11 travail puissance énergie

11 TRAVAIL PUISSANCE THEOREME DE L'ENERGIE CINETIQUE
11.1 Puissance et travail
11.1.1 rappel : cas du point matériel
La puissance d'une force appliquée à un point matériel
s'écrit:
P
F
V
=
r
r
.
si V est la vitesse de ce point.
et le travail s'ecrit : δ W F dl F Vdt= =
r
r
r
r
. .
La puissance s'exprime en Watts et le travail en Joules
11.1.2 cas des forces appliquées à un solide
Dans le cas d'un solide ,considéré comme un ensemble de
points matériels, il convient de faire la somme des puissances de
toutes les forces appliquées au solide .On obtient donc:
P F M V M F M V O F M OM= = + ∧
∑
∑
∑
r
r
r
r
r
r
r
( ). ( ) ( ). ( ) ( ).( )Ω
soit
P R V O M
O
= +
r
r
r
r
. ( ) .Ω
C'est donc le produit de deux torseurs.
Cas particuliers: solides en translation ou en rotation l'un par
rapport à l'autre.
Propriétés :
la puissance est indépendante du point où on la calcule.
(le retrouver à titre d'exercice)
la puissance des forces intérieures d'un solide est
nulle.
11.1.3 puissance des actions de contact
La puissance des actions de contact se calcule à partir
des éléments de réduction du torseur des actions de contact en I
r
r
r
R
T
N
=
+
et
r
r
r
M G P
I I I
= +
On obtient donc : P V R M
g I
= +
r
r
r
r
. .Ω
Vg étant la vitesse de glissement en I.
Le deuxième terme étant en général négligeable, il suffit
de prendre en compte la puissance de la composante tangentielle
de la réaction : P T V
g
=
r
r
.
Cette puissance est négative, ou nulle dans les cas suivants :
T=0 (pas de frottement) ou Vg = 0 (pas de glissement )
11.2 théorême de la puissance cinétique

11.2.1 cas du point matériel
Enoncé :
Dans un repère galiléen la puissance de toutes
les forces appliquées en un point est égale à la puissance
cinétique.
P=dEc/dt
11.2.2 cas d'un systéme de points
Si on calcule la somme des puissances des forces
extérieures et intérieures, Pe + Pi, appliquées à un système de points
matériels, on obtient :
Pe + Pi = dEc/dt où
Pe représente la puissance des forces extérieures
Pi représente la puissance des forces intérieures
Ec est l'énergie cinétique totale du système
dEc/dt est la puissance cinétique
Sous forme intégrale, on obtient:
Ec Ec We Wi
2 1
−
=
+
We et Wi sont cette fois les travaux des forces
extérieures et intérieures
11.2.3 cas d'un système de solides
Pour un solide l'énergie cinétique s'écrit
[ ]
Ec S R I MV
G G
( / ) . ( )= +
1
2
1
2
2
r
r
Ω Ω
Le théorême de la puissance cinétique s'écrira donc :
[ ]
d
dt
I MV Pe
G G
( . ( ) )
1
2
1
2
2
r
r
Ω Ω + =
puisque la puissance des forces intérieures est nulle
pour un solide.
Pour un solide en rotation autour d'un axe fixe de R*
d
dt
I MV Pe
G
( )
1
2
1
2
2 2
∆
Ω + =
En fin pour un système de solides:

d
dt
Ec Pe Pi
i
( ) = +
∑
Pi représente cette fois la puissance des actions de
contact qui est négative ou nulle.(voir ci-dessus)
11.3 théorême de la pûissance mécanique totale
11.3.1energie potentielle forces conservatives
Pour une force conservative on a vu que :
δW = -dEp ou
r
r
F gradEp= −
Si Ep est l'énergie potentielle dont dérive la force.
Exemples : Forces élastiques,forces de gravitation, forces
electrostatiques...
Il s'agit en général des forces intérieures, donc en
remplaçant dans le théorême de la puissance cinétique, on obtient
dEc/dt = Pe + Pi = Pe - dEp/dt soit :
d(Ec + Ep)/dt = Pe
11.3.2 energie mécanique totale
L'energie mécanique totale est la somme de l'énergie
cinétique et de l'énergie potentielle.
D'après ce qui précède :
dEm = d(Ec + Ep) = Pe
ou Em Em We
2 1
−
=
La variation entre deux instants de l'énergie mécanique
totale dans un référentiel galiléen est égale à la somme des
travaux des forces extérieures au système considéré entre ces
deux instants.
Remarque : si certaines forces intérieures ne dérivent
pas d'une énergie potentielle (cas des forces de frottement par
exemple) il faut ajouter leur travail à celui des forces
extérieures.On a alors :
Em Em We Wif
2 1
−
=
+
11.3.3 conservation de l'energie pour un système isolé

Pour un système isolé dont les forces intérieures
dérivent d'une énergie potentielle (forces conservatives)
l'énergie mécanique se conserve puisque We = 0
Em = Ec + Ep = cte
Si les actions de contact travaillent, leur travail est
négatif, par conséquent l'énergie mécanique ne peut que décroître
(forces dissipatives)
∆Em= Wi < 0
L'énergie mécanique est alors transformée en chaleur.
11.4 exemples