A.1 Série de Brillouin-Wigner . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59
A.2 Renormalisation de la fonction d’onde . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61
A.3 Exemple : polarisabilité d’un atome . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62
B Perturbations dépendant du temps . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63
B.1 Point de vue d’interaction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64
B.2 Règle d’or de Fermi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64
B.3 Perturbation adiabatique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67
B.4 Processus de désintégration . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68
B.5 Perturbations harmoniques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69
B.6 Transitions du deuxième ordre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70
C Diffusion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71
C.1 Équation intégrale de la diffusion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71
C.2 Section efficace . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73
C.3 Section efficace et règle d’or de Fermi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74
C.4 Diffusion de Coulomb . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75
4 Deuxième Quantification 81
A Espace de Fock . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81
A.1 États symétrisés . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81
A.2 Opérateurs de création et d’annihilation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83
A.3 États antisymétrisés . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84
A.4 Relations d’anticommutation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85
A.5 Densité et nombre de particules . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86
A.6 États de base différents . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87
B Hamiltonien à un corps . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89
B.1 Opérateurs à un corps . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89
B.2 États propres . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91
B.3 Gaz de bosons et de fermions libres . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93
C Interaction à deux corps . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94
C.1 Opérateurs à deux corps . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94
C.2 Formulation lagrangienne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97
D Approximation de Hartree-Fock . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97
D.1 Méthode du champ auto cohérent . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 98
D.2 Théorème de Wick . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99
D.3 Équations de Hartree-Fock . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101
E Annexe : Permutations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103
5 Applications à la physique du solide 109
A Fonctions de Bloch et de Wannier . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 109
A.1 Réseaux . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 109
A.2 Fonctions de Bloch . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111
A.3 Fonctions de Wannier . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113
B Modèle d’électrons localisés . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 115
B.1 Modèle de Hubbard . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 115
B.2 Échange : modèle de Heisenberg . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 117

TABLE DES MATIÈRES 5
B.3 Super-échange . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 119
C Ondes de spin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121
C.1 Cas ferromagnétique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121
C.2 Cas antiferromagnétique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 124
6 Bosons 135
A Oscillateurs couplés . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 135
A.1 Oscillateurs réels . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 135
A.2 Dégénérescence des fréquences . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 137
A.3 Chaîne linéaire d’oscillateurs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 138
A.4 Translations et impulsion cristalline . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 140
B Champ scalaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 141
B.1 Limite continue . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 141
B.2 Relation de dispersion et énergie du vide . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 145
B.3 Terme de masse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 147
B.4 Cas tridimensionnel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 147
B.5 Fonctions propres générales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 148
C Photons . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 150
C.1 Rappels d’électromagnétisme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 150
C.2 Fonctions propres . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 151
C.3 Polarisations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 152
D Théorème de Noether . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 153
D.1 Transformations continues . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 154
D.2 Transformations infinitésimales et théorème de Noether . . . . . . . . . . . . . 155
D.3 Tenseur d’énergie-impulsion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 157
D.4 Champ scalaire complexe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 158
7 Interactions lumière-matière 169
A Hamiltonien d’interaction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 169
A.1 Force de Lorentz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 169
A.2 Couplage minimal et invariance de jauge . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 171
A.3 Courant paramagnétique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 172
B Émission et absorption . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 174
B.1 Taux d’émission et d’absorption . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 174
B.2 Rayonnement dipolaire électrique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 176
B.3 Règles de sélection . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 177
B.4 Section d’absorption et règle de somme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 178
B.5 Effet photoélectrique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 180
C Diffusion de la lumière . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 182
C.1 Généralités . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 182
C.2 Diffusion Thomson . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 183
C.3 Diffusion Raman . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 184
C.4 Résonances . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 188
8 Théorie relativiste de l’électron 193
A Groupe de Lorentz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 193
A.1 Rappels . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 193