Electromagnétisme - mpsi

Lycée François Arago
Perpignan
M.P.S.I.
2012-2013
Electromagnétisme
Chapitre 4 : Champ magnétostatique
Objectifs :
• Savoirs :
– connaître le loi de Biot et Savart
– connaître les propriétés de symétrie du champ magnétostatique
– connaître le théorème d’Ampère
• Savoirs faire :
– déterminer la direction d’un champ magnétostatique à partir des symétries de la distribution de charges
– déterminer les coordonnées dont dépendent les composantes d’un champ magnétostatique à partir des invariances de la distribution de charges
– calculer un champ magnétostatique par intégration directe
– calculer un champ magnétostatique en utilisant le théorème d’Ampère
1
Distributions de courant.
1.1
Rappels sur le courant électrique.
• Nous avons déjà défini la notion de courant électrique comme tout déplacement ordonné de particules chargées.
Il s’agit d’un mouvement d’ensemble des particules, lié à une action extérieure, à ne pas confondre avec le
mouvement d’agitation thermique qui est nul en moyenne.
• Intensité électrique (à travers une section S).
dq
C’est la charge traversant S par unité de temps : I =
si dq correspond à la charge mobile traversant S
dt
pendant dt.
• On a distingué :
– les courants de conduction : déplacement de charges dans un support matériel sans déplacement du support(usuellement, les électrons dans les métaux) ;
– les courants de convection : déplacement de charges par déplacement du support matériel (disque isolant
chargé en rotation) ;
– les courants particulaires : faisceau de charges sans support matériel (rayons cathodiques, faisceaux d’électrons).
Tous les différents types de courants peuvent être à l’origine d’un champ magnétique.
S. Bénet
1
1.2
Notion de vecteur élément de courant pour une distribution de courant linéique
On limitera cette année notre étude à des distributions de courants électrique filiformes.
Elles sont utilisées pour modéliser des distributions de courants dont les dimensions sont très petites dans deux
directions de l’espace par rapport à la troisième.
En électrostatique, le champ électrostatique a été calculé à partir du concept de charge élémentaire dq(P ) centrée en
P.
−
→
Par analogie, le champ magnétostatique sera calculé à partir du concept de vecteur élément de courant d C (P ) centré
en P .
−
→
Pour une distribution linéique de courant, le vecteur élément de courant dC (P ) centré en P est défini par :
−
→
−−→
dC (P ) = I d(OP )
−−→
Le vecteur déplacement élémentaire le long du circuit d(OP ) étant pris par convention dans le sens du courant
électrique
1.3
Symétries et invariances de la distribution de courant.
Tout comme dans le chapitre d’électrostatique, la recherche des plans de symétrie (ou d’antisymétrie) et des invariances
de la distribution de courants est extrêmement importante.
1.3.1
Distribution de courant présentant un plan de symétrie Π.
Considérons la distribution D ci-contre qui présente un plan de symétrie que
nous notons Π.
Considérons le point P et le point P ′ , son symétrique par rapport au plan Π.
La distribution de courant est invariante par symétrie par rapport au plan Π
si les éléments de courants en P et P ′ sont symétriques par rapport au plan Π.
Π
Une distribution de courant présente un plan de symétrie Π si les éléments de courants en deux points P et P ′
symétriques par rapport à ce plan Π sont symétriques.
En P ′ symétrique de P par rapport au plan Π on a :
h −
i
−
→
→
dC (P ′ ) = sym dC (P )
Par exemple, pour la distribution de courants constituée par 2 fils infinis parallèles parcourus par un courant de même
intensité de même sens le plan milieu est un plan de symétrie.
1.3.2
Distribution de courant présentant un plan de d’antisymétrie Π∗ .
Une distribution de courant présente un plan d’antisymétrie Π∗ si les éléments
de courants en deux points P et P ′ symétriques par rapport à ce plan Π∗ sont
antisymétriques.
En P ′ symétrique de P par rapport au plan Π∗ , on a :
h −
i
−
→
→
dC (P ′ ) = −sym dC (P )
M
Π∗
Par exemple, pour la distribution de courants constituée par une spire parcourue par un courant d’intensité I, tout
plan contenant l’axe de la spire est un plan d’antisymétrie.
1.3.3
Invariance des sources.
Une distribution de courant est invariante par translation le long d’un axe ∆ si en tout point P ′ déduit du point P par
cette translation la distribution de courant est identique.
Une distribution de courant est invariante par rotation autour d’un axe ∆ si en tout point P ′ déduit de P par rotation
autour de l’axe ∆ la distribution de courant est identique.
S. Bénet
2/10
2
2.1
Le champ magnétostatique.
Loi de Biot et Savart
2.1.1
Champ magnétostatique élémentaire créé en M par un élément de courant centré en P.
2.1.2
Champ magnétostatique créé en M par une distribution de courant.
2.2
Topographie du champ magnétique.
Nous allons observer des cartes de champ issues d’aimants ou de diverses distributions de courant, de façon à dégager
−
→
les propriétés qualitatives du champ B .
2.2.1
Réalisation expérimentale.
En saupoudrant de limaille de fer une plaque plane placée dans un champ magnétique créé par un courant ou un
aimant, on voit se dessiner une figure, appelée spectre magnétique, qui représente la carte de champ.
On observe ci-après les cartes de champ respectives d’un aimant droit (figure 1) et d’un solénoïde (figure 2) qui est un
ensemble de spires.
3
2
N
S
N
S
N
S
N
S
0
S
S
N
N
S
N
N
N
S
1
S
S
N
-1
Figure 1 – Spectre magnétique d’un
Figure 2 – Spectre magnétique d’un
Figure 3 – Limaille alignée suivant
aimant
solenoïde (bobine)
les lignes de champ.
−
→
En présence du champ B appliqué, les morceaux de limaille s’aimantent.
−→
Chaque morceau placé en un point M acquiert un moment magnétique M dirigé du pôle Sud vers le pôle Nord,
−
→
devenant ainsi lui-même un petit aimant qui s’oriente le long de la direction de B et dans le sens de celui-ci (à cause
−
→ −→ −
→
du couple Γ = M ∧ B ) (figure 3).
2.2.2
Utilisation de l’informatique.
5
4
De même que pour les cartes de champ électrostatiques, on peut
construire une carte de champ magnétostatique à l’aide de l’outil in−
→
formatique, en utilisant la loi mathématique du champ B créé par la
distribution D de courants et les propriétés des lignes de champ.
3
2
1
0
b
-1
On peut par exemple observer ci-contre la carte de champ simulée issue
d’une spire plane circulaire parcourue par un courant continu d’intensité
uniforme.
-2
-3
-4
-5
-6
2.2.3
Lignes de champ.
Définition
−
→
C’est exactement la même que pour le champ électrostatique, à savoir qu’il s’agit d’une ligne tangente au champ B
en chacun de ses points.
S. Bénet
3/10
Équation mathématique
L’équation mathématique qui caractérise une ligne de champ est
−
→
−−−→
B (M ) ∧ dOM = 0
−
→
−−−→
puisque B (M ) est colinéaire au vecteur déplacement élémentaire dOM .
En coordonnées cartésiennes :
dy
dz
dx
=
=
Bx (M )
By (M )
Bz (M )
En coordonnées cylindriques :
r dθ
dz
dr
=
=
Br (M )
Bθ (M )
Bz (M )
En coordonnées sphériques :
dr
r dθ
r sin θ dϕ
=
=
Br (M )
Bθ (M )
Bϕ (M )
Deux lignes de champ ne peuvent pas se couper, comme le suggère le schéma figure 4, en un point M où le champ
magnétique est défini et non nul. La direction du champ, et donc le champ lui-même, ne serait pas définie en ce point.
Si le champ est nul au point M , alors M est appelé point de champ nul (ou point d’arrêt).
Tube de champ
L’ensemble des lignes de champ s’appuyant sur une courbe fermée (ou contour) C engendre une surface (S) appelée
tube de champ, représenté sur le schéma figure 5.
Lignes de champ s’appuyant
sur le contour C
?
b
−
→
B
M
contour C
−
→
B
Surface (S)
du tube de champ
Figure 4 – Intersection de lignes
de champ magnétique.
2.2.4
Figure 5 – Tube de champ magnétique
Exemples de cartes de champ.
Champ créé par un fil rectiligne infini.
L’allure générale est très différente de celle d’un champ électrostatique dont les lignes de champ ne sont jamais des
courbes fermées. Ici les lignes de champ ne divergent pas à partir de leur source (les courants) : elles tourbillonnent
autour de celle-ci. Les lignes de champ sont des cercles ayant le fil pour axe (figure 6).
S. Bénet
4/10
z
−
→
dB
n
M
s
I
−
→
I
bc
P
Nord
ϕ
−→
−
→
−→
M = I S = Iπa2 uz
O
(C)
x
Figure 6 – Lignes de champ magnétique
créées par un fil infini
−
→
u
Q
S
−
→
dℓ
y
Sud
Figure 7 – Calcul du champ magnétique créé par
une spire circulaire.
Champ créé par une spire circulaire.
•Distribution de courant.
La spire circulaire C (figure 7) est assimilable au cercle de rayon a et d’axe (Oz) du plan z = 0, orientée par le vecteur
−
→
ez .
Pour I > 0, les faces Sud et Nord ont les positions indiquées sur le schéma (le tire-bouchon va du Sud vers le Nord en
s’enroulant suivant I).
•Observation de la carte de champ, figure 8
5
4
Il y a invariance de la distribution de courants par rotation autour
de (Oz) donc il faut imaginer la représentation tridimensionnelle
des lignes de champ par rotation autour de (Oz).
Chaque ligne entoure une région du fil et la comparaison des 2
régions y > 0 et y < 0 conduit à une même règle :
«Un tire-bouchon dont la pointe progresse dans le sens du courant
le long d’un élément de fil tourne dans le sens des lignes de champ
qui entourent cet élément».
L’écartement des lignes de champ croît quand on s’éloigne de la
spire : cette propriété est relative au caractère conservatif du flux
du champ magnétique.
S. Bénet
3
2
1
0
b
-1
-2
-3
-4
-5
-6
Figure 8 – Carte du champ magnétique d’une
spire circulaire.
5/10
Champ des bobines de Helmholtz.
•Distribution de courant.
z
a
L’intérêt expérimental de ce dispositif est de présenter un champ
magnétique quasi uniforme au voisinage de son centre.
bc
Il peut être décrit (figure 9) comme un système de 2 spires (S1 ) et
(S2 ), de même rayon a, de même axe (Oz), situées respectivement
a
dans les plans parallèles z = ± , de telle sorte que la distance
2
entre les deux spires est égale à leur rayon commun.
Les spires sont orientées positivement autour de (Oz) et sont parcourues dans le même sens par un courant continu de même intensité I.
•Observation de la carte de champ.
Il y a invariance de la distribution de courant par rotation autour
de (Oz) donc il faut imaginer la représentation tridimensionnelle
des lignes de champ par rotation autour de (Oz).
y
a
x
a
bc
n
s
−
→
I
−→ −−→ −−→
−→
M = M1 + M2 = 2Iπa2 uz
Figure 9 – Courants dans les bobines de
Helmholtz
z
5
4
3
2
b
1
Dans la région entourant le centre de symétrie O du dispositif, les
lignes de champ sont remarquablement parallèles (figure 10).
On observe 2 types de lignes de champ :
b
-1
-2
Ceci nous indique l’intérêt pratique du dispositif : les bobines de
Helmholtz produisent un champ qui est remarquablement uniforme dans la région interne au dispositif. C’est ce que l’on observe
sur la courbe figure 11 où B(0) représente la norme du champ au
point O.
y
0
b
-3
-4
-5
-6
Figure 10 – Carte du champ créé par une bobine de Helmholtz
• celles au voisinage d’une spire donnée : elles ressemblent à celles relatives à une seule spire, l’effet de l’autre étant
très faible ;
• celles qui entourent l’ensemble des 2 spires (comportement global).
Entre ces 2 comportements on observe des lignes de champ particulières, dites "singulières", comme celle qui passe par
−
→
C. En C le champ B est nul et, compte tenu de la symétrie de révolution, le système admet un cercle de champ nul
d’axe (Oz).
Remarque : à grande distance la carte de champ tend vers celle du dipôle électrique (figure 12). Ce résultat est général :
le champ magnétostatique de toute distribution de courant de moment magnétique non nul a, à grande distance, la
même structure dite "champ d’un dipôle magnétique" (cf. Spé).
S. Bénet
6/10
6
B(z)/B(0)
z
5
1.000
5
4
0.990
3
4
2
0.980
1
3
0.970
2
0.960
b
-1
b
y
0
b
-2
-3
0.950
-4
1
ξ = z/a
0
0
1
-0.4
-0.2
2
3
0
0.2
0.4
4
5
6
-6
7
Figure 11 – Norme du champ magnétique dans l’axe
des bobines de Helmholtz
2.2.5
-5
8
Figure 12 – Lignes de champ magnétique loin des
bobines de Helmholtz
Propriétés des lignes de champ.
Comparaison avec les lignes de champ électriques.
Localement, au voisinage de la distribution de courants, le champ magnétique a la même structure que le champ
magnétique créé par un fil rectiligne infini. Il est donc orthoradial et "tourne" autour des courants qui le créent. Les
−
→
lignes de champ du champ B s’enroulent donc autour des sources qui le créent. Ceci constitue une différence essentielle
−
→
avec le champ E pour lequel les lignes de champ convergent ou divergent vers les charges électriques ou sources qui
le créent.
Cette propriété peut être illustrée à l’aide des figures 13 et 14 suivantes :
b
I
Figure 13 – Lignes de champ magnétique
q
b
Figure 14 – Lignes de champ électrique
−
→ −
→
Ceci permet de distinguer les champs E et B à partir du calcul de leur flux à travers une surface fermée ou du calcul
de leur circulation le long d’un contour fermé.
Conséquences sur le flux.
−
→
Dans le cas du champ E , les lignes de champ traversent un nombre impair de fois toute surface fermée entourant la
−
→
charge, et le flux du champ E à travers cette surface est non nul.
La relation entre flux et charge s’obtient par le théorème de Gauss.
−
→
Au contraire, les lignes de champ B peuvent être parallèles à la surface fermée ou sinon, elles coupent la surface en
−
→
un nombre pair de fois, ce qui conduit à une contribution nulle au flux du champ B à travers cette surface fermée.
−
→
Le résultat théorique correspondant est le fait que le champ B est à flux conservatif.
Conséquences sur la circulation.
−
→
Dans le cas du champ E , les lignes de champ peuvent être perpendiculaires au contour fermé, ce qui conduit à une
−
→
contribution nulle à la circulation du champ E le long du contour fermé.
S. Bénet
7/10
−
→
Le résultat théorique correspondant est le fait que le champ E est à circulation conservative.
−
→
Au contraire, les lignes de champ B peuvent être parallèles au contour fermé, ce qui conduit à une contribution non
−
→
nulle à la circulation du champ B le long du contour fermé.
La relation entre circulation et courant s’obtient par le théorème d’Ampère.
2.3
Propriétés de symétrie du champ magnétostatique.
2.3.1
Distribution de courant présentant un plan de symétrie Π.
Soit une distribution de courants admettant un plan de symétrie Π.
En un point M de ce plan, le champ magnétostatiques est contenu dans le plan d’antisymétrie Π. En effet :
!
−−−→
−−→
−
→
→ d−
→ −−−→
−→
−
→′
−
→
u−
µ0 d C ∧ (−
u−
C(P ′ ) ∧ −
u−
µ0 dC(P ) ∧ −
PM
P M + uP ′ M )
P ′M
=
+
d B + dB =
4π
PM2
P ′M 2
4π
PM2
→+−
−→ appartient à Π.
où −
u−
u−
PM
P ′M
Ce champ est donc orthogonal à Π car ses composantes dans le plan sont nulles figures 17 et 16 et seule subsiste la
composante orthogonale non nulle figure 15.
−−→
dBP′
−−→
dBP
M
b
M −−→
dBP′
−−→
dBP
b
M −−→
dBP′
−−→
dBP
−→
dC ′
b
b
−→
dC ′
−
→
dC
P
P′
−
→
dC
P
P′
Π
−→
dC ′
−
→
dC
P
P′
Π
Π
~ sur le plan Π Figure 17 – Champ B
~ sur le plan Π
~ sur le plan Π Figure 16 – Champ B
Figure 15 – Champ B
~
~ suivant Oy
~
créé par dC suivant Ox
créé par dC
créé par dC suivant Oz
De façon générale, soit une distribution de courant admettant un plan de symétrie Π.
Les champs magnétostatiques créés en deux points M et M ′ symétriques par rapport à ce plan Π vérifient :
−
→
−
→ ′
B (M ) = −SymΠ B (M )
En un point M situé sur le plan de symétrie Π, le champ magnétostatique est perpendiculaire à ce plan Π
−
→
B
M
M’
M
−
→
B
−
→
B
Π
~ en un point sur un plan
Figure 18 – Champ B
de symétrie Π
S. Bénet
Π
~ en deux points M syméFigure 19 – Champ B
triques par rapport au plan Π
8/10
2.3.2
Distribution de courant présentant un plan d’antisymétrie Π∗ .
Soit une distribution de courants admettant un plan d’antisymétrie Π∗ .
En un point M de ce plan, le champ magnétostatiques est contenu dans le plan d’antisymétrie Π∗ . En effet :
!
−−−→
−−→
−
→
→ d−
→ −−−→
−→
−
→′
−
→
µ0 dC(P ) ∧ −
u−
µ0 d C ∧ (−
u−
C(P ′ ) ∧ −
u−
PM
P M − uP ′ M )
P ′M
d B + dB =
=
+
2
′
2
4π
PM
P M
4π
PM2
→ −−−→
∗
où −
u−
P M − uP ′ M appartient à Π .
Ce champ est donc contenu dans le plan d’antisymétrie Π∗ car ses composantes dans le plan sont nulles (cf schémas).
De façon générale, soit une distribution de courant admettant un plan d’antisymétrie Π∗ .
Les champs magnétostatiques créés en deux points M et M ′ symétriques par rapport à ce plan Π∗ vérifient :
−
→
−
→ ′
B (M ) = SymΠ∗ B (M )
En un point M situé sur le plan d’antisymétrie Π∗ , le champ magnétostatique est contenu dans ce plan Π∗
−
→
B
M
Π∗
~ en un point sur un plan
Figure 20 – Champ B
de symétrie Π∗
S. Bénet
−→
B′
M’
M
−
→
B
Π∗
~ en deux points M syméFigure 21 – Champ B
triques par rapport au plan Π∗
9/10
Table des matières
1 Distributions de courant.
1.1 Rappels sur le courant électrique. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.2 Notion de vecteur élément de courant pour une distribution de courant linéique
1.3 Symétries et invariances de la distribution de courant. . . . . . . . . . . . . . .
1.3.1 Distribution de courant présentant un plan de symétrie Π. . . . . . . . .
1.3.2 Distribution de courant présentant un plan de d’antisymétrie Π∗ . . . . .
1.3.3 Invariance des sources. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
.
.
.
.
.
.
2 Le champ magnétostatique.
2.1 Loi de Biot et Savart . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.1.1 Champ magnétostatique élémentaire créé en M par un élément de courant
2.1.2 Champ magnétostatique créé en M par une distribution de courant. . . .
2.2 Topographie du champ magnétique. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.2.1 Réalisation expérimentale. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.2.2 Utilisation de l’informatique. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.2.3 Lignes de champ. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.2.4 Exemples de cartes de champ. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.2.5 Propriétés des lignes de champ. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.3 Propriétés de symétrie du champ magnétostatique. . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.3.1 Distribution de courant présentant un plan de symétrie Π. . . . . . . . . .
2.3.2 Distribution de courant présentant un plan d’antisymétrie Π∗ . . . . . . .
S. Bénet
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. . . .
centré
. . . .
. . . .
. . . .
. . . .
. . . .
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. . . .
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. . . .
. . . .
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.
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.
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.
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.
.
.
.
1
1
2
2
2
2
2
. . . .
en P. .
. . . .
. . . .
. . . .
. . . .
. . . .
. . . .
. . . .
. . . .
. . . .
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.
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.
.
.
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.
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.
.
.
.
.
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.
.
.
3
3
3
3
3
3
3
3
4
7
8
8
9
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
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10/10