Mouvement de charges dans un champ ( E, B)

PCSI1, Fabert (Metz) Mécanique , TD n°72010 – 2011
Mouvement de charges dans un champ (~ E, ~ B)
Exercice 1 Modèle de l’atome de Bohr
L’atome d’hydrogène est constitué d’un proton O, de masse mpde charge +e, et d’un électron
M, de masse meet de charge −e, ayant un mouvement circulaire uniforme, de rayon ret vitesse v
autour de O.
Dans le modèle de Bohr, le moment cinétique de l’électron est quantifié : σO(M)=nh
2π, où n
est un entier et hla constante de Planck. Le référentiel R(O,~ux,~uy,~uz)est supposé galiléen.
1. Déterminer une relation entre r,v,m,n,h.
2. Sachant que l’électron n’est soumis qu’à la force d’interaction électrostatique qui s’écrit, ici,
~
F=−e2
4π ε0r2~ur, déterminer une nouvelle relation entre ret v.
3. En déduire que rse met sous la forme n2r0où r0est à déterminer analytiquement et numé-
riquement.
4. Montrer que l’énergie mécanique de l’électron se met sous la forme Em=−E0
n2. On rappelle
que l’énergie potentielle s’écrit Ep=−e2
4π ε0r.
5. En supposant que l’électron est dans son état fondamental (n= 1), calculer numériquement la
vitesse de l’électron ainsi que l’énergie d’ionisation de l’atome (l’exprimer en eV).
Données : h= 6,64.10−34 J.s;e= 1,6.10−19 C;ε0= 8,84.10−12 SI ;me= 9,1.10−31 kg.
Exercice 2 Oscilloscope analogique
Dans un oscilloscope analogique, les électrons émis par le canon à électrons et accélérés parvien-
nent en Oavec une vitesse ~v0=v0~ux. Ils entrent alors entre les plaques de déviation verticale de
longueur 2ℓ.
y
x
O
plaques de déviation
A
2ℓ
D
C
écran
1. Le champ entre les plaques est ~ E=E0~uy. Déterminer l’équation du mouvement des électrons
entre les plaques et leur mouvement ultérieur.
2. Si on place un écran à la distance Ddu centre Cdes plaques, calculer l’ordonnée Ydu point
de contact de l’électron sur l’écran.
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Exercice 3 Tombent les gouttes
On observe le mouvement rectiligne et uniforme, suivant la verticale, d’une gouttelette de glycérine
A, sphérique, de rayon r; la gouttelette est soumise à son poids et à une force de frottement fluide,
donnée par la loi de Stokes :~ F=−6π η r ~v où ηest le coefficient de viscosité de l’air. En l’absence
de champ électrique, Atombe avec une vitesse limite de valeur vlim.
En présence d’un champ électrique uniforme et constant ~ E, de direction verticale, de norme E,
la gouttelette remonte. La masse volumique de la glycérine est ρ.
1. Déterminer la dimension de η.
2. Montrer que la vitesse suivant la verticale tend vers une vitesse limite vlim en l’absence de ~ E.
On posera 1
τ=6π η r m. Calculer numériquement r.
3. Que devient la vitesse en présence de ~ E?
4. Un observation prolongée montre que la vitesse subit, par instant, des variations brusques. On
mesure en particulier les valeurs suivantes exprimées en mm.s−1:v1= 0,270 ;v2= 0,080 ;
v3= 0,175 ;v4= 0,363 ;v5= 0,458.
Montrer que ces mesures permettent de conclure à l’existence d’une charge élémentaire. Calculer
cette charge.
Données : η= 1,8.10−5S.I.;vlim = 0,392 mm.s−1;ρ= 810 kg.m−3;E= 400 kV.m−1;g=
9,80 m.s−2.
Exercice 4 Mouvement d’une particule chargée
Une particule non relativiste de charge qde masse mpénètre à t= 0 avec une vitesse initial ~v0
en un point Adans une région où règne un champ magnétique uniforme et constant ~ B=−B ~uz.
y
x
~v0
Elle évolue dans un milieu fluide qui exerce sur elle une force ~ f=−k ~v (kconstante positive).
On posera λ=k
met q B m=ω. Les conditions initiales sont : −→
OA =a ~uxet ~v(0) =−a λ ~ux+a ω ~uy.
Déterminer la trajectoire de la particule.
Exercice 5 Focalisation d’électrons
Des électrons, préalablement accélérés par une tension V, pénètrent par la fente Asupposée
très fine dans une région où règne un champ électrique uniforme ~ E=E ~uy. On désire recueillir ces
électrons à travers une fente Bpratiquée dans le plan opaque (xOy), à la distance AB =Lde A.
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y
x
~
E
A
~v0
canon à électrons
B
On peut repérer l’angle αque fait le vecteur ~v0des électrons en Aavec l’axe (Ax), ainsi que la
norme et le sens du champ électrostatique ~ E. Le vecteur ~v0est supposé contenu dans le plan (xOy).
1. Quelles sont les valeurs optimales à donner à αet à ~ Epour réaliser la focalisation de ces
électrons, sachant que le faisceau incident présente une faible dispersion angulaire ∆α? (ie. α
compris entre α0−∆α
2et α0+∆α 2.)
2. La largeur de la fente placée en Bétant ∆L, donner un ordre de grandeur de la dispersion
angulaire ∆αacceptable pour ne pas atténuer sensiblement l’intensité du faisceau d’électrons
étudié.
Données : V= 10 kV ; L= 20 cm ; ∆L= 2,0mm.
Exercice 6 Cadre mobile
Un cadre carré indéformable, de côté a, constitué de Nspires parcourues par un courant constant
Iest mobile autour d’un axe ∆, parallèle à deux de ses côtés et passant par le centre des deux autres.
Il est plongé dans un champ magnétique ~ Buniforme et orthogonal à l’axe.
1. Quel est le moment scalaire des actions magnétiques qui s’exercent sur le cadre ?
2. En déduire la valeur maximale pour N= 100,I= 0,40 A ;a= 5,0 cm et B= 100 mT.
Exercice 7 Action sur un petit circuit
La figure ci-dessous représente un solénoïde circulaire Sde rayon aet de longueur L. Une spire
circulaire Cde rayon b≪aest placée en avant d’une face du solénoïde. Cet Sont (Oz)pour axe
commun et sont parcourus respectivement par les intensités I > 0et i > 0(courants de même sens).
z
L
~
Br
~
B
~
Bz
On constate expérimentalement que Csubit une force ~ F=F ~uzavec F < 0qui tend l’attirer vers
l’intérieur de S. En déplaçant Cle long de l’axe, on constate que cette force est particulièrement
intense quand Cse trouve au voisinage de la face de sortie de S.
1. Expliquer l’origine physique de la force observée sur Cet pourquoi seule la composante Brest
à considérer dans l’origine de cette force.
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2. Montrer que, au voisinage de l’axe, on a Br=−r
2×dBz dz.
3. Montrer que la force subie par le petit circuit vaut F=M×dBz
dzoù M=i π b2.
4. Déterminer analytiquement l’expression de F(z)et numériquement les valeurs de z0
Rpour la-
quelle la force est effectivement la plus intense pour L
Rvalant 1,2,5puis 10.
Exercice 8 Balance de Cotton
Une balance de Cotton, réservée aujourd’hui au seul usage pédagogique, permet de mesurer
un champ magnétique dans une zone où se dernier est pratiquement uniforme, par exemple dans
l’entrefer d’un électroaimant. Le circuit mobile est un circuit plan constitué d’une portion rectiligne
MN de longueur ℓ, comprise entre deux arcs conducteurs M Q et NP ; les centres de courbure de
MQ et NP coïncident avec l’intersection Odu plan du circuit et de l’axe de rotation. L’équilibre
de la balance est réalisé à l’aide de masses marquées que l’on place en Asur le plateau accroché à
l’extrémité du fléau.
R′
A
m
ℓ
M N
I
Q
P
R
~
B
~uz
1. Évaluer les actions de Laplace s’exerçant sur les brins du circuit mobile, lorsque celui-ci est
plongé dans un champ magnétique ~ Bqui lui est orthogonal.
2. Écrire la condition d’équilibre.
3. Calculer B.
Données : R=R′= 30 cm ;ℓ= 2,0 cm ;I= 5,0 A ;m= 2,0 g.
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