Induction (Ex)

PCSI 2 Induction
2016 – 2017 1/4
INDUCTION
I Chute d’une tige
Une tige (T) rectiligne, de longueur a, de masse m et de
résistance R effectue un mouvement de translation le long
de la verticale descendante
€
!
e
y
en restant parallèle à une
direction horizontale
€
!
e
x
tout en fermant un circuit
rectangulaire (C) situé dans le plan vertical
€
!
e
x,!
e
y
( )
qui
comporte une bobine d’inductance L. On confond la
résistance totale de (C) avec R et son inductance propre
avec L. (C) est orienté positivement par le vecteur
horizontal
€
!
e
z=!
e
x∧!
e
y
.
L’ensemble du dispositif est plongé dans un champ magnétique uniforme et permanent
€
!
B =B! e
z
. (T) est abandonnée à t = 0 avec une
vitesse
€
v=˙ y =0
. Son glissement sur (C) s’effectue sans frottement.
1) En notant k l’intensité du courant qui circule dans (C) à l’instant t, déduire des lois de l’électrocinétique une équation
différentielle (E) reliant k et
€
˙
k
à v.
2) Déduire des lois de la mécanique une équation différentielle (M) reliant
€
˙
v
à k.
3) En combinant convenablement (E) et (M), faire apparaître une équation (P) dont les termes ont les dimensions de puissances. On
écrira le premier membre de (P) comme la dérivée d’une somme d’énergies que l’on identifiera et l’on commentera la signification
physique de (P).
4) Ecrire une équation différentielle (K) relative à la seule fonction k(t).
5) Dans le cas d’une résistance « assez grande » (préciser), décrire qualitativement l’évolution des fonctions k(t) et v(t). Mettre en
évidence un couple de valeurs particulières (ko, vo) dont on expliquera la signification physique et que l’on exprimera en fonction
des données.
6) Dans l’hypothèse inverse d’une résistance R négligeable, calculer explicitement les fonctions k(t), v(t) et y(t). Analyser la
situation obtenue d’un point de vue énergétique.
Réponse :
€
Rk =−Bav −L˙ k
;
€
m˙ v =mg +Bak
;
€
d
dt
1
2mv2+1 2Lk2−mgy
⎛
⎝
⎜ ⎞
⎠
⎟ =−Rk2
;
€
L˙ ˙ k +R˙ k +B2a2
mk=−Bag
;
€
k0=−mg
aB
et
€
v0=mgR
a2B2
pour
€
R>2aB L
m
;
€
k=k01−cos ω t
( )
,
€
v=g
ω
sin ω t
,
€
y=g
ω
21−cos
ω t
( )
avec
€
ω =aB
Lm
.
II Couplage par inductance mutuelle
Un circuit (1) comprend un enroulement dépourvu de résistance, de coefficient d’induction propre L, et un condensateur de capacité C
placé en série ; il est alimenté par un générateur de f.e.m. sinusoïdale de pulsation ω.
Ce circuit est couplé par inductance mutuelle (coefficient M) avec un circuit identique (2).
Calculer l’impédance ainsi placée aux bornes du générateur et étudier sa variation avec ω. Comparer au circuit (L, C) série.
g
x
y
k
C
(M)
L
L
C

PCSI 2 Induction
2016 – 2017 2/4
B(t)
Réponse :
€
Z=
L ω −1
C ω
⎛
⎝
⎜ ⎞
⎠
⎟
2
−M2 ω
2
L ω −1
C ω
donne deux résonances et une antirésonance, au lieu de une résonance pour
€
Z=L ω −1
C ω
.
III Détermination des caractéristiques d’une bobine
Deux bobines identiques, de résistance r et d’inductance propre L, dont les bornes sont respectivement (A1, B1) et (A2, B2) sont placées
l’une à côté de l’autre. Lorsqu’on relie B1 et A
2, l’ensemble est équivalent entre A1 et B 2 à une bobine de résistance r’ = 10 Ω et
d’inductance L’ = 90 mH. Lorsque, sans déplacer les bobines, on relie B1 et B2, l’ensemble est équivalent entre A1 et A2 à une bobine
de résistance r" = 10 Ω et d’inductance L" = 70 mH.
Interpréter les observations et en déduire les valeurs de r et L. Que peut-on aussi mesurer ?
Proposer une méthode simple de mesure de l’inductance et de la résistance équivalentes aux deux bobines en série.
Réponse : r = 5,0 Ω ; L = 40 mH ; M = 5,0 mH.
IV Spire dans un champ magnétique uniforme
On considère une spire de résistance R qui peut tourner sans
frottement autour d’un axe vertical.
On la soumet à un champ magnétique uniforme
€
!
B (t)
.
A t = 0, la spire a une orientation quelconque.
Quelle est l’orientation de la spire à l’équilibre ?
Réponse : θf tel que
€
θ
f−
θ
0−
sin 2 θ
f
2=0
ou θ est l’angle entre le champ magnétique et la normale à la spire, avec θ(0) = θ0.
V Alternateur rudimentaire
Une bobine plate de N = 200 spires, d’aire S = 20 cm2, tourne avec une vitesse angulaire constante ω =
10 rad.s-1 entre les pôles d’un aimant en « U » qui produit un champ B = 0,2 T supposé uniforme et
normal à l’axe de rotation.
La bobine dont les bornes sont reliées possède une résistance R = 1 Ω. Le champ qu’elle crée est
négligeable devant celui de l’aimant.
1) Calculer la f.e.m. e d’induction induite par le mouvement de la bobine.
2) Déterminer le moment Γ par rapport à l’ace qu’il faut exercer pour entretenir la rotation (on pourra
proposer plusieurs méthodes).
Réponse :
€
e=NBS ω sin ω t+ ϕ
( )
;
€
Γ=NBS
( )
2
R
ω sin2 ω t+ ϕ
( )
.
VI Déplacement d’un cadre conducteur
On suppose que le champ magnétique
€
!
B =B! e
z
est uniforme et constant entre les plans x = 0
et x = d, et nul ailleurs.
Un cadre conducteur carré de côté a (a < d), de résistance totale R et de côtés parallèles aux
axes Ox et Oy, circule avec une vitesse
€
!
v =v! e
x
. On désigne par X(t) l’abscisse du côté avant
du cadre.
Déterminer en fonction de X le courant i et la force électromagnétique
€
!
F
résultante qui
s’exerce sur le cadre :
1) en utilisant la loi de Faraday ;
2) par un bilan énergétique.
Réponse : pour X < 0, a < X < d et X > a + d :
€
!
F =
!
0
; pour 0 < X < a et d < X < a + d :
€
!
F =−a2B2
R
!
v
.
B(t)
t
Bo
τ très petit

PCSI 2 Induction
2016 – 2017 3/4
VII Régime transitoire dans deux circuits couplés
Soient les deux circuits couplés de la figure ci-contre avec E constant et M > 0.
1) Ecrire les deux équations différentielles couplées vérifiées par i1(t) et i2(t)
lorsque l’interrupteur est fermé.
2) En déduire les deux équations différentielles découplées par un
changement de variables simple.
3) L’interrupteur est fermé à l’instant t = 0.
a) Déterminer i1(t) et i2(t) dans le cas où M < L.
b) Reprendre ce dernier calcul dans le cas limite du couplage parfait où
M = L.
Réponse :
€
E=RI +(L+M)dI
dt
et
€
E=RJ +(L−M)dJ
dt
en posant
€
I=i1+i2
et
€
J=i1−i2
;
€
i1=E
2R
2−e−t/
τ
1−e−t/
τ
2
( )
et
€
i2=E
2R
e−t/
τ
2−e−t/
τ
1
( )
en posant
€
τ
1=L+M
R
et
€
τ
2=L−M
R
si
€
M<L
;
€
i1=E
2R
2−e−t/
τ
( )
et
€
i2=−E
2R
e−t/
τ
en posant
€
τ =2L
R
si
€
M=L
.
VIII Etude expérimentale du couplage de deux circuits
On considère deux bobines identiques, d’inductance L, de résistance R, que l’on place de façon que les deux bobinages soient
coaxiaux, avec le même sens d’enroulement ; la distance entre les deux bobines est d.
On mesure le couplage entre les deux bobines en envoyant dans l’une d’elles une tension triangulaire et en comparant à l’oscilloscope
cette tension avec la tension induite dans l’autre, celle-ci étant en circuit ouvert.
On a branché en série entre le générateur de fonction et la première bobine une résistance R’ = 100 Ω. On négligera la résistance R des
bobines.
1) Faire le schéma du montage.
2) Les traces observées à l’oscilloscope ont l’allure ci-contre.
En faisant varier la distance d entre les bobines, on observe pour l’amplitude crête à crête A du signal induit, mesurée en division de
l’écran, les valeurs suivantes :
Calibre
0,01 V/div
5 mV/div
2 mV/div
1 mV/div
d (cm)
4,0
5,0
6,0
7,0
8,0
10
12
16
20
A
4,3
3,3
2,6
4,3
3,4
2,3
4,0
2,1
2,4
Ecrire les équations électriques du circuit.
En remarquant que la tension aux bornes de la deuxième bobine est constante sur chaque demi-période du signal d’entrée, montrer
que, si T est la période du signal d’entrée et Δe son amplitude crête à crête, l’inductance mutuelle M être les deux bobines et
l’amplitude crête âcreté A du signal induit sont reliées par l’équation :
€
A=4MΔe
R'T
.
Calculer alors, en mH, l’inductance mutuelle M entre les deux bobines pour chaque valeur de d.
IX Moteur électrique
Dans un moteur électrique, les fils actifs sont placés suivant les génératrices d’un cylindre – le rotor – de rayon r = 9,00 cm. Chaque fil
de longueur L = 15,0 cm est parcouru par un courant d’intensité I = 10,0 A. Les fils sont placés dans un champ magnétique radial
d’intensité B = 1,20 T, c’est-à-dire que le champ
€
!
B
est toujours orthogonal aux fils.
1) Calculer la force qui agit sur chaque fil.
2) Quel est le travail W de cette force, toujours motrice, lorsque le cylindre a fait un tour ?

PCSI 2 Induction
2016 – 2017 4/4
3) Sachant que les actions sur chaque fil ajoutent leurs effets et que le rotor comprend N = 700 fils, calculer la puissance P de ce
moteur qui tourne à 180.101 tr.min-1.
Réponse : F = 1,80 N ; W = 1,02 J ; P = 21,4 kW.
X Rails de Laplace non parallèles
On coupe un long fil conducteur rectiligne afin de réaliser le dispositif
ci-contre. Une partie du fil est coudée suivant un angle 2α, l’autre partie
glisse perpendiculairement à la bissectrice de l’angle, à la vitesse v
constante. Le tout forme un circuit plan horizontal qui est placé dans un
champ magnétique B vertical.
1) Calculer le flux du champ magnétique à travers le circuit en
fonction de la hauteur h du triangle et de α.
2) En déduire la fem induite e.
3) Soit R la résistance du fil par unité de longueur. Calculer
l’intensité i du courant induit. Préciser son sens.
Réponse : F = B.h2.tanα ; e = -2.B.v2.t.tanα ;
€
i=−Bv
R
sin α
1+sin α
.
XI Rails de Laplace
On déplace d’un mouvement rectiligne uniforme un barreau
conducteur de longueur L = 50 cm à la vitesse v = 2,0 m.s-1,
perpendiculairement aux lignes de champ d’un champ
magnétique uniforme d’intensité B = 0,4 T.
1) Quelle est la tension qui apparaît aux extrémités du
barreau ? Préciser son signe.
2) Le barreau glisse sur deux rails conducteurs de résistances
négligeables et reliés entre eux par un conducteur ohmique de
résistance R = 4,0 Ω (figure ci-contre). Si on néglige la
résistance du barreau, quelle est la valeur de l’intensité du
courant induit ? Quel est le sens du courant ?
3) Quelle force doit-on appliquer au barreau pour maintenir sa vitesse constante ?
4) Quelle puissance mécanique doit-on ainsi fournir ?
5) Quelle est la puissance électrique développée par ce générateur rudimentaire ?
Réponse : 0,4 V ; 0,1 A ; 20 mN ; 40 mW.
B
v
R
v
B
α
α