Mouvement de charges dans un champ ( E, B)

PCSI1, Fabert (Metz)
Mécanique , TD n°7
2010 – 2011
Exercice 1 Modèle de l’atome de Bohr
L’atome d’hydrogène est constitué d’un proton O, de masse mp de charge +e, et d’un électron
M, de masse me et de charge −e, ayant un mouvement circulaire uniforme, de rayon r et vitesse v
autour de O.
h
, où n
Dans le modèle de Bohr, le moment cinétique de l’électron est quantifié : σO (M) = n
2π
est un entier et h la constante de Planck. Le référentiel R(O,~ux,~uy ,~uz ) est supposé galiléen.
1. Déterminer une relation entre r, v, m, n, h.
2. Sachant que l’électron n’est soumis qu’à la force d’interaction électrostatique qui s’écrit, ici,
e2
~ur , déterminer une nouvelle relation entre r et v.
F~ = −
4 π ε0 r 2
3. En déduire que r se met sous la forme n2 r0 où r0 est à déterminer analytiquement et numériquement.
que l’énergie potentielle s’écrit Ep = −
e2
.
4 π ε0 r
Mécanique , TD n°7
2010 – 2011
Exercice 3 Tombent les gouttes
~ B)
~
Mouvement de charges dans un champ (E,
4. Montrer que l’énergie mécanique de l’électron se met sous la forme Em
PCSI1, Fabert (Metz)
E0
= − 2 . On rappelle
n
5. En supposant que l’électron est dans son état fondamental (n = 1), calculer numériquement la
vitesse de l’électron ainsi que l’énergie d’ionisation de l’atome (l’exprimer en eV).
Données : h = 6,64.10−34 J.s ; e = 1,6.10−19 C ; ε0 = 8,84.10−12 SI ; me = 9,1.10−31 kg.
On observe le mouvement rectiligne et uniforme, suivant la verticale, d’une gouttelette de glycérine
A, sphérique, de rayon r ; la gouttelette est soumise à son poids et à une force de frottement fluide,
donnée par la loi de Stokes : F~ = −6 π η r ~v où η est le coefficient de viscosité de l’air. En l’absence
de champ électrique, A tombe avec une vitesse limite de valeur vlim .
~ de direction verticale, de norme E,
En présence d’un champ électrique uniforme et constant E,
la gouttelette remonte. La masse volumique de la glycérine est ρ.
1. Déterminer la dimension de η.
~
2. Montrer que la vitesse suivant la verticale tend vers une vitesse limite vlim en l’absence de E.
6πηr
1
. Calculer numériquement r.
On posera =
τ
m
~?
3. Que devient la vitesse en présence de E
4. Un observation prolongée montre que la vitesse subit, par instant, des variations brusques. On
mesure en particulier les valeurs suivantes exprimées en mm.s−1 : v1 = 0,270 ; v2 = 0,080 ;
v3 = 0,175 ; v4 = 0,363 ; v5 = 0,458.
Montrer que ces mesures permettent de conclure à l’existence d’une charge élémentaire. Calculer
cette charge.
Données : η = 1,8.10−5 S.I. ; vlim = 0,392 mm.s−1 ; ρ = 810 kg.m−3 ; E = 400 kV.m−1 ; g =
9,80 m.s−2 .
Exercice 4 Mouvement d’une particule chargée
Une particule non relativiste de charge q de masse m pénètre à t = 0 avec une vitesse initial ~v0
~ = −B ~uz .
en un point A dans une région où règne un champ magnétique uniforme et constant B
Exercice 2 Oscilloscope analogique
y
Dans un oscilloscope analogique, les électrons émis par le canon à électrons et accélérés parviennent en O avec une vitesse ~v0 = v0 ~ux . Ils entrent alors entre les plaques de déviation verticale de
longueur 2 ℓ.
~v0
y
plaques de déviation
D
O
C
2ℓ
x
x
Elle évolue dans un milieu fluide qui exerce sur elle une force f~ = −k ~v (k constante positive).
qB
−→
k
et
= ω. Les conditions initiales sont : OA = a ~ux et ~v (0) = −a λ ~ux + a ω ~uy .
On posera λ =
m
m
Déterminer la trajectoire de la particule.
A
écran
~ = E0 ~uy . Déterminer l’équation du mouvement des électrons
1. Le champ entre les plaques est E
entre les plaques et leur mouvement ultérieur.
2. Si on place un écran à la distance D du centre C des plaques, calculer l’ordonnée Y du point
de contact de l’électron sur l’écran.
© Matthieu Rigaut
~ B)
~
Mouvement de charges dans un champ (E,
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Exercice 5 Focalisation d’électrons
Des électrons, préalablement accélérés par une tension V , pénètrent par la fente A supposée
~ = E ~uy . On désire recueillir ces
très fine dans une région où règne un champ électrique uniforme E
électrons à travers une fente B pratiquée dans le plan opaque (xOy), à la distance AB = L de A.
© Matthieu Rigaut
~ B)
~
Mouvement de charges dans un champ (E,
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Mécanique , TD n°7
y
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Mécanique , TD n°7
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r dBz
2. Montrer que, au voisinage de l’axe, on a Br = − ×
.
2
dz
~
E
3. Montrer que la force subie par le petit circuit vaut F = M ×
dBz
où M = i π b2 .
dz
z0
pour la4. Déterminer analytiquement l’expression de F (z) et numériquement les valeurs de
R
L
quelle la force est effectivement la plus intense pour
valant 1, 2, 5 puis 10.
R
~v0
x
A
PCSI1, Fabert (Metz)
B
Exercice 8 Balance de Cotton
canon à électrons
On peut repérer l’angle α que fait le vecteur ~v0 des électrons en A avec l’axe (Ax), ainsi que la
~ Le vecteur ~v0 est supposé contenu dans le plan (xOy).
norme et le sens du champ électrostatique E.
~ pour réaliser la focalisation de ces
1. Quelles sont les valeurs optimales à donner à α et à E
électrons, sachant que le faisceau incident présente une faible dispersion angulaire ∆α ? (ie. α
∆α
∆α
et α0 +
.)
compris entre α0 −
2
2
2. La largeur de la fente placée en B étant ∆L, donner un ordre de grandeur de la dispersion
angulaire ∆α acceptable pour ne pas atténuer sensiblement l’intensité du faisceau d’électrons
étudié.
Une balance de Cotton, réservée aujourd’hui au seul usage pédagogique, permet de mesurer
un champ magnétique dans une zone où se dernier est pratiquement uniforme, par exemple dans
l’entrefer d’un électroaimant. Le circuit mobile est un circuit plan constitué d’une portion rectiligne
MN de longueur ℓ, comprise entre deux arcs conducteurs MQ et NP ; les centres de courbure de
MQ et NP coïncident avec l’intersection O du plan du circuit et de l’axe de rotation. L’équilibre
de la balance est réalisé à l’aide de masses marquées que l’on place en A sur le plateau accroché à
l’extrémité du fléau.
Q
I
Données : V = 10 kV ; L = 20 cm ; ∆L = 2,0 mm.
M ℓ N
~
B
Exercice 6 Cadre mobile
Un cadre carré indéformable, de côté a, constitué de N spires parcourues par un courant constant
I est mobile autour d’un axe ∆, parallèle à deux de ses côtés et passant par le centre des deux autres.
~ uniforme et orthogonal à l’axe.
Il est plongé dans un champ magnétique B
P
~uz
R′
R
m
A
1. Évaluer les actions de Laplace s’exerçant sur les brins du circuit mobile, lorsque celui-ci est
~ qui lui est orthogonal.
plongé dans un champ magnétique B
1. Quel est le moment scalaire des actions magnétiques qui s’exercent sur le cadre ?
2. Écrire la condition d’équilibre.
2. En déduire la valeur maximale pour N = 100, I = 0,40 A ; a = 5,0 cm et B = 100 mT.
3. Calculer B.
Données : R = R′ = 30 cm ; ℓ = 2,0 cm ; I = 5,0 A ; m = 2,0 g.
Exercice 7 Action sur un petit circuit
La figure ci-dessous représente un solénoïde circulaire S de rayon a et de longueur L. Une spire
circulaire C de rayon b ≪ a est placée en avant d’une face du solénoïde. C et S ont (Oz) pour axe
commun et sont parcourus respectivement par les intensités I > 0 et i > 0 (courants de même sens).
L
~
B
~r
B
~z
B
z
On constate expérimentalement que C subit une force F~ = F ~uz avec F < 0 qui tend l’attirer vers
l’intérieur de S . En déplaçant C le long de l’axe, on constate que cette force est particulièrement
intense quand C se trouve au voisinage de la face de sortie de S .
1. Expliquer l’origine physique de la force observée sur C et pourquoi seule la composante Br est
à considérer dans l’origine de cette force.
© Matthieu Rigaut
~ B)
~
Mouvement de charges dans un champ (E,
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© Matthieu Rigaut
~ B)
~
Mouvement de charges dans un champ (E,
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