Méthode énergétique et travaux virtuels, application au calcul des

Méthode énergétique
et travaux virtuels,
application au calcul des forces
m lo
locales associées aux champs
magnétique et électrique
Mots clés
Méthode énergétique,
Efforts magnétiques,
Comportement équivalent,
Validation expérimentale
Olivier BARRÉ, Pascal BROCHET
L2EP Ecole centrale de Lille
La conception des actionneurs électriques passe par la connaissance pré-
cise des distributions de forces sur les différents constituants. Bien que la méthode éner-
gétique propose des résultats proches des essais pratiques pour la détermination de
grandeurs globales, comme le couple mécanique des moteurs ou la poussée d'action-
neurs linéaires, elle ne propose pas intrinsèquement de formulations locales. Ainsi, utili-
ser cette approche pour écrire une formulation locale n'est pas une opération naturelle. II
est indispensable d'introduire la méthode des travaux virtuels pour arriver à ces formula-
tions. La méthode énergétique est un concept physique. En effet, l'association de la varia-
tion d'énergie d'un système isolé au travail d'une force extérieure est un choix délibéré,
et il ne se justifie que si l'expérience montre qu'aucune autre forme d'énergie n'apparaît.
Dans cet article, plusieurs expériences sont ainsi proposées dans le but de valider ces
formulations locales. Elles utilisent comme support les champs électriques et magnéti-
ques. Des corps sont soumis à ces champs et leurs déformations sont observées avec
précision. Les forces induites par ces champs sont calculées au moyen de la méthode
énergétique. Puis, on déduit de ces distributions de force la déformation du corps. Enfin
les résultats de ces derniers calculs sont comparés aux expérimentations, de façon à vali-
der les formulations étudiées.
1. Introduction
En analysant finement les différents concepts utilisés
par la méthode énergétique, il apparaît que pour des maté-
riaux linéaires, plongés dans des champs électriques ou
magnétiques, les équations associées aux densités d'éner-
gie sont très voisines. Rien n'interdit de ce fait d'interpré-
ter la variation de l'énergie magnétique ou de l'énergie
électrique en énergie mécanique [1] [2] [8]. Toutefois,
ESSENTIEL SYNOPSIS
La connaissance des effets mécaniques engendrés par les
champs magnétiques sur les corps est obligatoire pour calculer
la puissance mécanique délivrée par les machines électriques.
Au niveau de la conception, il faut aussi savoir comment se
répartissent ces efforts sur les constituants de ces machines.
Lapproche énergétique permet de calculer cette répartition.
Deux expériences, utilisant les champs électriques et magnéti-
ques sont présentées. La première permet d'évaluer la perti-
nence de cette approche et la deuxième de confirmer son uni-
versalité.
The knowledge of the mechanical effects generated by the
magnetic fields on the bodies is obligatory to calculate the
mechanical power delivered by the electric machines. During
the design, it is also important to know the distribution of these
efforts on the components of these machines. The energy
method provides formulations to calculate this distribution. Two
experiments, based on the electric and magnetic fields, are pre-
sented. The first one evaluates the accuracy of this approach
and the second confirms its universality.
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No 6/7
Jttiii/juillet 2006

cette interprétation ne peut fournir qu'une grandeur glo-
bale. Cette grandeur est associée au système complet et il
faut utiliser les propriétés géométriques du système pour
en déduire le point d'application de la force engendrée
par le champ [13]. Par exemple, pour des distributions de
forces possédant des axes ou des plans de symétrie, il est
possible de déterminer géométriquement la droite d'ac-
tion associée à cette résultante.
Il faut garder à l'esprit que cette résultante n'est
qu'une interprétation. Pour le champ de gravité terrestre,
il est clair que toute particule élémentaire d'un solide
subit la force engendrée par ce champ et il n'y a aucune
raison pour que la particule située au « centre de masse »
se voie affecter la totalité de la force. C'est l'approche
« masse ponctuelle » qui induit cette interprétation. Comme
le dimensionnement des constituants impose le calcul des
distributions locales de forces, cette approche n'est pas
satisfaisante. Pour les forces locales induites par les
champs magnétiques ou les champs électriques, des for-
mulations existent. Elles sont issues des méthodes éner-
gétiques couplées à la méthode des travaux virtuels [5].
Dans le cas des matériaux linéaires, l'équation (1) donne
la densité de force locale, normale à la surface d'un
solide, associée au champ magnétique. L'équation (2) est
la même entité, mais associée au champ électrique.
L'écriture de ces deux équations est particulière. En effet,
comme la densité de force ainsi calculée est associée à la
surface de séparation des deux milieux, la composante
normale de l'induction magnétique Bu ou du champ
électrique source Du se conserve lors du franchissement
de cette frontière. La composante tangentielle du champ
magnétique HI ou du champ électrique El suit aussi
cette même propriété. De ce fait, il n'est plus utile de spé-
cifier le milieu dans lequel est utilisée cette formulation.
Toutefois, il faut que les milieux aient des propriétés phy-
siques différentes de l'air ambiant pour que de telles for-
ces puissent exister. eo ou ! la ainsi que les paramètres rela-
tifs Er ou,u,. prennent en compte cet aspect et ils seront
explicités par la suite.
M ( (1-U) H -]
Il),RI12+ 1 1 1
2p ( ,2
(1)
-
1, J'1
Fll=l 1 (I-) D-+
2 ec) el. "'.1 1 1
--o -
(2)
Il faut remarquer que ces formulations ne peuvent pas
rendre compte des phénomènes où l'énergie mécanique
n'est pas l'énergie qui est majoritairement produite. Dans
ces cas précis, l'interprétation précédente est immédiatement
remise en cause et les formulations associées caduques.
2. Aspect comportemental de la matière
Tous les matériaux répondent à leur manière aux
champs électriques ou magnétiques. Cette sensibilité se
traduit par les lois de comportement (3) ou (4). Dans le
cas de matériaux homogènes et isotropes, un paramètre
scalaire ou,u lie le champ source, D ou H, à l'effet phy-
sique qui peut être mesuré, E ou B. En présence d'un
champ engendré par une source extérieure, un corps
plongé dans ce milieu ne reste pas immobile à partir du
moment où ses caractéristiques physiques sont différentes
de celle du milieu ambiant,,uo ou Eo dans le cas de l'air.
En particulier, pour les champs magnétiques, les maté-
riaux ayant une perméabilité relative ! l,. égale à l'unité
sont dits matériaux amagnétiques. Aucun phénomène
n'est obser-vé quand, plongés dans l'air, ils sont soumis à
un champ extérieur.
L'= uu d, = E l
(3)
L t/) . f/
- (IE1
cc. c
(4)
Les formulations précédentes (1 et 2) se proposent de
quantifier les distributions de force qui vont se rencontrer
à la surface des corps quand ceux-ci sont soumis à des
champs magnétiques ou électriques. Il n'est pas possible
de valider de telles formulations en se basant sur la
mesure d'une force globale. Plusieurs distributions peu-
vent contribuer à engendrer la même résultante [6].
C'est le comportement de la matière qui va fournir la
méthode de validation. En effet, les lois de l'élasticité
prédisent l'évolution de la déformation d'un corps quand
celui-ci est soumis à des forces extérieures [7].
Cette déformation est unique pour une distribution de
force donnée. De plus, la moindre modification de cette
distribution se traduit par une réponse différente de ce
corps. En conséquence, c'est l'examen de la déformation
qui permettra de valider cette méthode de calcul des for-
ces locales [11].
3. Expérimentation magnétique
Pour permettre d'évaluer les performances de la for-
mulation précédente, il faut se placer dans des conditions
certes sévères, mais parfaitement maîtrisées. Il faut donc
générer un champ magnétique hétérogène qui doit aussi
être aisément calculable par éléments finis. C'est pour ces
raisons qu'un circuit magnétique doté d'un grand entre-
fer, de l'ordre de 30 % du volume du circuit magnétique,
est utilisé pour engendrer ce champ magnétique. D'une
part, cet entrefer important peut contenir un corps étran-
ger où il est de fait soumis à ce champ hétérogène
REE
No 617
Juin/juillet 2006

N Méthode énergétique et travaux virtuels,
application au calcul des forces locales associées aux champs magnétique et électrique
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Figure 1. Un noyau magnétigue est associé à deux bobines
en ciiiire. Un chanip iiiagnétiqlte hétérogène petit ainsi être
engendré. En introduisant une substance de test dans
ce champ, il est possible de confronter son évolution réelle
à celle qui est pi-édite par l'iftilisation desfoi-iiiiilalions
de calcul de force.
Le matériau ainsi réalisé présente une extrême sensibilité
aux contraintes extérieures. Ces chaînes moléculaires
sont aussi capables de maintenir en suspension de fines
particules de fer. La matière ainsi obtenue possède alors
de légères propriétés magnétiques.
i,'
/'i. i.'
J,._.
/.....- "'7 _.. \
vi ------- " '. i " "
11 Je..
//---------.
1
Figure 2. Les longues chaînes imoléculaires conteiii (es dans les
gels s'entrecroisent et engendrent des iiiicro-voltiiiies
capables d'enzprisonner les liquides.
(Fig. 1). D'autre part, avec un tel entrefer, il est possible
de calculer la distribution de champ dans l'entrefer même
si la perméabilité magnétique du noyau magnétique n'est
connue que de manière approximative.
Cette idée de validation expérimentale, basée sur la
déformation des corps en présence de contraintes exté-
rieures, n'est pas pour autant simple à mettre en oeuvre. Il
ne faut pas utiliser de matériaux de test ayant des perméa-
bilités élevées. En effet, à la surface du corps d'épreuve,
la composante tangentielle du champ magnétique risque-
rait d'être négligeable et il n'est pas souhaitable de mino-
rer certains termes qui figurent dans l'équation (1). De
plus, s'interdire l'emploi de tel matériau est aussi un bon
choix pour l'expérience, car la distribution hétérogène du
champ magnétique n'est pas remise en cause par l'intro-
duction du corps d'épreuve. Ce souci de simplicité per-
met d'utiliser un progiciel commercial pour la résolution
numérique. Opéra 3D, qui implémente la méthode des
potentiels scalaires, a montré, comme cela sera abordé
par la suite, sa bonne aptitude à prédire l'évolution de ce
champ magnétique.
Hélas, de telles conditions expérimentales produiront
de faibles niveaux d'induction magnétique et en consé-
quence des faibles niveaux de contraintes extérieures
seront donc induits. Finalement, des déformations quasi-
ment insignifiantes risquent d'être engendrées si aucune
précaution n'est prise. Il faut donc rendre les déforma-
tions observables même avec des niveaux de contraintes
faibles. Pierre-Gilles de Gennes, prix Nobel en 1991, a
attiré l'attention de la communauté scientifique sur des
objets « étranges » : les gels. Les longues chaînes molé-
culaires qui les composent sont capables de piéger les
liquides tout en les conservant sous cette phase (Fig. 2).
Un parallélépipède constitué d'un tel matériau est
soumis au champ magnétique engendré par un courant de
3 A circulant dans les deux bobines de cuivre de la struc-
ture de test (Fig. 1). Visuellement, l'ensemble se
déforme, et une mesure sans contact permet de quantifier
le déplacement de l'arête supérieure. Cette mesure en
elle-même mérite un peu d'attention car elle met en
oeuvre un procédé jusqu'à présent non utilisé en génie
électrique. Les systèmes de mesure optique sont couram-
ment utilisés dans l'industrie mécanique et sont en
mesure de garantir une précision meilleure que 10
microns.
Avec cette méthode, il est possible de donner à 50
microns près le déplacement de l'arête supérieure du paral-
lélépipède de test en présence d'un champ magnétique.
Avec deux photographies présentant la géométrie de ce
solide en présence puis en l'absence de champ magnétique
il est possible de déterminer le déplacement (Fig. 3).
Pour exploiter ce résultat comme preuve objective de
l'aptitude des méthodes énergétiques à prédire l'évolu-
tion des systèmes, il faut être capable de réaliser une
simulation complète du procédé. De plus, toutes les éta-
pes associées à cette simulation doivent être fiables. Pour
avoir la distribution du champ magnétique, une simula-
tion basée sur le code commercial OPERA 3D est utilisée.
Même si des symétries peuvent être mises à profit pour
diminuer le nombre d'éléments au niveau des modèles
éléments finis, cette solution n'est pas retenue, car les
propriétés géométriques peuvent être mises à profit pour
évaluer la pertinence des résultats issus des simulations
[10] [111. La comparaison des résultats issus des simula-
tions avec des valeurs expérimentales reste de toute façon
incontournable (Fig. 4).
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No 6/7
Juin/juillet 2006

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) tJ ? W L'ELECTROTECHNIQUE DU FUTUR
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luilz- > (3. a)
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(3.b)
Figitre. 3. Un faisceuti lasei- est ittilisépotir créei- tine oiiibre. Cette oiiibi-eperiiiet de matérialisei-stir
lin szipport.eiiii-transparent l'eicacte géoiiiétrie du voltiiiie de test en présence (3.b) et en l'absence (3. a)
de chaiiip magnétiqtie. En gi-adttant le stipport seiiii-tîansparent avec tin qtiadrillage an pas de 0,5 iiini,
il est possible de iiieszirer le déljlaceiiient de l'arête stipériezire dit volitme de test.
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Figure 4. Des mesures deflzi,, (, réalisées sur le dispositif réel, sont coinpai-ées aux valeurs prédites pai- la
siintilation. Il apparaît qu'une grande confiance petit etre accordée à la simulation.
Uéformation
1, 1
charge variable
11'/ //
Il 1 1
.'/
. y
- 'i%l a t
// 'i%latériau à tester
F = (l/E) n
Mesure de la déformation Contrainte G
Figure 5. En utilisant un essai de compression simple d'une épiotivette de matériaii de test, il est possible
de déterminer le modtile d'élasticité longitudinal. De plus, en augmentant le nombre d'essai, l'intervalle
de confiance associé a ce parametre chute et il apparoït que 7 essais sont suffisants pour obtenir une valeur
à moins de JO % d'erreur
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Nû 6/7
Juinjuillet 2006

. Méthode énergétique et travaux virtuels,
application au calcul des forces locales associées aux champs magnétique et électrique
Bobine N 1
,ar
=,
Entr
Bobine N'2
Entrefer
Pt'nn'jihitii t') : it ! vt'
JO - ---------r------------- HésuJtats eaJeuJés
: ------1-......../..--
: ./ :
: _____/i
.. , . -. -
1
J
L J.. ; i l.ti 1.9 2.1 ..5 2.8 : .J ; U : J.7 -1.0
Bobine de détection (6 a) (l lenlt) n LI-x/LIO (6. b)
Figure 6. Un circuit magnétique permet de canaliser très facilement lefliix magnétique. Dès qu'un eiill-efe'
apparaît dans ce circuit, l'intensité diflitic chute iniii ? édiatement (6.a). Cette chute est aiissifonctioii
de la perméabilité relative de la matière contenue dans l'eiitrefei-. Avec la bobine de détection, il est possible
d'avoir- une iliforillation, soilsforiiie d'une tension, sur l'influence de cette matière sur l'intensité dttflzt,,u.
A partir de deux relevés expériiîientaux, tension Ux et tension UO, la courbe d'étalonnage (6.b),
construite à l'aide de simulations paramétrables du système précédent, permet de déteriiiinet- la perméabilité
relative du matériau contenu dans l'entre fer
Pour poursuivre les simulations, il faut impérative-
ment connaître les caractéristiques physiques du maté-
riau. Pour atteindre cet objectif, des systèmes de mesure
nouveaux doivent être conçus. La résistance des maté-
riaux montre qu'il est possible de prédire l'évolution d'un
corps si deux paramètres physiques sont connus :
le module d'élasticité longitudinal, E, et le coefficient de
Poisson v. Le deuxième paramètre n'est pas aisément
identifiable. Toutefois, une analyse des principaux consti-
tuants de cette nouvelle matière permet de l'évaluer.
Le comportement iso-volume qui peut être associé à ce
composé induit un coefficient de Poisson de 0,5. Pour le
module d'élasticité, il n'existe pas d'autre solution que
l'expérimentation. Une compression simple d'une éprou-
vette réalisée dans le matériau à caractériser permet
d'évaluer ce module d'élasticité (Fig. 5).
La mesure de la perméabilité reste pour tous les maté-
riaux un problème majeur. Celui-ci n'échappe pas à cette
règle. Un circuit magnétique est réalisé au moyen d'élé-
ments de transformateur et un entrefer de 1,6 mm est
introduit dans ce circuit. L'intensité du flux magnétique
circulant dans ce circuit est conditionnée par la matière
qui est introduite dans l'entrefer (Fig. 6). Une augmenta-
tion du flux apparaît si le matériau testé possède une per-
méabilité relative supérieure à l'unité. Toutefois, ce com-
portement n'est pas pour autant linéaire, car les fuites
dans l'air avoisinant sont inévitables. C'est au moyen de
simulations que le comportement d'un tel système est
analysé. Une source de courant alternatif permet d'impo-
ser un courant de 0,5 ampère dans les deux bobines prin-
cipales. Un champ magnétique est ainsi engendré.
Une information sur l'intensité du flux dans le circuit
peut être obtenue par l'intermédiaire d'une bobine de
détection. La tension relevée est proportionnelle à son
intensité.
Pour une meilleure précision, deux valeurs de ten-
sions vont être mesurées. La première Uo est la tension
relevée pour un entrefer ne contenant que de l'air, la
deuxième, Ux est la tension relevée pour un entrefer
contenant la substance de test. Le rapport Ux/Uo est une
caractéristique unique associée à la perméabilité relative
du matériau de test. Ce sont des simulations du procédé
qui vont permettre d'associer à ce rapport Ux/Uo la per-
méabilité relative de la substance introduite dans l'entre-
fer. L'essai avec un entrefer ne contenant que de l'air per-
met aussi de valider la représentativité de la simulation.
Avec la perméabilité magnétique estimée du circuit
magnétique, la simulation prédit que 80 % du flux total
circule dans ce circuit alors qu'expérimentalement, en
analysant la tension mesurée à la bobine de détection,
celle-ci semble n'en recevoir que 74 %.
Finalement, le matériau ainsi fabriqué pour l'expé-
rience présente une perméabilité relative faible (r 3,1)
et un module d'élasticité qui le classe dans les matériaux
souples (E-70 000 N/m2). Ces deux informations sont
suffisantes pour aboutir à l'évaluation de la représentati-
vité de la formulation énergétique associée au champ
magnétique. Par simulation numérique, il est possible de
construire la distribution du flux dans l'entrefer. Cette
distribution permet d'associer à ce volume de test les for-
ces locales prédites par la formulation énergétique. En
utilisant ces contraintes extérieures ainsi que les caracté-
ristiques mécaniques du matériau, la géométrie finale du
volume de test peut être calculée. La connaissance de la
totalité de la géométrie n'est pas requise, car seul le
déplacement de l'arête supérieure est mesuré (Fig. 7).
Cette méthode peut être appliquée pour toute formu-
lation de calcul de force [3] [9] [10] [11] [12] [14].
Comme celles associées aux courants équivalents, aux
REE
W 6/7
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