TD 7 Planètes et satellites

PH1ME2-C
Université Paris 7 - Denis Diderot
2012-2013
TD 7
Planètes et satellites
1. Satellite sur une orbite circulaire *
Un satellite de masse m décrit, autour d'une planète de masse
circulaire de rayon
M
et de rayon
R,
une orbite
r.
1. Calculer sa vitesse linéaire
v
et sa période de révolution
T.
A.N. : Calculer le rayon de l'orbite d'un satellite d'observation qui tourne autour de la
Terre en 2 heures.
Le comparer au rayon de l'orbite d'un satellite géostationnaire qui
vaut environ 42 000 km, et de celle de la Lune.
2. Exprimer l'énergie totale
et
Ec
E(r)
et tracer le graphe correspondant. Quelle relation lie
? Calculer l'énergie globale
Ep
∆E
qu'on doit fournir pour transférer le satellite sur
0
une nouvelle orbite circulaire de rayon r >r.
2. Satellite géostationnaire *
Un satellite tourne autour de la Terre sur une orbite géostationnaire. Qu'est-ce qu'une orbite
stationnaire? Dans quel plan est située l'orbite ? Quelles sont ses caractéristiques: période,
rayon, vitesse? Quel est l'intérêt de ce type de satellite ?
3. Force de gravitation *
A quelle distance de la Terre faut-il se placer pour que la force de gravitation due à la Terre
1
de celle due au Soleil ? En déduire que pendant la majeure partie
sur une sonde spatiale soit
10
d'un voyage interplanétaire, il est légitime de tenir compte uniquement de l'attraction du Soleil.
Distance Terre-Soleil = 1 unité astronomique = 1 UA = 1,5
1011
m,
mT
=3
mS
10−6 .
4. Changement d'orbite **
O et de rayon R, sur une orbite circulaire de
→
une vitesse supplémentaire ∆V perpendiculaire
Un satellite tourne autour de la Terre, de centre
rayon
→
à V0 .
r0 .
On lui communique instantanément
√
∆V = kRg où g est le champ de pesanteur en r0 ,
déterminer pour quelles valeurs de k le satellite suivra, après cette accélération, une orbite
1. En écrivant
∆V
sous la forme
elliptique, parabolique ou hyperbolique. Dans le cas d'une orbite elliptique, calculer le
grand axe de l'ellipse (en fonction de
R, r0
et
k)
et la représenter.
2. Quel est le moment cinétique du satellite après lui avoir communiqué cette vitesse supplémentaire?
3. Application numérique : Un satellite de communication est initialement sur une orbite
circulaire basse à une altitude de 200 km (au dessus du sol). On veut lui communiquer
une vitesse
∆V
pour le transférer sur une orbite géostationnaire (42200 km du centre de
24
la Terre). Calculer ∆V . AN : Masse de la Terre = 6 10
kg, Rayon de la Terre = 6370
km.
5. Mise sur orbite autour de la Terre d'un engin balistique **
On néglige les eets dûs à la rotation de la Terre.
1. Rappeler l'expression de la vitesse de libération
de
g,
vL
en fonction du rayon
R
de la Terre et
accélération de la pesanteur au niveau du sol.
2. On envoie un satellite sur une première orbite avec une vitesse
la verticale et de module
V0
=
√
αRg (α > 0).
Pour quelles
→
−
V0 faisant un angle θ0 avec
valeurs de α la trajectoire
est-elle une ellipse (trajectoire 1)? Calculer la distance séparant le centre de la Terre de
l'apogée
A1 .
3. Quand le satellite atteint l'apogée
A1 ,
on veut le faire passer sur une nouvelle orbite
elliptique (trajectoire 2, tangente à la première) de grand axe 2a2 . Calculer la variation
d'énergie cinétique correspondante nécessaire. Que vaut la distance entre l'apogée
A2
de
cette nouvelle trajectoire et le centre de la Terre?
6. Voyage autour de la Lune **
Un vaisseau spatial
S,
de masse
m,
accomplit une mission d'observation au voisinage de la
→
→
→
désigne la masse de la Lune, R son rayon, O son centre, r le rayon vecteur ( r = OS
Lune. M
→
= r ur ), G la constante de gravitation universelle et
2
gL
l'intensité de la pesanteur à la surface
de la Lune. On suppose en outre que la Lune est xe par rapport à un repère galiléen et que
le vaisseau spatial est soumis uniquement à la force d'attraction lunaire :
→
Fr = −G
1. Le vaisseau
S
Mm →
ur .
r2
arrive d'une distance très grande par rapport au rayon de la Lune (on la
v∞ . Sa trajectoire est une branche d'hyperbole dont
l'asymptote passe à la distance b = OH de O ("paramètre d'impact"). On appelle A le
point de la trajectoire de S le plus proche de O (OA = a est la "distance (minimale)
supposera innie) avec une vitesse
d'approche").
(a) Calculer l'énergie potentielle
EP (r)
de
S
en un point quelconque de la trajectoire.
Donner l'expression de l'énergie mécanique de
S
en ce même point.
On prendra
EP (r)r→∞ = 0.
→
(b) Montrer que le moment cinétique
S
est conservé au cours du mouvement. En
→
déduire que le mouvement de S est plan. Montrer qu'au point A la vitesse VA est
→
perpendiculaire au rayon-vecteur OA.
(a)
(c) Déduire de
et
(b)
2. On veut que le vaisseau
S
les valeurs de
arrive en
A
de
J
VA
et
V∞
en fonction de
avec la célérité
VA = 2V ,
a.
G, M , a
où
V
et
b.
est la vitesse d'un
satellite lunaire lorsqu'il est en orbite circulaire de rayon
(a) Calculer
V.
(b) Quelle valeur doit avoir le rapport
b/a pour que la condition VA = 2V
soit satisfaite?
On supposera cette condition remplie dans la suite du problème.
3. A.N. : Calculer
4. Arrivé en
A,
V , VA
V∞ .
et
le vaisseau
On donne :
a = 2R, R = 1740
km,
S se sépare quasi-instantanément en
S1 est mis sur une orbite circulaire
masses égales. L'élément
gL = 1, 62
3
−2
S1
et
deux éléments
à la distance
constituer une station d'observation permanente, tandis que l'élément
Lune.
m.s
S2
a
de
.
O
S2
de
pour
s'éloigne de la
→
(a) Quelle vitesse
V1
doit avoir la partie
S1
juste après la séparation pour qu'elle soit
ainsi satellisée?
Pourquoi la quantité de mouvement est-elle conservée lors de la
→
séparation de S en S1 et S2 ? En déduire la vitesse V2 de la seconde partie S2 du
→
vaisseau juste après la séparation. Donner la valeur numérique de V2 = |V2 | en
utilisant les données précédentes.
∆E a-t-il fallu dépenser pour procéder à la séparation
vaisseau spatial en 2 parties, S1 et S2 ? Exprimer ∆E en fonction de V .
1
2
Calculer numériquement le rapport ∆E /Ec∞ où Ec∞ = mV∞ .
2
(b) Quelle quantité d'énergie
(c) Calculer l'énergie mécanique de
S2
du
après la séparation et en déduire la nature de sa
trajectoire.
7. Collision dans l'espace **
M1 de masse 2m, l'autre M2 de masse m, arrivent au voisinage de
la Terre (masse M , rayon R) sur la même trajectoire hyperbolique. Elles ont toutes deux la
même célérité initiale V∞ . Elles entrent en collision au point A, périgée de leur trajectoire
commune, situé à une distance 2R du centre de la Terre. Elles forment alors un amas compact
0
M contenant toute la matière de M1 et M2 .
Deux météorites, l'une
M1
1. Quelles sont les vitesses (direction et module) des météorites
et
M2
juste avant le
choc?
2. Quelle est la vitesse (direction, sens et module
3. Quelle est, en fonction de
4.
Question de réexion
V∞ ,
V
0
) de l'amas
la nature de la trajectoire de
M
M
0
0
juste après le choc?
?
: vous semble t-il eectivement possible que M1 et M2 décrivent 2
trajectoires symétriques par rapport à OA (identiques de forme) bien que leur masse soit
diérente?
5.
Supplément pour les inquiets :
à quelle condition sur
V∞ ,
l'amas touchera-t-il la Terre?
8. Vladimir, Barack et l'astéroïde **
Dans une période d'austérité budgétaire, les professeurs Barack O. et Vladimir P. ont mis
leurs moyens en commun pour explorer un astéroïde inconnu. Lorsque leur vaisseau s'est immobilisé sur le sol, Vladimir ouvre un hublot et découvre un astre sphérique, fait d'un métal
4
très pur, très dense et parfaitement poli. Il décide de mettre pied à "terre"; mais le vaisseau
se pose juste au-dessus d'un puits parfaitement lisse qui traverse entièrement l'astéroïde et
dans lequel Vladimir se trouve précipité. Barack, qui descendait au même instant, veut éviter
semblable mésaventure : il se projette violemment sur le côté, avec une vitesse telle qu'il est
satellisé au ras du sol ! Mais la providence veillait : Barack et Vladimir avaient chacun gardé
son petit échiquier portatif sur lequel, depuis plusieurs années, ils se livrent à une impitoyable
partie d'échecs. Vont-ils pouvoir continuer cette passionnante partie et si oui, de quelle durée
de réexion minimale disposent-ils avant chaque coup ?
Conseil: traiter d'abord le cas plus simple où le puits est creusé selon un diamètre et ensuite
le cas d'un puits ne passant pas par le centre de l'astéroïde sphérique.
Données numériques :
nous n'avons pu avoir d'indications précises sur la masse ni sur
le rayon de l'astéroïde, mais le métal qui le constitue paraît être du tantale, dont la masse
3
−11
2
−2
volumique est ρ = 16,6 g/cm . (On rappelle que G = 6,67 10
N.m kg )
9. Vitesse de libération et pesanteur dans le système solaire *
1. Calculer la vitesse de libération
planète de masse
M
et de rayon
vL et
R.
l'accélération de la pesanteur
Application : en vous aidant du tableau ci-dessous, calculer
vL
et
g
g
au voisinage d'une
dans le cas de la Terre
puis de Mars, Vénus, la Lune, Jupiter, Europe, et Callisto (voir tableau en n de feuille
de TD).
q
3kT
, où k
2. Comparer vL à la vitesse d'agitation thermique vT à 300 K. On donne vT =
m
−23
−1
= 1,38 10
J.K
est la constante de Boltzmann. On prendra pour m la masse d'une
molécule d'hydrogène puis d'hélium et enn d'oxygène.
24
= 6 10
kg
RT = 6 400 km RS = 7 108 m MS = 2 1030 kg
ρS =1,41 103 kg.m−3 1 UA = distance Terre - Soleil = 1,5 108 km.
A.N. :
MT
10. Diusion coulombienne: expérience de Rutherford ***
Dans cet exercice nous considérons une rencontre à 2 corps dans le cas d'une force répulsive
en 1/r2 . Les résultats que nous trouverons seront qualitativement semblables au cas d'une force
de gravité (donc attractive) au signe prés. Une particule α de masse m et de charge q = +2e
5
→
arrive avec une vitesse
+Ze, placé en
O.
V0 ,
parallèle à
La particule
α
Ox,
au voisinage d'un noyau très lourd, de charge
Q
=
est déviée par suite de la force d'interaction électrostatique
avec le noyau :
→
qQ r
F=
4π0 r2 r
→
On admet, en première approximation, que le noyau reste xe en
O
et que la trajectoire
de la particule, sensiblement rectiligne avant l'interaction, redevient rectiligne après. Soit
Ox
distance entre la vitesse incidente et l'axe
1. Expliciter, en fonction de r =
par le noyau sur la particule
→
r
(paramètre d'impact) et
et de
θ,
les composantes
Fx
φ
et
b
la
l'angle de "diusion".
Fy
de la force exercée
α.
2. Que peut-on dire du moment cinétique par rapport à
O
de la particule ?
Calculer sa
valeur "avant la zone d'interaction"
et sa valeur en un point M quelconque.
dθ
En déduire la relation entre r , θ̇ =
et les constantes de la trajectoire.
dt
3. L'énergie totale étant constante,
quel est le module de la vitesse "après la zone
d'interaction"?
4. Calculer la distance à laquelle la particule
α
est la plus près du noyau (appelée distance
d'approche). Pour quelle valeur du paramètre d'impact
a0
b
est-elle minimale? (on nomme
cette distance minimum d'approche).
5. Écrire la projection sur
dvy
Oy
du principe fondamental de la dynamique pour
en fonction des constantes du problème et de la seule variable
6. En déduire, par intégration, la valeur de l'angle de "diusion"
primera tan(φ/2) en fonction de
Pour quelles valeurs de
b
a0
et
Exprimer
θ.
φ.
En pratique, on ex-
b.
cet angle est-il nul ? égal à
π
? égal à
2
Distance
Diamètre
Masse
Densité
π?
Nature
en (UA)
(Terre = 1)
(Terre = 1)
(eau = 1)
Mercure
0,39
0,38
0,06
5,4
Fer,silicates
Vénus
0,72
0,95
0,82
5,3
Silicates, fer
La Terre
1,00
1,00
1,00
5,5
Silicates, fer
La Lune
m.
0,27
0,012
3,3
Silicates
Mars
1,52
0,53
0,107
3,9
Silicates, FeS
Jupiter
5,20
11,20
318,00
1,3
Hydrogène, hélium
Io
0,29
0,015
3,6
Silicates
Europe
0,25
0,008
3,0
Silicates, glace
Ganymède
0,41
0,025
1,9
Glace, silicates
0,38
0,018
1,8
Glace, silicates
9,50
95,22
0,7
Hydrogène, hélium
Callisto
Saturne
9,54
Titan
0,40
0,022
1,9
Glace, silicates
Uranus
19,18
4,1
14,55
1,2
Glace, H, He
Neptune
30,06
3,9
17,23
1,6
Glace, H, He
Pluton
39,44
0,2
0,002
1,7
Glace, silicates
Depuis 2006, Pluton n'est plus classée comme "planète" mais comme "planète naine" à l'instar de Ceres, Eris, Makemake et Haumea.
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