Les parallélogrammes

Chapitre : Les parallélogrammes
I Généralités
Définition : Un parallélogramme est un quadrilatère qui a ses côtés opposés parallèles.
B
A
( AB ) // ( CD ) et ( AD ) // ( BC )
ABCD est un parallélogramme
C
D
II Diagonales
Propriété des diagonales d’un parallélogramme : Un parallélogramme a ses diagonales qui se coupent en leur
milieu.
B
A
3
I
ABCD est un parallélogramme de centre I et AI = 3 cm
C
D
AC = 3 × 2 = 6 cm car les diagonales du parallélogramme ABCD se coupent en leur milieu.
Propriété réciproque des diagonales d’un parallélogramme : Un quadrilatère qui a ses diagonales qui se coupent
en leur milieu est un parallélogramme.
B
A
I
D
ABCD est un parallélogramme car ses diagonales se coupent en leur milieu.
C
III Angles et longueurs
Propriété des côtés d’un parallélogramme : Un parallélogramme a ses côtés opposés de même longueur.
Propriétés des angles d’un parallélogramme : Un parallélogramme a ses angles opposés de même mesure et
ses angles consécutifs supplémentaires.
A
4 cm
60°
B
?
ABCD est un parallélogramme
?
D
C
?
CD = 4 cm car les côtés opposés du parallélogramme ABCD ont la même longueur.
☺
BCD = 60° car les angles opposés du parallélogramme ABCD ont la même mesure.
☺
ABC = 180 – 60 = 120° car les angles consécutifs du parallélogramme ABCD sont supplémentaires.
Propriété réciproque des côtés d’un parallélogramme: Un quadrilatère (non croisé) qui a ses côtés opposés
de même longueur est un parallélogramme.
B
A
C
D
ABCD est un parallélogramme car ses côtés opposés sont de même longueur.
Propriété réciproque avec deux côtés pour les parallélogrammes : Un quadrilatère (non croisé) ayant
une paire de côtés opposés parallèles et de même longueur est un parallélogramme.
B
A
(AB) // (CD)
D
C
ABCD est un parallélogramme car ses côtés [AB] et [CD] sont parallèles et de même longueur.
Exercice 1 : Sur la figure 1, ABCD est un parallélogramme et les droites (FB) et (ED) sont parallèles.
Prouve que BEDF est un parallélogramme.
Exercice 2 : Trace un parallélogramme EFGH de centre O tel que :
OE = 3 cm – EF = 6 cm – OF = 4 cm
Exercice 3 : On considère la figure 2 où ADFE et BGHC sont des parallélogrammes.
a ) Prouve que AD = BC
b ) Quelle est la nature du quadrilatère ABCD ? Justifie ta réponse.
Figure 1
Figure 2
E
A
G
B
B
A
E
F
F
H
C
D
D
Exercice 4 : a ) Réponds aux questions de la figure 4.
b ) Réponds aux questions de la figure 5.
figure 4
figure 5
B
A
?
A
C
B
?
?
?
100°
(AD) // (BC)
(AB) // (CD)
80°
C
D
5,4 cm
D
C
– – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – –
Exercices pour préparer le contrôle
Exercice 1 : Pour chaque question, trace d’abord un triangle ABC sans utiliser le quadrillage.
a ) Avec la règle et l’équerre, placer le point D tel que ABCD soit un parallélogramme.
b ) Avec le compas, placer le point D tel que ABCD soit un parallélogramme.
c ) Avec la règle et le compas, placer les points E et F tel que EFBC soit un parallélogramme de
centre A.
Exercice 2 : Sur la figure 1, ABCD est un parallélogramme de centre O.
Réponds aux questions indiquées sur cette figure.
Exercice 3 : A propos de la figure 2 prouve de 4 façons différentes que ABCD est un parallélogramme.
Exercice 4 : ABCD est un parallélogramme et J est le milieu de [BC]. K est le symétrique de D par
rapport au centre J.
a ) Faire une figure
b ) Prouve que DC = BK.
figure 2
figure 1
A
B
?
O
4 cm
?
D
A
B
(AB)//(CD)
108°
?
O
(AD)//(BC)
3 cm
AC = ?
C
D
C
Résultats des exercices pour préparer le contrôle
Exercice 1 : a ) On trace des droites parallèles.
b ) On trace deux arcs de cercle.
c ) E et F sont les symétriques de B et C par rapport au centre A.
Exercice 2 : BC = AD = 4 cm car les côtés opposés du parallélogramme ABCD ont la même longueur.
♀
D =♀
B = 108° car les angles opposés du parallélogramme ABCD ont la même mesure.
♀
A = 180 – 108 = 72° car les angles consécutifs du parallélogramme ABCD sont supplémentaires.
AC = 2 × 3 = 6 cm car les diagonales du parallélogramme ABCD se coupent en leur milieu.
Exercice 3 : ABCD est un parallélogramme car :
1° ) ses côtés opposés sont parallèles.
2° ) ses diagonales se coupent en leur milieu.
3° ) c’est un quadrilatère non croisé qui a ses côtés opposés de même longueur.
4° ) c’est un quadrilatère non croisé qui a ses côtés [AB] et [CD] parallèles et de même longueur.
Exercice 4 :
b ) BKCD est un parallélogramme car ses
diagonales se coupent en leur milieu.
DC = BK car les côtés opposés du
parallélogramme BKCD ont la même longueur.
A
B
K
J
D
C