Un cours (M. Gastineau)

3ème 2009-2010
Fonctions linéaires et affines
Fonctions linéaires et affines
I. Fonctions linéaires
1/ Activités
Première étape
Revoyons d'abord, sur un exemple, en quoi consiste la
proportionnalité. On considère pour cela un triangle équilatéral
dont la longueur du côté est variable. Selon la valeur de cette
longueur, on peut calculer le périmètre de
ABC
en la multipliant
par trois. En effet, si
AB
mesure
2,5cm
, le périmètre de
ABC
est égal à
ABBCCA=AB×3=2,5×3=7,5cm
.
Dans le tableau ci-dessous, d'autres exemples sont pris au hasard :
Le fait de toujours multiplier par un même nombre, ici le nombre
3
, correspond à une
situation de proportionnalité. Ce tableau est appelé tableau de proportionnalité. Le nombre
3
est le coefficient de proportionnalité.
Deuxième étape
Voici un deuxième exemple.
Tout près d'ici, un fromager vend, en plus de ses fromages, de la crème fraîche à
25
%. Cela
signifie que la quantité de matière grasse pour cent gramme de crème fraîche est égale à 25
grammes. On remarque dans cet exemple que 25 représente le quart de 100.
Ce fromager propose à ses clients des pots de
10cl
,
20cl
,
50cl
ou
100cl
. On trouve le
tableau ci-dessous en prenant à chaque fois le quart de la quantité de crème fraîche donné
dans un pot.
Ce tableau est aussi un tableau de proportionnalité. Le nombre
1
4=0,25
est le coefficient de
proportionnalité, il permet de « passer » de la première ligne à la deuxième ligne du tableau
par une simple multiplication : on parle alors du processus calculatoire qui consiste à
multiplier un nombre (ici la quantité de crème fraîche) par un coefficient (ici le nombre
0,25
)
afin d'obtenir un autre nombre (ici la quantité de matière grasse).
Longueur du côté (cm) 7 7 0,25 1,5 un tiers 1
Périmètre (cm) 21 0,75 4,5 1 3
x
3x
× 3
20 10 50 100 x40 400 400
5 2,5 12,5 25 10 100
Quantité de crème
fraîche en cl
Quantité de matière
grasse
0,25 x
× ?
A
B
Cx représente la longueur commune
des côtés du triangle ABC.

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Troisième étape
De manière général, un coefficient est un nombre qui va servir à multiplier. Par exemple, le
fait de prendre le double d'une quantité correspond au processus calculatoire de coefficient
2
: pour
5
, on obtient
10
; pour
7,5
, on obtient
15
.
On peut aussi imaginer un processus calculatoire qui consiste à multiplier par un coefficient
−3
négatif : pour
4
, on obtient
−12
; pour
−2
, on obtient
6
.
Dans ce dernier exemple, on peut se demander d'où viennent les nombres
4
et
−2
? Ils sont,
en fait, choisis au hasard !
Sans le savoir, nous sommes en train de parler de fonction affine ! C'est un processus
calculatoire qui consiste à multiplier par un coefficient. Le nombre de départ, souvent choisi
au hasard, est appelé la variable. Le nombre obtenu après multiplication par le coefficient est
appelé l'image.
2/ Définition et notation
Définition
a
représente un coefficient multiplicateur.
La fonction linéaire de coefficient
a
est le procédé calculatoire qui consiste à multiplier un
nombre
x
par le coefficient
a
.
x
est appelé la variable. Le nombre obtenu est appelé l'image.
Notation 1
En général, une fonction linéaire est notée à l'aide d'une lettre minuscule
f
,
g
,
h
... On
chercher alors à résumer le procédé calculatoire par le schéma fléché suivant :
f
:
x
a x
.
On dit que «
f
est la fonction qui à
x
associe
a x
». De plus, d'après la définition,
a x
est
l'image de
x
.
Exemple 1
On considère la fonction linéaire
f
de coefficient
2,5
. Cette fonction se schématise de la
façon suivante :
f
:
x
2,5 x
C'est la fonction qui à
x
associe
2,5 x
. Par exemple, l'image de
4
est
10
car
2,5×4=10
.
Ou encore, l'image de
−3
est
−7,5
car
2,5×−3=−7,5
.
Quelques précisions
•
f
est le nom de la fonction comme
A
serait le nom d'un point sur une figure.
•Les deux points de ponctuation qui suivent
f
dans le schéma ont le même sens qu'en
français ; ils annoncent une explication : « à un nombre
x
, on va associer un nombre
a x
». C'est l'explication du procédé calculatoire.
•La lettre
x
représente le nombre le départ (le nombre choisi ou donné). Il varie d'où
le nom de « variable ».
•La flèche avec « origine » (comme pour une demi-droite) explique le procédé
calculatoire que va subir le nombre
x
: peu importe le nombre de départ, on va le
multiplier par
a
.
•Le mot « image » rappelle le vocabulaire utilisé dans les translations (seulement si le
chapitre a déjà été vu !) où le « point d'arrivée » est l'image du point de « départ ».

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Notation 2
On utilise ici des parenthèses mais qui n'ont pas le sens connu jusqu'ici
fx=a x
.
On dit «
f
de
x
est égale à
a x
» et que
a x
est l'image de
x
Exemple 2
Reprenons le premier exemple de l'activité. On pourrait appeler cette fonction
g
. On note
gx=0,25 x
la fonction qui à
x
associe
0,25 x
.
3/ Méthodes...
Pour calculer le coefficient
On considère une fonction linéaire
f
tel que
f−5=12
. Quel est le coefficient ? Il suffit
d'écrire ce que l'on recherche :
−5×?=12 ou encore −5×a=12
. On a donc
a=12
−5
De manière générale, il faut faire le quotient de l'image par l'antécédent (nombre de départ).
Pour calculer un antécédent
On considère une fonction linéaire
g
de coefficient
a=−2
. On cherche le nombre dont
l'image est
7,8
.
Puisqu'on multiplie par la coefficient pour passer d'un nombre à son image, il suffit de diviser
par ce même coefficient pour obtenir un antécédent (nombre de départ). Ici le nombre cherché
est
7,8
−2=−3,9
.
4/ Des fonctions linéaires à reconnaître
•
f
:
x
x
a pour coefficient
a=1
.
•
g
:
x
x
2
a pour coefficient
a=1
2
.
•
hx=−2x7x
a pour coefficient
a=5
.

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5/ Représentation graphique
a. Rappels
Repère, abscisse, ordonnée, coordonnées, axes...
•Un repère est constitué de deux droites graduée : l'axe des abscisses et l'axes des
ordonnées (un axe est en fait une droite graduée).
•Le point
A
se repère grâce à deux nombres : son abscisse et son ordonnée. L'abscisse
et l'ordonnée d'un point forment ce que l'on appelle les coordonnées. On note
A2 ;3
. Attention, l'abscisse est toujours en première position.
•Dans la figure ci-dessous, on a :
B3; –2
;
C–2;1
;
D–1; –1
;
F–1;3
;
G4;3
et
H3; 4
.
b. Sur des exemples
Exemple 1
On souhaite construire la représentation graphique de la fonction
hx=−2x
.
Comment faire ?
Lorsqu'on calcule l'image d'un nombre, on obtient un couple de nombres qui peut définir les
coordonnées d'un point.
Par exemple :
h=–
donne le point
7; –14
.
On peut ainsi obtenir une infinité de points de la représentation graphique de
h
.
•1 ère étape : calcul de coordonnées de points
x
ou abscisse
–5
–4
–3
–2
–1
0
1
2
3
4
5
hx
ou ordonnée
10
8
6
4
2
0
–2
–4
–6
–8
–10

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•2ème étape : placement des points dans un repère
On remarque les points sont alignés sur une droite passant par l'origine.
Exemple 1
Représenter la fonction
gx=2
5x
.
x
ou abscisse
0
5
–5
gx
ou ordonnée
0
2
–2