mecanique i - Université Virtuelle de Tunis

Ministère de l’Enseignement Supérieur, de la Recherche Scientifique et de la
Technologie
Université Virtuelle de Tunis
1
M Hichem Trabelsi
MECANIQUE I
PRINCIPES DE LA DYNAMISME
D’UN SYSTEME MATERIEL
Habib Bouchriha, Zeineb Benahmed, Dhouha Gamra, Ridene Saïd
Attention !
Ce produit pédagogique numérisé est la propriété exclusive de
l'UVT. Il est strictement interdit de la reproduire à des fins
commerciales. Seul le téléchargement ou impression pour un
usage personnel (1 copie par utilisateur) est permis.

Principes de la dynamique dun
système matériel
Nous nous sommes intéressés, dans le chapitre 5, aux principes de la dy-
namique du point matériel qui est le système le plus simple puisque constitué
dun seul élément de matière de dimensions très petites devant les distances
mises en jeu.
Nous allons considérer maintenant le système matériel le plus général qui
est constitué dun ensemble de points matériels ou "particules". Le nombre de
ces particules peut être limité, cest le cas du système de plusieurs particules
ou presque inniment grand comme cest le cas du solide qui est constitué
dun assemblage dun très grand nombre de particules (atomes, molécules,
..). Dans ce dernier cas, on ne sintéressera quau solide indéformable où
les distances entre les particules restent xes lorsquon applique une action
extérieure.
Nous allons donc généraliser le principe fondamental de la dynamique
dune particule à un système de points matériels et à un solide en mouvement
dans un référentiel galiléen et nous montrerons limportance du mouvement
du centre de masse. Nous établirons également la relation fondamentale de
la dynamique dans le cas des mouvements de rotation.
1. 1. Principe fondamental de la dynamique
dun système de points matériels
1.1. 1.1 Formulation du principe
On considère un système matériel formé de n particules M1, M2, ....Mn,
de masses respectives m1, m2, ....mn.

2
Une particule Mide ce système est soumise à deux types de forces :
- des forces intérieures notées ! Fi j exercées par les autres particules
du système,
- des forces extérieures exercées par le milieu extérieur au système
et dont la résultante est notée ! Fi. Cette force ! Fipeut être, par exemple, le
poids qui décrit lattraction de la Terre sur la particule Mi.
13
F
•
•
•
32
F
31
F
21
F
12
F
23
F
(3)
(2)
(1)
3
F
2
F
1
F
Fig.6.1. : Forces appliquées à chacune des trois particules du système
Le principe fondamental de la dynamique appliqué à la particule Mia-
nimée, dans un référentiel galiléen, dun mouvement de vitesse ! Viet de
quantité de mouvement ! pisécrit :
d! pi
dt =X
j6=i
!
Fji +! Fi(1)
où la somme porte sur toutes les autres particules constituant le système.
Pour appliquer le principe fondamental au système, il su¢t alors de som-
mer léquation précédente sur toutes les n particules. On aura alors :
n
P
i=1
d! pi
dt =
n
P
i=1P
j6=i
!
Fji +
n
P
i=1
!
Fi
* le membre de gauche sécrit :
n
P
i=1
d! pi
dt =d dt
n
P
i=1!
pi=d!
p
dt
où ! p=
n
P
i=1!
piest la quantité de mouvement totale du système,
* le premier membre de droite est nul en vertu du principe de laction et
de la réaction (! Fij =! Fji), soit :
n
P
i=1P
j6=i
!
Fji =! 0

3
* le deuxième membre de droite nest autre que la résultante de toutes
les forces extérieures exercées sur les n particules. On peut lécrire sous la
forme : n
P
i=1
!
Fi=! Fext
Le principe fondamental sécrit alors pour tout le système :
d! p
dt =!
Fext (2)
qui est une forme similaire à celle du principe fondamental de la dynamique
dune particule et que lon peut énoncer ainsi :
"Dans un référentiel galiléen, la dérivée par rapport au temps
de la quantité de mouvement totale dun système de points maté-
riels est égale à la résultante des forces extérieures appliquées au
système."
1.2. 1.2 Mouvement du centre dinertie
Par dénition, le centre dinertie (ou centre de gravité ou centre de masse)
dun système est un point matériel ctif a¤ecté de la masse totale M du
système considéré et dont la quantité de mouvement est égale à la somme
des quantités de mouvement des particules constituant le système. On a
donc :
M=P
i
mi
!
p=P
i!
pi=P
i
mi! Vi=P
i
mi
d! ri
dt =d dtP
i
mi! ri
où ! riest le vecteur position de la particule Midans le référentiel galiléen
dorigine O où est analysé le mouvement du système.
Comme le vecteur position du centre dinertie G est déni par :
M! OG =P
i
mi! OMi=P
i
mi! ri
On a donc :
!
p=d
dtP
i
mi! ri=d
dt M!
OG=Md!
OG
dt =M!
VG
où ! VGest la vitesse du centre dinertie dans le référentiel considéré.
Il sensuit donc que la quantité de mouvement totale du système sidentie
à la quantité de mouvement du centre dinertie Soit :

4
!
p=P
i!
pi=! pG=M! VG
Le principe fondamental de la dynamique pour le système de points ma-
tériels sécrit alors :
d! p
dt =d dt M!
VG=Md!
VG
dt =M!
G=! Fext
soit :
M! G=! Fext (3)
qui est une relation similaire à celle de la relation fondamentale de la dy-
namique dun point matériel :
" Le mouvement du centre dinertie dun système de parti-cules
est équivalent à celui dune particule ctive unique ayant la masse
totale du système et soumise à la résultante des forces extérieures
appliquées au système".
Dans le cas où le système de particules est isolé, cest-à-dire que la résul-
tante des forces extérieures est nulle, on a :
d! p
dt =d!
pG
dt =!
0
!
pGest donc un vecteur constant et il en est de même pour la vitesse ! VG
du centre dinertie G. Le mouvement de G obéit donc au principe de linertie
et son vecteur position ! rG=! OG est tel que :
!
VG=d!
rG
dt =!
p
Msoit !
rG=!
p
Mt+!
R0
où ! rG(t)est le vecteur position du centre dinertie à tout instant et ! r0est
son vecteur position au temps t= 0.
Ainsi tout référentiel lié au centre dinertie dun système isolé constitue un
référentiel dinertie ou référentiel galiléen. Nous verrons que ces référentiels
jouent un rôle privilégié pour décrire certains mouvements.
Notons enn que le mouvement du centre dinertie est celui qui est le
plus perçu dans la vie courante. Ainsi, lorsquun enfant méchant lance un
petit chat en lair ou lorsquun joueur de rugby e¤ectue une "touche", la
trajectoire du centre dinertie est facile à suivre, aussi complexes que soient
les mouvements des di¤érents constituants du système. Ce sera, dans tous les
cas une trajectoire parabolique si le frottement de lair est négligeable. Les
forces intérieures ninterviennent pas et les forces extérieures se réduisent à
la force de pesanteur.