Calculs dans le triangle rectangle

10
Calculs
dans le triangle
rectangle
De nombreuses situations de la vie professionnelle nécessitent
le calcul de longueurs ou d’angles.
Citons par exemple :
“– pour une charpente, le calcul de la longueur
des chevrons ou de l’angle d’inclinaison de la toiture ;
– pour une machine à commande numérique, le calcul
des données à fournir de manière à obtenir le déplacement
désiré de l’outil ;
– pour l’usinage d’une pièce, le calcul de l’angle d’attaque
de l’outil.
”
Ce chapitre va vous fournir les moyens mathématiques de résoudre
certains de ces problèmes.
Mots-clés du chapitre
Vous connaissez quelques propriétés géométriques des triangles.
Dans ce chapitre, nous nous intéresserons plus
spécialement au triangle rectangle.
Vous allez consolider vos connaissances des
classes antérieures en utilisant le théorème de
Pythagore et sa réciproque ou les rapports
trigonométriques d’un angle aigu : cosinus,
sinus, tangente. Pour cela, il vous faudra savoir
reconnaître dans un triangle rectangle :
l’hypoténuse, le côté adjacent à un angle
aigu, le côté opposé à un angle aigu.
117
À LA DÉCOUVERTE DE...
Activité 1
Comment utiliser le théorème de Pythagore ?
La figure ci-contre représente schématiquement une partie de charpente (cotes en
mètre).
P
?
M
4
6
N
Comment calculer la longueur du chevron
PM ?
Première partie
1. Construire un triangle ABC rectangle
en A tel que AB = 8 cm, AC = 6 cm.
Vérifier à l’aide du double décimètre que
BC = 10 cm.
2. Calculer BC2, puis AB2 + AC2. Comparer les résultats obtenus.
L’égalité obtenue ne vous rappelle-t-elle pas un théorème connu ?
Deuxième partie
On se propose de calculer la longueur du chevron MP (figure ci-dessus).
On sait que le triangle MNP est rectangle en N.
1. Quelle est l’hypoténuse du triangle MNP ?
2. Écrire la relation de Pythagore.
3. En remplaçant les longueurs connues par leurs valeurs, calculer MP2.
4. En utilisant la touche M
de la calculatrice (voir page 201), calculer MP (valeur
arrondie au cm).
Activité 2
Comment utiliser la réciproque du théorème
de Pythagore ?
Pour construire des murs perpendiculaires,
les maçons égyptiens utilisaient une corde à
13 nœuds : 1 nœud à chaque extrémité et
11 nœuds à égale distance l’un de l’autre.
Avec cette corde, le maçon réalise un
triangle dont les côtés ont pour longueur
3 ; 4 et 5, en choisissant comme unité de
longueur la distance entre deux nœuds.
A
B
Les murs ainsi construits sont-ils « à
l’équerre » ?
C
118
10. Calculs dans le triangle rectangle
1. Construire un triangle ABC tel que AB = 3 cm, AC = 4 cm et BC = 5 cm.
À l’aide d’un rapporteur, mesurer l’angle BAC .
2. Comparer BC2 et AB2 + AC2.
Activité 3
Comment utiliser les relations trigonométriques
dans le triangle rectangle ?
verticale
B
face
70 m
100 m
C
horizontale
?
A
Un alpiniste doit, pour atteindre le sommet, gravir une dernière face plane recouverte de glace. Son altimètre lui indique que, s’il parcourt 100 m, il gagne en altitude 70 m. Cette situation est illustrée par la figure de droite.
• Quelle est la mesure de l’angle d’inclinaison C de la face ?
• L’altitude du sommet est de 8 000 m ; l’altimètre indique 7 875 m. Quelle distance
reste-t-il à parcourir à l’alpiniste ?
L’étude suivante va donner les réponses à ces questions.
1. Dans le tableau ci-contre, on note d la distance
parcourue par l’alpiniste et d′ le gain en altitude
correspondant.
d (en m)
20
d’ (en m)
50
100 220
70
Sachant que ce tableau est un tableau de proportionnalité, le reproduire et le compléter.
Quelle est la valeur commune des rapports d′′ ?
d
d′
2. La valeur commune des rapports
est représentée dans le triangle ABC rectangle
d
en A par le rapport AB ; elle dépend de l’angle C . On l’appelle sinus de l’angle C
BC
AB
et on écrit sin C =
. En utilisant la calculatrice (voir page 201), calculer la valeur
BC
arrondie au degré de la mesure de l’angle C .
3. Quelle distance reste-t-il à parcourir à l’alpiniste ?
On calculera d’abord combien l’alpiniste doit gagner en altitude.
119
Solutions pages suivantes
...
S
N
O
I
T
U
... SSOLUTIONS
OL
DES ACTIVITÉS
Activité 1
Comment utiliser le théorème de Pythagore ?
Première partie
y
C
1. On construit un angle droit xAy et,
sur les demi-droites [Ax) et [Ay), on place
les points B et C tels que AB = 8 cm et
AC = 6 cm.
1
La figure est ici faite à l’échelle .
2
2. BC2 = 100.
6 cm
AB2 + AC2 = 82 + 62 = 64 + 36
2
2
B
A
AB2 + AC2 = 100.
x
2
8 cm
Donc BC = AB + AC .
L’égalité obtenue nous rappelle le théorème de Pythagore :
si un triangle ABC est rectangle en A, alors BC2 = AB2 + AC2.
Deuxième partie
1. L’hypoténuse d’un triangle rectangle
P
est le côté opposé à l’angle droit ; l’hypothénuse du triangle MNP est MP.
2. MP2 = NP2 + NM2.
4
3. MP2 = 42 + 62, soit MP2 = 16 + 36, d’où
MP2 = 52.
4. À la calculatrice :
2nd
M
M
52
52
)
M
ENTER
=
6
N
EXE
On lit 7,2111…
d’où
MP " 7,21 (valeur arrondie au cm).
L’utilisation du théorème de Pythagore va nous permettre, dans un triangle
rectangle dont seuls deux côtés sont connus, de calculer le côté inconnu.
Activité 2
Comment utiliser la réciproque du théorème
de Pythagore ?
1. On constate, aux incertitudes de mesure près, que BAC = 90°.
2. BC2 = 52 = 25.
AB2 + AC2 = 32 + 42 = 9 + 16, soit AB2 + AC2 = 25.
120
10. Calculs dans le triangle rectangle
DE DÉCOUVERTE
Ainsi :
BC2 = AB2 + AC2.
Le triangle ABC est tel que BC2 = AB2 + AC2 et on constate qu’il est rectangle en A.
Plus généralement,
si un triangle ABC est tel que BC2 = AB2 + AC2, alors il est rectangle en A.
Cet énoncé est appelé réciproque du théorème de Pythagore.
Ce résultat nous permet d’affirmer que les murs construits en utilisant la corde à
13 nœuds sont bien perpendiculaires.
Activité 3
Comment utiliser les relations trigonométriques
dans le triangle rectangle ?
1. Le tableau est un tableau de proportionnalité de coefficient 70 soit 0,7.
100
20
50
100 220
d’ (en m) 14
35
70
d (en m)
154
× 0,7
La valeur commune des rapports d′ est 0,7.
d
2. On utilise la calculatrice en mode degré (voir p 201).
2nd
SIN-1 0.7
On lit : 44,42 …,
)
donc
ENTER
=
;
SECONDE
Asn
0.7 EXE
C ; 44° .
La calculatrice permet d’obtenir la mesure d’un angle aigu connaissant le cosinus,
le sinus ou la tangente de cet angle.
3. L’alpiniste doit gagner en altitude 8 000 – 7 875, c’est-à-dire 125 m.
• On peut utiliser le tableau de proportionnalité où x représente la distance
inconnue à parcourir.
Ainsi 125 = 70 = 0,7
x
100
d
x
100
125
70
d’
d’où 125 = 0,7 x ; x = 125 ; x " 179.
0,7
L’alpiniste devra parcourir 179 mètres.
B
• On peut aussi représenter la situation par le triangle ABC
ci-contre. Dans ce triangle :
?
sin C = AB , soit 0,7 = 125 ;
BC
BC
125
d’où BC =
; BC " 179.
0,7
C
125 m
A
Dans un triangle rectangle, les relations trigonométriques permettent de calculer certains éléments (angles ou côtés).
121
L
E
I
NT
E
S
ESSENTIEL
L’
S
L’E
• Propriétés élémentaires
A
Si le triangle ABC est rectangle en A, alors :
• A = 90° et B + C = 90°.
B
C
0
• le cercle circonscrit au triangle est le cercle de
diamètre [BC].
C
• Théorème de Pythagore
hy
Si le triangle ABC est rectangle en A, alors
BC 2 = AB 2 + AC 2.
A
po
té
n
us
e
B
• Réciproque du théorème de Pythagore
Si dans un triangle ABC, BC 2 = AB 2 + AC 2, alors
le triangle est rectangle en A.
• Relations trigonométriques dans le triangle rectangle
Dans le triangle ABC rectangle en A,
– le cosinus de l’angle C est :
cos C =
mesure du côté adjacent AC
=
mesure de l’hypoténuse BC
B
– le sinus de l’angle C est :
e
us
én
ot
mesure du côté opposé AB
sin C =
=
mesure de l’hypoténuse BC
p
Hy
C
A
Côté adjacent
– la tangente de l’angle C est :
tan C =
Côté opposé
mesure du côté opposé AB
=
mesure du côté adjacent AC
Le cosinus, le sinus, la tangente de l’angle C sont les rapports trigonométriques de cet angle.
122
10. Calculs dans le triangle rectangle
EXERCICES ET
PROBLÈMES
EXERCICES
Théorème
de Pythagore
C
1
Un triangle ABC est
rectangle en A ; AB = 3,5 cm
et AC = 2 cm. Calculer BC.
QCM
?
2
A
B
3,5
Corrigé
• l’hypoténuse est [BC].
• BC2 = AB2 + AC2.
Le triangle ABC est rectangle en A ; ABC = 35°.
C
BlCl2 .
• BC2 = (3,5)2 + 22 ; BC = kl
• Calcul de BC2, puis de BC :
A
3.5 x2
35˚
B
2nd
Dans chaque cas, donner la bonne réponse.
+ 2 x2
ENTER
=
;
ENTER
=
2nd ANS )
3.5 x2 + 2 x2 EXE ;
Ans EXE
1. L’angle droit est l’angle :
a. A
b. B
À l’affichage on lit : 4,03…
d’où BC " 4 cm (valeur arrondie au dixième).
c. C
2. L’hypoténuse est le côté :
a. AB
b. BC
2nd ANS et Ans permettent de rappeler le
c. AC
résultat obtenu au calcul précédent.
3. L’angle C a pour mesure :
a. 25°
b. 45°
c. 55°
2 Un triangle IJK est
rectangle en I ; IJ = 3,2 cm
et JK = 4 cm.
Calculer IK.
4. Le théorème de Pythagore s’écrit :
a. BC2 + AB2 = AC2
b. AB2 + AC2 = BC2
I
?
3,2
J
Corrigé
c. BC2+ AC2 = AB2
K
4
• L’hypoténuse est JK.
• JK2 = IJ2 + IK2.
• 42 = (3,2)2 + IK2 ;
Point méthode
IK2 = 42 – (3,2)2 ;
Pour calculer la mesure d’un côté dans
un triangle rectangle :
.
• Calcul de IK2, puis de IK :
• on repère l’hypoténuse ;
4 x2
• on écrit le théorème de Pythagore ;
• on reporte les valeurs connues et on isole
le terme inconnu ;
2nd
• on termine le calcul à l’aide de la calculatrice.
4 x2
– 3.2 x2
2nd ANS
– 3.2 x2
ENTER
=
)
ENTER
=
EXE ;
On lit : 2,4 ; IK = 2,4 cm.
123
;
Ans
EXE
3 Le triangle ABC est rectangle en A.
Calculer BC (valeur arrondie au mm).
• on calcule le carré de la mesure de ce plus
grand côté ;
C
• on calcule les carrés des mesures des
autres côtés et on ajoute ces carrés ;
?
1,5 cm
A
2,5 cm
• on compare les résultats obtenus et on
conclut :
– si les résultats obtenus sont égaux, alors
le triangle est rectangle (l’hypoténuse est
le plus grand côté) ;
– si les résultats obtenus sont différents,
alors le triangle n’est pas rectangle.
B
4
Le triangle ABC est rectangle en A.
Calculer AC (valeur arrondie au mm).
B
m
7c
C
?
5 cm
10 On considère un triangle ABC tel que
AB = 40 mm ; AC = 42 mm et BC = 58 mm.
Ce triangle est-il rectangle ?
A
5 Soit un triangle ABC rectangle en A tel que
AB = 5 cm et AC = 4 cm.
1. Construire ce triangle en vraie grandeur et
mesurer BC.
2. Calculer BC (valeur arrondie au mm).
Corrigé
• Le plus grand côté est [BC].
• BC2 = 582 ; BC2 = 3 364.
• AB2 + AC2 = 402 + 422 ;
AB2 + AC2 = 1 600 + 1 764 = 3 364.
• On a : BC2 = AB2 + AC2, donc le triangle ABC
est rectangle ; l’hypoténuse est [BC], le triangle est rectangle en A.
6 Un triangle PQR est rectangle en Q ;
QR = 5 cm et PR = 6 cm.
1. Construire le triangle en vraie grandeur et
mesurer PQ. On placera d’abord [QR].
2. Calculer PQ (valeur arrondie au mm).
11 On considère un triangle PQR tel que
PQ = 24 cm ; QR = 18 cm ; PR = 20 cm.
Ce triangle est-il rectangle ?
Corrigé
• Pour les exercices 7 à 9, le triangle ABC est
un triangle rectangle en A ; les mesures de deux
côtés sont connues.
Calculer la mesure du troisième côté.
7
AB = 6 ; AC = 9.
8
AB = 7 ; BC = 15.
• Le plus grand côté est [PQ].
• PQ2 = 242 = 576.
• PR2 + QR2 = 202 + 182 ;
PR2 + QR2 = 400 + 324 = 724.
• On a : PQ2 ≠ PR2 + QR2, donc le triangle PQR
n’est pas un triangle rectangle.
9
AC = 3,8 ; BC = 8,2.
12
Un triangle ABC est tel que AB = 16 mm ;
AC = 34 mm ; BC = 30 mm.
Prouver que ce triangle est rectangle en B.
Réciproque du théorème
de Pythagore
13
Un triangle PQR est tel que PQ = 14 mm,
QR = 50 mm, PR = 46 mm.
Prouver que ce triangle n’est pas un triangle
rectangle.
Point méthode
On connaît les mesures des trois côtés
d’un triangle.
14 1. Construire un triangle MNP tel que
MN = 2,3 cm ; MP = 4,5 cm ; NP = 5 cm.
Mesurer l’angle PMN.
2. Prouver que ce triangle n’est pas rectangle.
Pour reconnaître si ce triangle est un triangle rectangle :
• on repère le plus grand côté du triangle ;
124
10. Calculs dans le triangle rectangle
1. Indiquer, dans chaque cas, quel rapport
trigonométrique (cos, sin ou tan), on peut
calculer directement.
2. En donner la valeur exacte, puis la valeur
arrondie au millième.
• Pour les exercices 15 à 18, on considère un
triangle IJK dont on donne les mesures des côtés.
Dans chaque cas, indiquer, en justifiant la
réponse, si ce triangle est rectangle ou non.
Lorsqu’il est rectangle, préciser quel est l’angle
droit.
15
B
A
IJ = 20 ; JK = 21 ; IK = 29.
3
16
IJ = 45 ; JK = 53 ; IK = 28.
17
IJ = 10 ; JK = 8 ; IK = 12.
18
IJ = 5 ; JK = 7 ; IK = 9.
1,8
C
A
2
C
Relations trigonométriques
dans le triangle rectangle
B
30
A
C
26
A
B
QCM
Dans chaque cas, donner la réponse
choisie :
Le triangle PQR est rectangle en P.
P
25
Utilisation de la calculatrice
Attention !
Pour l’utilisation de la calculatrice dans les
calculs trigonométriques de ce chapitre, il
faut s’assurer qu’elle est en mode degré.
Si elle n’est pas en mode degré, il faut l’y
mettre en effectuant la séquence suivante :
R
Q
1. Le côté opposé à l’angle Q est :
b. PR
3,5
B
15
a. PQ
C
DRG , ou pour sélectionner le degré, ENTER
= ;
c. QR
MODE
MODE
1
2. Le côté adjacent à l’angle Q est :
a. PQ
b. PR
c. QR
20
3. Le cosinus de l’angle Q est :
a. PR
PQ
b.
PQ
QR
Corrigé
c. PR
QR
• COS 57 )
b. PQ
QR
on lit : 0,5446… ;
c. PR
QR
• SIN 57 )
5. La tangente de l’angle Q est :
a. PR
PQ
b. QR
PQ
cos 57° " 0,545.
ENTER
=
sin 57 EXE
c. PR
QR
on lit : 0,8386… ;
• TAN 57 )
19
ENTER
=
cos 57 EXE
4. Le sinus de l’angle Q est :
a. PR
PQ
Calculer cos 57° ; sin 57° ; tan 57°.
sin 57° " 0,839.
ENTER
=
tan 57 EXE
Pour chacun des triangles suivants, on peut
calculer directement cos C ou sin C ou tan C .
on lit : 1,5398… ;
125
tan57° " 1,540.
21
Corrigé
a désigne la mesure en degré d’un angle
aigu ; calculer la valeur arrondie au dixième de
a sachant que cos a = 0,69.
.
,
•
Corrigé
• les données permettent de calculer
ENTER
=
2nd COS–1 0.69 )
:
SECONDE Acs 0.69 EXE
on lit : 46,369… ;
au dixième)
• 5.6 ÷ 3.2
a " 46,4 (valeur arrondie
ENTER
=
2nd TAN–1 2nd ANS
22 Dans chacun des cas suivants, calculer les
valeurs arrondies au millième de cos a, sin a,
tan a.
1. a = 18°.
2. a = 75°.
5.6
ENTER
=
÷ 3.2 EXE
SECONDE Atn Ans EXE
on lit : 60,255… ;
23 a désigne la mesure en degré d’un angle
aigu ; on connaît soit cos a, soit sin a, soit tan a.
Dans chacun des cas suivants, calculer la valeur
arrondie au dixième de a.
1. cos a = 0,27.
2. sin a = 0,421.
3. tan a = 0,345.
4. tan a = 1,769.
.
25
Un triangle ABC rectangle en A est tel que
AB = 36 mm et AC = 45 mm.
1. Construire le triangle.
2. Calculer ACB (valeur arrondie au dixième).
26 1. Construire un triangle MNP rectangle en
M tel que MN = 42 mm et NP = 45 mm.
2. Calculer MPN (valeur arrondie au degré).
Calcul de la mesure d’un angle aigu
d’un triangle rectangle
)
27 1. Construire un triangle PQR rectangle en
Q tel que PQ = 47 mm et PR = 55 mm.
2. Calculer RPQ (valeur arrondie au dixième).
0
Point méthode
Calcul de la mesure
Pour calculer la mesure d’un angle aigu
d’un triangle rectangle connaissant deux
côtés du triangle :
d’un côté d'un triangle rectangle
Point méthode
• on écrit le cosinus, le sinus, la tangente de
l’angle cherché ;
• on repère le rapport trigonométrique que
l’on peut calculer ;
Pour calculer la mesure d’un côté d’un
triangle rectangle connaissant un angle
aigu et un côté :
• à l’aide de la calculatrice, on calcule ce
rapport trigonométrique, puis la mesure de
l’angle.
• on écrit les rapports trigonométriques de
l’angle connu ;
24
• on repère le rapport trigonométrique qui
contient le côté cherché et le côté inconnu ;
Calculer la valeur arrondie au dixième de
• on isole le côté inconnu ;
la mesure de l’angle IJK.
• on termine le calcul à l’aide de la
calculatrice.
I
5,6
3,2
28
?
J
K
Le triangle ABC est rectangle en A ;
ACB = 65° et BC = 35 mm. Calculer AC.
126
10. Calculs dans le triangle rectangle
On lit : 14,791… ;
die au dixième).
A
AC " 14,8 (valeur arron-
?
29
On considère un triangle ABC rectangle en
A tel que C = 37° et AC = 58 mm.
1. Construire le triangle.
2. Calculer B .
3. Calculer AB et BC (valeurs arrondies au
dixième).
65˚
B
C
35 mm
Corrigé
.
•
.
• cos 65°
30
• AC = 35 × cos 65°.
• 35 ×
35 ×
COS 65
M tel que NP = 70 mm et P = 69°.
1. Construire le triangle.
2. Calculer N .
3. Calculer MN et PM (valeurs arrondies au
dixième).
ENTER
=
)
On considère un triangle MNP rectangle en
cos 65 EXE
PROBLÈMES
*, **, *** : niveau de difficulté du problème - C
: problème corrigé (voir solution page 196).
Dans tous les problèmes, l’utilisation de la calculatrice est nécessaire.
33 ** (d’après un sujet de BEP)
Le schéma cicontre représente
D
l’écran d’un téléviseur de format
α
16/9 (les proporL
tions ne sont pas
respectées sur la figure).
La diagonale a pour mesure D = 66,1 cm.
31 ** ABCD est un rectangle.
D
C
?
A
3
?
6
1. Calculer la longueur L de l’écran sachant
que sa largeur a pour mesure = 32,4 cm.
On donnera la valeur arrondie au mm.
2. Calculer la valeur arrondie au degré de la
mesure de l’angle α.
3. Le format 16/9 signifie que L = 16 .
9
En utilisant cette propriété, calculer la largeur d’un écran 16/9 dont la longueur est 80 cm.
B
1. Calculer la valeur exacte, puis la valeur
arrondie au dixième de AC.
2. Calculer la valeur arrondie au degré de
BAC .
32 **
T
OT = 4 cm
? OA = 12 cm
?
O
34 ** C (d’après un sujet de BEP)
Sur une terrasse, on
A K B
50 cm
installe une table
en béton ayant la H
C
forme d’un octogone
régulier représenté
0
D
G
ci-contre.
Chaque côté de cette
F
E
table mesure 50 cm.
A
T′
1. Calculer la valeur exacte, puis la valeur arrondie au mm de AT.
2. Calculer la valeur arrondie au degré de TAT′ .
127
C
1. Calculer la mesure de l’angle AOB . Exprimer
cette mesure en degré.
2. Calculer la mesure de l’angle AOK . Exprimer
cette mesure en degré.
3. Calculer la longueur de [OK]. Exprimer le
résultat arrondi au millimètre.
4. En prenant 60 comme mesure de [OK] exprimée en centimètre, calculer l’aire du triangle AOB.
Exprimer ce résultat arrondi au cm2.
5. Calculer l’aire de la table. Exprimer ce résultat en m2.
L
D
O
K
30˚
B
H
10
60˚
Cotes en
15 mètres
I
A
F
65˚
E
1. Indiquer les mesures, en degré de l’angle
ABC et de l’angle ACB .
2. Indiquer la nature du triangle ABC en justifiant la réponse.
3. En déduire, en mètre, la longueur AB.
4. Calculer la valeur arrondie au cm de la longueur BH.
5. Calculer l’aire 1, en m2, du triangle ABC
(valeur arrondie au dm2).
6. Calculer l’aire 2, en m2, du rectangle ACDI.
7. Calculer l’aire , en m2, de la salle de
réunion (valeur arrondie au dm2).
8. Calculer, en mètre, la longueur IE.
9. Calculer, en mètre, la longueur FI (valeur
arrondie au cm).
10. Calculer l’aire c , en m2, de la surface EFI
à carreler (valeur arrondie au dm2).
Un parterre a la forme d’un carré ABCD de côté 5 m.
On peut planter des fleurs dans le losange IJKL et
de la pelouse dans la partie restante (non colorée).
I
D
10
35 ** (d’après un sujet de BEP)
A
20
B
J
C
2
1. Calculer l’aire, en m , du parterre ABCD.
2. Calculer l’aire, en m2, du losange sachant que
LJ mesure 3 m.
Rappel : = D × d ; D et d mesures des
2
diagonales du losange.
3. En déduire l’aire de la partie semée de pelouse.
4. On souhaite protéger les fleurs par une bordure. On désigne par O le point d’intersection
des diagonales du losange.
a) Calculer OI et OJ.
b) Dans le triangle rectangle OIJ, calculer IJ
(valeur arrondie au dixième).
5. En déduire une valeur approchée de la longueur totale de la bordure IJKL.
37 *** (d’après un sujet de BEP)
La figure ABCDEF ci-dessous représente une
plaque de rue.
La droite (OO′) est axe de symétrie de la figure.
4
16
O′
B C
D E
cotes en cm
A
36 *** (d’après un sujet de BEP)
Le plan d’une salle est représenté ci-après.
Cette salle se divise en deux parties :
– ABCDIF : salle de réunion ;
– EIF : sanitaires.
La salle de réunion sera recouverte de moquette
et les sanitaires seront carrelés.
H
O
F
L’arc CD est un arc de cercle de centre O et de
rayon OC = 29,7 cm.
1. a) Calculer la valeur arrondie au cm de CH.
b) En déduire la cote AB.
2. Calculer, en cm2, l’aire du quadrilatère ABCO.
128
10. Calculs dans le triangle rectangle
3. Calculer la mesure, en degré, arrondie à 0,1
6. En déduire l’aire du triangle ECF, arrondie à
0,01 m2.
7. Quelle est la nature du quadrilatère CFGB ?
Justifier la réponse.
8. Calculer la cote CB, arrondie à 0,01 m.
9. On donne : CF = 1,04 m et BG = 2,46 m.
Calculer l’aire du triangle BAG, arrondie à
0,01 m2, puis l’aire du quadrilatère CFGB.
10. Donner l’aire totale de la voile.
de l’angle HOC .
En déduire la mesure de l’angle COO′ .
4. L’aire d’un secteur circulaire est donnée par
2
πR α
la relation : =
, avec
360
R : rayon de l’arc de cercle
α : mesure en degré de l’angle du secteur.
Calculer l’aire du secteur circulaire coloré.
On prendra α = 32,6o. Arrondir le résultat à l’unité.
39 *** C
5. Déduire des résultats précédents l’aire totale
de la plaque de rue.
Première partie
Un flipper est incliné d’un angle α par rapport
à l’horizontale.
38 *** (d’après un sujet de BEP)
On réalise une voile de planche à voile représentée par la figure ci-dessous.
Les cotes sont en mètres.
AD = 4,45 ; AG = 2,50 ; CD = 0,90 ; AB = 0,43
et DCE = 60° .
520
630
Calculer la valeur arrondie au degré de la mesure
de l’angle α.
E
C
1 250
Cotes en mm
D
0,90
(d’après un sujet de BEP)
Deuxième partie
Ce flipper comporte trois « bumpers » disposés
en triangle.
Les points A, B et C sont au centre des bumpers.
AB = 200 mm ; AC = 300 mm ; BAC = 90° .
F
4,45
A
B
B
G
C
0,43
A
2,50
1. Quelle est la nature du triangle ABC ?
2. Calculer la mesure du segment [BC].
On donnera la valeur arrondie au cm.
3. Calculer les mesures des angles ACB et ABC .
1. Calculer la cote BG et donner sa valeur arrondie à 0,01 m.
2. Calculer cos BAG (valeur arrondie au
millième).
En déduire la mesure arrondie au degré des
angles BAG et BGA .
40 *** (d’après un sujet de BEP)
3. Soit le secteur circulaire coloré DCE.
Calculer son aire, arrondie à 0,01 m2.
Pour signaler un véhicule immobilisé dans un
virage, on place un triangle de signalisation
assimilable à un triangle équilatéral ABC de
côté 45 cm (figure de gauche).
AB = BC = CA = 45 cm.
4. Déterminer la mesure de l’angle ECF .
5. Calculer la cote EF, arrondie à 0,01 m.
129
A
A
triangle
H
K
B
D
A
5
76
S
B
C
C
K
route
1. Calculer, en cm, la longueur AK de la hauteur
du triangle ABC. Arrondir le résultat au dixième.
2. Le triangle de signalisation fait avec la route
un angle de 76o (figure de droite).
Il est maintenu dans cette position par une tige
assimilable au segment [SH] tel que :
– (SH) est perpendiculaire à (AH) ;
– KH = 5 cm.
Calculer, en cm, la longueur SH. Arrondir le
résultat à l’unité.
1. Calculer la longueur AC.
2. Calculer la tangente de l’angle BCA .
3. En déduire la mesure, en degré, de l’angle
BCA . On donnera la valeur arrondie à 0,1.
4. Calculer l’aire, en m2, de la salle. On donnera
la valeur à 0,01.
43 *** (d’après un sujet de BEP)
On veut réaliser une table ayant la forme d’un
hexagone régulier à partir d’un plateau circulaire de centre O et de rayon R = 0,6 m comme
l’indique la figure ci-dessous.
41 *** (d’après un sujet de BEP)
Un échafaudage destiné à soutenir un arc en
plein centre est constitué comme l’indique le
schéma ci-dessous.
K
C
D
E
F
A
L
O
4m
.
O
J
G
B
I
M
N
1. Calculer la mesure en degré de l’angle KOL .
2. Construire un cercle de rayon r = 6 cm qui
représente le plateau circulaire précédent.
Déterminer l’échelle utilisée.
3. Construire un hexagone régulier IJKLMN
inscrit dans ce cercle.
Les questions 4., 5. et 6. concernent la figure
obtenue.
4. Tracer la médiatrice du segment [KL]. On
appelle H le point d’intersection de cette droite
avec [KL].
Calculer OH à 0,1 cm près.
5. Donner la nature du triangle OKL. Justifier la
réponse.
Calculer l’aire du triangle OKL.
6. Calculer l’aire de l’hexagone IJKLMN.
7. Des résultats précédents, déduire :
a) l’aire réelle, en m2, de la table ;
b) le pourcentage de chute du plateau initial.
Sachant que C est le milieu du demi-cercle
AB , E le milieu de l’arc AC et D le milieu de
l’arc CB , calculer :
1. la longueur du segment [AC] ;
2. la mesure de l’angle AOE ;
3. la longueur du segment [EF] ;
4. la longueur de l’arc AB ;
5. l’aire du demi-disque de diamètre [AB] ;
6. l’aire du triangle AEC.
Les longueurs seront exprimées au centimètre
près, l’angle au degré près, les aires au décimètre carré près.
42 ** (d’après un sujet de BEP)
La salle de repos d’une crèche a la forme d’un
rectangle prolongé d’un demi-disque.
AB = 4,20 m ; BC = 5,60 m.
130