Calculs dans le triangle rectangle

117
Vous connaissez quelques propriétés géomé-
triques des triangles.
Dans ce chapitre, nous nous intéresserons plus
spécialement au triangle rectangle.
Vous allez consolider vos connaissances des
classes antérieures en utilisant le théorème de
Pythagore et sa réciproque ou les rapports
trigonométriques d’un angle aigu : cosinus,
sinus, tangente. Pour cela, il vous faudra savoir
reconnaître dans un triangle rectangle :
l’hypoténuse, le côté adjacent à un angle
aigu, le côté opposé à un angle aigu.
Mots-clés du chapitre
De nombreuses situations de la vie professionnelle nécessitent
le calcul de longueurs ou d’angles.
Citons par exemple :
“– pour une charpente, le calcul de la longueur
des chevrons ou de l’angle d’inclinaison de la toiture ;
– pour une machine à commande numérique, le calcul
des données à fournir de manière à obtenir le déplacement
désiré de l’outil ;
– pour l’usinage d’une pièce, le calcul de l’angle d’attaque
de l’outil.”
Ce chapitre va vous fournir les moyens mathématiques de résoudre
certains de ces problèmes.
Calculs
dans le triangle
rectangle
10
10

Comment utiliser le théorème de Pythagore ?
La figure ci-contre représente schématique-
ment une partie de charpente (cotes en
mètre).
Comment calculer la longueur du chevron
PM ?
Première partie
Construire un triangle ABC rectangle
en A tel que AB = 8 cm, AC = 6 cm.
Vérifier à l’aide du double décimètre que
BC = 10 cm.
Calculer BC2, puis AB2+ AC2. Comparer les résultats obtenus.
L’égalité obtenue ne vous rappelle-t-elle pas un théorème connu ?
Deuxième partie
On se propose de calculer la longueur du chevron MP (figure ci-dessus).
On sait que le triangle MNP est rectangle en N.
Quelle est l’hypoténuse du triangle MNP ?
Écrire la relation de Pythagore.
En remplaçant les longueurs connues par leurs valeurs, calculer MP2.
En utilisant la touche de la calculatrice (voir page 201), calculer MP (valeur
arrondie au cm).
Comment utiliser la réciproque du théorème
de Pythagore ?
Pour construire des murs perpendiculaires,
les maçons égyptiens utilisaient une corde à
13 nœuds : 1 nœud à chaque extrémité et
11 nœuds à égale distance l’un de l’autre.
Avec cette corde, le maçon réalise un
triangle dont les côtés ont pour longueur
3 ; 4 et 5, en choisissant comme unité de
longueur la distance entre deux nœuds.
Les murs ainsi construits sont-ils « à
l’équerre » ?
M
À LA DÉCOUVERTE DE...
118
Activité 1
4
6
?
MN
P
Activité2
1.
1.
2.
2.
3.
4.
BC
A

119
10. Calculs dans le triangle rectangle
Solutions pages suivantes
Construire un triangle ABC tel que AB = 3 cm, AC = 4 cm et BC = 5 cm.
À l’aide d’un rapporteur, mesurer l’angle .
Comparer BC2et AB2+ AC2.
Comment utiliser les relations trigonométriques
dans le triangle rectangle ?
Un alpiniste doit, pour atteindre le sommet, gravir une dernière face plane recou-
verte de glace. Son altimètre lui indique que, s’il parcourt 100 m, il gagne en altitu-
de 70 m. Cette situation est illustrée par la figure de droite.
• Quelle est la mesure de l’angle d’inclinaison de la face ?
• L’altitude du sommet est de 8 000 m ; l’altimètre indique 7 875 m. Quelle distance
reste-t-il à parcourir à l’alpiniste ?
L’étude suivante va donner les réponses à ces questions.
Dans le tableau ci-contre, on note dla distance
parcourue par l’alpiniste et d′le gain en altitude
correspondant.
Sachant que ce tableau est un tableau de proportionnalité, le reproduire et le compléter.
Quelle est la valeur commune des rapports ?
La valeur commune des rapports est représentée dans le triangle ABC rectangle
en A par le rapport ; elle dépend de l’angle . On l’appelle sinus de l’angle
et on écrit . En utilisant la calculatrice (voir page 201), calculer la valeur
arrondie au degré de la mesure de l’angle .
Quelle distance reste-t-il à parcourir à l’alpiniste ?
On calculera d’abord combien l’alpiniste doit gagner en altitude.
C
sin C = AB
BC
C
C
AB
BC
d′
d
d′′
d
C
BAC
...
Activité3
1.
2.
1.
2.
3.
50 220100
70
d (en m)
d’ (en m)
20
face
verticale
100 m
C
B
70 m
horizontale
A
?

SOLUTIONS
Activité 1
1.
Comment utiliser le théorème de Pythagore ?
Première partie
On construit un angle droit et,
sur les demi-droites [Ax) et [Ay), on place
les points B et C tels que AB = 8 cm et
AC = 6 cm.
La figure est ici faite à l’échelle .
BC2= 100.
AB2+ AC2= 82+ 62= 64 + 36
AB2+ AC2= 100.
Donc BC2= AB2+ AC2.
L’égalité obtenue nous rappelle le théorème de Pythagore :
Deuxième partie
L’hypoténuse d’un triangle rectangle
est le côté opposé à l’angle droit ; l’hy-
pothénuse du triangle MNP est MP.
MP2= NP2+ NM2.
MP2= 42+ 62, soit MP2= 16 + 36, d’où
MP2= 52.
À la calculatrice :
52
52
On lit 7,2111… d’où MP "7,21 (valeur arrondie au cm).
Comment utiliser la réciproque du théorème
de Pythagore ?
On constate, aux incertitudes de mesure près, que = 90°.
BC2= 52= 25.
AB2+ AC2= 32+ 42= 9 + 16, soit AB2+ AC2= 25.
BAC
L’utilisation du théorème de Pythagore va nous permettre, dans un triangle
rectangle dont seuls deux côtés sont connus, de calculer le côté inconnu.
EXE
M
ENTER
=
)
M
2nd
si un triangle ABC est rectangle en A, alors BC2= AB2+ AC2.
1
2
xAy
120
y
x
C
6 cm
A
8 cm
B
P
4
N
6
M
1.
2.
2.
1.
2.
3.
4.
Activité 2
... SOLUTIONS DES ACTIVITÉS

121
DE DÉCOUVERTE
Ainsi : BC2= AB2+ AC2.
Le triangle ABC est tel que BC2= AB2+ AC2et on constate qu’il est rectangle en A.
Plus généralement,
Ce résultat nous permet d’affirmer que les murs construits en utilisant la corde à
13 nœuds sont bien perpendiculaires.
Comment utiliser les relations trigonométriques
dans le triangle rectangle ?
Le tableau est un tableau de proportionnalité de coefficient soit 0,7.
La valeur commune des rapports est 0,7.
On utilise la calculatrice en mode degré (voir p 201).
0.7 ; 0.7
On lit : 44,42 …, donc .
L’alpiniste doit gagner en altitude 8 000 – 7 875, c’est-à-dire 125 m.
• On peut utiliser le tableau de proportionnalité où xreprésente la distance
inconnue à parcourir.
Ainsi
d’où 125 = 0,7 x; ; x"179.
L’alpiniste devra parcourir 179 mètres.
• On peut aussi représenter la situation par le triangle ABC
ci-contre. Dans ce triangle :
, soit ;
d’où BC = ; BC "179.
Dans un triangle rectangle, les relations trigonométriques permettent de cal-
culer certains éléments (angles ou côtés).
125
0,7
0,7 = 125
BC
sin C = AB
BC
x=125
0,7
125
x=70
100 = 0,7
d
d’
100
70
x
125
La calculatrice permet d’obtenir la mesure d’un angle aigu connaissant le cosinus,
le sinus ou la tangente de cet angle.
C;44°
EXEAsnSECONDE
ENTER
=
)
SIN-1
2nd
d′
d
50
35
220
154
100
70
d (en m)
d’ (en m)
20
14
× 0,7
70
100
si un triangle ABC est tel que BC2= AB2+ AC2, alors il est rectangle en A.
Cet énoncé est appelé réciproque du théorème de Pythagore.
10. Calculs dans le triangle rectangle
3.
1.
2.
Activité 3
125 m
A
C
?
B