TD 1 Etude d`un réseau optique - Laboratoire de Physique des Lasers

M2 OMP
Option Matière Froide
Mercredi 6 janvier 2016
TD 1
Etude d’un réseau optique
La lumière d’un laser peut être utilisée pour manipuler l’état externe des atomes.
En particulier, une paire de faisceaux lasers se propageant en sens opposés produit une
onde stationnaire, résultant en un potentiel périodique pour les atomes. Ce potentiel 1D
peut être généralisé à 2D et 3D avec 2 ou 3 paires de faisceaux. On reproduit ainsi une
situation analogue à celle des électrons dans un cristal, où le potentiel périodique est formé
par les ions du cristal. Ce dispositif où la lumière remplace le cristal est appelé un réseau
optique. Il est largement utilisé avec des condensats de Bose-Einstein pour des expériences
de physique atomique où les atomes dans le réseau optique constituent un système modèle
des électrons dans les solides. En métrologie, les réseaux optiques constituent un ingrédient
essentiel des horloges optiques à atomes neutres (voir cours 7). Enfin, une onde stationnaire
pulsée peut être utilisée dans un interféromètre pour réaliser une séparatrice ou un miroir
par diffraction (voir cours 4).
Figure 1 – Réseau optique 2D (a) et 3D (b). Figure extraite de [1].
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Forces radiatives
On considère un atome à deux niveaux |gi et |ei séparés par une énergie h̄ω0 . L’état
excité |ei a une durée de vie finie Γ−1 . On note d le dipôle réduit associé à la transition
g → e.
L’atome est placé dans une onde laser de fréquence ω, de polarisation e(r) et de champ
−iωt e−iφ(r) e(r) + c.c.). On appelle δ = ω − ω le désaccord à
électrique E(r, t) = E(r)
0
2 (e
la résonance et Ω(r) = −(d.e) E(r)/h̄ la pulsation de Rabi associée à l’interaction entre
l’atome et le champ.
1. Donner l’expression du paramètre de saturation s(r) en fonction des données.
2. Rappeler l’expression de la force radiative moyenne qui s’exerce sur un atome au
repos. On mettra en évidence deux termes Fpr et Fdip .
3. Que vaut Fpr pour une onde plane de vecteur d’onde k et de saturation s0 ? Commenter.
4. Donner l’expression de la force dipolaire Fdip et du potentiel Udip (r) dont elle dérive,
en fonction de δ et s(r).
5. Dans toute la suite, le désaccord est choisi très grand devant la largeur de l’état excité
(|δ| Γ) et devant la pulsation de Rabi (|δ| Ω). Mettez le potentiel dipolaire
sous la forme
h̄Ω(r)2
Udip (r) =
(1)
4δ
2
Réseau optique
L’onde stationnaire qui produit le réseau optique résulte de l’interférence de deux
faisceaux lasers de même polarisation se propageant en sens opposés selon l’axe x. Ces
faisceaux gaussiens ont un rayon très grand devant la taille du nuage atomique, de sorte
qu’on peut les modéliser par deux ondes planes.
1. Les deux faisceaux proviennent du même laser. Quelle condition doit vérifier la largeur spectrale du laser pour que l’on n’ait pas à se préoccuper à mieux que le mètre
de la longueur relative parcourue par les deux faisceaux avant superposition sur les
atomes ?
2. On suppose que la condition trouvée à la question précédente est remplie. Les deux
ondes sont polarisées linéairement selon l’axe y. Leur champ électrique respectif
s’écrit :
E0 −iωt±ikx
E± (r, t) =
e
ey + c.c.
(2)
2
où k = ω/c. Donner l’expression du champ électrique total produit par les deux
ondes.
3. Donner l’expression de la fréquence de Rabi Ω(x) du champ total en fonction de la
fréquence de Rabi Ω1 = −dE0 /h̄ d’une seule onde plane.
4. Donner la valeur correspondante de la saturation s(x). On notera s0 le paramètre
de saturation d’une seule onde plane.
5. Montrer que la force de pression de radiation moyenne Fpr est nulle en tout point.
2
6. Que vaut le potentiel dipolaire U (x) ? Mettez-le sous la forme U (x) = U0 cos2 kx.
Donner l’expression de U0 en fonction de Ω1 et δ.
7. L’expression de U est bien celle d’un potentiel périodique (réseau à 1D). Quelle est
sa période ? Comment généraliser ce dispositif en dimension supérieure à 1 ?
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Régime de Lamb Dicke
Selon la profondeur du réseau (la valeur de U0 ), il peut ou non y avoir de l’effet tunnel
entre les puits de potentiels voisins. C’est d’ailleurs ce qui est à la base de l’observation
récente de la transition de phase entre condensat de Bose-Einstein superfluide et isolant
de Mott [2]. Dans le cas où le confinement est fort, le réseau se comporte comme une série
de micro-pièges harmoniques indépendants. On peut alors faire la spectroscopie d’une
transition entre deux états piégés en s’affranchissant de l’effet Doppler lié au mouvement
des atomes. C’est ce qu’on appelle le régime de Lamb Dicke [3], qui joue un rôle essentiel
pour les horloges optiques à atomes neutres.
1. On suppose que le désaccord δ est négatif. Où sont situés les minima de potentiel ?
On note x0 l’un de ces minima.
2. En développant le potentiel dipolaire au voisinage de x0 , déterminer la fréquence
d’oscillation ωx dans un micro-piège. On l’exprimera en fonction de U0 et de l’énergie
2 2
k
de recul du réseau Erec = h̄2M
où M est la masse de l’atome.
3. Que devient ωx si δ > 0 ?
4. Les états propres d’un micro-piège sont notés |nx i, d’énergie nx + 21 h̄ωx . On suppose que l’état excité |ei est piégé de la même façon 1 . Quelles sont les énergies des
états propres |g, nx i et |e, n0x i ? En déduire les fréquences des transitions que l’on
peut observer entre |gi et |ei.
5. Le régime de Lamb Dicke est atteint si le piège est si confinant que son état fondamental |nx = 0i est localisé à mieux que la longueur
qd’onde de la transition atomique,
proche de la longueur d’onde du réseau : ∆x = 2Mh̄ωx 1/k. k∆x est appelé le
paramètre de Lamb Dicke.
Montrer que cela implique que l’écart entre niveaux h̄ωx est grand devant l’énergie
de recul Erec .
6. A quelle condition le régime de Lamb Dicke est-il atteint dans le réseau ? Commenter
l’approximation harmonique faite plus haut.
7. Montrer que dans ces conditions, le recul lors d’une absorption/émission est négligeable devant la largeur de la distribution en impulsion d’un atome piégé, même
dans l’état fondamental. En conséquence, la probabilité pour un atome de changer
de niveau nx lors d’une émission spontanée est très faible (de l’ordre de k 2 ∆x2 ).
8. En quoi le régime de Lamb Dicke peut-il être intéressant en métrologie des fréquences ?
1. Cela est possible lorsque l’on tient compte de l’ensemble des niveaux atomiques, l’état excité étant
déplacé par interaction avec des états situés plus haut en énergie. Cela se produit pour ceratins atoms à
une fréquence appelée fréquence magique . Si l’on réalise le piège à cette fréquence, la transiont entre g
et e n’est pas déplacée par la lumière. Cette idée de Katori [4] a constitué le point de départ des horloges
optiques à atomes neutres [5].
3
9. On illumine une assemblée d’atomes piégés dans le réseau dans le régime de Lamb
Dicke avec un laser proche de la résonance atomique. On observe le spectre représenté
sur la figure 2. Justifier l’allure du spectre observé. Que vaut la fréquence d’oscillation
dans le piège ωx dans cet exemple ? Pour cette série de données, T = 3 µK et
|U0 | = 940 Erec . On donne pour le strontium 87 : Erec /h = 3.46 kHz. Commenter.
Figure 2 – Spectre de résonance pour des atomes de strontium 87 confinés dans un réseau
optique. Profondeur du réseau |U0 | = 940 Erec . Figure extraite de [5].
10. Quelle serait l’allure du spectre si les atomes occupaient uniquement l’état fondamental des micro-puits ?
Références
[1] Immanuel Bloch, Ultracold quantum gases in optical lattices, Nature Physics 1, 23
(2005).
[2] M. Greiner, O. Mandel, T. Esslinger, T.W. Hänsch, and I. Bloch, Quantum Phase
Transition from a Superfluid to a Mott Insulator in a Gas of Ultracold Atoms, Nature
415, 39 (2002).
[3] Claude Cohen-Tannoudji, Cours au Collège de France, année scolaire 1985-1986.
http://www.phys.ens.fr/cours/college-de-france/
[4] H. Katori, M. Takamoto, V.G. Pal’chikov, and V. D. Ovsiannikov, Ultrastable Optical
Clock with Neutral Atoms in an Engineered Light Shift Trap, Phys. Rev. Lett. 91,
173005 (2003).
[5] Pierre Lemonde, Optical lattice clocks, Eur. Phys. Jour. Special Topics 172, 81 (2009).
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