DM 06 Mécanique cartésienne : le saut à ski

DM 06 Mécanique cartésienne : le saut à ski
Lycée Polyvalent de Montbéliard - Physique-Chimie - TSI 1 - 2016-2017
à rendre le 16/01/2017
Travail demandé
- Individuellement ou en groupe (de trois au maximum), vous réfléchirez aux exercices proposés.
- Chaque étudiant rendra une copie. Si vous avez travaillé en groupe, inscrire explicitement sur chacune des copies avec
qui vous avez travaillé.
Les trois parties du problème sont totalement
indépendantes.
Ce problème propose d’étudier les différentes
étapes de l’entraînement d’un skieur au saut à ski.
Le skieur est assimilé à un point matériel M (t) de
masse m = 80 kg.
Toute l’étude se fera dans le référentiel terrestre
supposé galiléen Rg . Le champ de pesanteur #”
g =
−g #”
e y est supposé uniforme avec g = 9.8 m/s2 .
#”
Dans tout le problème la réaction tangentielle T
(ou force de frottement) de ce contact vérifie les lois
de Coulomb du frottement solide :
. lors du glissement T = f N avec N la norme de la
réaction normale exercée par la neige et f = 0.05
le coefficient de frottement ;
. en statique T < f N .
1
Étude du téléski
Le skieur est tiré à vitesse constante par le téléski le long d’une pente rectiligne inclinée d’un angle
α = 30° par rapport à l’horizontale. On suppose
que la force exercée par le téléski est de norme
#”
e X . Les notations sont reconstante : F m = Fm #”
présentées figure 1.
1. Représenter sur un schéma les différentes forces.
2. Faire un bilan des forces qui s’exercent sur le
skieur.
3. Donner l’expression algébrique de la norme de la
force de frottement solide normale N .
4. En utilisant les lois de Coulomb, déterminer algébriquement Fm pour que le mouvement soit rectiligne uniforme.
5. Faire l’application numérique.
2
Étude de la descente
Les trois sous-sections de la partie sont totalement
indépendantes.
On modélise un tremplin de saut à ski (de O à C)
par un plan incliné de longueur OB, incliné d’un
angle β par rapport à l’horizontale, suivi d’un nez
de tremplin modélisé par un arc de cercle BC de
rayon R et d’angle β. Les différentes notations sont
schématisées figure 2.
On suppose que le skieur reste toujours en contact
avec la neige entre O et C.
#”
eY
O
#”
eX
y
#”
Fm
•
M (t)
•
#”
e
#”
eY
R
β
X
α
OT
M (t)
•
β R
B
x
Fig. 1 – Modélisation du téléski. Le skieur est à la po#”
sition M (t) et subie la force constante du téléski F m .
Les autres forces éventuelles ne sont pas représentées.
L L L Attention ! Il faut bien distinguer les notations x et X et les notations y et Y .
Maxime Champion - www.mchampion.fr
C
Fig. 2 – Modélisation du tremplin. Le skieur est à la
position M (t) reste en contact avec la neige tout le
long du trajet entre O et C.
L L L Attention ! Le repère (X, Y ) de la partie I.1
n’a rien à voir avec le repère (X, Y ) de la partie I.2.
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DM 06 : Mécanique cartésienne : le saut à ski
2.1
Maxime Champion
Condition de glissement
1. Montrer, à l’aide des lois de Coulomb du frottement, qu’il faut nécessairement que l’angle β soit
supérieur à un certain angle βlim que l’on calculera.
Par la suite, on prendra β = 45° > βlim .
2.2
Le skieur s’élance du point O à t = 0 avec une vitesse #”
v 0 = v0 #”
e X et v0 = 10 km/h.
Il est soumis, en plus des forces de frottement solide
et de pesanteur, à une force de frottement fluide due
#”
à l’air de la forme F f = −λ #”
v avec λ = 10 USI.
2. Quelle est l’unité en système international (USI)
de λ ?
3. Représenter sur un schéma les différentes forces
du problème.
4. Faire un bilan des forces.
5. Donner l’expression algébrique de la norme de la
force de frottement solide normale N .
6. Établir que la vitesse du skieur v = Ẋ vérifie une
équation différentielle de la forme
(2.1)
où l’on donnera les expressions algébriques de τ
et a0 en fonction des données du problème.
7. On suppose que le temps de descente est de
l’ordre de 5 s. Est-il nécessaire de prendre en
compte les frottements fluides ?
8. À l’aide des conditions intiales, résoudre l’équation (2.1) et donner l’expression de v(t).
9. On suppose que la vitesse du skieur au point B est
de 90 km/h. En déduire le temps TOB mis pour
aller du point O au point B.
2.3
#”
ex
C
x
β
Fig. 3 – Modélisation de la disposition géométrique
lors de la chute libre. L’angle β vaut toujours 45°.
1. Déterminer les équations différentielles vérifiées
par les coordonnées x(t) et y(t) du skieur.
2. À l’aide des conditions initiales, en déduire la
fonction x(t).
3. De même pour y(t).
4. Quelle est la forme de la trajectoire dans le plan
(x, y) ? En particulier, donner la relation entre
y(t) et x(t).
5. La piste de réception est modélisée par une droite
d’équation y = −h − x tan β. Donner la relation
algébrique définissant l’abscisse maximale xmax
atteinte par le skieur.
6. On prend h = 10 m. Sachant que les racines de
l’équation
7 × 10−3 x2 − x − 10 = 0
(3.1)
sont x1 = −9 et x2 = 152, donner la distance
maximale xmax atteinte par le skieur.
7. Le record actuel de saut à ski est détenu par
le norvégien Anders Fannemel avec un saut à
251.5 m réalisé le 15 février 2015. Est-ce que le
modèle proposé vous paraît pertinent pour expliquer un tel saut ?
Deuxième phase du mouvement : trajet
BC
On admet que la vitesse au point C est horizontale
et vaut vC ≈ 26 m/s ≈ 94 km/h.
3
•
h
Première phase du mouvement : trajet
OB
dv(t) 1
+ v(t) = a0
dt
τ
#”
ey
y
Étude de la chute libre
On prend le point C comme nouvel origine du repère
et l’instant de passage du skieur en ce point comme
nouvel origine des dates. C’est-à-dire qu’au moment
de son passage en C, le skieur est aux coordonnées
(xC , yC ) = (0, 0) et au temps tC = 0.
Passé le point C, le skieur se retrouve dans l’air. Il
n’est soumis qu’à l’action de la pesanteur. Au point
C, il a la vitesse #”
v C = vC #”
e x avec vC = 95 km/h.
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