Aide mémoire réseaux de Petri

Aide mémoire réseaux de Petri
Master SAR – Modélisation de systèmes répartis (NI 405)
Premier semestre 2011-2012
1 Réseaux de Petri classiques
1.1 Définitions
Syntaxe. Un réseau de Petri est un quadruplet N=
hP, T, Pré,Postioù :
–Pest un ensemble de places,
–Test un ensemble de transitions,
–P∩T=∅,
–Pré :P×T→Nest la relation de précondition,
–Post :P×T→Nest la relation de postcondition,
On peut y ajouter m0∈P→N, le marquage initial.
Sémantique.
– Une configuration d’un réseau de Petri ou marquage est
un élément de NP, c’est à dire un vecteur indexé par les
places.
– Depuis un marquage m∈NP, une transition t∈Test
franchissable (on dit encore activée ou tirable) depuis
msi :
∀p∈P, m(p)≥Pré(p, t).
On écrit alors m[tiou mt −→.
– Si test franchissable de puis m, on atteint alors le mar-
quage m0, ce qui est noté m[tim0(ou mt −→ m0) où m0
est défini par :
∀p∈P, m0(p) = m(p)−Pré(p, t) + Post(p, t).
– Ces définitions s’étendent aux séquences de transitions.
– Un marquage est accessible depuis m0si :
∃σ∈T∗, m0[σim.
Le graphe des marquages accessibles de Ndepuis m0est le
graphe dont les états sont les marquages accessibles et la re-
lation de transition est [·i. On le construit itérativement de-
puis m0, en construisant pour chaque marquage atteint ses
successeurs par toutes les transitions franchissables. On note
G(N, m0)ce graphe, ou G(N)lorsque le marquage initial est
évident.
Le graphe des marquages peut être infini.
Représentation graphique.
La valeur par défaut
(1) est omise.
Un arc à valeur 0
n’est pas dessiné.
pt
Pré(p, t)
Post(p, t)
Représentation matricielle
Pré =
Pré(p1, t1)Pré(p1, t2)· · · Pré(p1, t|T|)
Pré(p2, t1)Pré(p2, t2)· · · Pré(p2, t|T|)
.
.
..
.
.....
.
.
Pré(p|P|, t1)Pré(p|P|, t2)· · · Pré(p|P|, t|T|)
Post =
Post(p1, t1)Post(p1, t2)· · · Post(p1, t|T|)
Post(p2, t1)Post(p2, t2)· · · Post(p2, t|T|)
.
.
..
.
.....
.
.
Post(p|P|, t1)Post(p|P|, t2)· · · Post(p|P|, t|T|)
On note C=Post −Pré la matrice d’incidence.
La matrice d’incidence donne le résultat du franchis-
sement de chaque transition, mais elle ne donne pas la condi-
tion de franchissabilité.
Un marquage peut être vu comme un vecteur colonne :
m=
m(p1)
m(p2)
.
.
.
m(p|P|)
Pour une séquence de transition σ, le vecteur de Parikh de
σest le vecteur ligne σqui donne pour chaque transition son
nombre d’occurrences dans σ.
Si m[σim0, on a alors m0=m+C·σ.
1.2 Propriétés fondamentales
Existence d’une séquence infinie.
∃σ∈Tω,∀σ0∈T∗, σ0σ⇒m0[σ0i
Pseudo-vivacité «Le réseau n’est jamais bloqué »
∀m∈ G(N, m0),∃t∈T, m [ti
Quasi-vivacité «Toute transition est utile »
∀t∈T, ∃m∈ G(N, m0), m [ti
Vivacité «Toute transition est toujours utile »
∀m∈ G(N, m0),∀t∈T, ∃m0∈ G(N, m), m0[ti
Caractère non-borné
∀n∈N,∃m∈ G(N),∃p∈P, m(p)> n
État d’accueil «Un marquage où l’on peut toujours revenir »
maest un état d’accueil si ∀m∈ G(N), ma∈ G(N, m)
1.3 Couverture
L’ordre de couverture ≤sur les marquages est défini par :
∀m, m0∈NP, m ≤m0⇐⇒ ∀p∈P, m(p)≤m0(p)
L’ordre de couverture strict est donc :
∀m, m0∈NP, m < m0⇐⇒ ∀p∈P, m(p)≤m0(p)
∧ ∃p∈P, m(p)< m0(p)
1

Monotonie. La franchissabilité, la quasi-vivacité, le carac-
tère non-borné du réseau sont des propriétés monotones. Cas
de la franchissabilité :
∀m1, m2, m0
1∈NP,∀σ∈T∗(m1≤m2∧m1[σim0 1)
=⇒(∃m0
2∈NP, m2[σim0 2∧m0 1≤m0 2)
La pseudo-vivacité, la vivacité, et le fait d’avoir un état
d’accueil ne sont pas monotones
Graphe de couverture On construit l’arbre de couverture
itérativement :
1) Construire les successeurs par toutes les transitions fran-
chissables.
2) Si un marquage déjà ancêtre est construit, on arrête la
branche.
3) Si un marquage mcouvre strictement un ancêtre m0, on
remplace m(p)par ωdès que m(p)> m0(p).
On replie l’arbre en fusionnant les états identiques.
– Le graphe de couverture est fini.
– Si le graphe n’a pas d’ω, le réseau est borné.
– Sinon, un ωsignifie que l’on peut atteindre un marquage
arbitrairement grand dans cette place.
– Si une composante fortement connexe terminale du
graphe de couverture ne contient pas toutes les transi-
tions, alors Nn’est pas vivant. k
– Si le graphe de couverture a un nœud sans successeur,
alors Nn’est pas pseudo-vivant.
Le graphe de couverture ne préserve pas l’ensemble des
marquages accessibles. Il ne permet pas non plus de connaître
le chemin à prendre pour couvrir un marquage donné (on peut
cependant le dériver de l’arbre).
1.4 Extensions par arcs inhibiteurs
On ajoute une fonction d’inhibition Inh :P×T→
(N\{0})]{+∞} qui modifie la définition de franchissabilité
comme suit :
m[tissi ∀p∈P, Pré(p, t)≤m(p)<Inh(p, t)
L’expressivité est accrue, mais il est aisé d’encoder une
machine à deux compteurs : l’accessibilité d’un marquage
n’est plus décidable.
Représentation graphique.
La valeur par défaut (1)
est omise.
pt
Inh(p, t)
Un arc inhibiteur à valeur +∞n’est pas dessiné.
2 Réseaux de Petri colorés
Dans chaque place, on n’a plus des jetons indifférenciés
mais des jetons colorés : on les compte par couleur dans un
multi-ensemble.
Un multi-ensemble sur Cest une fonction de Cvers N.
Pour deux multi-ensembles µ, µ0∈Bag(C),µ≤µ0si
∀c∈C, µ(c)≤µ0(c). On les note parfois comme une somme
d’éléments de C.
Syntaxe. Un réseau de Petri coloré est un quintuplet
hP, T, C, W −, W +, gioù :
–Pest un ensemble de places,
–Test un ensemble de transitions,
–P∩T=∅,
–Cest la fonction de couleur définie sur P]T,
–W−est la relation de précondition,
–W+est la relation de postcondition,
–∀p∈P,∀t∈T,W±(p, t) : Bag(C(t)) →Bag(C(p))
est une fonction linéaire,
–gla garde, telle que ∀t∈T,g(t)⊆C(t).
On peut aussi y ajouter m0, le marquage initial, tel que pour
p∈P,m(p)∈Bag(C(p)).
Sémantique
– Un marquage associe à chaque place pun multi-
ensemble sur C(p).
– Depuis un marquage m, une transition test franchis-
sable avec une instance ct∈C(t)si :
ct∈g(t)∧ ∀p∈P, m(p)≥W−(p, t)(ct)
On écrit alors m[t, cti(ou mt,ct −−→).
– Si test franchissable depuis mavec l’instance ct, on at-
teint alors le marquage m0, ce qui est noté m[t, ctim0
(ou mt,ct −−→ m0) où m0est défini par :
∀p∈P, m0(p) = m(p)−W−(p, t)(ct)+W+(p, t)(ct).
Couleurs et fonctions classiques de pré/post-condition.
Les domaines de couleurs sont finis, autrement on encode ai-
sément un emachine à (deux) compteurs. Ce sont souvent des
produits cartésiens d’ensembles finis.
Un domaine de couleur ordonné circulairement de taille k
est un ensemble isomorphe à ({0, . . . , k −1}. On écrit alors
x++ au lieu de x+ 1[k].
Le raccourci C.All désigne «un jeton de chaque couleur
dans C»:C.All =Pc∈Cc, ou encore ∀c∈C, C.All(c)=1.
Dépliage Le dépliage transforme un réseau coloré en un ré-
seau classique. Il consiste à séparer la place pen une place par
couleur dans C(p)et chaque transition ten une transition par
instance de C(t)(satisfaisant la garde).
Le dépliage de N=hP, T, C, W −, W +, gien NNB =
hPNB, TNB,Pré,Postise définit par :
–PNB =Sp∈P{(p, c)|c∈C(p)}
–TNB =St∈T{(t, c)|c∈C(t)∩g(t)}
–∀(p, cp)∈PNB,∀(t, ct)∈TNB,
Pré((p, cp),(t, ct)) = W−(p, t)(ct)(cp).
–∀(p, cp)∈PNB,∀(t, ct)∈TNB,
Post((p, cp),(t, ct)) = W+(p, t)(ct)(cp).
Le marquage initial m0se déplit en m0,NB tel que pour (p, c)∈
PNB m0,NB(p, c) = m0(p)(c).
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