8. Angles dans un triangle

5
ème
CHAPITRE 8
LES ANGLES D’UN TRIANGLE
I. La somme des angles d’un triangle
Théorème Dans tous les triangles, la somme des mesures des trois angles est égale à 180°.
Remarque Même si cela peut paraître surprenant, cela est vrai pour n’importe quel triangle !
EXERCICE TYPE Le triangle MNP est tel que NMP = 35° et MPN = 45°.
Calculer la mesure de l’angle a MNP de ce triangle.
Solution Dans le triangle MNP,
On sait que NMP = 35° et MPN = 45°.
Or la somme des mesures des trois angles d’un triangle est égale à 180°.
Donc a MNP = 180° − NMP − MPN .
On remplace : a MNP = 180° − 35 − 45 .
Conclusion : a
aa
a
MNP = 100° .
Démonstration (Rédaction de la démonstration abordée en classe)
Soit un triangle ABC quelconque. On considère les milieux O et I des segments [BC] et [AC]
Le point D est le symétrique du point A par rapport à O et le point E est le symétrique du point B par rapport à I.
Etape 1
 La droite (CD) est parallèle à la droite (AB) car elles sont symétriques par rapport au point O.
 La droite (CE) est parallèle à la droite (AB) car elles sont symétriques par rapport au point I.
Deux droites parallèles a une même troisième sont parallèles entre elles, donc (DC) et (CE) sont parallèles.
Comme ces deux droites passent par le même point et sont parallèles, c’est que les points D, C et E sont alignés.
Les points D, C et E sont alignés donc, avec les notations de la figure, c + d + e = 180° (1)
Etape 2
 Les angles d et b sont symétriques par rapport à O, donc d = b.
 Les angles e et a sont symétriques par rapport à I, donc e = a.
Conclusion
En remplaçant d par b, puis e par a dans l’égalité (1), on obtient bien que a + b + c = 180° .
Cela signifie que la somme des mesures des trois angles d’un triangle est égale à 180°.

II. Les angles de triangles particuliers…
1. Triangle rectangle
Propriété 1 Si un triangle est rectangle, alors ses deux angles aigus sont complémentaires.
Démonstration On considère par exemple un triangle ABC rectangle en A. Comme la somme des mesures des trois angles est égale
à 180° et que l’angle BAC mesure 90°, la somme des deux autres angles mesurent 180 − 90 degrés, soit 90°, c’est à
dire qu’ils sont complémentaires.
Propriété 2 Si un triangle a deux angles complémentaires, alors il est rectangle.
Démonstration On considère par exemple un triangle ABC rectangle tel que ABC + ACB = 90°. Comme la somme des mesures
des trois angles est égale à 180°, on a : BAC = 180 −
( )
ABC + ACB = 180 − 90 = 90. Donc l’angle BAC est
droit et le triangle ABC est donc rectangle.
2. Triangle isocèle
Rappel Un triangle isocèle a un axe de symétrie : la médiatrice de la base.
Propriété 1 Si un triangle est isocèle, alors ses deux angles à la base sont égaux.
Propriété 2 Si un triangle a deux angles égaux, alors il est isocèle.

3. Triangle équilatéral
Rappel Un triangle équilatéral a trois axes de symétrie : les médiatrices des trois côtés.
Propriété 1 Si un triangle est équilatéral, alors ses trois angles sont égaux et mesurent 60°.
Propriété 2 Si un triangle a trois angles égaux, alors il est équilatéral.
Remarque La somme des mesures des trois angles d’un triangle mesure 180°. Donc, dans un triangle
équilatéral, les trois angles égaux mesurent forcément 60° car 180 ÷ 3 = 60.