Méthode énergétique et travaux virtuels, application au calcul des

Méthode
et
travaux
virtuels,
application
locales
Mots clés
énergétique
au
calcul
m lo
associées
magnétique
des
aux
et
forces
Méthode
énergétique,
Efforts
magnétiques,
Comportement
équivalent,
Validation
expérimentale
champs
électrique
Olivier BARRÉ,Pascal BROCHET
L2EP Ecole centrale de Lille
La conception
des actionneurs
électriques
passe par la connaissance
précise des distributions de forces sur les différents constituants. Bien que la méthode énergétique propose des résultats proches des essais pratiques pour la détermination de
grandeurs globales, comme le couple mécanique des moteurs ou la poussée d'actionneurs linéaires, elle ne propose pas intrinsèquement de formulations locales. Ainsi, utiliser cette approche pour écrire une formulation locale n'est pas une opération naturelle. II
est indispensable d'introduire la méthode des travaux virtuels pour arriver à ces formulations. La méthode énergétique est un concept physique. En effet, l'association de la variation d'énergie d'un système isolé au travail d'une force extérieure est un choix délibéré,
et il ne se justifie que si l'expérience montre qu'aucune autre forme d'énergie n'apparaît.
Dans cet article, plusieurs expériences sont ainsi proposées dans le but de valider ces
formulations locales. Elles utilisent comme support les champs électriques et magnétiques. Des corps sont soumis à ces champs et leurs déformations sont observées avec
précision. Les forces induites par ces champs sont calculées au moyen de la méthode
énergétique. Puis, on déduit de ces distributions de force la déformation du corps. Enfin
les résultats de ces derniers calculs sont comparés aux expérimentations, de façon à valider les formulations étudiées.
1. Introduction
En analysantfinementles différentsconceptsutilisés
par la méthodeénergétique,il apparaîtquepour desmatériaux linéaires, plongésdansdes champsélectriquesou
ESSENTIEL
La connaissance
des effetsmécaniques
engendréspar les
champs
magnétiques
surlescorpsestobligatoire
pourcalculer
la puissance
mécanique
délivréeparlesmachines
électriques.
Au niveaude la conception,
il faut aussisavoircommentse
répartissent
ceseffortssur lesconstituants
de cesmachines.
Lapproche
énergétique
permetde calculercette répartition.
Deuxexpériences,
utilisant les
champs
électriques
et magnétiquessontprésentées.
Lapremièrepermetd'évaluer la
pertinencede cetteapproche
et ladeuxième
deconfirmersonuniversalité.
magnétiques,les équationsassociéesaux densitésd'énergie sonttrèsvoisines.Rien n'interdit de ce fait d'interpréter la variation de l'énergie magnétiqueou de l'énergie
électriqueen énergiemécanique[1] [2] [8]. Toutefois,
SYNOPSIS
The knowledge
of the mechanical
effectsgeneratedby the
magneticfieldson the bodiesis obligatoryto calculate the
mechanical
powerdeliveredby the electricmachines.
During
thedesign,it is also
important
to knowthedistribution
of these
effortson the components
of these machines.
The energy
methodprovides
formulations
to calculate
thisdistribution.
Two
experiments,
basedontheelectricandmagnetic
fields,arepresented.Thefirst oneevaluates
the accuracy
of this approach
andthe secondconfirmsits universality.
REE
No 6/7
Jttiii/juillet 2006
cette interprétation ne peut fournir qu'une grandeur globale. Cette grandeur est associéeau système complet et il
faut utiliser les propriétés géométriques du système pour
en déduire le point d'application de la force engendrée
par le champ [13]. Par exemple, pour des distributions de
forces possédant des axes ou des plans de symétrie, il est
possible de déterminer géométriquement la droite d'action associée à cette résultante.
Il faut garder à l'esprit que cette résultante n'est
qu'une interprétation. Pour le champ de gravité terrestre,
il est clair que toute particule élémentaire d'un solide
subit la force engendrée par ce champ et il n'y a aucune
raison pour que la particule située au « centre de masse »
se voie affecter la totalité de la force. C'est l'approche
« masseponctuelle » qui induit cette interprétation.Comme
le dimensionnement des constituants impose le calcul des
distributions locales de forces, cette approche n'est pas
satisfaisante. Pour les forces locales induites par les
2. Aspect comportemental
Tous les matériaux répondent à leur manière aux
champs électriques ou magnétiques. Cette sensibilité se
traduit par les lois de comportement (3) ou (4). Dans le
cas de matériaux homogènes et isotropes, un paramètre
scalaire ou,u lie le champ source, D ou H, à l'effet physique qui peut être mesuré, E ou B. En présence d'un
champ engendré par une source extérieure, un corps
plongé dans ce milieu ne reste pas immobile à partir du
moment où sescaractéristiques physiques sont différentes
de celle du milieu ambiant,,uo ou Eodans le cas de l'air.
En particulier, pour les champs magnétiques, les matériaux ayant une perméabilité relative ! l,. égale à l'unité
sont dits matériaux amagnétiques. Aucun phénomène
n'est obser-vé quand, plongés dans l'air, ils sont soumis à
un champ extérieur.
L'= uu d,
champs magnétiques ou les champs électriques, des formulations existent. Elles sont issues des méthodes énergétiques couplées à la méthode des travaux virtuels [5].
Dans le cas des matériaux linéaires, l'équation (1) donne
la densité de force locale, normale à la surface d'un
solide, associée au champ magnétique. L'équation (2) est
la même entité, mais associée au champ électrique.
L'écriture de ces deux équations est particulière. En effet,
comme la densité de force ainsi calculée est associée à la
surface de séparation des deux milieux, la composante
normale de l'induction magnétique Bu ou du champ
électrique source Du se conserve lors du franchissement
de cette frontière. La composante tangentielle du champ
magnétique HI ou du champ électrique El suit aussi
cette même propriété. De ce fait, il n'est plus utile de spécifier le milieu dans lequel est utilisée cette formulation.
Toutefois, il faut que les milieux aient des propriétés physiques différentes de l'air ambiant pour que de telles forces puissent exister. eoou ! la ainsique les paramètres relatifs Er ou,u,. prennent en compte cet aspect et ils seront
=El
(3)
L t/) . f/
- (IE1
cc.
c
(4)
Les formulations précédentes(1 et 2) se proposent de
quantifier les distributions de force qui vont se rencontrer
à la surface des corps quand ceux-ci sont soumis à des
champs magnétiques ou électriques. Il n'est pas possible
de valider de telles formulations en se basant sur la
mesure d'une force globale. Plusieurs distributions peuvent contribuer à engendrer la même résultante [6].
C'est le comportement de la matière qui va fournir la
méthode de validation. En effet, les lois de l'élasticité
prédisent l'évolution de la déformation d'un corps quand
celui-ci est soumis à des forces extérieures [7].
Cette déformation est unique pour une distribution de
force donnée. De plus, la moindre modification de cette
distribution se traduit par une réponse différente de ce
corps. En conséquence,c'est l'examen de la déformation
qui permettra de valider cette méthode de calcul des forces locales [11].
explicités par la suite.
2p (
de la matière
M ( (1-U) H -]
Il),RI12+2 1 1 1
,
3. Expérimentation
magnétique
(1)
1, J'1 Fll=l21ec)
(I-) D-+
--o el. "'.1 1 1(2)
Il faut remarquer que ces formulations ne peuvent pas
rendre compte des phénomènes où l'énergie mécanique
n'est pas l'énergie qui est majoritairement produite. Dans
cescasprécis, l'interprétation précédenteest immédiatement
remise en causeet les formulations associéescaduques.
REE
No 617
Juin/juillet 2006
Pour permettre d'évaluer les performances de la formulation précédente, il faut se placer dans des conditions
certes sévères, mais parfaitement maîtrisées. Il faut donc
générer un champ magnétique hétérogène qui doit aussi
être aisément calculable par éléments finis. C'est pour ces
raisons qu'un circuit magnétique doté d'un grand entrefer, de l'ordre de 30 % du volume du circuit magnétique,
est utilisé pour engendrer ce champ magnétique. D'une
part, cet entrefer important peut contenir un corps étranger où il est de fait soumis à ce champ hétérogène
N
application
au calcul
Méthode
des forces
énergétique
locales
associées
virtuels,
aux champs magnétique
et électrique
Le matériau ainsi réalisé présente une extrême sensibilité
aux contraintes extérieures. Ces chaînes moléculaires
sont aussi capables de maintenir en suspension de fines
Yr'a,.ÿ,.
f nYi k
k- 7
My
`54'-,
fv,
_.,
:-`.
3 1
.>
f t f.
S.,
11
.w
""t
r: `,.
et travaux
particules de fer. La matière ainsi obtenue possède alors
de légères propriétés magnétiques.
i,'
- CX
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/.....-
`,,'..:.,.
i.'
"'7
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\
r,
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.
L,
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/.__
..
f1
Y.
...âi
:.$-.
a£_
vi
J,._. -------
" '.
engendré. En introduisant une substance de test dans
ce champ, il est possible de confronter son évolution réelle
à celle qui est pi-édite par l'iftilisation desfoi-iiiiilalions
de calcul de force.
(Fig. 1). D'autre part, avec un tel entrefer, il est possible
de calculer la distribution de champ dans l'entrefer même
si la perméabilité magnétique du noyau magnétique n'est
connue que de manière approximative.
Cette idée de validation expérimentale, basée sur la
des corps en présence de contraintes
exté-
rieures, n'est pas pour autant simple à mettre en oeuvre. Il
ne faut pas utiliser de matériaux de test ayant des perméabilités élevées. En effet, à la surface du corps d'épreuve,
la composante tangentielle du champ magnétique risquerait d'être négligeable et il n'est pas souhaitable de minorer certains termes qui figurent
dans l'équation
(1). De
plus, s'interdire l'emploi de tel matériau est aussi un bon
choix pour l'expérience, car la distribution hétérogène du
champ magnétique n'est pas remise en cause par l'introduction du corps d'épreuve. Ce souci de simplicité permet d'utiliser un progiciel commercial pour la résolution
numérique. Opéra 3D, qui implémente la méthode des
potentiels scalaires, a montré, comme cela sera abordé
par la suite, sa bonne aptitude à prédire l'évolution
champ magnétique.
de ce
Hélas, de telles conditions expérimentales produiront
de faibles niveaux d'induction magnétique et en conséquence des faibles niveaux de contraintes extérieures
seront donc induits. Finalement, des déformations quasiment insignifiantes risquent d'être engendrées si aucune
précaution n'est prise. Il faut donc rendre les déformations observables même avec des niveaux de contraintes
faibles. Pierre-Gilles de Gennes, prix Nobel en 1991, a
attiré l'attention de la communauté scientifique sur des
objets « étranges » : les gels. Les longues chaînes moléculaires qui les composent sont capables de piéger les
liquides
""
//---------.
Figure 1. Un noyau magnétigue est associé à deux bobines
en ciiiire. Un chanip iiiagnétiqlte hétérogène petit ainsi être
déformation
i
1 Je..
tout en les conservant sous cette phase (Fig. 2).
1
Figure 2. Les longues chaînes imoléculaires conteiii (es dans les
gels s'entrecroisent et engendrent des iiiicro-voltiiiies
capables d'enzprisonner les liquides.
Un parallélépipède constitué d'un tel matériau est
soumis au champ magnétique engendré par un courant de
3 A circulant dans les deux bobines de cuivre de la structure
de test
(Fig.
1). Visuellement,
l'ensemble
se
déforme, et une mesure sans contact permet de quantifier
le déplacement de l'arête supérieure. Cette mesure en
elle-même mérite un peu d'attention
car elle met en
oeuvre un procédé jusqu'à
présent non utilisé en génie
électrique. Les systèmes de mesure optique sont couramment utilisés dans l'industrie
mécanique et sont en
mesure de garantir une précision
meilleure que 10
microns.
Avec cette méthode, il est possible de donner à 50
microns près le déplacement de l'arête supérieure du parallélépipède de test en présence d'un champ magnétique.
Avec deux photographies présentant la géométrie de ce
solide en présence puis en l'absence de champ magnétique
il est possible de déterminer le déplacement (Fig. 3).
Pour exploiter
ce résultat
comme
preuve objective
de
l'aptitude des méthodes énergétiques à prédire l'évolution des systèmes, il faut être capable de réaliser une
simulation complète du procédé. De plus, toutes les étapes associées à cette simulation doivent être fiables. Pour
avoir la distribution du champ magnétique, une simulation basée sur le code commercial OPERA 3D est utilisée.
Même si des symétries peuvent être mises à profit pour
diminuer le nombre d'éléments au niveau des modèles
éléments finis, cette solution n'est pas retenue, car les
propriétés géométriques peuvent être mises à profit pour
évaluer la pertinence des résultats issus des simulations
[10] [111. La comparaison des résultats issus des simulations avec des valeurs expérimentales reste de toute façon
incontournable (Fig. 4).
REE
No 6/7
Juin/juillet
2006
L'ELECTROTECHNIQUE
)peres
tJ?
W
DU
FUTUR
Il'7
:
,iUi
11,..
"
1" 1
11
. 64 0
L_/. !
1 y 1 ./
z!
,q
Il
[
1
1 1
FI
11 t
> 1
,
luilz- > (3. a)
(3.b)
Figitre. 3. Un faisceuti lasei- est ittilisépotir créei- tine oiiibre. Cette oiiibi-eperiiiet de matérialisei-stir
lin szipport.eiiii-transparent l'eicacte géoiiiétrie du voltiiiie de test en présence (3.b) et en l'absence (3. a)
de chaiiip magnétiqtie. En gi-adttant le stipport seiiii-tîansparent avec tin qtiadrillage an pas de 0,5 iiini,
il est possible de iiieszirer le déljlaceiiient de l'arête stipériezire dit volitme de test.
Bv (en'r)
2t)
ls
16
11
1
1 By 1.
2
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\2 L----lU
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S
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34-
- : tf<'tit's ntfsur'''
- e-VnlplII "' " C ; Ilf'II ! t>I' "
1
,,- 1, 4 ;,)
a
Figure
4. Des mesures deflzi,, (, réalisées sur le dispositif réel, sont coinpai-ées aux valeurs prédites pai- la
siintilation. Il apparaît qu'une grande confiance petit etre accordée à la simulation.
Uéformation
F = (l/E) n
1, 1
charge
variable
//
Il
.
y
11'/ 1 1
//.'/
'i%latériau
à tester
- 'i%l a t
Mesure
de la déformation
Contrainte
G
Figure
5. En utilisant
un essai de compression simple d'une épiotivette de matériaii de test, il est possible
de déterminer le modtile d'élasticité longitudinal. De plus, en augmentant le nombre d'essai, l'intervalle
de confiance
associé a ce parametre chute et il apparoït que
à moins
REE
Nû 6/7
Juinjuillet 2006
7 essais
de JO % d'erreur
sont suffisants pour obtenir une valeur
.
application
au calcul
Méthode
des forces
énergétique
locales
et travaux
associées
virtuels,
aux champs
magnétique
et électrique
Pt'nn'jihitii t') : it ! vt'
JO - ---------r------------- HésuJtats eaJeuJés
Bobine N'2
Bobine N 1
:
------1-......../..-: ./ :
:i _____/
..
,ar
=,
, . -. -
J
L
Entr Entrefer
Bobine de détection
1
J.. ; i l.ti 1.9 2.1 ..5 2.8 : .J ; U : J.7 -1.0
(l lenlt) n LI-x/LIO (6. b)
(6 a)
Figure 6. Un circuit magnétique permet de canaliser très facilement lefliix magnétique. Dès qu'un eiill-efe'
apparaît dans ce circuit, l'intensité diflitic chute iniii ? édiatement (6.a). Cette chute est aiissifonctioii
de la perméabilité relative de la matière contenue dans l'eiitrefei-. Avec la bobine de détection, il est possible
d'avoir- une iliforillation, soilsforiiie d'une tension, sur l'influence de cette matière sur l'intensité dttflzt,,u.
A partir de deux relevés expériiîientaux, tension Ux et tension UO, la courbe d'étalonnage (6.b),
construite à l'aide de simulations paramétrables du système précédent, permet de déteriiiinet- la perméabilité
relative
Pour
ment
riau.
poursuivre
connaître
Pour
doivent
montre
corps
si
le module
Poisson
Le
qu'il
impérative-
Pour
du maté-
cet objectif,
des systèmes
de mesure
relevée
être conçus.
La résistance
des maté-
deuxième,
est possible
de prédire
l'évolution
d'un
deux
paramètres
physiques
sont
connus
:
d'élasticité
longitudinal,
E, et le coefficient
de
v.
identifiable.
tuants
il faut
physiques
atteindre
nouveaux
riaux
les simulations,
les caractéristiques
du matériau contenu dans l'entre fer
de
Le
deuxième
Toutefois,
cette
paramètre
une analyse
nouvelle
comportement
matière
iso-volume
pas
aisément
des principaux
n'est
consti-
permet
qui peut
de
l'évaluer.
être associé
à ce
composé
induit un coefficient
de Poisson de 0,5. Pour le
module
d'élasticité,
il n'existe
pas d'autre
solution
que
l'expérimentation.
vette
réalisée
d'évaluer
ce module
La mesure
riaux
Une compression
simple d'une éproudans le matériau
à caractériser
permet
de la perméabilité
un problème
règle.
ments
d'élasticité
majeur.
(Fig.
5).
reste pour
Celui-ci
introduit
dans ce circuit.
L'intensité
circulant
dans ce circuit
est conditionnée
pas à cette
au moyen d'éléde 1,6 mm est
du flux
magnétique
par la matière
une
vont
meilleure
précision,
être mesurées.
pour
un
Ux
contenant
entrefer
est
qui vont
méabilité
fer. L'essai
avec un entrefer
met aussi de valider
Avec
la
perméabilité
analysant
la tension
celle-ci semble n'en
Finalement,
rience
le matériau
présente
et un module
d'élasticité
de la formulation
énergétique
permet
prédites
d'un
tel
système
est
cipales.
Un champ
magnétique
Une information
sur l'intensité
peut être
détection.
intensité.
est ainsi
engendré.
du flux dans le circuit
obtenue
par l'intermédiaire
d'une
bobine
de
La tension
relevée est proportionnelle
à son
du
circuit
par
ces contraintes
ristiques
volume
mécaniques
de test peut
totalité
de la géométrie
déplacement
Cette
lation
Comme
méthode
de calcul
celles
à ce volume
la formulation
du matériau,
être calculée.
3,1)
n'est
associées
[3]
aux
de test les forénergétique.
ainsi
pas
En
que les caracté-
requise,
est mesuré
être appliquée
force
au champ
la géométrie
finale du
La connaissance
de la
supérieure
peut
de
l'expé-
(r
informations
sont
de la représentatiassociée
extérieures
de l'arête
pour
faible
numérique,
il est possible de
du flux dans l'entrefer.
Cette
d'associer
utilisant
total
en
de détection,
fabriqué
relative
souples (E-70
000 N/m2).
Ces deux
suffisantes
pour aboutir
à l'évaluation
vité
per-
qui le classe dans les matériaux
ces locales
le comportement
que de l'air
estimée
ainsi
une perméabilité
distribution
que
est une
de la simulation.
mesurée
à la bobine
recevoir
que 74 %.
n'est pas pour autant linéaire,
car les fuites
avoisinant
sont inévitables.
C'est au moyen de
analysé. Une source de courant alternatif
permet d'imposer un courant de 0,5 ampère dans les deux bobines prin-
la
entrefer
Ux/Uo
ne contenant
magnétique
relative
simulations
un
magnétique,
la simulation
prédit que 80 % du flux
circule
dans ce circuit
alors qu'expérimentalement,
méabilité
ce com-
de l'air,
pour
la représentativité
portement
dans l'air
Toutefois,
de ten-
permettre
d'associer
à ce rapport Ux/Uo
la perrelative de la substance introduite
dans l'entre-
magnétique.
Par simulation
construire
la distribution
à l'unité.
que
relevée
de test. Le rapport
qui est introduite
dans l'entrefer
(Fig. 6). Une augmentation du flux apparaît si le matériau testé possède une persupérieure
valeurs
Uo est la tension
ne contenant
la tension
la substance
deux
La première
caractéristique
unique associée à la perméabilité
relative
du matériau
de test. Ce sont des simulations
du procédé
tous les maté-
n'échappe
Un circuit magnétique
est réalisé
de transformateur
et un entrefer
sions
[9]
pour
[10]
courants
car
seul
(Fig.
7).
toute
[11]
le
formu-
[12]
[14].
équivalents,
aux
REE
W 6/7
JLliii/juillet 2006
L'ELECTROTECHNIQUE
Repères
DU FUTUR
Une
grande
cette
formulation
prudence
doit
comme
accompagner
cela
l'utilisation
sera souligné
de
à la fin
de
l'article.
".,
dL
z,,
N
4.
Expérimentation
La nature
r
nature
@
,5
d'appliquer
immatériel
comme
favorables
connue
élevée
la modélisation
formulation
(Fig.
est associée une géométrie
8.a, 8.b, 8.c, 8.d).
utilisé,
simple
aucune
permet
respectent
du volume
Si un matériau
déformation
de rejeter
n'est
toutes
de test
amagnétique
enregistrée.
les formulations
pas le comportement
neutre
continuités
qui ne
existantes
valeurs
des matériaux
n'a pas été évaluée
0,439 mm
[11].
NI. a
Figure
l'influence
Donc,
0,448
En conclusion,
che énergétique
il apparaît
propose
sine de la déformation
périence.
associée
même
calculée
Par contre,
si ces
à l'aide
Ainsi
la
magnétique
pour
l'ex-
mm
8. (1
".
Il
Il
8 d. déformée associée à laformulation " tenseur de Maxwell ".
très nettement
que l'appro-
seule
une déformation
réellement
rencontrée
très voidurant
l'ex-
Elle provient
d'un choix très strict quant
de la variation
de l'énergie
magnétique.
REE
Nu 6/7
Juin/juillet 2006
champs
les intensités
matériau
S.c
8 a. déformée associée à laformulation " courant équivalent
L'expression
des forces d'origines
magnétiques
à ce principe
n'est pas issue d'une
analyse
microscopique.
à l'interprétation
un exa-
les
représentative.
du
des singularités.
c
mm
8.b
devant
restera
par élé-
que les distribuproches des dis-
faibles
Figure 8 b. déformée associée à laformulation " masses magnétiques équivalentes.
Figure 8 c. déformée associée à laforii7zilation " variation de 1 énergie magnétique.
Figure
utilisant
du solide.
relative
sys-
cette valeur
ce problème,
la déformation
les distributions
minore
0,589
0,320 mm
ont des intensités
perméabilité
Par exem-
et la résolution
l'expérience
sur l'ensemble
faible
au
finis.
Par contre,
comprendre
sont peu fiables,
de toutes
amagnétiques.
C'est pour cette raison que la formulation
de calcul des forces locales associée à la méthode des
masses et courants surfaciques
de
qui
pénalisent
(ër - 78,5). Aucun
donc requis.
magnétiques
doit être mené. Il apparaît
tions de force calculées
dans des zones
est
essai
Cet
précis
pro-
éléments
reste une composition
d'eau et
électrique
relative est très bien
et est égale à celle de l'eau
plus
Si la même
certains
par éléments
n'est
men
A chaque
il est
expérimental
tème de mesure
Pour mieux
de la
électrique.
à l'aspect
pénalise
se double
En conséquence
de vue à un autre support
est employée,
les modélisations
ments finis.
au tenseur de Maxwell...
le champ
ple, si le matériau
retenu
de gélatine, sa permittivité
pi-écédent, pe ; -iiiet de détel-iiiiner la Pei-iiiéabilité i-elative du
matériazr contenu dans l'entrefer
masses magnétiques,
ce point
expérimentale
contraire
de l'énergie
de son support.
intéressant
sont
si,ipéi-ieiii-e est le plus iiiiportant de toits et il servil-a de
paramètre de validationa partir de deux relevés expéi-1.iiientaux, tension Ux et tension UO, la courbe d'étalonnage (6.b),
coii.ti-itite à l'aide de siniiilations pai-améli-able, du systènie
immatérielle
immatérielle
cédure
Figure 7. Le iiiatériaii de test en pl-ésence d'un chanip iiiagnétique hétérogène se déforrne. Le déplacement de l'arëte
électrostatique
périence
structurel
basée sur les champs électriques,
cet avantage
disparaît.
Il faut donc utiliser
une géométrie
plus massive
et ne comportant
pas de discontinuités
pré-
judiciables
(Fig. 9). Une telle géométrie
a des répercussions expérimentales
non négligeables.
Les déformations
qui vont se rencontrer
La méthode de mesure
seront naturellement
plus faibles.
photographique
peut toutefois
être
.
application
au calcul
des
Méthode
forces
énergétique
locales
et travaux
associées
virtuels,
aux champs
magnétique
et électrique
30 Mill
15 m
Il 5m
(A)
'"
i
20111111
1
/ r
/
10 iiini
(
,.
:
1----i
40 mm
35 inm 1
/
10 mm [
L-/,10 mm
mm
1- 30
30 mm
Corpsd'épreuve
pourleschamps
iiiignéti (lues. (9.a
(9. b)
40 min
(9. C)
Figure 9. La géométrie du volume de test associé à la première expérience ne peut plus être utilisée.
Cette structure présente des singularités géométriques- (9. a). Une autre structure, plus massive, doit être
préférée (9.b). Une technique defabrication par moulage permet d'obtenu- ce type de structure.
En
entree/deux
plaques
à un potentiel
/c/ceplaçant ce volume
vo/e de ftest' (C) (0
?c cx/
?/<
?conductrices
c
co/cnc (A el B) dont I'zine/ est
?/'//7c
c
Mo'e/
élevée (Il Kilovolts), le champ ele
électrique résultant est slif fisantpozir induire des déplacements visibles (9.c).
/y
e â ilmerit
0 Kvolt 11 Kvolts
_------
-----
J
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Jt.
11 »
1
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0.1425 nim
1
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iitia)".
j
pposition
1 tion , position
+ 0,15 mrm
1
j
.1!' :,,
:
(10. a)
Figure
(10.b)
(10. C)
10. Un appareil photographique équipé d'un objectif macro-photographique peut donner des images
très détaillées du sommet du volume de test (10. a). La comparaison des positions en présence
el en l'absence de champ électriqiteperiiiet de déduire le déplacement engendié (] 0. b). Finalement, après
i (ii calcul de déformation basé sur le comportement élastique de cette matière, un déplacement de 0. 1425
mm est pi-édit (10. c).
conservée
et, comme
une mesure
plus
directe
peut
être
N/m2.
Si la distribution
de forces
employée,
sa précision
s'en trouvera
augmentée.
Compte
tenu des remarques précédentes,
une attention particulière
associée
est portée
ment que le comportement
à la fabrication
posséder le plus faible
senter une géométrie
partir
du moment
moulage,
module
parfaite.
de test. Il se doit de
d'élasticité
possible et préCet objectif
est atteint à
où dans la procédure
l'opération
température.
du volume
de démoulage
De plus l'absence
de fabrication
est réalisée
de matière
incluse
à la méthode
test est celui
présenté
fois interprété
dans la
5.
Les
limites
de se produire.
faibles.
A plusieurs
en associant
son sommet
à cette
structure
un déplacement
peut être mesuré
en utilisant
une source
de 0,15 mm de
deux photogra-
montre
qu'un
exploitable
est intervenu.
La
rience est réalisée en utilisant
matériau
78,5
de test une
et un coefficient
phénomène
observable
et
simulation
de cette expécomme paramètre
pour le
permittivité
électrique
d'élasticité
longitudinal
IO.c. Il apparait
de cette matière
de
finale-
est encore
par l'approche
une
énergétique.
relative
de
de 6 000
En effet,
pour
comme
des
volumes
des
physiques
que cette
les effets
dans
dynamiques
physique
il s'est avéré nécessaire
aux phénomènes
En restant
phénomènes
niveau
l'interprétation
il faut minorer
Toutefois,
phies, l'une associée à la position
initiale
et l'autre associée à la présence du champ électrique
(Fig. 1 O.a et lO.b).
L'expérience
maîtrisés.
de
reprises,
quant
instructive,
de 11 kilovolts,
est celle
du volume
par
aux essais de compression
Finalement,
utilisée
l'allure
à faible
des choix
de tension
à la figure
correctement
gélatine,
comme la poudre de fer, est un élément favorable pour les essais mécaniques.
Les dispersions
associées
sont plus
locales
énergétique,
expérience
soit
des phénomènes
mal
le domaine
disparaissent
déformations
de test,
des
Dans
piézoélectriques
est susceptible
effets
rentrent
le cas de la magnétostriction,
seront
de réagir.
faibles.
tous
dans
les
naturellement.
apparaissent
au
peuvent
se
de la matière.
ou encore les
cette
catégorie.
seule la poudre
Une évaluation
Les variations
statique,
questions
poser quant
à leurs effets
au niveau
La magnétostriction
[15], l'électrostriction
effets
de faire
susceptibles
montre
de volume,
de fer
que ces
pour
REE
W 6/7
Juin/juillet2006
les
billes
constituant
à 10-10 m. Au
ment
faible,
efforts
la poudre
moyen
le corps
externes,
d'épreuve
négligeables.
facilement
lié à la variation
d'énergie
devient
effet
mécanique,
les effets
le plus
utiliser
161
important
si un système
prédominant
ne pré-
est celui
de l'effet
les formulations
présentées
sées pour étudier
l'expérience
r airaîtrait qu'aucun
effet
qu'expérimentalement
mantation
6.
associée
n'est
il est bien
observé.
[8]
[4]. Si
sont utili-
à cet effet,
mécanique
pas l'effet prédominant.
le système expérimental
ver. L'explication
d'article
alors
et de désaimantation
son aptitude
de la matière.
ques des machines,
linéaires.
Pourtant,
discutable
Les
mécani-
deux
de l'interprétation
expériences
de la variation
présentées
tiennent
compte de ce choix. Si une telle approche permet de prédéterminer
les performances
mécaniques
des actionneurs,
c'est
grâce
Ils valident
aux
très
bons
indirectement
rendements
le choix
l'interprétation
de la variation
rendement
proche
de l'unité
l'énergie
entrante
est transformée
de ses systèmes.
qui est réalisé
quant
à
d'énergie
magnétique.
Un
veut bien dire que toute
en énergie
S. BOBBIO,
P ALOTTO, F. DELFINO,
P GIRDINIO,
P MOLFINO. Equivalent
Source Methods for 3-D Force
Calculation with Nodal and Mixed FEM in Magnetostatic
Problems IEEE Transactions on Magnelics, Vol, 37, N'5
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[11]
O. BARRÉ. Contribution à l'étude des formulations de calcul de la force magnétique en magnétostatique,
approche
numérique et validation expérimentale.
Thèse de doctorat
en Génie électrique, Université de Lille et École centrale de
Lille, 2003.
[12]
tels les moteurs
ou les actionneurs
cette approche
repose sur un choix
qui est celui
de l'énergie.
les caractéristiques
on Magnettcs.VoVol. 32, N'3,
0. BARRÉ, P BROCHET, Discnmination of Stress Formulae Induced by Magnetic Field Frorn Experimentation
and
Simulation. EMF 2003 Proceedings. pp 277-280. Sept
2003.
en oeuvre de deux manières difCette méthode montre très sou-
à prédire
FX
ZGAINSKI,
J.L.
COULOMB,
Y
MARÉCHAL,
F CLAEYSSEN, X. BRUNOTTE. A Tool Box for 3-D Mesh
Generation ln Electromagnetism
and Electromechanical
[10]
Conclusion
triques propose de mettre
férentes le même concept.
1994. p. 3471-3474.
Z. REN, B. IONESCU, M. BESBES, A. RAZEK. Calculation of
Mechanical Deformation of Magnetic Materials in
September
repose sur l'ai-
L'approche
énergétique
est donc validée expérimentalement. La dualité entre les champs magnétiques
et élec-
vent
191
[9)
Cet effet n'est
Einstein et De Haas durent mettre
en résonance pour mieux l'obser-
donnée par ces physiciens
Force Calculation Methods
EEE Transactions on
30, Nob, September
Engineering. IEEE Transactions
May 1996, p. 1341-1343.
il appa-
engendré,
Z REN, Comparison of Different
in 3D Finite Element Modelling,
Electromagnetlc Devices IEEE
Transactions on Magnetics.
Vol. 31, N'3, May 1995. pp 1873-1879.
d'énergie
gyromagnétique
en début
t7l
la produc-
la variation
1988. pp. 3171-3173.
Magnetics. Vol.
celui
pour quantifier
l'énergie
mécanique
produit
très rapidement des résultats aléatoires.
L'exemple
le plus connu
des physiciens
6, November
aux
inter-
reste toutefois
En effet,
physique
extrême-
très sensible
comme
en cause
Element Modelling of Electromagnetic
Force Densities in
DC Machines IEEE Transactions on Magnetics Vol 24, n°
bien inférieures
d'élasticité
Le choix
remis
d'énergie.
sente pas comme
tion
module
les autres effets,
nes, deviennent
et le plus
de fer, seront
d'un
A. BOSSAVIT, Force Inside
a Magnet,
Vol 11, N'l, March 2004, pp 4-12.
Newsletter,
[131 L.EL AMRAOUI, F GILLON, S. VIVIER,
P BROCHET et
M. BENREJEB. Robust Electromagnetic
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Transactions on Magnetics,
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f 141 F.
HENROTTE,
Handbook
for
the
Computation
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a Continuous
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ICS
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of Force
26 N'2,
des milieux continus,
Edition MIR 1990, pp
G. REYNE, J.C. SABONNADIÈRE, J.F. IMHOFF. Finite
REE
No 6/7
Juin/juillet2006
Olivier Barré est professeur agrégé en génie électrique, docteur
en génie électrique, enseignant au lycée G. Eiffel (France)et chercheur au L2EP (Laboratoired'Electrotechniqueet d'Electroniquede
Puissance).Ses recherches concernent des domaines comme la
prise en compte des phénomènes électromécaniques dans les
simulations numériques en vue de la conception et de l'optimisation des machines électriques. Il est membre de l'équipe COME
(Conception et Optimisation des Machines Electriques).
PascalBrochet est professeur à plein temps à l'Ecole Centralede
Lille (France)et aussi chercheur au aboratoire L2EP (Laboratoire
d'Electrotechnique et d'Electronique de Puissance) Ses recherches concernent la conception des machines électriques, en particulier les outils spécifiques d'optimisation tels que les plans d'expérience ou les méthodes de résolutions numériques. Il est responsable de l'équipe COME (Conception et Optimisation des
Machines Electriques).