Electromagnétisme - mpsi

Lycée François Arago
Perpignan
M.P.S.I.
2012-2013
Electromagnétisme
Chapitre 4 : Champ magnétostatique
Objectifs :
• Savoirs :
–connaître le loi de Biot et Savart
–connaître les propriétés de symétrie du champ magnétostatique
–connaître le théorème d’Ampère
• Savoirs faire :
–déterminer la direction d’un champ magnétostatique à partir des symétries de la distri-
bution de charges
–déterminer les coordonnées dont dépendent les composantes d’un champ magnétosta-
tique à partir des invariances de la distribution de charges
–calculer un champ magnétostatique par intégration directe
–calculer un champ magnétostatique en utilisant le théorème d’Ampère
1 Distributions de courant.
1.1 Rappels sur le courant électrique.
• Nous avons déjà défini la notion de courant électrique comme tout déplacement ordonné de particules chargées.
Il s’agit d’un mouvement d’ensemble des particules, lié à une action extérieure, à ne pas confondre avec le
mouvement d’agitation thermique qui est nul en moyenne.
• Intensité électrique (à travers une section S).
C’est la charge traversant Spar unité de temps : I=dq
dtsi dqcorrespond à la charge mobile traversant S
pendant dt.
• On a distingué :
–les courants de conduction : déplacement de charges dans un support matériel sans déplacement du sup-
port(usuellement, les électrons dans les métaux) ;
–les courants de convection : déplacement de charges par déplacement du support matériel (disque isolant
chargé en rotation) ;
–les courants particulaires : faisceau de charges sans support matériel (rayons cathodiques, faisceaux d’élec-
trons).
Tous les différents types de courants peuvent être à l’origine d’un champ magnétique.
S. Bénet 1

1.2 Notion de vecteur élément de courant pour une distribution de courant linéique
On limitera cette année notre étude à des distributions de courants électrique filiformes.
Elles sont utilisées pour modéliser des distributions de courants dont les dimensions sont très petites dans deux
directions de l’espace par rapport à la troisième.
En électrostatique, le champ électrostatique a été calculé à partir du concept de charge élémentaire dq(P) centrée en
P.
Par analogie, le champ magnétostatique sera calculé à partir du concept de vecteur élément de courant d−→ C(P) centré
en P.
Pour une distribution linéique de courant, le vecteur élément de courant d−→ C(P) centré en Pest défini par :
d−→ C(P) = Id(−−→ OP )
Le vecteur déplacement élémentaire le long du circuit d(−−→ OP ) étant pris par convention dans le sens du courant
électrique
1.3 Symétries et invariances de la distribution de courant.
Tout comme dans le chapitre d’électrostatique, la recherche des plans de symétrie (ou d’antisymétrie) et des invariances
de la distribution de courants est extrêmement importante.
1.3.1 Distribution de courant présentant un plan de symétrie Π.
Considérons la distribution Dci-contre qui présente un plan de symétrie que
nous notons Π.
Considérons le point Pet le point P′, son symétrique par rapport au plan Π.
La distribution de courant est invariante par symétrie par rapport au plan Π
si les éléments de courants en Pet P′sont symétriques par rapport au plan Π. Π
Une distribution de courant présente un plan de symétrie Π si les éléments de courants en deux points Pet P′
symétriques par rapport à ce plan Π sont symétriques.
En P′symétrique de Ppar rapport au plan Π on a :
d−→ C(P′) = sym hd−→ C(P)i
Par exemple, pour la distribution de courants constituée par 2 fils infinis parallèles parcourus par un courant de même
intensité de même sens le plan milieu est un plan de symétrie.
1.3.2 Distribution de courant présentant un plan de d’antisymétrie Π∗.
Une distribution de courant présente un plan d’antisymétrie Π∗si les éléments
de courants en deux points Pet P′symétriques par rapport à ce plan Π∗sont
antisymétriques.
En P′symétrique de Ppar rapport au plan Π∗, on a :
d−→ C(P′) = −sym hd−→ C(P)iΠ∗
M
Par exemple, pour la distribution de courants constituée par une spire parcourue par un courant d’intensité I, tout
plan contenant l’axe de la spire est un plan d’antisymétrie.
1.3.3 Invariance des sources.
Une distribution de courant est invariante par translation le long d’un axe ∆si en tout point P′déduit du point Ppar
cette translation la distribution de courant est identique.
Une distribution de courant est invariante par rotation autour d’un axe ∆si en tout point P′déduit de Ppar rotation
autour de l’axe ∆la distribution de courant est identique.
S. Bénet 2/10

2 Le champ magnétostatique.
2.1 Loi de Biot et Savart
2.1.1 Champ magnétostatique élémentaire créé en M par un élément de courant centré en P.
2.1.2 Champ magnétostatique créé en M par une distribution de courant.
2.2 Topographie du champ magnétique.
Nous allons observer des cartes de champ issues d’aimants ou de diverses distributions de courant, de façon à dégager
les propriétés qualitatives du champ −→ B.
2.2.1 Réalisation expérimentale.
En saupoudrant de limaille de fer une plaque plane placée dans un champ magnétique créé par un courant ou un
aimant, on voit se dessiner une figure, appelée spectre magnétique, qui représente la carte de champ.
On observe ci-après les cartes de champ respectives d’un aimant droit (figure 1) et d’un solénoïde (figure 2) qui est un
ensemble de spires.
Figure 1 – Spectre magnétique d’un
aimant
Figure 2 – Spectre magnétique d’un
solenoïde (bobine)
-1
0
1
2
3
S N
S N
S N
S N
S N
S N
S N
S N
S N
S N
Figure 3 – Limaille alignée suivant
les lignes de champ.
En présence du champ −→ Bappliqué, les morceaux de limaille s’aimantent.
Chaque morceau placé en un point Macquiert un moment magnétique −→
Mdirigé du pôle Sud vers le pôle Nord,
devenant ainsi lui-même un petit aimant qui s’oriente le long de la direction de −→
Bet dans le sens de celui-ci (à cause
du couple
−→
Γ =
−→
M ∧
−→
B) (figure 3).
2.2.2 Utilisation de l’informatique.
De même que pour les cartes de champ électrostatiques, on peut
construire une carte de champ magnétostatique à l’aide de l’outil in-
formatique, en utilisant la loi mathématique du champ −→ Bcréé par la
distribution Dde courants et les propriétés des lignes de champ.
On peut par exemple observer ci-contre la carte de champ simulée issue
d’une spire plane circulaire parcourue par un courant continu d’intensité
uniforme.
-6
-5
-4
-3
-2
-1
0
1
2
3
4
5
2.2.3 Lignes de champ.
Définition
C’est exactement la même que pour le champ électrostatique, à savoir qu’il s’agit d’une ligne tangente au champ
−→
B
en chacun de ses points.
S. Bénet 3/10

Équation mathématique
L’équation mathématique qui caractérise une ligne de champ est
−→
B(M)∧d−−−→ OM = 0
puisque −→ B(M) est colinéaire au vecteur déplacement élémentaire d−−−→ OM .
En coordonnées cartésiennes : dx
Bx(M)=dy By(M)=dz Bz(M)
En coordonnées cylindriques : dr
Br(M)=rdθ Bθ(M)=dz Bz(M)
En coordonnées sphériques : dr
Br(M)=rdθ Bθ(M)=rsin θdϕ Bϕ(M)
Deux lignes de champ ne peuvent pas se couper, comme le suggère le schéma figure 4, en un point Moù le champ
magnétique est défini et non nul. La direction du champ, et donc le champ lui-même, ne serait pas définie en ce point.
Si le champ est nul au point M, alors Mest appelé point de champ nul (ou point d’arrêt).
Tube de champ
L’ensemble des lignes de champ s’appuyant sur une courbe fermée (ou contour) Cengendre une surface (S) appelée
tube de champ, représenté sur le schéma figure 5.
M
?
−→
B−→
B
Figure 4 – Intersection de lignes
de champ magnétique.
contour C
Lignes de champ s’appuyant
sur le contour C
Surface (S)
du tube de champ
Figure 5 – Tube de champ magnétique
2.2.4 Exemples de cartes de champ.
Champ créé par un fil rectiligne infini.
L’allure générale est très différente de celle d’un champ électrostatique dont les lignes de champ ne sont jamais des
courbes fermées. Ici les lignes de champ ne divergent pas à partir de leur source (les courants) : elles tourbillonnent
autour de celle-ci. Les lignes de champ sont des cercles ayant le fil pour axe (figure 6).
S. Bénet 4/10

I
Figure 6 – Lignes de champ magnétique
créées par un fil infini
y
z
x
OP Q
S
M
d−→ ℓ
−→
u
(C)
d−→ B
Sud
Nord
ϕ
s
n
−→
I
−→
M=I
−→
S=Iπa2−→
uz
Figure 7 – Calcul du champ magnétique créé par
une spire circulaire.
Champ créé par une spire circulaire.
•Distribution de courant.
La spire circulaire C(figure 7) est assimilable au cercle de rayon aet d’axe (Oz) du plan z= 0, orientée par le vecteur
−→
ez.
Pour I > 0, les faces Sud et Nord ont les positions indiquées sur le schéma (le tire-bouchon va du Sud vers le Nord en
s’enroulant suivant I).
•Observation de la carte de champ, figure 8
Il y a invariance de la distribution de courants par rotation autour
de (Oz) donc il faut imaginer la représentation tridimensionnelle
des lignes de champ par rotation autour de (Oz).
Chaque ligne entoure une région du fil et la comparaison des 2
régions y > 0 et y < 0 conduit à une même règle :
«Un tire-bouchon dont la pointe progresse dans le sens du courant
le long d’un élément de fil tourne dans le sens des lignes de champ
qui entourent cet élément».
L’écartement des lignes de champ croît quand on s’éloigne de la
spire : cette propriété est relative au caractère conservatif du flux
du champ magnétique.
-6
-5
-4
-3
-2
-1
0
1
2
3
4
5
Figure 8 – Carte du champ magnétique d’une
spire circulaire.
S. Bénet 5/10