11 TRAVAIL PUISSANCE THEOREME DE L'ENERGIE CINETIQUE 11.1 Puissance et travail 11.1.1 rappel : cas du point matériel La puissance d'une force appliquée à un point matériel s'écrit: r r P = F .V si V est la vitesse de ce point. et le travail s'ecrit : δW = F . dl = F .Vdt r r r r La puissance s'exprime en Watts et le travail en Joules 11.1.2 cas des forces appliquées à un solide Dans le cas d'un solide ,considéré comme un ensemble de points matériels, il convient de faire la somme des puissances de toutes les forces appliquées au solide .On obtient donc: r r r r r r r P = ∑ F ( M ).V ( M ) = ∑ F ( M ).V ( O) + ∑ F ( M ).(Ω ∧ OM ) soit r r r r P = R.V ( O) + Ω. M O C'est donc le produit de deux torseurs. Cas particuliers: solides en translation ou en rotation l'un par rapport à l'autre. Propriétés : la puissance est indépendante du point où on la calcule. (le retrouver à titre d'exercice) la puissance des forces intérieures d'un solide est nulle. 11.1.3 puissance des actions de contact La puissance des actions de contact se calcule à partir des éléments de réduction du torseur des actions de contact en I r r r r r r R = T + N et M I = GI + PI On obtient donc : r r r r P = Vg . R + Ω. M I Vg étant la vitesse de glissement en I. Le deuxième terme étant en général négligeable, il suffit de prendre en compte la puissance de la composante tangentielle de la réaction : r r P = T .Vg Cette puissance est négative, ou nulle dans les cas suivants : T=0 (pas de frottement) ou Vg = 0 (pas de glissement ) 11.2 théorême de la puissance cinétique 11.2.1 cas du point matériel Enoncé : Dans un repère galiléen la puissance de toutes les forces appliquées en un point est égale à la puissance cinétique. P=dEc/dt 11.2.2 cas d'un systéme de points Si on calcule la somme des puissances des forces extérieures et intérieures, Pe + Pi, appliquées à un système de points matériels, on obtient : Pe + Pi = dEc/dt où Pe représente la puissance des forces extérieures Pi représente la puissance des forces intérieures Ec est l'énergie cinétique totale du système dEc/dt est la puissance cinétique Sous forme intégrale, on obtient: Ec2 − Ec1 = We + Wi We et Wi sont cette fois les travaux des forces extérieures et intérieures 11.2.3 cas d'un système de solides Pour un solide l'énergie cinétique s'écrit r 1 1r Ec( S / R ) = Ω. ( I ) G Ω + MVG2 2 2 [ ] Le théorême de la puissance cinétique s'écrira donc : r 1 d 1r ( Ω. ( I ) G Ω + MVG2 ) = Pe dt 2 2 [ ] puisque la puissance des forces intérieures est nulle pour un solide. Pour un solide en rotation autour d'un axe fixe de R* d 1 1 ( I ∆ Ω 2 + MVG2 ) = Pe dt 2 2 En fin pour un système de solides: d ( ∑ Eci ) = Pe + Pi dt Pi représente cette fois la puissance des actions de contact qui est négative ou nulle.(voir ci-dessus) 11.3 théorême de la pûissance mécanique totale 11.3.1energie potentielle forces conservatives Pour une force conservative on a vu que : δW = -dEp ou r r F = − gradEp Si Ep est l'énergie potentielle dont dérive la force. Exemples : Forces élastiques,forces de gravitation, forces electrostatiques... Il s'agit en général des forces intérieures, donc en remplaçant dans le théorême de la puissance cinétique, on obtient dEc/dt = Pe + Pi = Pe - dEp/dt soit : d(Ec + Ep)/dt = Pe 11.3.2 energie mécanique totale L'energie mécanique totale est la somme de l'énergie cinétique et de l'énergie potentielle. D'après ce qui précède : dEm = d(Ec + Ep) = Pe ou Em2 − Em1 = We La variation entre deux instants de l'énergie mécanique totale dans un référentiel galiléen est égale à la somme des travaux des forces extérieures au système considéré entre ces deux instants. Remarque : si certaines forces intérieures ne dérivent pas d'une énergie potentielle (cas des forces de frottement par exemple) il faut ajouter leur travail à celui des forces extérieures.On a alors : Em2 − Em1 = We + Wif 11.3.3 conservation de l'energie pour un système isolé Pour un système isolé dont les forces intérieures dérivent d'une énergie potentielle (forces conservatives) l'énergie mécanique se conserve puisque We = 0 Em = Ec + Ep = cte Si les actions de contact travaillent, leur travail est négatif, par conséquent l'énergie mécanique ne peut que décroître (forces dissipatives) ∆Em= Wi < 0 L'énergie mécanique est alors transformée en chaleur. 11.4 exemples