Résumé pour le 1er colloque du GDR interactions fluide-structure - 26-27 sept. 2005 A PPROCHE BIPHASIQUE DU CHANGEMENT DE PHASE AVEC INTERACTION L IQUIDE -S OLIDE Rodolphe LANRIVAIN† , Luisa SILVA, Thierry COUPEZ CEMEF, Ecole des Mines de Paris, B.P. 207, 06904 Sophia Antipolis Cedex, France, [email protected], [email protected], [email protected] 1 Introduction L’objectif du modèle présenté ici est de simuler la solidification d’un polymère dans le cadre de l’injection et du logiciel Rem3D [5]. Classiquement, on traite le changement de phase en assimilant le polymère solidifié à un fluide de très forte viscosité et, ou, via l’imposition d’une température de non-écoulement. Ce type d’approche ne rend compte, ni du comportement réel des parties solidifiées, ni des interactions entre ces parties et le fluide en écoulement, et conduit à des difficultés numériques tel que des matrices très mal conditionnées. Afin de s’affranchir de ces limitations, nous proposons un modèle biphasique de type Liquide/Solide. Ce modèle s’appuie sur la théorie des mélanges [2], [4]. On introduit un paramètre scalaire, la fraction de phase qui quantifie la présence chaque phase supposée présente en chaque point du domaine. Une fois fixées les lois de comportement associées au liquide et au solide, nous présentons le couplage de type friction retenu. En utilisant une méthode éléments finis mixtes dans un cadre eulérien , nous calculons à partir d’un unique système l’ensemble des variables cinématiques liquide et solide. Enfin, nous proposons une extension originale de la formulation afin de traiter le changement de phase. Cette formulation repose sur un bilan de masse du milieu biphasé en cours de transformation. 2 Modélisation biphasique liquide/solide On considère un domaine Ω constitué de deux de phases, l’une liquide, l’autre solide, occupant respectivement les sous-domaines Ωl et Ωs . On suppose le milieu saturé ce qui implique que seules ces deux phases sont présentes. Suivant le cadre de la théorie des mélanges, on introduit la fraction volumique de la phase liquide α définie par : αi (X, t) = ½ 1 si X ∈ Ωi , i ∈ {l, s} 0 si X ∈ ΩÂΩi (1) αl = α et αs = 1 − α Dans le cadre général d’un problème faisant intervenir deux phases, un liquide et un solide, notre objectif est de parvenir à un modèle unique capable de traiter les trois configurations types illustrées figure 1. La principale différence entre ces trois problèmes est la définition du paramètre α qui peut être constant (modèle statique et homogène), fonction uniquement de l’espace (problème statique) ou fonction de l’espace et du temps (problème dynamique). Résumé pour le 1er colloque du GDR interactions fluide-structure - 26-27 sept. 2005 Liqude Mélange Solide A B C F IG . 1 – Répartition des phases pour trois problèmes biphasiques types : A Mélange homogène ; B Répartition statique des phases ; C Problème dynamique de type changement de phase 2.1 Lois de comportement et couplage cinématique En négligant les termes d’inertie (approximation licite en injection de polymère) et décomposant les containtes en contribution liquide et solide, l’équilibre dynamique du milieu est équivalent à un système de deux équations d’équilibre, l’une liquide, l’autre solide : ∇.σ = 0 σ = σ l + σs ¾ ⇒ ∇.σl = −∇.σs = F ⇒ ½ ∇.σl = F ∇.σs = −F (2) Nous associons à chaque phase une loi de comportement spécifique. Il vient alors : – Le domaine liquide Ωl On a un liquide newtonien qui vérifie les équations de Stokes : ½ ¡ ¢ ∇. 2ηǫ(v) − ∇pl = F −∇.v =0 (3) – Le domaine solide élastique Ωs La loi de comportement linéarisée d’un solide élastique, sous l’hypothèse des petites déformations, est décrite ici dans le cadre d’une formulation mixte déplacement(u)/pression(ps ) via (λ et µ coefficents de Lamé) [3]. l’introduction du module de compressiblité K = 3λ+2µ 3 ∇.(2µǫ(u) − 2µ (∇.u)I) − ∇ps = −F 3 1 −∇.u − ps = 0 K (4) On choisit de modéliser F par une force de friction. Cete force, entre un solide soumis à un déplacement u et un liquide de vitesse v, s’exprime par : ¡ ¢ ¡ du ¢ F = k vs − v = k −v dt (5) avec k coefficient d’interaction entre les phases. Cette force agit à l’interface (diffuse ou non) liquidesolide. 2.2 Système biphasique unique Le système décrivant l’ensemble des variables cinématiques du problème s’obtient en exprimant les systèmes (3) et (4) sur Ω et en définissant une équation d’évolution sur α. On obtient alors : Résumé pour le 1er colloque du GDR interactions fluide-structure - 26-27 sept. 2005 ∀X ∈ Ω(X, t), touver(v, pl , u, ps , α) / ¡ ¢ α∇. 2ηǫ(v) − ∇pl −∇.v ¢ ¡ 2µ (∇.u)I − ∇ps (1 − α)∇. 2µǫ(u) − 3 1 −∇.u − ps K dα dt =k =0 ¡ du ¢ −v dt (6.1) (6.2) ¡ du ¢ = −k − v (6.3) dt =0 (6.4) = f (X, t) (6) (6.5) Dans ce système, les champs (v, pl , u, ps ) sont définis sur l’ensemble du domaine car la relation de couplage est également étendue à tout le domaine et permet d’assurer le prolongement de ces champs sur les sous-domaines de Ω tels que α = 0 ou 1. 2.3 Formulation éléments finis et méthode de résolution La résolution de l’équation d’évolution de α est découplée du système 6. Connaissant α en chaque point du domaine, on calcule, à partir d’un unique système les quatres inconnues cinématiques du problème. Al + Fk Bl −Fk 0 v Fk t Bl −Dl pl 0 0 0 = (7) −t Fk 0 As + Fk Bs u Fk 0 0 t Bs − Cs −Ds ps 0 L’obtention du système se fait via une discrétisation éléments finis P1+/P1/P1+/P1. La condensation des termes de bulles, effectuée sur les sous-blocs liquide et solide, génère les matrices Dl et Ds . La relation de couplage, au second membre des équations (6.1) et (6.3), est traiter de manière semiimplicite car un schéma explicite est appliqué à la dérivée convective du champ de déplacement. 3 Extension du modèle au changement de phase L’extension du modèle au changement de phase nécessite l’écriture d’un bilan de masse sur l’ensemble du système. On introduit la masse volumique totale par une loi de mélange : ρ = αρl + (1 − α)ρs (8) avec ρl (resp. ρs ) masse volumique du solide (resp. liquide). On peut montrer que la conservation de la masse totale du domaine Ω s’exprime en fonction de l’évolution de la fraction de phase comme suit : ∇.v + 1 dα 1 dρ = ∇.v + (ρl − ρs ) ) = 0 ρ dt ρ dt (9) Nous traduisons la compressibilité de la phase solide par l’équation d’état sur la masse volumique solide suivante fonction le masse volumique du solide au repos : ρs = ρ0s (1 + ∇.u) (10) En remplaçant l’équation (6.2) par l’équation (9) dans le système biphasique (6), on étend le modèle biphasique proposé à des problèmes de type changement de phase. Résumé pour le 1er colloque du GDR interactions fluide-structure - 26-27 sept. 2005 F IG . 2 – Evolution temporelle de α et norme du champ du vitesse sur la configuration déformée (via le post-processeur) La figure 2 illustre un exemple de changement de phase homogène. La masse volumique solide est supérieure à celle liquide, et le milieu initialement liquide se solidifie en suivant une loi d’évolution de type Avrami homogène, issue de la cristalisation [1] (ie α fonction du temps uniquement). A mesure que le taux de phase solide augmente, le domaine se contracte pour assurer la conservation de la masse. 4 Conclusion Nous avons présenté un modèle biphasique de type liquide-solide basé sur la théorie des mélanges. A partir de la résolution d’un unique système, ce modèle permet de calculer l’ensemble des variables cinématiques (vitesse, déplacement et pressions) d’un milieu biphasé quelconque (voir figure 1). La résolution directe du système, par une méthode GMRES présonditionnée, s’est avérée très robuste, puisque permettant de traiter un problème mettant en jeu des paramètres matériaux d’ordre de grandeur très différent ( viscosité ( ∼ 1.10−03 M pa.s) et module Young (∼ 1.10+02 M pa). L’extension du modèle au changement de phase permet d’ores et déjà d’obtenir une déformée d’un milieu solidifié. Il sera bien sur nécessaire de consolider le modèle et d’amener une physique plus réaliste du changement de phase. Références [1] AVRAMI , M. Kinetics of phase change. I . J. Chem. Phys. 7, 1-2 (1939), 1103–1112. [2] B OWEN , R. Theory of mixtures. Continuum Physics 3 (1976), Part 1. [3] K LAAS , O., M ANIATTY, A., AND S HEPHARD , M. S. A stabilized mixed finite element method for finite elasticity. : Formulation for linear displacement and pressure interpolation. Computer Methods in Applied Mechanics and Engineering 180, 1-2 (1999), 65–79. [4] K RISHNASWAMY, S., AND BATRA , R. A Thermomechanical Theory of Solid-Fluid Mixtures. Mathematics and Mechanis of Solids 2 (1997), 143–151. [5] S ILVA , L., BARRÉ , M., D IGONNET, H., G RUAU , C., RODRIGUÈS -V ILLA , A., AGASSANT, J., AND C OUPEZ , T. Avancement et perspectives de la simulation numérique tri-dimensionnelle de l’injection de polymères. 16ème CFM (2003), 6.