Etude de dynamiques non linéaires chaotiques et leurs applications

UNIVERSITÉ D’ANGERS
No Ordre : 731
Analyse et contrôle de dynamiques
chaotiques, application à des
circuits électroniques non-linéaires.
THÈSE DE DOCTORAT
Spécialité : Automatique et Informatique Appliquée
ÉCOLE DOCTORALE D’ANGERS
Présentée et soutenue publiquement
le 6 décembre 2005
à l’Institut des Sciences et Techniques de l’Ingénieur (ISTIA)
de l’Université d’Angers
par Cristina MOREL
Devant le jury
Président
Rapporteurs
:
:
Examinateurs :
Alain Oustaloup, Professeur
Romeo Ortega, Directeur de Recherche CNRS
Raymond Quéré, Professeur
François Chapeau-Blondeau, Professeur
Marc Bourcerie, Professeur
Université de Bordeaux 1 - LAPS
LSS - Supélec, Gif sur Yvette
Université de Limoges - IRCOM
Université d’Angers - LISA
Université d’Angers - LISA
Directeurs de thèse : François Chapeau-Blondeau et Marc Bourcerie
Laboratoire : L ABORATOIRE D ’I NGÉNIERIE DES S YSTÈMES AUTOMATISÉS; 62, avenue Notre Dame
du Lac, F-49000 ANGERS.
ED 363
UNIVERSITÉ D’ANGERS
No Ordre : 731
Analyse et contrôle de dynamiques
chaotiques, application à des
circuits électroniques non-linéaires.
THÈSE DE DOCTORAT
Spécialité : Automatique et Informatique Appliquée
ÉCOLE DOCTORALE D’ANGERS
Présentée et soutenue publiquement
le 6 décembre 2005
à l’Institut des Sciences et Techniques de l’Ingénieur (ISTIA)
de l’Université d’Angers
par Cristina MOREL
Devant le jury
Président
Rapporteurs
:
:
Examinateurs :
Alain Oustaloup, Professeur
Romeo Ortega, Directeur de Recherche CNRS
Raymond Quéré, Professeur
François Chapeau-Blondeau, Professeur
Marc Bourcerie, Professeur
Université de Bordeaux 1 - LAPS
LSS - Supélec, Gif sur Yvette
Université de Limoges - IRCOM
Université d’Angers - LISA
Université d’Angers - LISA
Directeurs de thèse : François Chapeau-Blondeau et Marc Bourcerie
Laboratoire : L ABORATOIRE D ’I NGÉNIERIE DES S YSTÈMES AUTOMATISÉS; 62, avenue Notre Dame
du Lac, F-49000 ANGERS.
ED 363
Remerciements
Les travaux présentés dans ce mémoire ont été effectués au Laboratoire d’Ingénierie des Systèmes
Automatisés de l’Université d’Angers. J’adresse mes remerciements à Monsieur le Professeur Jean-Louis
Ferrier pour m’avoir accueilli au sein du laboratoire qu’il dirige.
J’exprime ici ma profonde gratitude à Messieurs Raymond Quéré, Professeur à l’Université de
Limoges-IRCOM et Romeo Ortega, Directeur de recherche CNRS-Laboratoire de Signaux et Systèmes
de Supélec à Gif-sur-Yvette, qui m’ont honoré en acceptant la tâche de rapporteur.
Je suis très sensible à l’honneur que me fait Monsieur Alain Oustaloup, Professeur à l’Université de
Bordeaux 1-ENSEIRB et Directeur du Laboratoire d’Automatique, Productique et Signal, pour l’intérêt
qu’il manifeste en examinant cette étude.
Mes remerciements les plus sincères vont à mes Directeurs de recherche pour leur disponibilité et
leur soutien tout au long de ces années. Je tiens à leur exprimer ma profonde gratitude pour avoir pris
le risque de m’accepter en thèse sur un sujet exotique. Je salue la rigueur, le sens du détail et l’esprit de
synthèse de François Chapeau-Blondeau ainsi que les conseils avisés de Marc Bourcerie et sa pugnacité
à obtenir des supports d’enseignant à l’IUT, afin de financer cette thèse.
Je voudrais enfin que mes collègues doctorants et tous ceux qui, de près ou de loin, ont contribué à
faire de ces années de thèse une expérience extrêmement enrichissante sachent que je les en remercie
vivement.
Table des matières
1 Introduction
1
1.1
Découverte du chaos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1
1.2
L’étude du chaos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2
1.3
Utilisation du chaos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4
1.3.1
Contrôle du chaos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4
1.3.2
Génération du chaos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4
1.3.3
Nouveaux attracteurs chaotiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5
Contributions de ce travail . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6
1.4
2 La théorie du chaos
9
2.1
Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
9
2.2
Les phénomènes non-linéaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
9
2.3
Les attracteurs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
12
2.4
Le diagramme de bifurcation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
16
2.5
La sensibilité aux conditions initiales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
17
2.6
La stabilité des attracteurs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
18
2.7
Spectre de puissance . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
19
2.8
L’application itérative . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
21
2.9
Les exposants de Lyapunov . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
22
2.9.1
Les exposants de Lyapunov d’une application itérative . . . . . . . . .
23
2.9.2
Les exposants de Lyapunov d’une série temporelle . . . . . . . . . . .
23
2.10 Conclusion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
24
ii
TABLE DES MATIÈRES
3 Le contrôle du chaos dans les convertisseurs électriques
27
3.1
Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
27
3.2
Convertisseur Boost : contrôle du courant par la méthode classique . . . . . .
28
3.3
Convertisseur Boost : contrôle du courant par la commande à mode glissant .
31
3.4
Application itérative de la méthode classique . . . . . . . . . . . . . . . . . .
40
3.5
Application itérative de la commande à mode glissant . . . . . . . . . . . . .
45
3.6
Comparaison entre les deux méthodes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
48
3.7
Conclusion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
52
4 L’amélioration de la compatibilité électromagnétique par extension de l’anticontrôle du chaos
55
4.1
Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
55
4.2
Le convertisseur Buck . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
56
4.3
Générer du chaos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
59
4.4
Réduire les ondulations de la tension de sortie v(t) par simulation . . . . . . .
61
4.5
Réduire les ondulations de v(t) par une application itérative . . . . . . . . . .
65
4.6
Générer du chaos et réduire les ondulations de v(t) par simulation . . . . . .
73
4.7
Générer du chaos et réduire les ondulations de v(t) par une application itérative 73
4.8
Conclusion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
79
5 Attracteurs chaotiques indépendants obtenus par anti-contrôle du chaos
dans les circuits non-linéaires
81
5.1
Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
81
5.2
Attracteurs chaotiques indépendants dans un système non-linéaire général . .
82
5.3
Le circuit de Chua . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
85
5.4
Le système de Lorenz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
87
5.5
Le convertisseur Buck . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
88
5.6
Conclusion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
91
6 Expérimentations
6.1
Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
95
95
TABLE DES MATIÈRES
iii
6.2
Convertisseur Buck en boucle ouverte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
96
6.3
Convertisseur Buck en boucle fermée . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
96
7 Conclusion
103
Bibliographie
107
Chapitre 1
Introduction
1.1
Découverte du chaos
La découverte de la dynamique chaotique des systèmes non-linéaires remonte aux travaux
d’Henri Poincaré sur la mécanique céleste et la mécanique statistique, vers 1900 [8]. Ils ont
alors suscité peu d’intérêt et sont tombés dans l’oubli. Il fallut attendre 1963 qu’Edward
Lorenz, un météorologue du Massachusetts Institute of Technology, mette en évidence le
caractère chaotique des conditions météorologiques et par conséquent des mouvements turbulents d’un fluide comme l’atmosphère [72]. Alors qu’il cherchait à déterminer des conditions
météorologiques futures à partir de données initiales sur son ordinateur, il constata qu’une
modification minime des données initiales (de l’ordre de un pour mille) entraı̂nait des résultats
radicalement différents. Après avoir modélisé le mouvement des masses d’air par des relations (très simplifiées) de thermodynamique et de mécanique des fluides, il a programmé son
ordinateur de façon à obtenir une simulation numérique. À l’époque, cela prenait beaucoup
de temps. Un jour, pour ne pas recommencer les calculs depuis le début, il décida de reprendre son listing et de rentrer en tant que conditions initiales des valeurs prises au cours de la
simulation de la veille. L’ordinateur lui donnait une précision à cinq chiffres, cependant trois
chiffres significatifs lui semblaient largement suffisants pour ce genre de mesures physiques.
Il tronqua donc ces nombres et repris le calcul. Les résultats qui suivirent furent le “déclic”.
D’abord la simulation semblait redonner les mêmes valeurs, mais au bout d’un moment rien
ne concordait, tout se passait comme si le mouvement représenté par ces valeurs changeait
complètement de trajectoire et ce, à cause d’une approximation de l’ordre de 10−4 !
2
Introduction
Cette anecdote [43] est à la base de ce que l’on appelle maintenant le chaos : une infime
variation des conditions initiales d’un système bouleverse complètement son évolution. Lorenz
venait de mettre en exergue la sensibilité aux conditions initiales [40]. Il expliqua d’ailleurs
très joliment cette notion à l’aide de l’image suivante : le battement d’ailes de quelques
papillons peut provoquer des tempêtes aux antipodes. La découverte de Lorenz intrigua un
certain nombre de physiciens et de mathématiciens. Les travaux de Poincaré sortirent alors
du placard et furent compris comme ils auraient dû l’être depuis longtemps. Ils fournirent
l’ossature mathématique qui allait permettre l’étude des phénomènes non-linéaires sous un
nouveau jour. Tous ces travaux lancèrent sur de nouvelles bases les réflexions concernant le
déterminisme et la prévisibilité.
1.2
L’étude du chaos
L’essence de la science est la prévisibilité. Par exemple, les astronomes peuvent prévoir
le prochain retour de la comète de Halley à proximité de la terre, mais aussi l’instant précis
où la prochaine éclipse solaire se produira. La plupart des lois fondamentales de la nature
sont déterministes ; elles permettent de savoir exactement ce qui va se produire, à partir de
la connaissance des conditions actuelles. Il est maintenant largement admis que déterministe
et prévisible ne sont pas synonymes. Comme il est impossible de connaı̂tre les conditions
initiales avec une précision parfaite, la prévision à long terme l’est également, même lorsque
les lois physiques sont déterministes et exactement connues. Un bon exemple est celui de
la météorologie : elle est régie par des lois physiques déterministes, mais leur extrême sensibilité aux conditions initiales rend périlleuses les prévisions à long terme. Le comportement
imprévisible de systèmes déterministes a été appelé chaos.
Le chaos définit un état particulier d’un système caractérisé par le comportement suivant :
• il a une dépendance sensible aux conditions initiales : des différences extrêmement
faibles dans les valeurs du système peuvent aboutir à des résultats largement divergents,
• mais il n’en est pas moins ordonné et caractérisé par un déterminisme imprévisible.
Les systèmes en état de chaos sont donc déterministes et imprévisibles. La découverte
des systèmes chaotiques réconcilie les notions apparemment antinomiques de chaos et de
déterminisme. En effet, il existe des systèmes très simples qui obéissent à des lois parfaitement
1.2. L’étude du chaos
3
déterministes et dont le comportement est totalement imprévisible.
L’étude de dynamiques non-linéaires a montré que le chaos apparaissait naturellement
dans des systèmes naturels, ou en ingénierie. Il a d’abord été considéré comme irrégulier et
souvent attribué à des influences externes aléatoires. En fait, des études approfondies ont
révélé que les phénomènes chaotiques étaient caractéristiques des systèmes non-linéaires. Ce
qui est apparu comme une surprise pour la plupart des scientifiques est que même des systèmes
décrits par des équations simples peuvent avoir des solutions chaotiques. Cependant, tout
n’est pas chaotique. Un autre fait curieux est que le même système peut se comporter de façon
prévisible ou chaotique, en fonction de petits changements d’un paramètre des équations qui
le décrivent.
L’étape de l’étude du chaos suppose l’analyse du système non-linéaire, la compréhension
de la transition au comportement chaotique, la description du mécanisme de bifurcation et
l’étude des attracteurs (les points fixes, le cycle limite) et des attracteurs étranges. Certains
préfèrent le terme d’attracteur chaotique, parce que ce qui a d’abord semblé étrange à sa
découverte en 1963 est maintenant en grande partie compris.
Les phénomènes chaotiques que l’on observe sont souvent dus aux non-linéarités que
présentent les systèmes, dans des domaines très variés : mécanique, circuits électroniques,
réactions chimiques, dynamique des fluides, processus biologiques et systèmes de sécurité de
l’information. L’étude du chaos dans ces domaines a mis en évidence :
• les systèmes chaotiques. Les plus connus sont le système de Lorenz, le système de
Chua, le circuit de Chen, l’oscillateur de Duffing, l’oscillateur de Van der Pol, les systèmes
quadratiques,
• des attracteurs chaotiques (l’attracteur de Rössler, l’attracteur de Rucklidge, l’attracteur
de Burke-Shaw, l’attracteur cyclique et symétrique de Thomas, l’attracteur cyclique et symétrique
de Halvorsen),
• des applications itératives (Henon, Ikeda, Kaplan-Yorke, Sinai, Dissipative standard).
Une question vient souvent à l’esprit lorsque l’on apprend que des activités de recherche
sont conduites sur ce thème : le chaos n’est-il pas une fatalité dont les effets néfastes ne
peuvent être que subis ?
4
Introduction
1.3
1.3.1
Utilisation du chaos
Contrôle du chaos
Ce comportement irrégulier et imprévisible a été habituellement considéré comme un
ennui à éviter. De plus, le négliger ne résoud pas les problèmes. Afin de supprimer le chaos,
une méthode dite “de contrôle du chaos” est nécessaire. Ainsi, Ott, Grebogi et Yorke ont
développé l’algorithme OGY [50] qui supprime toujours le chaos, par des petites perturbations
des paramètres accessibles du système. Le système caractérisé par un mouvement chaotique
est ainsi amené à un comportement dynamique désiré, par exemple une orbite périodique.
Depuis, d’autres méthodes ont été développées pour contrôler le chaos [55] [59] [65].
Pour nombre d’applications, la réponse chaotique est peu désirée voire nocive, d’où la
nécessité de contrôler le chaos :
• Dans les circuits électriques, le signal chaotique peut apparaı̂tre dans différents composants [27] [44] [61].
• Dans le domaine de la physique, le laser connaı̂t parfois des instabilités, ce qui limite
fortement son applicabilité. Sa dynamique chaotique est alors contrôlée par des variantes de
la méthode OGY [17] [56].
• La réaction de Belousov-Zhabotinski(BZ) est l’exemple le plus connu de réaction chimique possédant un comportement chaotique. Son contrôle est fait par les paramètres chimiques [21], par un champ électrique [20] ou par la lumière [36] [24].
• Dans le domaine médical [71], la commande de certaines arythmies cardiaques chaotiques [28] peut mener à la conception d’un stimulateur intelligent. Cette voie prometteuse
amène les scientifiques à essayer une stratégie similaire pour contrôler le comportement chaotique du cerveau humain en phase d’épilepsie.
• Il a même été possible de contrôler un modèle de système spatiotemporel de grande
dimension comme le phénomène El Niño dans le Pacifique [64], bien que la méthode OGY
soit usuellement appliquée à des systèmes d’ordre faible.
1.3.2
Génération du chaos
Après avoir réussi à démontrer que le chaos pouvait être maı̂trisé, beaucoup de recherches
se sont orientées récemment vers l’étude des avantages que procure l’existence du chaos dans
1.3. Utilisation du chaos
5
un système.
Ainsi, des techniques nouvelles de “chaotification” (appelées aussi anti-contrôle du chaos)
permettent de rendre chaotique un système (linéaire ou non-linéaire) qui ne l’est pas. Les
applications sont nombreuses. Citons-en quelques unes :
• La synchronisation du chaos permet de masquer un signal utile I(t) en l’ajoutant à
un signal chaotique n(t) et en transmettant la superposition de ces deux signaux. Les signaux chaotiques permettent d’utiliser un large spectre fréquentiel et donc d’augmenter les
quantités d’information transmises, ainsi que de rendre plus efficace le cryptage des informations véhiculées. L’information peut être récupérée après la comparaison du signal reçu
I(t) + n(t) avec le signal n(t) chaotique original. Avec ce procédé, les signaux chaotiques
dans les systèmes d’émetteur et de récepteur doivent être synchronisés. Cette méthode de
sécurisation des communications [34] [53] [52] est difficile à démasquer.
• La mécanique des fluides est un autre exemple. L’objectif ici est de mélanger complètement
plusieurs fluides et de réduire au minimum l’énergie exigée. Le mélange de fluides s’avère être
beaucoup plus simple à réaliser si la dynamique du mouvement des particules est chaotique.
• Le cerveau humain est un réseau non-linéaire comportant un vaste nombre de neurones
mutuellement reliés, dans lequel des phénomènes chaotiques sont observés : le mouvement
enregistré dans un électroencéphalogramme [3], l’activité des neurones dans le bulbe olfactif [23] et dans l’hippocampe [30]. Un grand nombre de fonctions du cerveau peuvent être
modélisées par des réseaux de neurones artificiels classiques. Ces modèles ont été enrichis par
l’introduction de réseaux de neurones chaotiques, dans le but de mieux comprendre l’activité
du cerveau.
• Hamill et Deane ont tiré profit de la dynamique non-linéaire des circuits de l’électronique
de puissance en suggérant de les utiliser en mode chaotique. En effet, la dynamique chaotique
peut réduire les interférences électromagnétiques en élargissant le spectre [16] [39].
1.3.3
Nouveaux attracteurs chaotiques
L’intérêt grandissant des applications du chaos, qu’il apparaisse naturellement ou par
chaotification, conduit la communauté scientifique à approfondir l’étude de modèles mathématiques
simples, mais présentant un comportement chaotique.
Par exemple, ceci a conduit à la découverte de la notion de chaos multi-spirales (ou
6
Introduction
“double scroll”), développée à partir du circuit électrique de Chua [62].
Par ailleurs, [2] [41] [42] présentent et étudient des attracteurs chaotiques, caractéristiques
d’un nouveau type de système linéaire par morceaux. Leur intérêt réside dans la possibilité
d’implémenter un circuit électronique dont la dynamique est représentée par ce système.
Enfin les notions de chaotification sont encore assez nouvelles ; les attracteurs chaotiques
découverts ouvrent de nouvelles voies de recherche et d’applications.
1.4
Contributions de ce travail
Nous avons fait le choix d’étudier les convertisseurs électriques continu-continu (DCDC) : ces circuits fortement non-linéaires peuvent être rendus chaotiques, en fonction de leurs
paramètres. De plus, la possibilité de vérifier pratiquement nos résultats théoriques par la
réalisation de maquettes ainsi qu’un réel intérêt économique et industriel (les alimentations
à découpage sont omniprésentes dans l’électronique grand public) ont également été des
arguments importants. En effet, dans la conception de convertisseurs de puissance fiables, il
est vital d’être en mesure d’apprécier si un comportement chaotique peut apparaı̂tre : il faut
absolument être en mesure d’étudier ce phénomène, de l’éviter par contrôle du chaos, voire
de l’utiliser par génération du chaos.
L’ambition de ce travail de thèse est d’apporter une contribution aux trois voies de
développement autour du chaos, détaillées dans la section précédente :
1. Contrôle du chaos : on élimine le chaos en appliquant la commande par mode glissant.
2. Génération du chaos : on va améliorer la compatibilité électromagnétique d’un convertisseur DC-DC par l’extension de la méthode d’anti-contrôle du chaos.
3. Nouveaux attracteurs chaotiques : nous allons générer des attracteurs chaotiques indépendants
en utilisant l’anti-contrôle du chaos dans les circuits non-linéaires.
Dans cette perspective, nous fournissons dans le deuxième chapitre les moyens d’appréhender
et de reconnaı̂tre un comportement chaotique, qualitativement et quantitativement.
Il est bien connu que les convertisseurs DC-DC commandés classiquement en courant
peuvent être instables (quand le rapport cyclique excède 0,5), par apparition d’un phénomène
chaotique. Le troisième chapitre traite du contrôle du chaos par la méthode de la commande
1.4. Contributions de ce travail
7
à mode glissant et effectue une étude comparative de celle-ci avec la méthode classique, même
quand le système est stable [45].
Les alimentations à découpage émettent habituellement des interférences électromagnétiques
à la fréquence de commutation et ses harmoniques. L’introduction volontaire du chaos dans
ces systèmes a récemment été suggérée comme moyen de réduire ces émissions spectrales,
malgré l’augmentation de l’ondulation de la tension de sortie. Dans le quatrième chapitre,
nous proposons une nouvelle méthode de contrôle non-linéaire induisant du chaos qui peut
à la fois limiter les émissions spectrales et assurer une faible ondulation de la sortie. La
faisabilité et l’intérêt de cette nouvelle méthode sont illustrés par un exemple [46] [49] [47],
qui inclut une comparaison avec la méthode de contrôle précédente.
Quant à lui, le cinquième chapitre présente une nouvelle technique produisant plusieurs
attracteurs chaotiques indépendants grâce à une commande binaire, utilisant la technique de
l’anti-contrôle. Nous montrons que les systèmes non-linéaires possèdent plusieurs attracteurs,
qui dépendent des conditions initiales. Nous démontrons que ces derniers se répartissent dans
l’espace d’état de façon équidistante sur une courbe précise, qui dépend des paramètres du
système. Nous obtenons alors une relation mathématique donnant la distance entre deux
attracteurs consécutifs. En conclusion, nous prenons plusieurs exemples pour illustrer la
méthodologie proposée [48].
Enfin, le dernier chapitre présente les résultats de mesures effectuées sur la maquette d’un
convertisseur Buck que avons réalisée.
La conclusion sera l’occasion de revenir sur les trois voies de développement autour du
chaos, de donner une synthèse de nos résultats et de présenter des perspectives.
Chapitre 2
La théorie du chaos
2.1
Introduction
Dans ce chapitre, nous allons nous concentrer sur le comportement non-linéaire de circuits électroniques - le convertisseur Buck, le circuit de Chua et le système de Lorenz. Ce
chapitre a pour principal objectif de fournir les moyens d’appréhender et de reconnaı̂tre un
comportement chaotique, qualitativement et quantitativement. Nous avons posé les bases afin
de comprendre les différents scénarios pouvant amener un système dynamique non-linéaire
ne présentant pas de comportement chaotique vers une dynamique chaotique, par l’influence
d’un ou de plusieurs paramètres [6] [15] [14] [32] de contrôle du système. Nous allons ainsi
étudier le spectre de puissance pour différents types d’attracteurs [58] [10] [65] et [48] et définir
l’application itérative. Pour terminer, nous définissons les exposants de Lyapunov, qui constituent l’une des caractérisations quantitatives du chaos les plus fondamentales puisqu’elle
s’attache à mesurer la sensibilité aux conditions initiales.
2.2
Les phénomènes non-linéaires
Un système dynamique peut faire preuve d’un comportement complètement chaotique,
rendant son analyse très difficile. Le comportement chaotique est généralement présent dans
un circuit s’il contient au moins un élément non-linéaire ; il en existe plusieurs types :
1. les systèmes décrits par des équations différentielles non-linéaires (c’est le cas du circuit
de Lorenz).
10
Chapitre 2. La théorie du chaos
Figure 2.1 : Le circuit de Chua et sa non-linéarité iR = f (vR ).
2. les systèmes contenant des composants avec une caractéristique non-linéaire ou linéaire
par morceaux (comme la résistance non-linéaire du circuit de Chua).
3. les composants de commutation, comme les transistors et les diodes. Les interrupteurs
actifs (transistors et MOSFET) sont bloqué ou dans un état de conduction en fonction
du signal appliqué. Les interrupteurs passifs (diodes) ont une caractéristique v = f (i)
fortement non-linéaire.
4. les circuits de commande (feedback). Ils impliquent en général des composants nonlinéaires : comparateurs, modulateur de la largeur d’impulsion, multiplieurs, monostables.
Traitons l’exemple bien connu du circuit de Chua (Fig. 2.1). Il est constitué par une inductance linéaire L, une résistance linéaire R, deux condensateurs linéaires C1 et C2 et
une résistance non-linéaire NR nommée diode de Chua. C’est un système pour lequel la
présence du chaos a été établie expérimentalement, confirmée numériquement et démontrée
mathématiquement [13]. Une description complète du circuit de Chua peut être faite par
trois équations différentielles d’ordre un :
dv1
1
1
=
(v2 − v1 ) −
f (v1 )
dt
RC1
C1
(2.1)
1
1
dv2
=
(v1 − v2 ) +
iL
dt
RC2
C2
(2.2)
2.2. Les phénomènes non-linéaires
11
Figure 2.2 : Figure de gauche : le convertisseur Buck commandé en tension est source de
non-linéarités. Il contient des éléments réactifs (C et L), les composants de commutation
(S et D), et des circuits de commande non-linéaires (le comparateur A2 et un MLI A1 ).
Figure de droite : le convertisseur Boost commandé en courant est source de non-linéarités.
Il contient des éléments réactifs (C et L), des composants de commutation (S et D) et des
circuits de contrôle non-linéaires (le comparateur et un correcteur numérique).
diL
1
= − v2
dt
L
(2.3)
La caractéristique non-linéaire de la diode de Chua est donnée par la relation :




Gb vR + (Gb − Ga )E



iR = f (vR ) = Ga vR





Gb vR + (Ga − Gb )E
si vR < −E,
si −E ≤ vR ≤ −E,
(2.4)
si vR > E.
ce qui donne le graphique non-linéaire iR = f (vR ) de la diode de Chua, représenté sur la
Fig. 2.1.
Prenons deux autres exemples dans le domaine des convertisseurs de puissance qui utilisent
des composants dans les catégories mentionnées ci-dessus : les convertisseurs Buck et Boost,
représentés sur la Fig 2.2. Ce sont des circuits classiques de l’électronique de puissance,
respectivement abaisseur et élévateur de tension continue.
12
Chapitre 2. La théorie du chaos
15
220
200
10
x
x3
3
180
5
160
140
10
5
0
−10
0
−5
0
x1
−5
5
10
120
100
50
100
−40
0
−20
x
0
2
x1
−10
−50
20
40
x2
−100
Figure 2.3 : Trajectoires de phases du système de Lorenz dépendant du paramètre r (r = 7
pour la figure de gauche et r = 160 pour la figure de droite).
2.3
Les attracteurs
Les systèmes d’équations différentielles sont une forme efficace de modélisation des systèmes
en général. Les systèmes dynamiques sont décrits sous forme générale par les équations
différentielles :
dx(t)
= f (x(t), µ)
dt
(2.5)
où x est le vecteur variable d’état et µ est le vecteur des paramètres.
L’espace de phase (x1 , x2 , ..., xn ) d’un système dynamique est un espace mathématique
dont les axes de coordonnées représentent chacune des variables d’états xi, i=1,n nécessaires
pour spécifier entièrement l’état de ce système à chaque instant. La solution de (2.5), avec les
conditions initiales x(t0 ) = x0 , décrit dans l’espace des phases une courbe appelée trajectoire
de phase représentant l’évolution du système.
Pour une vision globale et plus claire, illustrons le concept d’attracteur par l’exemple du
système de Lorenz dans l’espace d’état :




ẋ1 = −10x1 + 10x2



ẋ2 = rx1 − x2 − x1 x3





ẋ3 = − 8 x3 + x1 x2 ,
3
où r est un paramètre.
En général, les attracteurs sont classés dans une des catégories suivantes :
(2.6)
2.3. Les attracteurs
13
40
x3
30
20
30
10
20
10
0
−20
0
−10
−10
0
x1
−20
10
20
x2
−30
Figure 2.4 : Trajectoires de phases du système de Lorenz dependent du paramètre r (r =
25).
1. Point fixe : Les points fixes constituent probablement la catégorie d’attracteur la plus
simple représenté par un point dans l’espace d’état, parce que elle n’évolue plus avec
le temps. La Fig. 2.3 gauche présente les trajectoires de phase pour r = 7 a partir des
deux conditions initiales quelconque. Les coordonnées des points fixes en fonction du
p
p
p
p
paramètre r sont : ( 10(r − 1), 10(r − 1), r − 1) et (− 10(r − 1), − 10(r − 1), r −
1).
2. Le cycle limite périodique : un cycle limite est une trajectoire de phase fermée. Ce
mouvement est périodique et associé à un nombre fini de fréquences. Un exemple est
illustré dans la Fig. 2.3 droite.
3. L’attracteur quasi-périodique : un phénomène quasi-périodique, c’est-à-dire qui combine des phénomènes périodiques indépendants l’un de l’autre, est identifier avec un
tore dans l’espace des phases.
La section de Poincaré est définie par l’ensemble des points d’intersection d’un plan
avec la trajectoire du vecteur d’état dans l’espace des phases. La section de Poincaré
est particulièrement adaptée à l’étude des régimes apériodiques puisqu’elle distingue
clairement les régimes quasi-périodiques des régimes chaotiques, par la presence d’une
courbe fermée.
4. L’attracteur chaotique : on observe que la trajectoire dans l’espace des phases reste
confinée dans une région bien définie, après une période transitoire de durée variable.
14
Chapitre 2. La théorie du chaos
220
200
180
x3
160
140
120
100
100
80
−40
50
0
−50
−20
0
x
20
40
x2
−100
1
Figure 2.5 : Trajectoires de phases du système de Lorenz dépendant du paramètre r (r = 149
pour la figure de gauche et r = 147 pour la figure de droite).
Pour le système de Lorenz, le mouvement n’est pas périodique et l’objet géométrique
complexe que l’on observe est un attracteur chaotique, représenté Fig. 2.4 pour r = 25.
Le simple système de Lorenz présente des comportements différents suivant les valeurs du
paramètre r. Le cycle limite illustrée sur la Fig. 2.3 droite perd sa stabilité quand r décroı̂t
vers 149. Pour cette valeur, un doublement de période prend place, donc un attracteur de
période-2 apparaı̂t, comme le montre la Fig. 2.5 gauche. Si on réduit r à 147, on observe
un autre doublement de période, où le système de Lorenz converge vers un attracteur de
période-4.
Un phénomène similaire, de doublement de période, apparaı̂t dans le convertisseur Buck.
Il est bien connu que le comportement des convertisseurs de puissance est sensiblement influencé par le choix de leurs paramètres. La connaissance complète de leur domaine de variation
pour lequel le système se situe sur un attracteur de période-1, un attracteur de période-2, un
attracteur de période-4, ..., ou un attracteur chaotique est très importante pour les ingénieurs,
qui doivent choisir les valeurs des paramètres en fonction du comportement voulu. Nous pouvons choisir comme paramètre la tension d’entrée E, la charge R, l’inductance L, la capacité
C, ou faire varier la période T de la dent de scie.
Les Fig. 2.6 et Fig. 2.7 présentent différents comportements de la tension de sortie du convertisseur en fonction du paramètre E et illustrent un mode de détermination de la périodicité
de cette tension.
2.3. Les attracteurs
15
E=y
E=x
12.3
Tension de sortie (V)
Tension de sortie (V)
12.02
12
11.98
vx
11.96
o
o
o
o
o
11.94
11.92
12.2
vy1
o
12.1
o
o
o
vy2
o
o
o
o
12
11.9
11.9
11.8
T
2T
3T
4T
5T
0.076 0.0762 0.0764 0.0766 0.0768 0.077 0.0772 0.0774 0.0776
T
2T
0.0995
3T
4T
0.1
5T
0.1005
6T
0.101
7T
0.1015
0.102
Temps (s)
Temps (s)
Figure 2.6 : Trajectoires temporelles de la tension de sortie v(t) du convertisseur Buck en
fonction du paramètre E (E = 20 V pour la figure de gauche et E = 30 V pour la figure de
droite).
E=w
12.8
vw1
E=z
12.5
o
12.6
v
12.3
12.2
o
v
12.1
z3
vz1
v
o
vz4
o
o
o
o
o
o
o
o
o
z2
o
12
o
o
o
o
o
o
o
o
11.9
11.8
Tension de sortie (V)
Tension de sortie (V)
12.4
o
w2
12.4
vw3
o
o
o
12.2
o
o
o
o
o
12
vwn
11.7
11.8
T
11.6
1.85
5T
1.851
1.852
13T
9T
1.853
1.854
1.855
Temps (s)
o
o
o
17T
1.856
1.857
0.1
0.101
0.102
0.103
0.104
0.105
Temps (s)
Figure 2.7 : Trajectoires temporelles de la tension de sortie v(t) du convertisseur Buck en
fonction du paramètre E (E = 32 V pour la figure de gauche et E = 40 V pour la figure de
droite).
16
Chapitre 2. La théorie du chaos
Pour une valeur x de la tension d’entrée E, la tension de la sortie est un signal périodique
de même période T que la dent de scie. C’est la raison pour laquelle on dit que la sortie est
un signal de période-1, comme illustré sur la Fig. 2.6, gauche. Pour des instants multiples de
T , nous avons mis en évidence l’amplitude de la tension de sortie, qui a une valeur constante
vx . Cette tension vx est donc T -périodique.
Pour une nouvelle valeur de la tension d’entrée E = y, la tension de sortie v(t) est
échantillonnée à la même fréquence 1/T . Cette fois, les valeurs vy1 et vy2 se répètent avec
une période 2T : la tension de sortie est donc un signal de période-2, comme la Fig. 2.6 droite
le montre. Lorsque le système change radicalement de comportement (de période-1 (vx ) à
période-2 (vy1 -vy2 )) vis à vis d’une simple variation d’un paramètre (de x à y), on dit qu’il
s’agit alors d’une bifurcation. Ce changement se produit à des points particuliers appelés
points de bifurcation.
En augmentant E jusqu’à w, l’amplitude de la tension de sortie aux moments d’échantillonnage
ne se répète plus, ce qui montre clairement la présence du chaos (Fig. 2.7 gauche).
On voit bien ici que modifier la valeur de E n’a pas pour seule conséquence de faire varier
les grandeurs caractérisant le mouvement du système : cela peut changer la nature même de
ces grandeurs. C’est un changement qualitatif qui peut se produire.
2.4
Le diagramme de bifurcation
Figure 2.8 : Le diagramme de bifurcation de la tension de sortie v(t) du convertisseur Buck
en fonction du paramètre E.
2.5. La sensibilité aux conditions initiales
17
Le passage d’un point fixe à un cycle limite de période-2, puis à un cycle limite de
période-4, est un événement important dans la dynamique d’un système. On dit qu’il y a
une bifurcation lorsqu’un tel changement qualitatif des solutions se produit à l’occasion de la
variation d’un paramètre. Les graphiques qui explicitent ces bifurcations, sont logiquement
appelés diagrammes de bifurcation. Cette notion est centrale dans l’étude du chaos. Lorsque
l’on examine de tels graphiques, il faut faire attention aux axes. Sur un axe nous prenons le
paramètre, et sur l’autre la variable d’état, formant l’espace paramétrique. Un diagramme
de bifurcation délimite des zones de l’espace paramétrique dans lesquelles le comportement
qualitatif du système est similaire. On voit apparaı̂tre aussi un enchaı̂nement très rapide de
doublements de période qui mène à une situation...chaotique. Ce mécanisme de doublements
de période est une des routes vers le chaos. Un exemple de diagramme de bifurcation est
représenté sur la Fig. 2.8.
Dans notre exemple du convertisseur, pour E croissant de 12 à 24, 5 V , le système est
d’abord attiré par un cycle limite de période-1. Le point de coordonnées (x, vx ) représenté
dans l’espace paramétrique sur la Fig. 2.8 correspond à tous les points d’amplitude vx de la
trajectoire temporelle sur la Fig. 2.6, gauche, pour E = 20 V .
Des bifurcations successives dans les phénomènes chaotiques peuvent engendrer une structure fractale. Les fractales et le chaos déterministe sont deux domaines mathématiques qui
présentent beaucoup de points communs, bien que leurs caractéristiques soient différentes
(imprévisibilité et sensibilité aux conditions initiales pour le chaos et auto-similarité et invariance d’échelle pour les fractales) [51] [57]. Ainsi, de nombreux phénomènes chaotiques
présentent des structures fractales (par exemple, dans leurs attracteurs étranges), même si
beaucoup d’objets fractals ne sont nullement chaotiques (triangle de Sirpinski, courbe de
Koch...).
2.5
La sensibilité aux conditions initiales
La sensibilité aux conditions initiales constitue sans aucun doute la caractéristique essentielle du comportement chaotique d’un systèmes : l’évolution est par conséquent imprévisible
à long terme. Pour une condition initiale x0 = x(0), la trajectoire chaotique suit la courbe en
trait plein, sur l’exemple de la Fig. 2.9 gauche. Par contre, une petite variation δx de cette
18
Chapitre 2. La théorie du chaos
12.8
40
12.4
30
12.2
x3
Tension de sortie (V)
Le point de depart
12.6
20
12
10
11.8
20
Les points d’arrive
0
−20
10
0
−10
11.6
0
2
4
6
Temps (s)
8
10
−3
x 10
x1
0
−10
10
x2
−20
Figure 2.9 : Figure de gauche : Trajectoires temporelles de la tension de sortie v(t) du
convertisseur Buck en fonction de deux conditions initiales presque identiques. Figure de
droite : Trajectoires de phase du système de Lorenz en fonction de deux conditions initiales
presque identiques.
condition initiale entraı̂ne une autre trajectoire (la courbe en pointillés).
Le système chaotique est donc sensible à une toute petite perturbation de la condition
initiale x0 . Même si les points de départ sont presque identiques, les trajectoires se séparent
assez rapidement.
Pour illustrer la sensibilité aux conditions initiales d’un système chaotique, reprenons
l’exemple du système de Lorenz avec r = 25. La Fig. 2.9 droite présente deux trajectoires
de phase avec des conditions initiales distinctes, mais presque identiques (x10 ; x20 ; x30 ) =
(0 ; − 5 ; 16, 6) et (x10 ; x20 ; x30 ) = (0, 1 ; − 5 ; 16, 65). Au début (pour t = 0), les séries
temporelles sont confondues. Après quelques itérations, une des trajectoires tourne autour
p
p
d’un point fix ( 10(r − 1) ; 10(r − 1) ; r − 1), alors que l’autre trajectoire tourne autour
p
p
d’un second point fix (− 10(r − 1) ; − 10(r − 1) ; r − 1).
2.6
La stabilité des attracteurs
Cette section décrit le comportement à long terme des systèmes dynamiques. Considérons
un système dynamique arrivé à un régime stationnaire (un point fixe, un cycle limite, ou un
attracteur chaotique), dans lequel il resterait par la suite, si rien ne venait le perturber. Que
se passerait-il si quelque chose venait perturber l’état Xs ?
2.7. Spectre de puissance
19
Stabilité globale : si le système comportant des points fixes ou des cycles limites est mis
hors de son état d’équilibre, le système converge vers cet état après une période transitoire.
Par contre, dans le cas d’un attracteur chaotique, la trajectoire du système perturbé reste
confinée dans cet espace borné qu’est l’attracteur, emprisonnant toutes les trajectoires qui
passent dans son voisinage. Le système résiste à toutes les perturbations.
Solutions instable : bien sûr, il se peut que X(t) ne reste pas dans le voisinage de Xs,
sous l’effet de la perturbation. Plus précisément, il existe dans chaque voisinage de Xs, une
perturbation dont l’amplitude ne peut rester inférieure à une certaine valeur critique. L’état
Xs sera alors qualifié d’instable.
Stabilité locale, instabilité globale : on pourrait très bien imaginer que pour de petites
perturbations, la trajectoire reste dans le voisinage de l’état de référence, mais que pour
des chocs plus importants, elle s’en écarte. Xs sera alors dénommé localement stable, mais
globalement instable. L’espace des phases est divisé en différents bassins d’attraction correspondant aux plusieurs attracteurs. Le système est attire dans un attracteur ou l’autre on
fonction de la forme et de l’amplitude de la perturbations.
2.7
Spectre de puissance
Avant de se lancer dans l’analyse des propriétés non-linéaires d’une série de données, il
est utile de savoir si l’on a affaire à un phénomène périodique, quasi-périodique ou chaotique.
Prouver l’existence de solutions périodiques ou chaotiques par la théorie des bifurcations est
souvent impossible (ou très coûteux) lorsque l’espace des phases est de dimension élevée. On
fait alors appel à des moyens que nous qualifierons d’indirectes, souvent complémentaires
entre elles, qui sont la série temporelle et le spectre de puissance.
Tout signal x(t) peut en effet être représenté comme une superposition de composantes
périodiques. Ces dernières sont toujours exprimées en terme de fonctions élémentaires sinus
et cosinus. La détermination des amplitudes relatives de ces composantes constitue l’objet
de l’analyse spectrale.
Le signal x(t) est de nature périodique, apériodique ou chaotique. Dans chaque cas, nous
introduisons et étudions le spectre de puissance, qui représente la répartition de la puissance
le long de l’axe des fréquences. Le spectre de puissance est simplement la transformée de
20
Chapitre 2. La théorie du chaos
Fourier de la fonction d’autocorrélation.
La procédure de calcul du spectre de puissance se résume en quatre étapes :
1. Déterminer la moyenne de la variable x(t), qui représente l’espérance mathématique de
x(t).
m = E[x(t)]
(2.7)
2. Introduire le signal centré sur la moyenne temporelle.
xc (t) = x(t) − m
(2.8)
3. Calculer la fonction d’autocorrélation, qui est la covariance entre les variables x(t) et
x(t + τ ), exprimée sous la forme :
Cxx (τ ) = E[x(t)x(t + τ )] = m2 + E[xc (t)xc (t + τ )]
(2.9)
4. En déduire le spectre ou la densité spectrale de puissance d’un signal x(t), donné par
la formule :
Pxx (f ) = T F [Cxx (τ )]
(2.10)
Si le signal x(t) est de moyenne non nulle, on adjoint au spectre une raie à l’origine
(f = 0) d’amplitude m2 . Cette raie à l’origine, qui traduit simplement la présence d’une
moyenne non nulle, porte le nom de composante continue du processus. Si on utilise la
distribution de Dirac, cela revient à prendre pour définition du spectre la transformée
de Fourier suivante :
Pxx (f ) = m2 δ(f ) + T F [Cxc xc (τ )]
(2.11)
Lorsque le signal d’entrée x(t) est T périodique, la densité spectrale de puissance de x(t)
présente des raies à des fréquences multiples de 1/T , généralement d’amplitude décroissante.
Pratiquement, on construit le graphe du spectre de puissance Pxx en fonction de la fréquence
1/T et on y recherche des pics.
Le cas des fonctions quasi-périodiques est plus intéressant. Rappelons qu’il s’agit de
signaux composés de différents éléments oscillants chacun à une pulsation propre et tels que
deux pulsations quelconques ω1 , ω2 ne sont jamais dans un rapport rationnel. Limitonsnous au cas de deux fréquences dans un rapport irrationnel : sur le spectre de puissance, on
2.8. L’application itérative
21
retrouvera des pics aux points d’abscisses mω1 + nω2 . Ces combinaisons forment un ensemble
dense sur les réels positifs dans le cas où le rapport m/n est rationnel. Autrement dit, le
spectre de puissance sera lui aussi dense, avec des maxima aux fréquences de base.
Intéressons-nous à présent aux fonctions présentant du chaos. Sur un attracteur chaotique,
on trouve des trajectoires apériodiques. Nous avons donc affaire à un large spectre fréquentiel
continu et irrégulier, qui peut parfois présenter des pics.
2.8
L’application itérative
Les systèmes dynamiques sont généralement décrits par des équations différentielles et
continues dans le temps, par example l’éq. (2.5) où x = x(t) est le vecteur d’état, représenté
Fig. 2.10. Dans le cas du convertisseur, la variable d’état x représente le courant dans le
condensateur C et la tension de sortie. Un grand nombre de systèmes dynamiques continus
comme celui présenté dans l’éq. (2.5) sont transposables aux applications itératives.
13.2
13
Variable d‘état x
12.8
o
o
12.6
xn x
12.4
o oo o o
o
oo
n+1
o
o
xm
o
o
o o oo oo o
o
o
o
o
o
12
o
o o o o oo o o oo o o oo o o oo o o oo
oo
o
12.2
o
o
oo
o
o
o
o
xm+1
11.8
o
11.6
0.685
0.69
0.695
0.7
0.705
Temps (s)
Figure 2.10 : Le choix de l’application itérative pour une variable d’état.
Tout signal x continu dans le temps peut être échantillonné. Le résultat est une séquence
d’échantillons xm , m = 0, 1, 2, ..., représentant un système discret. Si on détermine la forme
analytique entre xm+1 et xm , on peut considérer que l’on a une application itérative
xm+1 = G(xm )
(2.12)
22
Chapitre 2. La théorie du chaos
Figure 2.11 : Illustration d’une application itérative bi-dimensionnelle.
qui fait la liaison entre deux échantillons consécutifs. La fonction itérative G est calculée à
partir des équations différentielles (2.5) ou des solutions de ces équations.
L’application itérative donne la possibilité de passer d’une dynamique continue complexe (2.5) à une dynamique discrète simplifiée (2.12), en conservant les propriétés globales
du système.
La période d’échantillonnage peut être régulière dans le temps, comme pour l’application
itérative (2.12), nommée application itérative stroboscopique. Pour les convertisseurs Buck,
cette période d’échantillonnage est la période de la dent de scie.
Une autre possibilité de construction d’application itérative xn est la suivante : chaque
échantillon xn représente l’intersection entre ce signal x et un autre quelconque, comme par
exemple un signal constant (Fig. 2.10) ou le signal de dent de scie vr pour le convertisseur
Buck (Fig. 2.2 gauche). L’itération obtenue est :
xn+1 = F (xn )
(2.13)
Les formes analytiques des applications itératives sont difficiles à déterminer, surtout si
la dimension de l’application itérative augmente (Fig. 2.11, exemple d’application itérative
bi-dimensionnelle). Cependant, cet effort est récompensé par la vitesse de simulation du
système itératif.
2.9
Les exposants de Lyapunov
Le chaos est caractérisé par une divergence de deux trajectoires très proches. Cette
propriété est utilisée pour tester la présence du chaos. Nous allons exposer comment calculer
2.9. Les exposants de Lyapunov
23
le taux de divergence entre l’évolution de trajectoires issues de conditions initiales proches
au sein de cet espace borné qu’est l’attracteur.
2.9.1
Les exposants de Lyapunov d’une application itérative
Considérons à nouveau l’application itérative F , qui applique xn sur xn+1 . Choisissons
deux conditions initiales très proches, soient x0 et x0 +²0 et regardons comment se comportent
les trajectoires qui en sont issues. Après N itérations, nous avons F (N ) (x0 ) et F (N ) (x0 + ²0 )
pour les deux valeurs initiales différentes. Donc la séparation de deux trajectoires après N
itérations est
¯
¯
²N = ¯F N (x0 + ²0 ) − F N (x0 )¯
(2.14)
Supposons qu’elles s’écartent en moyenne à un rythme exponentiel, nous en déduisons :
²N
= eλN
²0
On pourra alors trouver un réel λ tel que :
¯
¯
1 ¯¯ F N (x0 + ²0 ) − F N (x0 ) ¯¯
ln
λ=
¯
N ¯
²0
(2.15)
(2.16)
La limite de cette expression quand ²0 → 0 et N → ∞ est appelée exposant de Lyapunov.
Dans la pratique, il n’est en général pas nécessaire de choisir un grand N , parce qu’un surcoût
de simulation n’entraı̂ne qu’une amélioration insignifiante de l’exactitude des calculs.
On peut noter que l’exposant de Lyapunov λ n’est calculé que pour un seul point initial.
Une valeur moyenne de λ peut être obtenue en moyennant les exposants de Lyapunov déduits
de plusieurs points initiaux.
2.9.2
Les exposants de Lyapunov d’une série temporelle
En l’absence d’une forme itérative, les exposants de Lyapunov peuvent être calculés en
considérant la série temporelle x0 , x1 , x2 , ... . Notre objectif est d’observer si deux trajectoires
divergent dans le temps ; pour cela, on sélectionne deux valeurs très proches, xj et xk , dans
la série temporelle. On considère alors simplement les séries temporelles commençant par xj
et xk comme deux trajectoires dans le temps.
La valeur initiale de séparation entre ces deux trajectoires est :
²0 = |xj − xk |
(2.17)
24
Chapitre 2. La théorie du chaos
Considérons un avancement relatif dans le temps à partir du temps initial j et k ; l’écartement
après N itérations est
²N = |xj+N − xk+N |
(2.18)
En appliquant le même raisonnement que pour les exposants de Lyapunov d’une application
itérative, on peut écrire ²N = ²0 eλN . Par conséquent :
λ=
1
²N
ln
N
²0
(2.19)
Il ne faut pas oublier que nous cherchons la valeur moyenne des exposants de Lyapunov.
On va noter λ(xj ), l’exposant de Lyapunov pour chaque xj sélectionné. Ensuite, la valeur
moyenne des exposants de Lyapunov est la valeur moyenne de tous les exposants de Lyapunov
λ(xj ).
Un exposant de Lyapunov positif indique que la divergence entre deux trajectoires voisines
augmente exponentiellement avec le temps. Il s’agit donc bien là d’une caractérisation d’un
attracteur chaotique. Pour une application générale, on peut dès lors résumer la correspondance entre le type de l’attracteur et le signe des exposants de Lyapunov dans le Tableau 2.1.
Tableau 2.1 : Signe de l’exposant de Lyapunov des différents types d’attracteurs.
Type d’attracteur
2.10
Signe de l’exposant de Lyapunov
Point fixe
−
Cycle limite périodique
−
Cycle limite quasi-périodique
0
Attracteur chaotique
+
Conclusion
Ce chapitre fournit les moyens d’appréhender et de reconnaı̂tre un comportement périodique
ou chaotique, qualitativement et quantitativement. Nous avons montré que les systèmes dynamiques chaotiques évoluent à long terme vers des attracteurs étranges ou simples parmi
lesquels le point fixe, le cycle limite et le tore correspondent respectivement à l’état final d’un
système stationnaire, périodique et quasi-périodique.
2.10. Conclusion
25
Nous avons montré également que les systèmes dynamiques non-linéaires pouvaient adopter
des comportements dynamiques complexes, sensibles aux conditions initiales et à la valeur
des paramètres.
Les notions introduites dans ce chapitre vont être utilisées par la suite, pour contrôler
le chaos dans un convertisseur, pour améliorer la compatibilité électromagnétique dans un
convertisseur, et pour générer du chaos dans des systèmes non-linéaires.
Chapitre 3
Le contrôle du chaos dans les
convertisseurs électriques
3.1
Introduction
La possibilité d’effectuer la commande de systèmes non-linéaires chaotiques est au cœur
de nombreuses recherches, depuis plusieurs années. A la suite des travaux fondateurs de E.
Ott, C. Grebogy et J. A. Yorke [50], beaucoup d’efforts ont été consacrés à la résolution du
problème du contrôle du chaos [65] (c’est-à-dire la suppression des régimes chaotiques d’un
système donné) par de petites perturbations des paramètres du système. Ainsi, dans les
systèmes non-linéaires où des fluctuations chaotiques sont présentes mais indésirables, il a
été montré que les orbites périodiques instables des attracteurs chaotiques pouvaient induire
un comportement régulier.
Les lois de commande du type proportionnel intégral dérivée donnent de bons résultats
dans le cas des systèmes linéaires à paramètres constants. Ces lois de commande peuvent
être insuffisantes pour des systèmes non-linéaires [67] car elles ne sont pas robustes, lorsque
les exigences sur les caractéristiques dynamiques du système sont strictes. On doit alors faire
appel à des lois de commande insensibles aux variations de paramètres, aux perturbations et
aux non-linéarités.
Nous avons testé la méthode du premier harmonique [25] [26] [66], utilisée pour analyser
des asservissements comportant un élément non-linéaire et pour prédire certains comportements non-linéaires. Elle permet principalement de prévoir les cycles limites, mais également
28
Chapitre 3. Le contrôle du chaos
les phénomènes de saut, les harmoniques ainsi que les réponses des systèmes non-linéaires
à des entrées sinusoı̈dales. Dans [66], nous appliquons cette méthode pour la prévision des
cycles limites et la détermination de leur amplitude et de leur fréquence.
Une deuxième méthode est la commande à mode glissant [4] [45] ; nous en avons retenu un
cas particulier, la commande par hystérésis, pour sa simplicité théorique et d’implémentation.
Dans ce chapitre, nous prenons comme exemple un convertisseur Boost contrôlé en courant
(voir Fig.2.2 droite - méthode classique). Ce système est chaotique quand le rapport cyclique
est supérieur à 0,5 : nous éliminons alors le chaos en appliquant la commande à mode glissant.
Nous avons ensuite développé une application itérative [45] pour déterminer quelle méthode
donne les meilleurs résultats (pour l’ondulation de la tension de sortie, pour l’ondulation
du courant de l’inductance et la fréquence de commutation) quand la sortie est périodique
(rapport cyclique inférieur ou égal à 0,5).
3.2
Convertisseur Boost : contrôle du courant par la méthode
classique
La Fig.2.2 droite montre le schéma d’un convertisseur Boost contrôlé en courant [9]. Dans
ce circuit, le courant i dans l’inductance L augmente quand S est fermé (ce qui correspond
à l’état on de l’interrupteur commandé). Quand le courant i atteint le courant de référence
Iref , l’interrupteur S s’ouvre. L’état de l’interrupteur S change en fonction des impulsions
d’horloge : s’il est ouvert, la première impulsion d’horloge modifie son état, qui devient fermé ;
s’il est fermé, alors les impulsions d’horloge sont ignorées.
L’évolution des variables i(t) et v(t) pendant l’ouverture de l’interrupteur S est décrite
par les équations différentielles :
L
di
+ v = E,
dt
(3.1)
C
dv
v
+ = i.
dt
R
(3.2)
Dans l’autre cas (pendant la fermeture de l’interrupteur S) l’évolution des variables i(t)
et v(t) est décrite par les équations différentielles :
L
di
= E,
dt
(3.3)
3.2. Convertisseur Boost : contrôle du courant par la méthode classique
29
Figure 3.1 : Trajectoires temporelles chaotiques du courant i(t), de la tension de sortie v(t)
et impulsions d’horloge du convertisseur Boost.
C
v
dv
=− .
dt
R
(3.4)
Les formes chaotiques de la trajectoire temporelle du courant i(t), de la tension de sortie
v(t) et des impulsions d’horloge du convertisseur Boost pour ce type de commande sont
représentées dans la Fig. 3.1.
Pour voir le comportement du convertisseur en fonction de ces paramètres, nous adoptons une modélisation des données sous forme d’applications itératives stroboscopiques : les
variables i(t) et v(t) sont observées à chaque impulsion d’horloge. Le comportement du
convertisseur Boost change en fonction des paramètres de bifurcation suivants : courant de
référence Iref , tension d’entrée E et charge R.
Les Fig. 3.2 et Fig. 3.3 montrent les diagrammes de bifurcation stroboscopiques en fonction
de E (le paramètre de bifurcation) et Iref . Les diagrammes de bifurcation sont déterminés
par la superposition de tous les points in existants à chaque impulsion d’horloge, en éliminant
toutes les valeurs de i(t) qui se trouvent sur les parties linéaires de ce courant. Dans tous les
diagrammes de bifurcation de l’espace paramétrique, nous délimitons des zones dans lesquelles
le comportement qualitatif du système est similaire. Pour certaines des valeurs de la tension
d’entrée E (voir la Fig. 3.2, gauche), le courant de l’inductance i est un signal périodique de
période 1 (E > 1,9 V) ; pour d’autres valeurs de E, une zone avec une période 2 apparaı̂t
(1,8 V < E < 1,9 V). Dans la même figure, nous voyons aussi apparaı̂tre un enchaı̂nement
très rapide de doublements de période qui mène au chaos, quand E est inférieure à 1,8 V.
30
Chapitre 3. Le contrôle du chaos
Une décroissance de E vers 1,9 V fait apparaı̂tre le premier point de bifurcation. Pour cette
valeur de paramètre, le rapport cyclique est 0,5, déterminant l’instabilité du convertisseur.
Les diagrammes de bifurcation montrent qu’une augmentation de Iref élargit le domaine où le
signal périodique est de période 1, ainsi que la zone d’instabilité (qui inclut le comportement
chaotique).
Les effets de Iref sont synthétisés sur la Fig. 3.4, où trois zones sont mises en évidence :
un domaine où le système ne commute pas, une zone de stabilité où i est un signal périodique
de période 1 et, finalement, la zone d’instabilité pour un rapport cyclique supérieur à 0,5.
Les Fig. 3.5 et 3.6 montrent l’influence du paramètre R sur les diagrammes de bifurcation :
l’augmentation de de Iref diminue le domaine où le signal périodique est de période 1. La
Fig. 3.7 montre la délimitation de ces trois zones en fonction de la charge.
Le but de ce chapitre est de concevoir une commande assurant un courant i périodique
de période 1, quelle que soit la valeur de Iref . La zone d’instabilité aura ainsi été éliminée et
la zone de stabilité élargie.
Figure 3.2 : Figure de gauche : Le diagramme de bifurcation en fonction du paramètre de
bifurcation E pour Iref = 4 A et R = 2 Ω. Figure de droite : Le diagramme de bifurcation en
fonction du paramètre de bifurcation E pour Iref = 6 A et R = 2 Ω.
3.3. Convertisseur Boost : contrôle du courant par la commande à mode glissant
31
Figure 3.3 : Figure de gauche : Le diagramme de bifurcation en fonction du paramètre de
bifurcation E pour Iref = 8 A et R = 2 Ω. Figure de droite : Le diagramme de bifurcation en
fonction du paramètre de bifurcation E pour Iref = 10 A et R = 2 Ω.
20
18
16
14
Système sans commutations
E (V)
12
10
Système stable
8
δ=0
6
δ = 0.5
4
2
0
Système instable
3
4
5
6
ref
I
(A)
7
8
9
10
Figure 3.4 : Les zones de fonctionnement du convertisseur Boost en fonction de Iref et du
paramètres de bifurcation E, en gardant la valeur de la charge constante R = 2 Ω.
3.3
Convertisseur Boost : contrôle du courant par la commande à mode glissant
Les lois de commande classiques du type proportionnel intégral dérivée donnent des bons
résultats dans le cas des systèmes linéaires à paramètres constants. Pour des systèmes nonlinéaires ou ayant des paramètres non constants, ces lois de commande classiques peuvent
être insuffisantes car elles ne sont pas robustes, surtout lorsque les exigences sur la précision
et d’autres caractéristiques dynamiques du système sont strictes. On doit alors faire appel
32
Chapitre 3. Le contrôle du chaos
Figure 3.5 : Figure de gauche : Le diagramme de bifurcation en fonction du paramètre de
bifurcation R pour Iref = 4 A et E = 5 V. Figure de droite : Le diagramme de bifurcation en
fonction du paramètre de bifurcation R pour Iref = 6 A et E = 5 V.
Figure 3.6 : Figure de gauche : Le diagramme de bifurcation en fonction du paramètre de
bifurcation R pour Iref = 8 A et E = 5 V. Figure de droite : Le diagramme de bifurcation en
fonction du paramètre de bifurcation R pour Iref = 10 A et E = 5 V.
à des lois de commande insensibles aux variations de paramètres, aux perturbations et aux
non-linéarités. Les lois de commande dites à structure variable constituent une bonne solution à ces problèmes. La commande à structure variable est par nature une commande
non-linéaire. La caractéristique principale des systèmes à structure variable est que leur loi
de commande se modifie d’une manière discontinue [65]. Les commutations de la commande
s’effectuent en fonction des variables d’état, utilisées pour créer une variété ou hypersurface
dite de glissement dont le but est de forcer la dynamique du système à correspondre avec celle
3.3. Convertisseur Boost : contrôle du courant par la commande à mode glissant
33
12
10
Système instable
R (Ω)
8
6
4
Système stable
δ = 0.5
2
δ=0
Système sans commutations
0
3
4
5
6
Iref (A)
7
8
9
10
Figure 3.7 : Les zones de fonctionnement du convertisseur Boost en fonction de Iref et du
paramètres de bifurcation R, avec E = 5 V.
définie par l’équation de l’hypersurface. Quand l’état est maintenu sur cette hypersurface,
le système est dit en régime glissant. Ainsi, tant que les conditions de glissement sont assurées, la dynamique du système reste insensible aux variations des paramètres du processus,
aux erreurs de modélisation (dans une gamme qui reste plus large que celle des approches
classiques de l’automatique) et à certaines perturbations. Ce type de commande présente
plusieurs avantages tels que robustesse, précision importante, stabilité et simplicité, temps de
réponse très faible. Ceci lui permet d’être particulièrement adaptée pour traiter les systèmes
qui ont des modèles mal connus, soit à cause de problèmes d’identifications des paramètres,
soit à cause de simplification sur le modèle du système.
Les systèmes de commande à structure variable sont modélisés par des équations différentielles
présentant des discontinuités, (dans le second membre), du fait de la commutation de la commande.
Les modèles considérés [74] dans ce mémoire sont définis par des équations différentielles
de la forme :
ẋ(t) = A(x, t) + B(x, t)u(t),
(3.5)
où x ∈ Rn est le vecteur d’état, x = (x1 , x2 , . . . , xn ) et u ∈ Rm est le vecteur de commande dont chaque composante ui (i = 1, ..., m) (n > m) est une fonction présentant des
34
Chapitre 3. Le contrôle du chaos
discontinuités. Chaque ui est définie comme :


ui (x) = ui0 pour si (x) > 0

u (x) = −u
i
i0
pour si (x) < 0
(3.6)
i = 1, 2, ..., m.
où ui (x) = ui0 sign(si (x)) pour i = 1, 2, ..., m.
La structure de commande est caractérisée par le signe d’une fonction vectorielle s(x) appelée fonction de commutation. Dans le cas de modèles linéaires, la fonction de commutation
est choisie comme une fonction linéaire de l’état :
0
s(x) = [s1 (x) s2 (x) ... sm (x)] .
(3.7)
Chaque fonction scalaire de commutation sj (x)=sj (x1 , x2 , . . . , xn ) décrit une surface linéaire
sj (x)=0. La surface de commutation associée au système (3.5) défini précédemment :
Sj = {x ∈ Rn : sj (x) = 0}
j = 1, 2, ... , m.
(3.8)
représente une contrainte appelée hypersurface de glissement. Dans le cas de surfaces de
commutation linéaires, il est facile d’induire les conclusions suivantes : il existe m hypersurfaces de commutation Sj , donc m contraintes, et l’intersection de toutes ces m hypersurfaces
de commutation détermine une hypersurface de commutation unique. Cette hypersurface de
commutation unique représente la somme de toutes les contraintes m.
S=
m
\
j=1
Sj =
m
\
j=1
m
X
{x ∈ R : sj (x) = 0} =
{contraintes j}.
n
(3.9)
j=1
Si, pour tout vecteur d’état initial x(t0 ) ∈ S, la trajectoire d’état reste dans l’hypersurface
S (x(t) ∈ S, ∀t > t0 ) alors x(t) est un mode glissant pour le système.
Si tout point de S est tel qu’il existe des trajectoires d’état hors de S le contenant, alors
la surface de commutation S est appelée surface de glissement.
Le but d’un système de commande à structure variable est d’amener asymptotiquement
l’état du système à partir d’une condition initiale quelconque x(0) = x0 vers l’origine de
l’espace d’état quand t → ∞. Nous considérons le mode de glissement comme définissant
exclusivement le mouvement dans l’hypersurface S, intersection de toutes les surfaces de
commutation. Ce mode de glissement est souvent qualifié d’idéal du fait qu’il requiert une
fréquence de commutation infiniment grande pour exister. De fait, tout système de commande
3.3. Convertisseur Boost : contrôle du courant par la commande à mode glissant
35
Figure 3.8 : Phénomène de chattering [74].
comprend des imperfections telles que retards ou hystérésis qui imposent une fréquence de
commutation finie. La trajectoire d’état oscille alors dans un voisinage de la surface de
glissement, phénomène appelé chattering, comme sur la Fig. 3.8.
Afin d’illustrer la commande à mode glissant, prenons comme exemple le modèle du
second ordre défini dans [1] par les équations d’état :


ẋ1 (t) = x2 (t)

ẋ (t) = −x + 2 · x (t) + u(t),
2
1
2
(3.10)
où u(t) = −kx1 et


k = 4

k = −4
s(x1 , x2 ) > 0
(3.11)
s(x1 , x2 ) < 0,
La fonction de commutation s(x1 , x2 ) est définie par la forme quadratique :
s(x1 , x2 ) = x1 (0, 5x1 + x2 ).
(3.12)
Dans le plan de phase, la fonction s(x1 , x2 ) correspond à deux droites divisant le plan en
des régions où le signe de cette fonction change. La fonction s(x1 , x2 ) est appelée fonction de
commutation, alors que l’ensemble des points dans le plan de phase tels que s(x1 , x2 )=0 est
appelé surface de commutation. La loi de commande (ici un gain de retour d’état) commute
donc pour chaque traversée de la surface de commutation ; le système commandé est ainsi
défini analytiquement par deux modèles différents dans deux régions du plan de phase. Le
36
Chapitre 3. Le contrôle du chaos
Figure 3.9 : Le plan des phases avec la commande à mode glissant [1].
premier modèle est donné par les équations d’état linéaires suivantes :


ẋ1 (t) = x2 (t)
Région I :

ẋ (t) = −5x + 2x (t).
2
1
2
Le deuxième modèle est donné par les équations d’état linéaires suivantes :


ẋ1 (t) = x2 (t)
Région II :

ẋ (t) = 3x + 2x (t).
2
1
2
(3.13)
(3.14)
La région I est définie [1] par s(x1 , x2 ) > 0, alors que la région II est définie par s(x1 , x2 ) <
0. Si l’on désire étudier maintenant les trajectoires de phase du système global, il est nécessaire
d’ajouter l’étude de la trajectoire du système sur la surface de glissement à celle dans chacune
des régions I et II :
s(x1 , x2 ) = x1 (0, 5x1 + x2 ) = 0.
(3.15)
La droite x1 = 0 correspond à une frontière où les trajectoires d’allure différentes se
joignent, alors que la droite 0, 5x1 + x2 = 0, 5x1 + ẋ1 = 0 décrit une trajectoire de phase particulière comme sur la Fig. 3.9. Quand la dynamique du système est décrite de cette manière,
on dit qu’il est en mode glissant. En effet, l’installation du cycle limite est régie par quatre
équations différentielles linéaires qui se succèdent, mais dont les instants de commutation
sont définis par une condition sur le vecteur d’état.
Lorsque la trajectoire de phase reste sur la surface S(x), le système est dit en régime
glissant limite, jusqu’à ce qu’il arrive à un état d’équilibre. Ce mode de fonctionnement
3.3. Convertisseur Boost : contrôle du courant par la commande à mode glissant
37
correspond à celui d’un relais commutant à une fréquence infinie. Une fréquence d’oscillation
infinie suppose des éléments de commutation idéaux (relais sans seuil, ni hystérésis, ni retard
de commutation), ce qui n’est pas le cas en pratique. En présence d’imperfections (hystérésis,
retard) la fréquence de commutation devient alors finie, l’oscillation autour de S aura une
amplitude d’autant plus grande et une fréquence d’autant plus basse que ces imperfections
seront importantes.
La théorie de la commande en régime glissant est a priori bien adaptée à la commande
des convertisseurs, car elle tient compte de la nature discrète de ces dispositifs. En outre,
cette approche permet de traiter des systèmes multivariables, tout en garantissant une grande
robustesse aux variations paramétriques. Enfin, elle procure d’excellentes performances dynamiques. Pour toutes ces raisons, nous avons choisi d’appliquer ces techniques aux convertisseurs.
La commande à mode glissant (sliding mode control) est adaptée aux systèmes à structure
variable ou à ceux constitués de sous-systèmes comportant une logique de commutation (on
parle alors d’une commande discontinue), comme les systèmes d’électronique de puissance.
La commande à mode glissant a été introduite [65] pour des convertisseurs triphasés, des
commandes de moteurs et dans d’autres applications d’électronique de puissance.
Comme les convertisseurs de puissance sont peu sensibles aux variations de leurs paramètres,
nous allons étudier la commande discontinue pour un convertisseur Boost (représenté sur la
Fig. 3.10), dans le but d’éliminer le chaos. Pour ce type de commande, le comportement
dynamique des variables d’état est imposé par les commutations du système : les trajectoires
du système sont dirigées vers une surface dans l’espace d’état et y sont maintenues grâce
aux commutations. La commande à mode glissant peut être représentée avec une surface de
commutation (une hypersurface de l’espace d’état) le long de laquelle l’action d’état doit être
contrainte.
La Fig. 3.10 montre le schéma d’un convertisseur Boost contrôlé en courant, dont les
paramètres sont : L = 50 µH, C = 725 µF, R = 2 Ω, T = 400 µs et E = 5 V. Le modèle
du convertisseur peut être écrit à partir des équations (3.1) (3.2) (3.3) (3.4) sous une forme
restreinte :
1
E
di
= −(1 − δ) v + ,
dt
L
L
(3.16)
38
Chapitre 3. Le contrôle du chaos
Figure 3.10 : Le convertisseur Boost contrôlé en courant avec la commande à mode glissant
(le correcteur à hystérésis).
dv
1
1
= (1 − δ) i −
v.
dt
C
RC
(3.17)
La droite de commutation est donnée par la relation suivante :
s(i) = i − I ∗ .
(3.18)
où I ∗ est la valeur voulue du courant i. La trajectoire dans l’espace d’état est orientée vers
la surface de commutation
s(i) = 0
ou
i = I ∗.
(3.19)
Le correcteur avec la commande à mode glissant a un caractère discontinu et ne possède que
deux valeurs, 0 et 1. Nous pouvons l’écrire sous la forme :


0,
s(i) >0
δ=

1,
s(i) ≤0
(3.20)
La condition d’existence du mode glissant est :
s · ṡ < 0
(3.21)
d’ou
µ
∗
(i − I )
v
E
− (1 − u)
L
L
¶
<0
(3.22)
3.3. Convertisseur Boost : contrôle du courant par la commande à mode glissant
39
Cette relation peut être réduite à une forme plus simple :
v > E.
(3.23)
Cette condition (3.23) signifie que le mode glissant peut être obtenu, aussi longtemps que
la tension de sortie v est supérieure à E (condition essentielle pour un convertisseur Boost).
Dans la procédure de régularisation, il faut prendre en compte les imperfections des composants en commutation. C’est la raison pour laquelle on a introduit un hystérésis h dans
l’implémentation du relais. On peut calculer les valeurs limites du courant i :


Imax = I ∗ + h,

I
min
(3.24)
= I ∗ − h.
Une simulation de la trajectoire dans le plan de phase conduit à la Fig. 3.11 gauche. Après
une période transitoire, le système atteint le cycle limite, donc un mouvement périodique
représenté sur la Fig. 3.11 droite.
Figure 3.11 : Trajectoire de phase du convertisseur Boost présentant un comportement
périodique avec la commande à mode glissant (E = 1,5 V; R = 2 Ω, Imax = 6 A, Imin = 5 A).
La différence entre les deux méthodes - commande classique et commande à mode glissant - est la réaction. Afin de montrer l’efficacité de la commande à mode glissant, faisons
fonctionner le convertisseur Boost dans la zone du chaos avec la commande classique, avec
E = 1,5 V et R = 2 Ω. Sur la Fig. 3.12, nous avons représenté la réponse du courant i(t) dans
les conditions énoncées. Pour t ≥ 12ms, le convertisseur Boost est forcé de fonctionner sur
un cycle limite utilisant une commande à mode glissant.
40
Chapitre 3. Le contrôle du chaos
6
Courant i(A)
5.5
5
4.5
4
0.01
0.0105
0.011
0.0115
0.012
0.0125
0.013
Temps t(s)
Figure 3.12 : Trajectoire temporelle du courant i(t) dans l’inductance L : comportement
chaotique du convertisseur Boost (t < 12ms) avec la méthode classique et comportement
périodique (t ≥ 12ms) avec la commande à mode glissant (E = 1,5 V; R = 2 Ω).
La Fig. 3.13 montre la disparition de la zone d’instabilité : la zone de stabilité est élargie.
Nous éliminons alors le chaos en appliquant la commande à mode glissant.
20
12
18
16
10
Système sans commutations
14
8
R (Ω)
E (V)
12
10
8
Système stable
6
Système stable
4
δ=0
6
4
2
2
δ=0
Système sans commutations
0
3
4
5
6
Iref (A)
7
8
9
10
0
3
4
5
6
Iref (A)
7
8
9
10
Figure 3.13 : Zones de fonctionnement du convertisseur Boost avec la commande à mode
glissant en fonction de E et Iref , avec R = 2 Ω (figure de gauche) puis en fonction de R et
Iref avec E = 5 V (figure de droite).
3.4
Application itérative de la méthode classique
Nous avons ensuite développé une application itérative pour déterminer quelle méthode
donne les meilleurs résultats (pour l’ondulation de la tension de sortie, l’ondulation du courant
et la fréquence de commutation) quand la sortie est périodique (c’est-à-dire dans la zone de
3.4. Application itérative de la méthode classique
41
stabilité). La Fig. 3.14 représente la réponse temporelle du convertisseur Boost fonctionnant
dans la zone stable. Nous y avons mis en évidence les deux états on et off de l’interrupteur
commandé S, mais aussi les valeurs de la tension de sortie (vn et vn+1 ) et du courant (in
et in+1 ), nécessaires pour calculer l’ondulation de la tension de sortie ∆v, l’ondulation du
courant ∆i et la fréquence de commutation f . La réponse (Fig. 3.14) est synchronisée sur
l’horloge de période T , avec
tn+1 + tn = T,
(3.25)
ce qui impose une fréquence de commutation fixe
f=
1
.
T
(3.26)
Figure 3.14 : Trajectoires temporelles du courant i(t), de la tension de sortie v(t) et
impulsions d’horloge du convertisseur Boost (période T - méthode classique).
On peut alors déduire le temps de fermeture de l’interrupteur S :
tn+1 = T − tn .
(3.27)
La réponse périodique de la méthode classique impose i(0) = in = Iref , v(0) = vn et
t(0) = 0 pour calculer l’application itérative. Les solutions du système (3.1) (3.2) sont alors :
!
#
"
Ã
Iref − E
k(vn − E)
−kt
R
−
sin(ωt) ,
(3.28)
v(t) = E + e
(vn − E) cos(ωt) +
ωC
ω
E
i(t) =
+ e−kt
R
"µ
Ã
¶
Iref −
E
Iref −
cos(ωt) + k
R
ω
E
R
vn − E
−
ωL
!
#
sin(ωt) .
(3.29)
42
Chapitre 3. Le contrôle du chaos
avec k =
1
2RC
q
et ω =
1
LC
− k 2 . Sachant que les valeurs finales sur cet intervalle de temps
sont v(tn ) = vn+1 , i(tn ) = in+1 et in = Iref , nous les déterminons à partir des éq. (3.28)
et (3.29) :
"
Ã
vn+1 = E + e−ktn (vn − E) cos(ωtn ) +
in+1
E
=
+ e−ktn
R
Iref −
ωC
E
R
k(vn − E)
−
ω
Ã
"µ
¶
Iref −
E
cos(ωtn ) + k
Iref −
R
ω
E
R
!
vn − E
−
ωL
#
sin(ωtn ) ,
!
(3.30)
#
sin(ωtn ) .
(3.31)
Posons v(tn+1 ) = vn+2 , i(tn+1 ) = in+2 et in+2 = Iref , comme sur la Fig. 3.14. Si l’on
choisit les conditions initiales i(0) = in = Iref , v(0) = vn , nous pouvons exprimer le temps
de fermeture de l’interrupteur S, à partir de l’éq. (3.3) :
tn+1 =
(Iref − in+1 ) L
.
E
(3.32)
Explicitons le courant :
in+1 = Iref −
E(T − tn+1 )
.
L
(3.33)
L’éq. (3.4) donne :
vn+2 = vn+1 e−2ktn+1 = vn+1 e−2k(T −tn ) .
(3.34)
La réponse périodique du convertisseur fait que vn+2 = vn , alors :
vn+1 = vn e2k(T −tn ) .
Remplacer l’expression du courant in+1 (3.33) dans l’éq. (3.31) donne :
"µ
¶
E(T − tn )
E
E
−ktn
Iref −
=
+ e
Iref −
cos(ωtn ) +
L
R
R
!
#
Ã
Iref − E
vn − E
R
−
sin(ωtn ) ,
+ k
ω
ωL
(3.35)
(3.36)
Explicitons vn en fonction de tn seul :
µ
¶
µ
¶
E
E
vn = E + kL Iref −
+ ωL Iref −
cotan(ωtn ) −
R
R
µ
¶
E
ektn
ω(T − tn )E ktn
ωL Iref −
+
e . (3.37)
R sin (ωtn )
sin (ωtn )
3.4. Application itérative de la méthode classique
43
L’ondulation de la tension de sortie ∆v a l’expression :
³
´
∆v = vn+1 − vn = vn e2k(T −tn ) − 1 .
(3.38)
En utilisant la notation
γ1 = Iref −
E
,
R
(3.39)
nous déterminons ∆v à partir des éq. (3.38) et (3.37)
"
³
´
∆v = e2k(T −tn ) − 1 E + γ1 (kL + ωL cotan(ωtn )) −
#
ωektn
(γ1 L − (T − tn )E) .
sin (ωtn )
(3.40)
L’ondulation du courant ∆i a une expression plus simple :
∆i = in+2 − in+1 = Iref − in+1 =
E(T − tn )
.
L
(3.41)
Les ondulations de la tension de sortie ∆v et du courant ∆i sont exprimées en fonction
de l’intervalle de temps tn . Ce temps est identifié en remplacant la tension de sortie vn+1 de
l’éq. (3.35) dans l’éq. (3.30)
vn e
2k(T −tn )
=E+e
−ktn
¶
¸
·
µ
k(vn − E)
γ1
−
sin(ωtn ) .
(vn − E) cos(ωtn ) +
ωC
ω
(3.42)
On obtient alors l’expression :
³
´
³
´
³
´
γ1 kL e2k(T −tn ) − 1 + γ1 ωL e2k(T −tn ) + 1 cotan(ωtn ) + E e2k(T −tn ) − 1 −
´ ω(T − t )E ³
´
γ1 ωL ³ k(2T −tn )
n
e
+ e−ktn +
ek(2T −tn ) − cos(ωtn ) + kE(T − tn ) = 0.
sin(ωtn )
sin(ωtn )
(3.43)
Pour un convertisseur Boost commandé en courant avec la méthode classique (qui fonctionne pour un rapport cyclique δ inférieur à 0,5) avec la tension d’entrée E, l’inductance
L, la capacité C, une charge R, un courant de référence Iref et la période d’horloge T ,
nous déterminons un temps tn avec la relation (3.43). Une fois déterminé l’intervalle de
temps tn , les ondulations de la tension de sortie ∆v et celles du courant ∆i sont obtenues
avec l’éq. (3.40) et l’éq. (3.41) respectivement. La fréquence de commutation est égale à la
fréquence d’horloge T .
44
Chapitre 3. Le contrôle du chaos
Un autre cas quand la sortie du convertisseur est périodique est le cas particulier E =
2, 5V, Iref = 6A, R = 2Ω représenté sur la Fig. 3.2 droite où E = 5V, Iref = 6A, R = 5Ω
sur la Fig. 3.5 droite. La réponse représentée sur la Fig. 3.15 est de fréquence 2T , double
que la fréquence d’horloge. Le courant i atteint la valeur Iref simultanément à une impulsion
d’horloge, ce qui détermine l’intervalle tn+1 (égal à T ). i décroit ensuite jusqu’à l’apparition
de la prochaine impulsion d’horloge. tn est donc aussi égal à T :
tn = tn+1 = T.
(3.44)
Figure 3.15 : Trajectoires temporelles du courant i(t) et de la tension de sortie v(t) et
impulsions d’horloge du convertisseur Boost (période 2T - cas particulier de la méthode
classique).
La fréquence de commutation est
f=
1
.
2T
(3.45)
Pour une période de 2T (l’éq. (3.40)) et un intervalle de temps tn+1 fixe (l’éq. (3.44)), on
identifie le courant in+1 (l’éq. (3.33)). Donc :
in+1 = Iref −
ET
.
L
(3.46)
L’ondulation du courant a l’expression :
∆i = Iref − in+1 =
ET
.
L
(3.47)
3.5. Application itérative de la commande à mode glissant
45
Sachant que tn est donné par l’éq. (3.44), en remplaçant in+1 de l’éq. (3.46) dans l’éq. (3.31)
on obtient :
Iref
·
µ
¶
¸
E
γ1 vn − E
ET
−kT
=
+e
γ1 cos(ωT ) + k −
sin(ωT ) .
−
L
R
ω
ωL
(3.48)
Identifions la tension de sortie vn :
· µ
¶
¸
¶
µ
k
ωL
E
ET
kT
γ1 cos (ωT ) + sin (ωT ) +
e
,
vn =
sin (ωT ) − γ1 −
sin (ωT )
ω
ωL
L
(3.49)
ou sur la forme simplifiée :
ωLekT
vn = E + γ1 kL + γ1 ωL cotan(ωT ) −
sin (ωT )
µ
¶
ET
γ1 −
.
L
(3.50)
Pour une période de 2T (éq. (3.40)) et un intervalle de temps tn fixe (éq. (3.44)), l’éq. (3.35)
devient :
vn+1 = vn e2kT .
(3.51)
L’ondulation de la tension de sortie ∆v a pour expression :
µ
¶¸
·
ET
ωLekT
2kT
γ1 −
.
∆v = (e
− 1) E + γ1 kL + γ1 ωL cotan(ωT ) −
sin (ωT )
L
3.5
(3.52)
Application itérative de la commande à mode glissant
La Fig. 3.16 représente la réponse temporelle du convertisseur Boost où nous avons mis en
évidence l’état on (de durée tn+1 ) et l’état of f (de durée tn ) de l’interrupteur commandé S. Le
contrôle du courant se fait avec la commande à mode glissant, qui impose le contrainte (3.19).
Le courant commute entre Imax et Imin , donc cette ondulation est donnée par la largeur
constante de l’hystérésis h :
∆i = in+2 − in+1 = Imax − Imin = h.
(3.53)
Pendant l’état of f , le courant i est décrit par l’éq. (3.29), où Iref doit être remplacé par
Imin . En prenant i(tn+1 ) = in+1 = Imin , on détermine la valeur finale du courant i avec la
relation :
Imin
E
+ e−ktn
=
R
"µ
Ã
¶
Imax −
E
Imax −
cos(ωtn ) + k
R
ω
E
R
vn − E
−
ωL
!
#
sin(ωtn ) ,
(3.54)
46
Chapitre 3. Le contrôle du chaos
Figure 3.16 : Trajectoires temporelles du courant i(t) et de la tension de sortie v(t) du
convertisseur Boost (commande à mode glissant).
À partir de cette relation, nous explicitons la valeur de la tension de sortie vn :
µ
¶
µ
¶
µ
¶
E
E
E
ektn
vn = E + kL Imax −
+ ωL Imax −
cotan(ωtn ) − ωL Imin −
(. 3.55)
R
R
R sin (ωtn )
L’éq. (3.28) avec la valeur finale de la tension de sortie v(tn ) = vn+1 et la valeur initiale
du courant in = Imax donne l’expression :
"
vn+1 = E + e−ktn (vn − E) cos(ωtn ) +
Ã
Imax −
ωC
E
R
k(vn − E)
−
ω
!
#
sin(ωtn ) ,
(3.56)
Pendant l’état on, les éq. (3.3) et (3.4) sont valables. Sur cet intervalle, i(tn+1 ) = in+2 =
Imax .
L’éq. (3.3) permet de déterminer la durée de cet état, sachant que le courant i varie entre
Imax et Imin .
tn+1 =
(Imax − Imin ) L
.
E
(3.57)
En remplacant l’expression (3.57) dans l’éq. (3.4), nous obtenons la valeur finale de la
tension de sortie vn+2 :
vn+2 = vn+1 e−2ktn+1 = vn+1 e−2kL
(Imax −Imin )
E
.
(3.58)
Pour une écriture simplifiée, on utilise les notations :
a=
2kL
(Imax − Imin ) ,
E
(3.59)
3.5. Application itérative de la commande à mode glissant
47
γ2 = Imax −
E
,
R
(3.60)
γ3 = Imin −
E
.
R
(3.61)
Après un état on et un état off, la tension de sortie v et le courant i sont périodiques,
donc v(tn+1 ) = vn+2 = vn . Ceci permet d’écrire :
vn+1 = vn ea .
(3.62)
L’ondulation ∆v a pour expression :
∆v = vn+1 − vn = vn (ea − 1) .
Ecrivons cette ondulation en fonction du temps tn :
"
µ
¶
µ
¶
E
E
a
∆v = (e − 1) E + kL Imax −
+ ωL Imax −
cotan(ωtn ) −
R
R
#
µ
¶
E
ektn
−ωL Imin −
.
R sin (ωtn )
(3.63)
(3.64)
La forme simplifiée est :
·
¸
ektn
∆v = (e − 1) E + kL · γ2 + ωL · RIEmax cot(ωtn ) − ωL · γ3
.
sin (ωtn )
a
(3.65)
La fréquence de commutation f est :
f=
1
1
=
,
T
tn + tn+1
(3.66)
ou sur la forme explicite
f=
1
tn +
L(Imax −Imin )
E
.
(3.67)
Les ondulations de la tension de sortie ∆v et la fréquence de commutation f sont calculées
en fonction de l’intervalle de temps tn . Ce temps reste à identifier. En remplacant la tension
de sortie vn+1 de l’éq. (3.62) dans l’éq. (3.56), nous obtenons une relation entre vn et tn :
"
Ã
!
#
Imax − E
k(vn − E)
a
−ktn
R
vn e = E + e
(vn − E) cos(ωtn ) +
−
sin(ωtn ) .
(3.68)
ωC
ω
48
Chapitre 3. Le contrôle du chaos
À partir de l’expression (3.55), on détermine
kL (γ2 ea − γ3 ) + ωL (γ2 ea + γ3 ) cotan(ωtn ) +
³
´ ωL
+E (ea − 1) − γ3 ektn ea + γ2 e−ktn
= 0.
sin(ωtn )
(3.69)
La relation (3.69) permet de déterminer la durée tn de l’état off pour un convertisseur
Boost avec une commande à mode glissant, si l’on connaı̂t la tension d’entrée E, l’inductance
L, la capacité C, la charge R et les limites de variation du courant Imax et Imin . Une fois
déterminé l’intervalle de temps tn , les ondulations de la tension de sortie ∆v et la fréquence
de commutation f sont obtenues avec l’éq. (3.65) et l’éq. (3.67) respectivement.
3.6
Comparaison entre les deux méthodes
Pour savoir quelle méthode apporte de meilleurs résultats (les plus faibles ondulations de
la tension de sortie ∆v et du courant ∆i et, si possible, à la fréquence f la plus élevée), nous
allons effectuer simultanément des simulations avec les équations (3.40) (3.41) (3.47) (3.52)
(méthode classique) et (3.65) (3.67) (commande à mode glissant).
Sur les Fig. 3.17 et 3.18 sont représentées les ondulations ∆v en fonction du paramètre
E, en gardant la charge R constante et pour différentes valeurs du courant de référence Iref .
∆v sont représentés en trait fort pour la commande classique et par des cercles pour les cas
particuliers. Les ondulations de la tension de sortie ∆v sont représentées en trait fins pour
la commande à mode glissant, pour trois valeurs d’hystérésis h = 1 A, 1,5 A et 2 A.
Si l’hystérésis décroit, les ondulations de la tension de sortie v diminue (pour la commande
à mode glissant).
Une valeur croissante de la référence du courant Iref détermine une augmentation de ∆v
avec la méthode classique. Cette conlusion est également valable pour les cas particuliers.
En général, les ondulations ∆v de la tension de sortie v du convertisseur Boost avec la
méthode classique sont plus petites pour des valeurs basses du courant de référence Iref . Si
ce courant est grand, la commande à mode glissant donne de faibles ondulations ∆v si la
valeur de l’hystérésis est faible.
Sur la Fig. 3.19 sont représentées les ondulations ∆i en pointillés pour la commande à
mode glissant et avec un trait fort pour la méthode classique. ∆i diminue si l’hystérésis est
petit et pour des valeurs basses du courant de référence Iref . Si les valeurs de l’hystérésis
3.6. Comparaison entre les deux méthodes
49
0.11
0.14
0.1
0.12
0.09
h=2A
0.1
∆Uc (V)
∆Uc (V)
0.08
0.07
h = 1.5 A
0.08
h=2A
0.06
h = 1.5 A
0.06
0.05
h=1A
h=1A
0.04
0.04
0.03
0
1
2
3
4
0.02
2
5
E (V)
3
4
5
E (V)
6
7
8
9
Figure 3.17 : Les ondulations ∆v de la tension de sortie v du convertisseur Boost avec la
méthode classique (traits forts - cas particulier cerclé) et la commande à mode glissant (traits
fins) pour R = 2 Ω (Iref = 4 A pour la figure de gauche et Iref = 6 A pour la figure de droite).
0.25
0.2
0.18
0.2
0.16
∆Uc (V)
∆Uc (V)
0.14
0.12
0.15
0.1
0.1
h=2A
0.08
0.06
h = 1.5 A
0.05
h=1A
h=1A
0.04
0
h=2A
h = 1.5 A
2
4
6
8
E (V)
10
12
14
0
2
4
6
8
E (V)
10
12
14
16
18
Figure 3.18 : Les ondulations ∆v de la tension de sortie v du convertisseur Boost avec la
méthode classique (traits forts - cas particulier cerclé) et la commande à mode glissant (traits
fins) pour R = 2 Ω (Iref = 8 A pour la figure de gauche et Iref = 10 A pour la figure de droite).
h et du courant de référence Iref sont élevées, alors les ondulations ∆i les plus faibles sont
obtenues avec une méthode ou l’autre, en fonction du domaine de variation du paramètre E.
Sur les Fig. 3.20 et 3.21 sont représentées les ondulation ∆v en fonction de la charge R,
en gardant la tension d’entrée E constante et pour différentes valeurs du courant de référence
Iref . Nous arrivons à la même conclusion que précédemment : si l’hystérésis est petit, les
ondulations de la tension de sortie v sont petites ; l’utilisation de la commande à mode
glissant est souhaitée. Pour de grandes valeurs de h, il est possible d’observer la supériorité
de la méthode classique, indépendamment du courant de référence Iref . Entre ces deux cas,
50
Chapitre 3. Le contrôle du chaos
3.5
3
∆i (A)
2.5
h=2A
2
h = 1.5 A
1.5
h=1A
1
Iref = 4 A
0.5
0
2
I
ref
4
6
=6A
8
I
ref
10
Iref = 10 A
=8A
12
14
16
18
E (V)
Figure 3.19 : Les ondulations ∆i du convertisseur Boost avec la méthode classique (traits
forts - cas particulier cerclé) et la commande à mode glissant (pointillés) pour R = 2 Ω.
les ondulations ∆i les plus petites sont obtenues avec une méthode ou l’autre, en fonction du
domaine de variation de la charge R. Les mêmes résultats sont obtenus pour les ondulations
∆i representées sur la Fig. 3.22.
Comme on peut le voir sur les Fig. 3.20, 3.21 et 3.22, le cas particulier de la méthode
classique ne donne pas de bons résultats du point de vue de l’ondulation ∆v, ni même du
point de vue des ondulations ∆i.
0.08
0.12
0.11
0.07
0.1
0.06
∆Uc (V)
∆Uc (V)
0.09
0.05
0.04
h=2A
0.03
0.07
h=2A
0.06
h = 1.5 A
h = 1.5 A
0.05
h=1A
0.02
0.08
0.04
h=1A
0.01
2
0.03
3
4
5
6
7
R (Ω)
8
9
10
11
1.5
2
2.5
3
3.5
R (Ω)
4
4.5
5
5.5
Figure 3.20 : Les ondulations ∆v de la tension de sortie v du convertisseur Boost avec la
méthode classique (traits forts - cas particulier cerclé) et la commande à mode glissant (traits
fins) pour E = 5 V (Iref = 4 A pour la figure de gauche et Iref = 6 A pour la figure de droite).
La fréquence de commutation pour la méthode classique a une valeur constante de 25 kHz
et, pour le cas particulier de cette méthode, la fréquence est réduite de moitié. Ces fréquences
sont représentées sur les Fig. 3.23 3.24 en traits forts. Pour la commande à mode glissant,
3.6. Comparaison entre les deux méthodes
51
0.22
0.16
0.2
0.18
0.14
0.1
∆Uc (V)
∆Uc (V)
0.16
0.12
h=2A
0.14
0.12
0.1
0.08
h = 1.5 A
h = 1.5 A
0.08
0.06
1.5
2
2.5
R (Ω)
3
h=1A
0.06
h=1A
0.04
h=2A
0.04
3.5
1.4
1.6
1.8
2
2.2
2.4
2.6
2.8
3
R (Ω)
Figure 3.21 : Les ondulations ∆v de la tension de sortie v du convertisseur Boost avec la
méthode classique (traits forts - cas particulier cerclé) et la commande à mode glissant (traits
fins) pour E = 5 V (Iref = 8 A pour la figure de gauche et Iref = 10 A pour la figure de droite).
4.5
4
3.5
∆i (A)
3
2.5
2
Iref = 10 A
Iref = 4 A
Iref = 6 A
Iref = 8 A
h=2A
h = 1.5 A
1.5
h=1A
1
0.5
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
R (Ω)
Figure 3.22 : Les ondulations ∆i du convertisseur Boost avec la méthode classique (traits
forts - cas particulier cerclé) et la commande à mode glissant (pointillés) pour E = 5 V.
la fréquence est donnée par la formule (3.67) (en trait mince). La fréquence de commutation
augmente pour de petites valeurs de l’hystérésis et si l’on augmente le courant de référence
Iref . Sur la Fig. 3.23 gauche, nous voyons la supériorité de la méthode classique par rapport
à la commande à mode glissant : des fréquences plus élevées et des ondulations réduites.
L’augmentation de la valeur du courant de référence conduit à des fréquences de commutation
beaucoup plus élevées avec la commande à mode glissant, seulement pour de petites valeurs
de l’hystérésis.
52
Chapitre 3. Le contrôle du chaos
0.25
0.16
0.14
0.2
∆Uc (V)
∆Uc (V)
0.12
0.15
0.1
0.1
0.08
h=2A
0.06
h=2A
h = 1.5 A
0.05
h = 1.5 A
0
0
5
10
h=1A
0.04
15
0.02
0
h=1A
20
25
5
10
15
20
25
30
35
f (kHz)
f (kHz)
Figure 3.23 : La fréquence de commutation f du convertisseur Boost avec la méthode
classique (traits forts - cas particulier cerclé) et la commande à mode glissant (traits fins)
pour R = 2 Ω (Iref = 4 A pour la figure de gauche et Iref = 6 A pour la figure de droite).
0.25
0.2
0.18
0.2
0.16
∆Uc (V)
∆Uc (V)
h=2A
0.14
0.12
h = 1.5 A
0.1
h=1A
0.15
0.1
h=2A
0.08
0.06
0.05
h = 1.5 A
h=1A
0.04
0.02
0
5
10
15
20
25
30
35
40
f (kHz)
45
0
0
10
20
30
40
50
60
f (kHz)
Figure 3.24 : La fréquence de commutation f du convertisseur Boost avec la méthode
classique (traits forts - cas particulier cerclé) et la commande à mode glissant (traits fins)
pour R = 8 Ω (Iref = 4 A pour la figure de gauche et Iref = 10 A pour la figure de droite).
3.7
Conclusion
Dans ce chapitre, nous avons pris l’exemple d’un convertisseur Boost contrôlé en courant
dont nous avons éliminé le chaos (présent quand le rapport cyclique est supérieur à 0,5), en
appliquant la commande à mode glissant.
Nous avons ensuite développé une application itérative qui fournit les expressions mathématiques
des ondulations ∆v de la tension de sortie, ∆i du courant de l’inductance et de la fréquence
de commutation, quand la sortie est périodique (rapport cyclique inférieur ou égal à 0,5),
3.7. Conclusion
53
pour les deux méthodes de commande. Nous pouvons ainsi déterminer quelle méthode donne
les meilleurs résultats : il ressort que le choix entre la méthode classique et celle à mode
glissant dépend fortement du domaine de variation des paramètres E, R et Iref .
Chapitre 4
L’amélioration de la compatibilité
électromagnétique par extension de
l’anti-contrôle du chaos
4.1
Introduction
Les convertisseurs DC-DC font partie des circuits les plus couramment utilisés en électronique
de puissance [35] [5] [54] [19]. On les emploie d’habitude pour convertir une tension d’entrée
continue en une tension de sortie stabilisée plus élevée (le Boost), plus basse (le Buck) ou
générique (le Buck-Boost) [37]. Ceci est généralement atteint par une action de commutation
appropriée, surtout appliquée via une modulation de largeur d’impulsions.
Les alimentations à découpage produisent des interférences électromagnétiques à la fréquence
de commutation et ses harmoniques. Cette émission d’interférences crée des difficultés de
compatibilité électromagnétique significatives [16], surtout quand des courants importants
ou de hautes tensions sont commutés rapidement. La réduction des émissions spectrales peut
être, par exemple, effectuée par diverses méthodes qui modulent la fréquence de commutation [39] [60].
Le travail de [16] présente l’idée que le chaos, un phénomène qui peut apparaı̂tre naturellement dans les alimentations à découpage, pourrait être utilisé pour améliorer leur
compatibilité électromagnétique en réduisant les amplitudes spectrales. Cet avantage est
56
Chapitre 5. L’amélioration de la compatibilité électromagnétique
malheureusement contrebalancé par l’augmentation de l’ondulation (l’amplitude crête à crête
de la tension de sortie) [73] [9].
La création intentionnelle du chaos (c’est-à-dire une transition de l’ordre vers le chaos) parfois appelée chaotification ou anti-contrôle du chaos - suscite beaucoup d’intérêt en raison
de son fort potentiel dans les applications non traditionnelles pour des systèmes physiques,
électriques, optiques, mécaniques, chimiques, biologiques et médicaux [31] [7].
La méthode de l’anti-contrôle du chaos consiste à concevoir un contrôleur non-linéaire
simple, d’amplitude arbitrairement petite [68] [69] [11], dans le but d’obtenir une dynamique
chaotique du système contrôlé. L’application de cette méthode classique [68] [69] aux alimentations à découpage réduit les émissions spectrales de la tension de sortie, mais augmente ses
ondulations [46].
L’objectif de ce chapitre est d’introduire une méthode de génération de chaos dans les
systèmes commutés en général et dans les circuits électroniques de puissance en particulier,
dans le but de réduire les interférences électromagnétiques.
Pour cela, nous allons introduire un nouveau contrôleur et montrer qu’il maintient l’ondulation
de la sortie à un niveau faible, tout en assurant des émissions spectrales basses.
Finalement, nous démontrerons que l’utilisation combinée de ce contrôleur et de la méthode
standard d’anti-contrôle réduit encore plus la densité de puissance des raies spectrales, sans
détériorer l’ondulation de la sortie : appliquer l’anti-contrôle du chaos améliore ainsi les
performances à la fois dans les domaines fréquentiel (le spectre) et temporel (ondulation).
L’intérêt de cette nouvelle méthode est montré avec un exemple numérique, qui inclut une
comparaison avec l’emploi de la méthode d’anti-contrôle classique seule.
4.2
Le convertisseur Buck
La Fig. 4.1 montre le schéma d’un convertisseur Buck contrôlé en tension par un modulateur de largeur d’impulsions [22]. Ce circuit a deux états déterminés par la position de
l’interrupteur S. Quand S est fermé, le générateur de tension d’entrée E fournit de l’énergie à
la résistance de charge R ainsi qu’à l’inductance L. Quand S est ouvert, le courant i traverse
la diode D : l’inductance transfère alors une partie de l’énergie emmagasinée vers R. Le
convertisseur le plus simple est obtenu quand le commutateur P est en position zéro. La loi
4.2. Le convertisseur Buck
57
de commande vc (t) peut alors être écrite
vc (t) = vc0 (t) = u1 (t) = a(v(t) − Vref ),
(4.1)
où a est le gain de l’amplificateur A2 .
Figure 4.1 : Le convertisseur Buck DC-DC. Les valeurs des paramètres fixes sont reprises
de [5] [22] : L = 20 mH, C = 47 µF, R = 22 Ω, a = 8, 4, Vref = 11, 3 V, VL = 3, 8 V,
VU = 8, 2 V, T = 400 µs et E = 16 V.
La loi de commande vc (t) est appliquée à l’entrée inverseuse du comparateur A1 . L’autre
entrée est connectée à un générateur indépendant de dents de scie : sa tension augmente
linéairement d’une tension VL à une tension VU en un temps T , puis retourne instantanément
à VL . Cette tension de dent de scie vr (t) peut être exprimée comme
vr (t) = VL + (VU − VL )
t mod T
.
T
(4.2)
Quand vc (t) ≥ vr (t), l’interrupteur S est ouvert et la diode D conduit ; sinon, S est fermé
et D est bloquée. Le système est gouverné par deux séries d’équations différentielles linéaires
qui correspondent au états de l’interrupteur commandé on et off. Le convertisseur Buck est
un système du deuxième ordre, car il comporte deux éléments de stockage d’énergie. La
tension v du condensateur C et le courant i dans l’inductance L sont choisis comme variables
d’état [5] [29].
58
Chapitre 5. L’amélioration de la compatibilité électromagnétique
Le modèle du convertisseur peut être écrit
dv
1
1
= i(t) −
v(t),
dt
C
RC
(4.3)
di
1
E
= − v(t) + δ(t),
dt
L
L
(4.4)
où E est la tension d’entrée constante et δ(t) un signal modulé qui vaut zéro quand vc (t) ≥
vr (t) et un quand vc (t) < vr (t). Donc, seulement deux équations différentielles du premier
ordre (4.3) (4.4) décrivent entièrement le comportement du système.
Si l’on fixe un ensemble de conditions initiales v0 = v(t0 ) et i0 = i(t0 ), les solutions du
système peuvent être déterminées :
·
µ
¶
¸
i0
kv0
v(t) = e−k(t−t0 ) v0 cos(ω(t − t0 )) +
sin(ω(t − t0 )) , ∀t > t0
−
ωC
ω
−k(t−t0 )
i(t) = e
·
µ
¶
¸
ki0
v0
i0 cos(ω(t − t0 )) +
−
sin(ω(t − t0 )) , ∀t > t0
ω
ωL
(4.5)
(4.6)
si vc (t) ≥ vr (t).
Dans l’autre cas (vc (t) < vr (t)), les solutions sont
v(t) = E + e−k(t−t0 ) (v0 − E) cos(ω(t − t0 )) +
!
Ã
E
i
−
k(v
−
E)
0
0
R
−
sin(ω(t − t0 )), ∀t > t0
+ e−k(t−t0 )
ωC
ω
E
i(t) =
R
avec k =
1
2RC
µ
¶
E
+ e
i0 −
cos(ω(t − t0 )) +
R
Ã
!
E
i
−
v
−
E
0
0
R
+ e−k(t−t0 ) k
−
sin(ω(t − t0 )), ∀t > t0
ω
ωL
−k(t−t0 )
q
et ω =
(4.7)
1
LC
− k 2 (en supposant que
1
LC
(4.8)
− k 2 > 0).
La tension de sortie de ce circuit est généralement périodique, comme le montre la Fig. 4.2.
Nous avons utilisé les données indiquées sur la Fig. 4.1 et obtenu une ondulation de 70 mV. La
Fig. 4.3 représente le spectre de puissance de la tension de sortie v(t) quand le convertisseur
est gouverné par la loi de commande vc0 (t) de l’éq. (4.1). Le spectre de puissance présente
un maximum à la fréquence de commutation 1/T = 2, 5 kHz, d’amplitude 250 V2 / Hz. Pour
des raisons de compatibilité électromagnétique, nous allons essayer de réduire l’amplitude de
ce maximum tout en maintenant une faible ondulation.
4.3. Générer du chaos
59
Tension de sortie (V)
11.95
11.9
11.85
11.8
11.75
0.344
0.346
0.348
0.35
0.352
0.354
Temps t(s)
Figure 4.2 : La tension périodique de sortie v(t) du convertisseur Buck avec la loi de
commande vc0 (t) de l’éq. (4.1) (ondulation de 70 mV).
Spetre de puissance de la tension
de sortie (V 2/Hz)
250
200
150
100
50
0
0
10
1
10
2
10
3
10
4
10
5
10
Fréquence (Hz)
Figure 4.3 : Spectre de puissance de la tension de sortie v(t) avec la loi de commande vc0 (t)
de l’éq. (4.1)(pic 250 V2 / Hz).
4.3
Générer du chaos
Il est possible de rendre chaotique un système non-linéaire stable en utilisant une commande à retour d’état de faible amplitude [68] [69] [11]. Celle proposée dans [68] [69] est
une fonction sinusoı̈dale de l’état du système. Nous proposons d’utiliser la loi de commande
suivante :
vc (t) = vc1 (t) = u1 (t) + u2 (t)
(4.9)
où u1 (t) est défini dans l’éq. (4.1) et u2 (t) dans [68] :
u2 (t) = c2 sin [ω2 (v(t) − Vref )] ,
(4.10)
60
Chapitre 5. L’amélioration de la compatibilité électromagnétique
La méthode d’anti-contrôle de [68] introduit un contrôleur non-linéaire supplémentaire
N C1, c’est-à-dire quand l’interrupteur P de la Fig. 4.1 est en position 1. L’application de
cette méthode aux alimentations à découpage conduit à une tension de sortie v(t) chaotique.
Figure 4.4 : Ondulation de la tension de sortie v(t) du convertisseur Buck avec la loi de
commande vc1 (t) de l’éq. (4.9).
Figure 4.5 : Trajectoire temporelle (Fig. de gauche) et spectre de puissance (Fig. de droite)
de la tension de sortie v(t) obtenus pour c2 = 8 V et ω2 = 300 rad/V avec la loi de commande
vc1 (t) de l’éq. (4.9) (ondulation de 250 mV et min(maxF F T ) = 50 V2 / Hz).
En agissant sur les valeurs des paramètres c2 et ω2 (Fig. 4.4), nous avons obtenu un optimum pour l’ondulation et l’amplitude maximale du spectre de puissance de 250 mV (Fig. 4.5
gauche) et 50 V2 / Hz (Fig. 4.5 droite) respectivement [46].
4.4. Réduire les ondulations de la tension de sortie v(t) par simulation
61
Bien que de nombreuses raies spectrales apparaissent, les performances du domaine fréquentiel
ne sont pas améliorées. Les performances du domaine temporel empirent aussi, car l’ondulation
de la tension de sortie v(t) augmente, comme dans [73] et [9], réduisant ainsi l’efficacité du
convertisseur Buck.
On peut se demander pourquoi nous appliquons une méthode pour produire du chaos,
alors que le chaos est un phénomène naturel dans les alimentations à découpage [22]. En
effet, la présence du chaos dans ces circuits ne dépend que de leurs paramètres (comme la
tension d’entrée E, la résistance de charge R, l’inductance L ou la période de dent de scie
T ). Ainsi, le convertisseur étudié avec la loi de commande vc0 (t) présente un comportement
chaotique en fonction de la tension d’entrée E (quand E ≥ 32, 34 V, [5] [22] [29]). La Fig. 4.6
montre clairement que l’ondulation a encore augmenté (≈ 1 V) : cette loi de commande vc0 (t)
est insuffisante et limitée. Il est donc indispensable de trouver une autre solution.
13
Tension de sortie (V)
12.8
12.6
12.4
12.2
12
11.8
11.6
11.4
0.72
0.725
0.73
0.735
0.74
0.745
0.75
0.755
Temps (s)
Figure 4.6 : La tension de sortie v(t) du convertisseur Buck avec la loi de commande vc0 (t)
de l’éq. (4.1) ; le comportement est chaotique (ondulation de 1 V).
4.4
Réduire les ondulations de la tension de sortie v(t) par
simulation
Nous introduisons un nouveau contrôleur non-linéaire N C2, visant à améliorer le spectre
de puissance et l’ondulation obtenus avec les lois de commande précédentes vc0 (t) et vc1 (t).
Nous proposons la loi de commande suivante :
vc (t) = vc2 (t) = u1 (t) + u3 (t),
(4.11)
62
Chapitre 5. L’amélioration de la compatibilité électromagnétique
où
u3 (t) = c3 v(t) sin(ω3 t) = c3 v(t) sin(2πf3 t).
(4.12)
Cette fois, l’expression (4.12) inclut la multiplication d’une variable d’état par un sinus.
L’amplitude et la fréquence du signal résultant u3 (t) déterminent le nombre de commutations
de S. Si f3 est beaucoup plus élevée que la fréquence 1/T du générateur de dent de scie,
alors S commute de nombreuses fois pendant une période T , comme sur la Fig. 4.7. Dans ce
cas, la tension de sortie v(t) n’a pas le temps de croı̂tre ou de décroı̂tre beaucoup, à cause
de ces commutations multiples. De plus, v(t) n’est pas sensible à la variation des conditions
initiales : l’introduction du contrôleur non-linéaire N C2 détermine un comportement non-
Dents de scie et signal de commande (V)
chaotique du convertisseur.
10
5
0
−5
−10
−15
0.4412 0.4412 0.4413 0.4413 0.4414 0.4415 0.4415 0.4416 0.4416
Temps (s)
Figure 4.7 : Le signal de dent de scie vr (t) de l’éq. (4.2) et le signal de commande vc2 (t) de
l’éq. (4.11).
Déterminons la fréquence angulaire ω3 et l’amplitude c3 , afin d’optimiser le spectre de
puissance et l’ondulation de v(t). ω3 doit être très supérieure à la fréquence angulaire (2π/T )
du générateur de dent de scie, tandis que la fréquence de commutation de S est limitée à
[80 kHz, 100 kHz] dans la pratique :
ω3
1
¿ f3 =
< 80 kHz.
T
2π
(4.13)
La Fig. 4.8 montre que l’ondulation diminue rapidement pour les faibles valeurs de ω3 et
se stabilise pour les plus hautes valeurs de ω3 . Donc, n’importe quelle ω3 dans le domaine
[200000 rad/s, 500000 rad/s] est appropriée. Ceci correspond à l’intervalle [32 kHz, 80 kHz]
pour la fréquence f3 de u3 (t). Nous avons choisi ω3 =250000 rad/s (f3 ≈ 40 kHz).
4.4. Réduire les ondulations de la tension de sortie v(t) par simulation
63
Ondulation de la tension de sortie (V)
3.5
3
2.5
2
1.5
1
0.5
0
0
1
2
3
Pulsation ω3 (rad/s)
4
5
5
x 10
Figure 4.8 : Ondulation de la tension de sortie v(t) en fonction de ω3 (la loi de commande
vc2 (t) de l’éq. (4.11)).
Le choix du coefficient c3 doit être fait afin de minimiser l’amplitude des raies spectrales.
La Fig. 4.9 montre le spectre (obtenu comme la transformée de Fourier de l’autocorrélation)
de la tension de sortie v(t), en fonction de c3 . La puissance contenue dans la raie à la fréquence
de commutation 1/T = 2, 5kHz diminue quand c3 augmente, tandis que les basses fréquences
ont des amplitudes élevées. Le minimum de l’amplitude du spectre de puissance est obtenu
pour c3 =1,04 : appelons-le min(maxF F T ). Il représente le minimum de tous les maxima du
spectre de puissance quand c3 varie.
La Fig. 4.10, droite présente le spectre de puissance de la tension de sortie v(t), pour
c3 = 1,04 et ω3 = 250000 rad/s : min(maxF F T ) est alors égal à 3, 77 V2 / Hz. Nous pouvons observer que ce spectre ne comporte plus seulement une raie unique à la fréquence de
commutation 1/T (ou à ses harmoniques) : beaucoup de raies spectrales apparaissent à des
fréquences plus basses, élargissant ainsi la bande de fréquences. La Fig. 4.10, gauche donne
la représentation temporelle de v(t) et montre que l’ondulation est 55 mV.
Les multiples fréquences présentes dans le spectre de puissance de v(t) résultent de la forme
très irrégulière de cette tension, en raison de la dynamique non-linéaire intrinsèque des durées
des états on et off du commutateur S, qui varient pendant une période de la dent de scie, selon
la Fig. 4.7. La Fig. 4.10, gauche indique une séquence (dans l’intervalle [1, 435 s ; 1, 44 s])
où la représentation temporelle de la tension de sortie v(t) peut être approximée par un
sinus. La période de 2, 5 ms implique la présence d’une raie à 400 Hz dans le spectre de v(t).
La concentration de toutes les fréquences autour de 70 Hz-1 kHz peut être justifiée de façon
similaire.
64
Chapitre 5. L’amélioration de la compatibilité électromagnétique
Figure 4.9 : Spectre de puissance de la tension de sortie v(t) avec la loi de commande vc2 (t)
Spectre de piussance de la tension de sortie
2
(V /Hz)
de l’éq. (4.11) (en fonction du paramètre c3 ).
11.24
Tension de sortie (V)
11.23
11.22
11.21
o
o
11.2
11.19
11.18
2.5 ms
11.17
1.425
1.43
1.435
1.44
1.445
1.45
1.455
1.46
Temps (s)
4
3.5
3
2.5
2
1.5
1
0.5
0
0
10
1
10
2
10
3
10
4
10
5
10
Fréquence (Hz)
Figure 4.10 : Trajectoire temporelle (Fig. de gauche) et spectre de puissance (Fig. de
droite) de la tension de sortie v(t) obtenu pour c3 =1,04 avec la loi de commande vc2 (t) de
l’éq. (4.11) (ondulation de 55 mV et min(maxF F T ) = 3, 77 V2 / Hz).
La loi de commande u3 (t) que nous proposons maintient une faible ondulation de la sortie.
En effet, les deux lois de commande vc0 (t) et vc2 (t) conduisent à des ondulations d’amplitudes
comparables (70 mV, respectivement 55 mV) alors qu’u3 (t) réduit la puissance contenue dans
les raies spectrales de fréquences multiples de 1/T . Nous pouvons alors affirmer que vc2 (t)
conduit à de meilleures performances que vc0 (t).
Le nouveau contrôleur non-linéaire N C2 (non-chaotique) améliore les performances spectrales, sans détériorer les ondulations de la tension de sortie v(t).
4.5. Réduire les ondulations de v(t) par une application itérative
4.5
65
Réduire les ondulations de v(t) par une application itérative
L’application itérative stroboscopique est le modèle à temps discret le plus largement
répandu pour les convertisseurs DC-DC [5]. Elle peut être obtenue par une observation T périodique de la dynamique du système, au début de la période de la dent de scie. Aux
instants multiples de T , l’application itérative stroboscopique ne distingue pas les instants où
une commutation se produit de ceux caractérisés par des cycles sautés. Afin de remédier à ce
problème, une autre application itérative à temps discret est définie : l’application itérative
S-switching.
L’application itérative consiste à calculer la tension et le courant au moment n + 1 en
fonction des mêmes variables au moment n, comme sur la Fig. 4.11. Il est aisé de déterminer

 vn+1 = fv (v , i , tn )
k k
(4.14)
 i
= f (v , i , t ),
n+1
i
k
n
k
et

 v = gv (vn , in , tn )
k
 i = g (v , i , t ).
k
i
n
n
(4.15)
n
Figure 4.11 : Instants d’impacts pour des applications itératives stroboscopique et Sswitching, pour le convertisseur Buck contrôlé en tension.
L’égalité entre la tension de dent de scie vr (t) et le signal de commande vc (t) au moment
tk est nécessaire pour identifier tn . On obtient finalement la relation :
a(gv (vn , in , tn ) − Vref ) = VL + (VU − VL )tn mod T.
(4.16)
Le premier problème qui apparaı̂t lors de la construction d’un modèle à temps discret pour
les convertisseurs de puissance contrôlés en tension est que l’équation donnant les instants de
66
Chapitre 5. L’amélioration de la compatibilité électromagnétique
commutation (à l’intersection entre la dent de scie vr (t) et la tension de commande vc (t)) est
transcendentale. Une expression explicite de tn ne peut être obtenue. Il est alors impossible
d’établir une relation mathématique directe du vecteur (vn+1 , in+1 ) à l’instant n+1 en fonction
du même vecteur à l’instant n.
(vn , in ) → (vn+1 , in+1 )
(4.17)
En conséquence, les applications itératives stroboscopique et S-switching ne peuvent être
écrites sous forme autonome [5] qu’au prix d’approximations [29].
On introduit alors une autre application itérative, la A-switching : elle contient les instants
correspondant à l’intersection de la dent de scie avec la tension de commande pendant la
période de temps T , à l’exclusion des instants multiples de T au début de la période de la
dent de scie (Fig. 4.12).
Figure 4.12 : Les applications itératives A-switching, stroboscopique et S-switching du
convertisseur Buck commandé en tension.
Détaillons maintenant la construction d’une application itérative A-switching (Fig. 4.12).
Nous pouvons écrire la solution A-switching (4.5-4.6) à l’instant m+1 en fonction de l’instant
m
·
−k∆
vm+1 = e
µ
vm cos(ω∆) +
kvm
im
−
ωC
ω
¶
¸
sin(ω∆)
·
µ
¶
¸
im
vm
im+1 = e−k∆ im cos(ω∆) + k
−
sin(ω∆) .
ω
ωL
La solution A-switching (4.7-4.8) à l’instant m + 1 en fonction de l’instant m est :
!
Ã
im − E
k(vm − E)
−k∆
−k∆
R
−
sin(ω∆)
vm+1 = E + e
(vm − E) cos(ω∆) + e
ωC
ω
(4.18)
(4.19)
(4.20)
4.5. Réduire les ondulations de v(t) par une application itérative
im+1
Ã
µ
¶
im −
E
E
+ e−k∆ im −
cos(ω∆) + e−k∆ k
=
R
R
ω
E
R
vm − E
−
ωL
67
!
sin(ω∆)
(4.21)
où :
∆ = tm+1 − tm .
(4.22)
Nous obtenons alors l’application itérative souhaitée :

 vm+1 = fv (vm , im , tm , tm+1 )
 i
m+1 = fi (vm , im , tm , tm+1 )
(4.23)
Les fonctions fv et fi dépendent de la tension, du courant et du temps aux instants m et
m + 1 ; leurs formes explicites sont (4.18), (4.20) et (4.19), (4.21), en fonction de l’état du
système.
La structure de fv et de fi change en fonction des deux A-switchings successifs [5]. Il faut
cependant les identifier en fonction de l’application itérative désirée (4.23). La figure 4.13,
gauche montre la trajectoire du système ; les autres possibilités (Fig. 4.12) sont les cas
particuliers des impacts successifs a), b), c) et d).
Figure 4.13 : Figure de gauche : Différents comportements typiques de la tension de
commande vc (t) entre deux A-switchings. Figure de droite : Un nouveau cas d’impact entre
deux instants A-switchings
Cas a) (correspondant à l’état ON) on considère les relations (4.20) et (4.21). L’expression
de ∆ est :
∆ = tm+1 − tm + sON · T
(4.24)
68
Chapitre 5. L’amélioration de la compatibilité électromagnétique
où sON est le nombre de périodes T sautées pendant l’état ON.
Cas b) (valide pour l’état OFF) On considère les relations (4.18) et (4.19). L’expression de
∆ est :
∆ = tm+1 − tm + sOF F · T
(4.25)
où sOF F est le nombre de périodes sautées pendant l’état OFF.
Pour les cas c) et d), il est nécessaire de calculer le point intermédiaire n. Pour l’état ON,
appliquer les mêmes relations (4.20) et (4.21) permet d’obtenir le couple (vn , in ). L’expression
de ∆ est alors :
∆ = sON · T − tm .
(4.26)
Pour le dernier cas, appliquons (4.18) et (4.19) ; cependant, le point de départ est (vn , in ).
Cet état est valide pour un intervalle de temps :
∆ = sOF F · T + tm+1 .
(4.27)
Il est important de citer l’existence d’un autre cas d’impact (Fig. 4.13, droite), où vc
est tangent à la dent de scie. Cette nouvelle forme d’impact permet d’appliquer deux fois
consécutivement l’expression (4.24).
Détaillons maintenant les équations nécessaires à la construction d’une application itérative
A-switching, où instant A-switching est défini par l’égalité de la loi de commande u2 (t) et de
la tension de dent de scie vr (t) :
a [v(t) − Vref ] + c3 v(t) sin(ω3 t) = VL +
VU − VL
(t mod T ).
T
(4.28)
Nous pouvons identifier la tension de sortie aux deux instants d’intersection m et m + 1 :
vm +
vm+1 +
c3
vm sin(ω3 tm ) = α + β(tm mod T ),
a
c3
vm+1 sin(ω3 tm+1 ) = α + β(tm+1 mod T ).
a
(4.29)
(4.30)
α et β ont pour expression
α = Vref +
VL
,
a
(4.31)
4.5. Réduire les ondulations de v(t) par une application itérative
β=
VU − VL
.
aT
69
(4.32)
Les expressions explicites de vm et vm+1 sont :
vm =
vm+1 =
α + βtm mod T
,
1 + ca3 sin(ω3 tm )
(4.33)
α + βtm+1 mod T
.
1 + ca3 sin(ω3 tm+1 )
(4.34)
La tension de sortie, aux instants m et m + 1, peut alors être réduite à une forme plus
simple, en fonction du temps :
vm = g2 (tm ),
(4.35)
vm+1 = g2 (tm+1 ).
(4.36)
En remplaçant les expressions de vm , issues de l’éq. (4.35), dans la relation (4.33), nous
obtenons pour im+1 (4.23) :
im+1 = fi (g2 (tm ), im , tm , tm+1 )
(4.37)
À l’instant m + 1, l’inconnue vm+1 peut être éliminée, en utilisant les relations (4.34)
et (4.23) :
g2 (tm+1 ) = fv (g2 (tm ), im , tm , tm+1 ).
(4.38)
L’état (tm+1 , im+1 ) est ainsi calculé en utilisant seulement l’état précédent (tm , im ) ;
or, il existe une relation mathématique directe ((4.37) et (4.38)) reliant ces deux états.
L’application itérative A-switching bidimensionnelle peut alors être obtenue, en considérant
les états sous une forme générale :
(tm , im ) → (tm+1 , im+1 ).
(4.39)
D’autre part, nous pouvons calculer vm+1 en utilisant (4.23), avec la valeur de tm+1 .
Les Fig. 4.14, 4.15 et 4.16 montrent la trajectoire temporelle de la tension de sortie pour
un petit intervalle de temps. L’application itérative est produite à partir de t = 0, 16s ; nous
pouvons voir que cette séquence possède une dynamique similaire à la trajectoire temporelle
simulée avant t = 0, 16s.
70
Chapitre 5. L’amélioration de la compatibilité électromagnétique
12
Tension de sortie (V)
11.95
11.9
11.85
11.8
11.75
11.7
0.16
0.165
0.17
0.175
0.18
Temps (s)
Figure 4.14 : Superposition des tensions de sortie simulée et calculée par l’application
itérative A-switching, pour c3 = 0, 2.
11.54
Tension de sortie (V)
11.53
11.52
11.51
11.5
11.49
11.48
11.47
0.155
0.16
0.165
0.17
0.175
0.18
0.185
Temps (s)
Figure 4.15 : Superposition des tensions de sortie simulée et calculée par l’application
itérative A-switching, pour c3 = 0, 6.
Le diagramme de bifurcation à partir des instants A-switching de l’application itérative
de v(t) est présenté sur la Fig. 4.17, gauche. Les diagrammes de bifurcation en fonction du
paramètre c3 , issu de la simulation (Fig. 4.17, droite) ou déterminé par l’application itérative,
sont similaires.
Nous pouvons construire un diagramme similaire à celui de la Fig. 4.9, en utilisant
l’application itérative (Fig. 4.18). Malheureusement, au début de la gamme de c3 , où la
tension de sortie est périodique, le nombre de valeurs discrètes de l’application itérative
(Fig. 4.14) est trop faible pour déterminer une densité spectrale correcte. C’est pourquoi
l’amplitude de c3 varie entre 0,2 et 1,5, sur la Fig. 4.18 ; min(maxF F T ) est obtenu pour
4.5. Réduire les ondulations de v(t) par une application itérative
71
11.03
Tension de sortie (V)
11.02
11.01
11
10.99
10.98
10.97
10.96
10.95
0.155
0.16
0.165
0.17
0.175
0.18
0.185
Temps (s)
Figure 4.16 : Superposition des tensions de sortie simulée et calculée par l’application
itérative A-switching, pour c3 = 1, 4.
Figure 4.17 : Figure de gauche : Le diagramme de bifurcation dérivé de l’application
itérative, en fonction de paramètre c3 . Figure de droite : Le diagramme de bifurcation dérivé
de simulation, en fonction de paramètre c3 .
c3 = 0,71 et vaut alors 0,557 V2 / Hz . La Fig. 4.19 présent la trajectoire temporelle de la
tension de sortie v(t) en utilisant l’application itérative et sa densité spectrale : on voit
clairement qu’il existe de nombreuses similarités entre ces deux trajectoires et celles issues de
la simulation.
L’application itérative donne la possibilité de passer d’une dynamique continue complexe (4.3) (4.4) à une dynamique discrète simplifiée (4.37) (4.38). Or, nous venons de voir
que les résultats obtenus par l’application itérative convergent vers ceux de la simulation :
72
Chapitre 5. L’amélioration de la compatibilité électromagnétique
Figure 4.18 : Spectre de puissance de la tension de sortie v(t) avec les lois de commande (4.12) et (4.1), en utilisant l’application itérative A-switching (en fonction du
paramètre c3 ).
11.46
Tension de sortie (V)
11.45
11.44
11.43
11.42
11.41
11.4
11.39
11.38
0.455
0.46
0.465
0.47
0.475
0.48
0.485
Temps (s)
Figure 4.19 : Trajectoire temporelle (Fig. de gauche) et spectre de puissance (Fig. de
droite) de la tension de sortie v(t) obtenu pour c3 =0,71 avec la loi de commande vc2 (t) de
l’éq. (4.11) (ondulation de 50 mV et min(maxF F T ) = 0.55 V2 / Hz).
les propriétés globales du système sont donc conservées avec son modèle discrétisé.
4.6. Générer du chaos et réduire les ondulations de v(t) par simulation
4.6
73
Générer du chaos et réduire les ondulations de v(t) par
simulation
Le contrôleur N C2 assure de bonnes performances au convertisseur Buck ; cependant nous
souhaitons analyser l’effet de l’introduction du chaos sur l’amélioration de la compatibilité
électromagnétique, par réduction de l’amplitude des raies spectrales. C’est la raison pour
laquelle nous ajoutons le contrôleur non-linéaire N C1. La loi de commande devient :
vc (t) = vc3 (t) = u1 (t) + u2 (t) + u3 (t)
(4.40)
Les deux contrôleurs N C1 et N C2 utilisent la même variable d’état (la tension de sortie
v(t)) pour fournir les lois de commande u2 (t) et u3 (t). Les paramètres de u3 (t) sont choisis
comme précédemment. Le choix des paramètres c2 et ω2 de u2 (t) est fait pour minimiser
l’amplitude du spectre de puissance.
La Fig. 4.20 présente le maximum de l’amplitude du spectre (maxF F T ) de v(t) pour
0 < c2 < 1, 4 V et 50 rad/V< ω2 < 550 rad/V. Chaque maxF F T inférieur au min(maxF F T )
obtenu dans la section précédente (3, 77 V2 / Hz) est représenté avec une étoile noire (∗). La
surface noire associée correspond aux valeurs de ω2 et c2 pour lesquelles l’usage de vc3 (t) est
une amélioration. La valeur minimale de tous les maxF F T est obtenue pour c2 = 0, 1 V et
ω2 = 320 rad/V : min(maxF F T )=2, 69 V2 / Hz. Avec ces valeurs nous représentons le spectre
de v(t) et sa trajectoire temporelle sur la Fig. 4.21. Cette figure montre que l’ondulation de
la tension de sortie reste presque constante (55mV) quand la loi de commande vc2 (t) est
remplacée par vc3 (t). L’influence de u2 (t) sur l’ondulation est donc négligeable. Par contre,
u2 (t) fait davantage diminuer l’amplitude du spectre (de 3, 77 V2 / Hz à 2, 69 V2 / Hz) : vc3 (t)
a de meilleures performances spectrales que vc2 (t).
4.7
Générer du chaos et réduire les ondulations de v(t) par
une application itérative
Détaillons maintenant les équations nécessaires à une application itérative A-switching,
où l’instant A-switching est défini comme l’intersection entre la loi de commande (4.40) et la
74
Chapitre 5. L’amélioration de la compatibilité électromagnétique
Figure 4.20 : Amplitudes maximales du spectre de puissance de v(t) avec la loi de commande
vc3 (t) de l’éq. (4.40) (en fonction des paramètres c2 et ω2 ).
Spectre de puissance de la tension de sortie
(V 2/Hz)
11.24
Tension de sortie (V)
11.23
3
2.5
11.22
11.21
2
1.5
11.2
11.19
1
0.5
11.18
11.17
0.78
0.785
0.79
0.795
0.8
0.805
Temps (s)
0.81
0.815
0
0
10
1
10
2
10
3
10
4
10
5
10
Fréquence (Hz)
Figure 4.21 : Trajectoire temporelle (Fig. de gauche) et spectre de puissance (Fig. de
droite) de la tension de sortie v(t) obtenu avec la loi de commande vc3 (t) de éq. (4.40),
et avec les paramètres c2 = 0, 1 V et ω2 = 320 rad/V (ondulation de 0, 55 mV et
min(maxF F T )=2, 69 V2 / Hz).
dent de scie :
VL +
VU − VL
(t mod T ) = a [v(t) − Vref ] + c2 sin [ω2 (v(t) − Vref )] + c3 v(t) sin(ω3 t) (4.41)
T
Nous pouvons identifier les instants m et m + 1 de ces intersections :
α + β(tm mod T ) = vm +
c2
c3
sin [ω2 (vm − Vref )] + vm sin(ω3 tm ),
a
a
(4.42)
4.7. Générer du chaos et réduire les ondulations de v(t) par une application itérative
α + β(tm+1 mod T ) = vm+1 +
c3
c2
sin [ω2 (vm+1 − Vref )] + vm+1 sin(ω3 tm+1 ).
a
a
75
(4.43)
Même sans une expression explicite de tm et tm+1 , nous pouvons écrire :
tm mod T =
tm+1 mod T =
vm − α
c2
c3
+
sin [ω2 (vm − Vref )] +
vm sin(ω3 tm ),
β
aβ
aβ
vm+1 − α
c2
c3
+
sin [ω2 (vm+1 − Vref )] +
vm+1 sin(ω3 tm+1 ),
β
aβ
aβ
(4.44)
(4.45)
qui peut être réduit à une forme plus simple :
tm mod T = g3 (vm , tm ),
(4.46)
tm+1 mod T = g3 (vm+1 , tm+1 ).
(4.47)
Pour obtenir une application itérative, nous considérons :
(tm , vm , im ) → (tm+1 , vm+1 , im+1 ).
(4.48)
Avec les relations (4.23) et (4.47), nous obtenons ainsi une expression de tm+1 , tm , vm , im :
tm+1 mod T = g3 (fv (vm , im , tm , tm+1 ), tm+1 ) = h1 (vm , im , tm , tm+1 ).
(4.49)
Avec la valeur de tm+1 , nous pouvons calculer im+1 et vm+1 en utilisant (4.23). Ainsi, (tm+1 ,
vm+1 , im+1 ) est calculé en utilisant seulement l’expression mathématique (tm , vm , im ), à
l’instant précédent (4.49) (4.23). L’application itérative A-switching peut alors être obtenue.
Les Figs. 4.22, 4.23 et 4.24 montrent la trajectoire temporelle obtenue avec une application
itérative. L’application itérative est produite à partir de t = 80ms : cette séquence est
similaire à la trajectoire temporelle issue de la simulation. Le diagramme de bifurcation Aswitching de la tension de sortie est présenté sur la Fig. 4.25, droite, en fonction de c3 : il
existe une similitude presque parfaite avec celui dérivé de la simulation (Fig. 4.25, gauche).
La Fig. 4.26 présente les amplitudes maximales de la densité spectrale de v(t) pour les
paramètres choisis dans les gammes 0 V < c2 < 1, 1 V et 50 rad/V < ω2 < 550 rad/V.
De même que lors de la simulation, toutes les amplitudes spectrales inférieures à la valeur
minimale de maxF F T de la dernière section (0, 55 V2 / Hz) sont représentées avec des étoiles
noires (∗). La surface correspondant aux fréquences basses ainsi qu’aux coefficients de faible
76
Chapitre 5. L’amélioration de la compatibilité électromagnétique
11.25
Tension de sortie (V)
11.24
11.23
11.22
11.21
11.2
11.19
11.18
11.17
11.16
0.07
0.075
0.08
0.085
0.09
0.095
Temps (s)
Figure 4.22 : Superposition des tensions de sortie simulée et calculée par l’application
itérative A-switching, pour c2 = 1, 2 V, ω2 = 300 rad/V.
11.235
11.23
Tension de sortie (V)
11.225
11.22
11.215
11.21
11.205
11.2
11.195
11.19
0.075
0.08
0.085
0.09
0.095
Temps (s)
Figure 4.23 : Superposition des tensions de sortie simulée et calculée par l’application
itérative A-switching, pour c2 = 0.12 V, ω2 = 80 rad/V.
valeur a été couverte. La valeur minimale de maxF F T (min[maxF F T ] = 0, 3244 V2 / Hz)
est obtenue pour c2 = 0, 06 V et ω2 = 260 rad/V. Pour ces valeurs, nous représentons sur la
Fig. 4.27, gauche la trajectoire temporellee de v(t) et son spectre fréquentiel, sur la Fig. 4.27,
driote.
Le Tableau 4.1 résume les valeurs de l’ondulation et le maximum du spectre de v(t), en
utilisant les quatre lois de commande (vc0 , vc1 , vc2 , vc3 ). Il montre que l’amplitude spectrale
du convertisseur avec la première loi de commande vc0 (t) est réduite pendant que l’ondulation
de la tension de sortie reste constante. Quant à elle, la deuxième loi de commande, vc1 (t)
4.7. Générer du chaos et réduire les ondulations de v(t) par une application itérative
77
11.34
Tension de sortie (V)
11.32
11.3
11.28
11.26
11.24
11.22
11.2
11.18
0.075
0.08
0.085
0.09
0.095
0.1
0.105
Temps (s)
Figure 4.24 : Superposition des tensions de sortie simulée et calculée par l’application
itérative A-switching, pour c2 = 0.5 V, ω2 = 450 rad/V.
Figure 4.25 : Figure de gauche : Le diagramme de bifurcation dérivé de l’application
itérative. Figure de droite : Le diagramme de bifurcation dérivé de simulation. (la loi de
commande (4.40) en fonction du paramètre c3 .
de l’éq. (4.1), réduit la puissance contenue dans les harmoniques de la tension de sortie
(jusqu’à cinq fois), mais mène à une ondulation importante. La loi de commande que nous
avons proposée, vc2 (t) de l’éq. (4.11), assure une faible ondulation et cause une diminution
spectaculaire de l’amplitude spectrale. Finalement, rendre chaotique le convertisseur avec
la dernière loi de commande, vc3 (t) de l’éq. (4.40), conduit à une diminution d’amplitude
spectrale encore supérieure.
Bien sûr, la réduction du maximum spectral (Fig. (4.3)) de v(t) peut être atteinte en
78
Chapitre 5. L’amélioration de la compatibilité électromagnétique
Figure 4.26 : Maximum du spectre de puissance de la tension de sortie v(t) avec l’application
Tension de sortie (V)
11.445
11.44
11.435
11.43
11.425
11.42
11.415
11.41
11.405
11.4
0.634 0.636 0.638 0.64 0.642 0.644 0.646 0.648 0.65 0.652
Temps (s)
(V 2/Hz)
11.45
Spectre de puissance de la tension de sortie
itérative (en fonction des paramètres c2 et ω2 ).
0.4
0.35
0.3
0.25
0.2
0.15
0.1
0.05
0
0
10
1
10
2
10
3
10
4
10
5
10
Fréquence (Hz)
Figure 4.27 : Trajectoire temporelle (Fig. de gauche) et spectre de puissance (Fig. de
droite) de la tension de sortie v(t) obtenu avec la loi de commande vc3 (t) de l’éq. (4.40), et
avec les paramètres c2 = 0, 06 V et ω2 = 260 rad/V (ondulation de 0, 4 V et min(maxF F T ) =
0, 35 V2 / Hz).
augmentant la fréquence de commutation 1/T du convertisseur commandé par vc0 (t). La
loi de commande vc0 (t) donne alors des résultats similaires à ceux obtenus avec vc3 (t), si
la fréquence de la dent de scie du convertisseur est f3 . Cette méthode classique a peu de
propriétés : ceci justifie l’usage du chaos.
Le chaos est un phénomène non-linéaire très intéressant, qui a été étudié intensément au
4.8. Conclusion
79
Tableau 4.1 : Les performances du convertisseur avec les lois de commande (vc0 , vc1 , vc2 , vc3 ).
La loi
Maximum du spectre
Maximum du spectre
Ondulation
Ondulation
L’existence
Large
de contrôle
de puissance (V2 / Hz)
de puissance (V2 / Hz)
(mV)
(mV)
du chaos
bande
simulation
app. itérative
simulation
app. itérative
vc0
250
-
70
-
Non
Non
vc1
50
-
250
-
Oui
Oui
vc2
3, 77
0, 55
55
50
Non
Oui
vc3
2, 69
0, 35
55
40
Oui
Oui
cours des trois dernières décennies. La chaotification est attrayante du point de vue théorique
mais techniquement très difficile à mettre en oeuvre, car elle nécessite de produir de nombreux
comportements complexes et dynamiques. La compréhension des comportements chaotiques
ouvre de nouvelles possibilités de régimes de fonctionnement pouvant contribuer à optimiser
la conception. Le chaos fournit au concepteur de systèmes un vaste assortiment de propriétés
spéciales, une très grande flexibilité et une multitude d’opportunités.
Notre but est de montrer que le chaos réduit les amplitudes spectrales. Par contre, qu’il
se produise naturellement ou qu’il soit provoqué, le chaos augmente l’ondulation de la tension
de sortie. C’est pourquoi nous n’introduisons le chaos dans les convertisseurs qu’après une
augmentation de la fréquence de commutation (avec la loi de contrôle vc3 (t)), qui conduit à
une réduction de l’ondulation.
4.8
Conclusion
Le but de ce chapitre est d’introduire une méthode originale de génération de chaos dans
les systèmes commutés en général et les circuits d’électronique de puissance en particulier.
En effet, l’application de l’anti-contrôle du chaos (c’est-à-dire avec un contrôleur non-linéaire
N C1) aux alimentations à découpage améliore les performances fréquentielles alors que les
performances temporelles (l’ondulation de la tension de sortie) sont dégradées. Notre méthode
consiste à concevoir un nouveau contrôleur non-linéaire (N C2) qui maintienne une faible
ondulation et qui garantisse de faibles émissions spectrales. Finalement, la combinaison de
80
Chapitre 5. L’amélioration de la compatibilité électromagnétique
notre méthode (N C2) avec la méthode de l’anti-contrôle standard (N C1) réduit encore plus
la puissance contenue dans les raies spectrales, sans toutefois détériorer l’ondulation de la
tension de sortie.
Nous avons également développé une application itérative qui donne la possibilité de
passer d’une dynamique continue complexe à une dynamique discrète simplifiée, tout en
préservant les propriétés globales du système. Cette application itérative est également très
utile pour réduire les temps de calcul de la simulation numérique.
Chapitre 5
Attracteurs chaotiques
indépendants obtenus par
anti-contrôle du chaos dans les
circuits non-linéaires
5.1
Introduction
Le chaos est considéré par les communautés des mathématiques et des sciences de l’ingénieur
comme un phénomène dynamique, intéressant et complexe. La tendance traditionnelle cherchant à comprendre et analyser le chaos a évolué récemment vers une nouvelle phase de
recherche visant à contrôler et utiliser le chaos. Les recherches dans le domaine du chaos incluent la suppression et la génération du chaos, par exemple en produisant des attracteurs chaotiques grâce à une commande linéaire par morceaux [41] [42] [2]. Les électroniciens [63] [12]
savent bien que ces fonctions linéaires par morceaux peuvent être utilisées pour produire
différents attracteurs chaotiques, comme les n-scroll attracteurs du circuit de Chua [62]. Un
phénomène similaire produisant des cycles limites est observé dans [33] et [18]. Dans [33],
deux séries de conditions initiales produisent deux cycles limites différents alors qu’un nouveau cycle limite pour chaque nouvelle condition initiale est observé dans [18].
Ce chapitre propose une nouvelle technique pour produire plusieurs attracteurs chao-
82
Chapitre 6. Attracteurs chaotique indépendant
tiques indépendants, pouvant être atteints à partir de conditions initiales différentes. Dans le
système initial, on introduit du chaos grâce à un nouveau contrôleur, qui est une combinaison
de la caractéristique binaire et l’anti-contrôle du chaos (une simple fonction sinus de l’état
de système, comme dans [70]).
Nous démontrons que la périodicité des attracteurs dans l’espace des phases dépend de
la fréquence de ce sinus, permettant ainsi la détermination de la distance entre attracteurs.
L’étude de leur répartition dans l’espace des phases montre qu’ils sont situés sur une courbe
précise. Nous déterminons l’équation de cette courbe, qui dépend de la dynamique du système
et de ses paramètres. Enfin, nous traitons les exemples du circuit de Chua, du système de
Lorenz et du convertisseur Buck.
5.2
Attracteurs chaotiques indépendants dans un système nonlinéaire général
Considérons un système non-linéaire de dimension N , de forme générale

N
N
N
P
P
P


ẋ
=
a
x
+
b
x
x
+
ci,j x2i xj + v,

1
i
i
i,j
i
j


i=1
i=1
i=1


j=1
j=1



N
N
N

P
P
P


ẋ
=
m
x
+
n
x
x
+
oi,j x2i xj ,

2
i
i
i,j
i
j

i=1
i=1
j=1
i=1
j=1


..



.




N
N
N
P
P
P



ẋN =
qi xi +
ri,j xi xj +
si,j x2i xj



i=1
i=1
i=1
j=1
(5.1)
j=1
où ai , bi,j , ci,j , mi , ni,j , oi,j , qi , ri,j et si,j , pour i, j = 1, N , sont des paramètres réels et v
vaut zéro.
On obtient un système commandé à une seule entrée en ajoutant une contre-réaction
v. Afin de produire des attracteurs chaotiques indépendants pour le système (5.1), nous
spécifions une caractéristique binaire pour la contre-réaction, définie analytiquement comme
suit :
v=


1, f (t) < u(t)

0, f (t) ≥ u(t),
(5.2)
où f (t) est une fonction périodique de petite amplitude et u(t) l’anti-contrôle du chaos.
5.2. Attracteurs chaotiques indépendants dans un système non-linéaire général
83
Figure 5.1 : La périodicité des attracteurs dans l’espace d’état.
L’application de la méthode classique d’anti-contrôle du chaos [38], [70], [49] pour obtenir
une dynamique chaotique dans le système commandé (5.1) utilise une simple fonction nonlinéaire de petite amplitude. Nous nous sommes intéressés à une fonction sinus, comme [70],
mais avec de grandes variations de l’amplitude. Cette fonction u(t) est définie par :
u(t) = ε sin (σx1 (t)) .
(5.3)
Nous proposons de combiner l’anti-contrôle du chaos et une caractéristique binaire, que
nous appelons anti-contrôle binaire.
La Fig. 5.1 montre une trajectoire transitoire dans l’espace des phases, jusqu’à ce qu’un
attracteur chaotique soit atteint. Les transitions 0 → 1 → 0 → 1 de l’anti-contrôle binaire
v de l’éq. (5.2) induisent une trajectoire spatiale en dents de scie. Les instants (tk )k∈N des
transitions 1 → 0 de v sont symbolisé par des cercles • dans l’espace d’état. A chaque instant
(tk )k∈N , f (t) est égal à u(t). Nous pouvons donc écrire :
f (t) = u(t).
(5.4)
D’après l’éq. (5.3), l’éq. (5.4) devient :
f (t) = ε sin (σx1 (t)) .
Pour t = t0 , la solution de l’éq. (5.5) est :
1
x1 (t0 ) = arcsin
σ
µ
f (t0 )
ε
(5.5)
¶
.
(5.6)
84
Chapitre 6. Attracteurs chaotique indépendant
La 2π périodicité de la fonction sinus permet de trouver toutes les solutions x1 (tk ) de
l’éq. (5.4) :
µ
σx1 (tk ) ± 2kπ = arcsin
f (t0 )
ε
¶
,
k ∈ N.
(5.7)
2kπ
,
σ
k ∈ N.
(5.8)
Alors,
1
x1 (tk ) = arcsin
σ
µ
f (t0 )
ε
¶
±
Nous pouvons écrire aussi :
x1 (tk ) − x1 (tk−1 ) =
2π
,
σ
k ∈ N+ .
(5.9)
Nous avons démontré que la périodicité de la fonction x1 (t) est 2π/σ, c’est-à-dire la
distance entre deux transitions consécutives 1 → 0 de v sur l’axe x1 .
La Fig. 5.1 présente plusieurs attracteurs chaotiques indépendants atteints à partir de
conditions initiales différentes. Ces attracteurs ont une répartition équidistante dans l’espace
d’état. De plus, nous observons que la distance entre deux attracteurs consécutifs sur l’axe
x1 coı̈ncide avec la distance entre deux cercles • sur l’axe x1 . Donc, la distance entre deux
attracteurs consécutifs est :
dx1 =
2π
.
σ
(5.10)
Si l’on choisit (xi0 )i=1,N = (xi (0))i=1,N comme variables dynamiques indépendantes, les
attracteurs sont situés sur une courbe précise dans l’espace d’état.
Les points d’équilibre du système (5.1) sont définis par :
ẋi = 0,
pour i = 1, N .
(5.11)
Appliquer l’éq. (5.11) au systéme (5.1) donne :

N
N
N
P
P
P


ci,j x2i xj + v = 0,
bi,j xi xj +
 ai xi +


i=1
i=1
i=1


j=1
j=1



N
N
N

P
P
P


oi,j x2i xj = 0,
ni,j xi xj +
 mi xi +

i=1
i=1
j=1
i=1
j=1


..



.




N
N
N
P
P
P



si,j x2i xj = 0.
r
x
x
+
q
x
+
i,j
i
j
i
i


i=1
i=1
i=1
j=1
j=1
(5.12)
5.3. Le circuit de Chua
85
Quand v varie, les points d’équilibre du système (5.12) sont situés sur une courbe que
nous nommons la courbe des attracteurs. En effet, la trajectoire dynamique dans l’espace
des phases reste autour du point fixe, pour chaque attracteur. Si l’on prend en compte les
dernières équations N − 1 du système (5.12), on obtient la même courbe, mais la première
équation paramétrique du système (5.12) est éliminée. La courbe des attracteurs est donnée
par les N − 1 dernières équations implicites (5.12). De plus, l’éq. (5.12) permet de déterminer
la distance entre deux attracteurs consécutifs sur l’autre axe (xi )i=2,N . Si une des variables d’état (xw )w=2,N est explicite et présente une relation linéaire avec les variables d’état
(xi ) i=1,N , substituer la variable d’état (xi ) i=1,N par (dxi ) i=1,N mène à la détermination du
i6=w
i6=w
i6=w
(dxw )w=2,N , la distance entre deux attracteurs consécutifs sur l’axe w.
Afin de vérifier notre méthodologie de génération des attracteurs chaotiques indépendants,
traitons les exemples connus du circuit de Chua, du système de Lorenz et du convertisseur
Buck.
5.3
Le circuit de Chua
Le circuit de Chua [62] [70] est devenu un modèle standard pour l’étude du chaos dans
les systèmes décrits par des équations différentielles à dimension finie. Ses équations d’état
sont :




ẋ1 = α(x2 − x1 − g(x1 )),



ẋ2 = x1 − x2 + x3 ,





ẋ3 = −βx2 − γx3 ,
(5.13)
où
g(x1 ) = bx1 +
a−b
(|x1 + 1| − |x1 − 1|).
2
(5.14)
Quand α = 10, β = 24.5, γ = 0, a = −1.27 et b = −0.68, une orbite de période
stable du circuit de Chua est produite, comme dans la Fig. 5.2, avec les états sans dimension (5.13) (5.14).
Comme vu précédemment, nous pouvons appliquer l’anti-contrôle binaire v de l’éq. (5.2),
afin de produire plusieurs attracteurs chaotiques indépendants. Les équations d’état (5.13)
86
Chapitre 6. Attracteurs chaotique indépendant
deviennent :




ẋ1 = α(x2 − x1 − g(x1 , v)),



ẋ2 = x1 − x2 + x3 ,





ẋ3 = −βx2 ,
(5.15)
où
g(x1 , v) = bx1 + v
a−b
(|x1 + 1| − |x1 − 1|).
2
(5.16)
L’anti-contrôle binaire est choisi en fonction des éq. (5.2) et (5.3), pour ε = 50, σ = 100
et f (t) = sin(1000t), comme suit :
v=


1, sin(1000t) < 50 · sin(100x1 )
(5.17)

0, sin(1000t) ≥ 50 · sin(100x ).
1
2
x3
0
−2
−4
−6
1
3
0.5
2
0
x2
1
−0.5
−1
x1
0
Figure 5.2 : Une orbite périodique stable du circuit de Chua (l’éq. (5.13) (5.14)) avec
a = −1, 27, b = −0, 68, α = 10, β = 24, 5 and γ = 0.
La Fig. 5.3 affiche plusieurs attracteurs chaotiques indépendants dans l’espace des phases.
Des phénomènes semblables peuvent être observés avec d’autres valeurs numériques de ε, σ
et avec n’importe quelle fonction périodique f (t). Les attracteurs sont situés sur une droite,
dont l’équation résulte de l’application de (5.12) au circuit de Chua modifié (5.15) :


x2 = 0,

x = −x .
3
1
(5.18)
5.4. Le système de Lorenz
87
Figure 5.3 : Les attracteurs chaotiques indépendants du circuit de Chua de l’éq. (5.15).
La répartition équidistante des attracteurs dans l’espace des phases permet de déterminer la
distance entre deux attracteurs consécutifs sur les trois axes. Selon l’éq. (5.10) pour l’axe x1 ,
nous avons :
dx1 =
2π
= 0, 0628.
σ
(5.19)
Pour déterminer la distance entre deux attracteurs chaotiques, indépendants et consécutifs
sur les axes x2 et x3 , les variables d’état de l’éq. (5.18) sont remplacées par dx2 et dx3 :


dx2 = 0,

d = −d = −0, 0628.
x3
x1
5.4
(5.20)
Le système de Lorenz
Le système de Lorenz [70] est décrit par




ẋ1 = −10x1 + 10x2



ẋ2 = rx1 − x2 − x1 x3 + v






ẋ3 = − 38 x3 + x1 x2 ,
(5.21)
où v est nul. Dans notre simulation, nous prenons r = 1. L’utilisation de l’anti-contrôle
binaire (5.17) fait que le système de Lorenz (5.21) présente plusieurs attracteurs chaotiques
88
Chapitre 6. Attracteurs chaotique indépendant
indépendants, comme sur la Fig. 5.4. Les attracteurs sont situés sur la courbe suivante :


x2 = x1 ,
(5.22)

x = 3x1 x2 .
3
8
La distance entre deux attracteurs consécutifs sur les axes x1 et x2 est donnée par l’éq. (5.22)
et (5.10).


dx1 =

d
x2
2π
σ
= 0, 0628,
(5.23)
= dx1 = 0, 0628.
Même si la variable d’état x3 est explicite, dx3 ne peut pas être déterminée, parce que
l’éq. (5.22) n’est pas linéaire.
Figure 5.4 : Les attracteurs chaotiques indépendants du système de Lorenz (5.21).
5.5
Le convertisseur Buck
La Fig. 5.5 montre le schéma d’un convertisseur Buck classique qui utilise un contrôleur
de caractéristique binaire [63] [22].
La tension x1 aux bornes du condensateur C et le courant x2 dans l’inductance L sont
choisis comme variables d’état [5] [29]. Le modèle du convertisseur peut être écrit :
ẋ1 = −
1
1
x1 + x2 ,
RC
C
1
E
ẋ2 = − x1 + v.
L
L
(5.24)
(5.25)
5.5. Le convertisseur Buck
89
Figure 5.5 : Schéma fonctionnel du convertisseur Buck avec anti-contrôle.
où
v=


0, vr (t) < A(x1 (t) − E)

1, v (t) ≥ A(x (t) − E).
r
1
(5.26)
et E est une tension d’entrée constante. Ce convertisseur classique a été beaucoup étudié, notamment par [63] [22] [5] et [29]. Nous avons choisi les mêmes valeurs que dans ces références :
L = 20 mH, C = 47 µF, R = 22 Ω, A = 8, 4, Vref = 11, 3 V, VL = 3, 8 V, VU = 8, 2 V,
T = 400 µs et E = 16 V.
Parce que le convertisseur Buck utilise un contrôleur de caractéristique binaire, décrit
par l’éq. (5.26), nous devons seulement appliquer l’éq. (5.3) pour produire des attracteurs
chaotiques indépendants. La nouvelle loi de contrôle que nous proposons a pour expression :
vc (t) = vc1 (t) + vc2 (t) = A(x1 (t) − Vref ) + ε sin [σ(x1 (t) − Vref )] .
L’anti-contrôle binaire est :


0, f (t) < A(x1 (t) − Vref ) + ε · sin(σ(x1 (t) − Vref ))
v=

1, f (t) ≥ A(x (t) − V ) + ε · sin(σ(x (t) − V )).
1
1
ref
ref
(5.27)
(5.28)
où f (t) = vr (t), ε = 18 V et σ = 100 rad/V.
Les attracteurs sont situés sur une ligne, dont l’équation résulte de l’application de (5.12)
à (5.24) :
x2 =
1
x1 .
R
(5.29)
90
Chapitre 6. Attracteurs chaotique indépendant
La pente de la droite sur laquelle les attracteurs sont situés dépend seulement de la
résistance de charge R. La Fig. 5.6 présente plusieurs attracteurs chaotiques indépendants,
atteints à partir de conditions initiales différentes, en fonction de R (12 Ω, 16 Ω, 22 Ω, 30 Ω).
Figure 5.6 : Le diagramme des attracteurs utilisant différentes conditions initiales en fonction de R : R = 12 Ω, 16 Ω, 22 Ω, 30 Ω.
La distance entre deux attracteurs consécutifs est déterminée en utilisant (5.10) et (5.29) :
dx1 =
2π
= 0, 0628 V,
σ
(5.30)
dx 2 =
2π
= 0, 014 A.
Rσ
(5.31)
La dépendance sensible du convertisseur Buck modifié (5.24) (5.25) (5.28) aux conditions initiales est une propriété générique des systèmes chaotiques. La Fig. 5.7 présente
trois trajectoires temporelles avec des conditions initiales distinctes, mais presque identiques : (x10 ; x20 ) = (11, 4004 V; 0, 48A), (x10 ; x20 ) = (11, 4005 V; 0, 48A) et (x10 ; x20 ) =
(11, 4006 V; 0, 48A). Au commencement (i.e. pour t = 0), les trajectoires ne peuvent être
distinguées. Après quelques itérations, les séquences diffèrent largement, même si les conditions initiales sont proches (à 0, 001 % près). A partir de (x10 ; x20 ) = (11, 4004 V; 0, 48A) et
(x10 ; x20 ) = (11, 4005 V; 0, 48A), les trajectoires sont proches l’une des autres et restent dans
la même région autour de x1 = 10, 86 V, mais ne coı̈ncident jamais. Avec (x10 ; x20 ) = (11, 4006 V; 0, 48A),
la trajectoire temporelle s’achève dans une autre région bornée (autour de x1 = 10, 925 V).
5.6. Conclusion
91
11
Tension de sortie x 1(V)
10.95
10.9
10.85
10.8
10.75
10.7
10.65
10.6
10.55
0
Figure 5.7 :
1
2
3
Temps t (s)
4
5
6
−3
x 10
La sensibilité du convertisseur Buck modifié (5.24) (5.25) (5.28)
aux conditions initiales (x10 ; x20 ) = (11, 4004 V; 0, 48A), (x10 ; x20 ) = (11, 4005 V; 0, 48A) et
(x10 ; x20 ) = (11, 4006 V; 0, 48A).
L’exposant de Lyapunov est une mesure quantitative de la sensibilité aux conditions
initiales. La Fig. 5.8 montre l’exposant de Lyapunov maximum du convertisseur Buck modifié (5.24) (5.25) (5.28) , en fonction du paramètre ε. Le fait qu’il atteigne une valeur positive
démontre que le convertisseur Buck a un comportement chaotique.
Nous étudions la répartition des attracteurs dans l’espace des phases en fonction du
paramètre ε. Si l’on n’effectue aucun changement des paramètres du convertisseur Buck (R,
L, C, . . .), tous les attracteurs chaotiques sont alignés dans l’espace d’état quand ε varie, parce
que R est fixe. Afin d’éviter la superposition des attracteurs dans une représentation d’état
(x1 ; x2 ), nous décidons de les représenter en fonction de la variable d’état x2 et du paramètre
ε sur la Fig. 5.9. Pour ε < 12 V, le convertisseur Buck est caractérisé par un attracteur unique.
En revanche, le système présente plusieurs attracteurs chaotiques indépendants, atteints à
partir de conditions initiales différentes, pour ε ≥ 12 V.
5.6
Conclusion
Ce chapitre introduit une nouvelle technique pour produire plusieurs attracteurs chaotiques indépendants grâce à une nouvelle contre-réaction, qui est une combinaison d’une
92
Chapitre 6. Attracteurs chaotique indépendant
Exposant de Lyapunov maximal
6
5.5
5
4.5
4
3.5
3
2.5
0
Figure 5.8 :
5
10
Amplitude ε (V)
15
20
L’exposant maximum de Lyapunov du convertisseur Buck mod-
ifié (5.24) (5.25) (5.28) en fonction de ε.
Figure 5.9 : Le diagramme des attracteurs en fonction de ε, avec des conditions initiales
différentes.
caractéristique binaire et de l’anti-contrôle du chaos.
Nous avons démontré que la périodicité des attracteurs dans l’espace des phases dépend
de la fréquence du sinus de l’anti-contrôle, rendant ainsi possible la détermination précise
de la distance entre attracteurs, laquelle répartition est sur une courbe précise. Nous avons
déterminé l’équation de cette courbe, qui dépend de la dynamique du système contrôlé et de
ses paramètres.
5.6. Conclusion
93
Une application en ingénierie est d’obliger le système non-linéaire à converger vers quelque
attracteur d’intérêt, à partir de conditions initiales différentes, afin d’atteindre différents
points de fonctionnement.
Chapitre 6
Expérimentations
6.1
Introduction
Ce chapitre présente les résultats de mesures effectuées sur une maquette que avons
réalisée (Fig. 6.1). Il s’agit d’un convertisseur Buck DC-DC, dont les valeurs des paramètres
sont reprises de [5] [22] : L = 20 mH, C = 47 µF, R = 22 Ω, a = 8, 4, Vref = 11, 3 V,
VL = 3, 8 V, VU = 8, 2 V, T = 400 µs et E variable entre 12 V et 60 V (voir schéma Fig. 4.1).
Figure 6.1 : Maquette du convertisseur Buck.
96
Expérimentations
6.2
Convertisseur Buck en boucle ouverte
La Fig. 6.2 donne l’oscillogramme obtenu avec ce circuit en boucle ouverte, alimenté par
une tension E = 16 V.
Figure 6.2 : Tension de sortie v (ondulation 560 mV et valeur moyenne 7, 82 V) et signal de
commande δ (fréquence 2, 5 kHz) du convertisseur Buck en boucle ouverte.
Le convertisseur commandé par un signal carré de rapport cyclique δ = 0,5 présente une
tension de sortie périodique d’ondulation 560 mV et de valeur moyenne 7, 82 V, presque égale
à la moitié de la tension d’entrée E.
6.3
Convertisseur Buck en boucle fermée
La loi de commande du convertisseur est vc (t) = vc0 (t), donnée par l’éq. (4.1). Nous allons
effectuer trois séries de mesures, en fonction de la valeur croissante de la tension d’entrée E.
• Pour E = 16 V, la Fig. 6.3 donne la représentation temporelle de la tension de sortie
v(t) et montre que l’ondulation est de 540 mV avec une valeur moyenne de 9, 53 V. La Fig. 6.4
présente le spectre de puissance de v(t) : il comporte un maximum d’amplitude −13, 7 dB (soit
0, 5 V). Nous pouvons observer que la raie fondamentale est à la fréquence de commutation
1/T = 2, 5 kHz.
Pour cette valeur de la tension d’entrée E, la tension de sortie v(t) est un signal périodique
de même période T que la dent de scie : la sortie est un signal de période-1 (comme on la
6.3. Convertisseur Buck en boucle fermée
97
définit dans la partie 2.3 Les attracteurs).
Figure 6.3 : Trajectoire temporelle de la tension de sortie v(t), obtenue pour E = 16 V,
avec la loi de commande vc0 (t) de l’éq. (4.1) (ondulation de 540 mV et valeur moyenne de
9, 53 V).
Figure 6.4 : Spectre de puissance de la tension de sortie v(t), obtenu pour E = 16 V, avec
la loi de commande vc0 (t) de l’éq. (4.1) (pic = −13, 7 dB).
• Pour E = 30 V, les ondulations de v(t) augmentent fortement : elles sont maintenant de
1, 28 V, comme on peut le voir sur la trajectoire temporelle de v(t), Fig. 6.5 (la valeur moyenne
est de 10, 1 V). On observe un doublement de période : la sortie est un signal de fréquence
1/(2T ) = 1, 25 kHz, comme le montre le spectre de puissance, la Fig. 6.6. L’amplitude de
l’harmonique fondamental est de −5, 77 dB (soit 0, 75 V).
La valeur de l’ondulation a plus que doublé, tandis que l’amplitude de l’harmonique
98
Expérimentations
fondamental a cru de moitié, pour une augmentation de la tension d’entrée E de 16 V à
30 V. Les performances du domaine temporel et du domaine fréquentiel sont très nettement
dégradées.
Figure 6.5 : Trajectoire temporelle de la tension de sortie v(t), obtenue pour E = 30 V, avec
la loi de commande vc0 (t) de l’éq. (4.1) (ondulation de 1, 28 V et valeur moyenne de 10, 1 V).
Figure 6.6 : Spectre de puissance de la tension de sortie v(t), obtenu pour E = 30 V, avec
la loi de commande vc0 (t) de l’éq. (4.1) (pic = −5, 77 dB).
• Pour une nouvelle valeur de la tension d’entrée E = 55 V, la tension de sortie v(t) est
menée à un état chaotique (Fig. 6.7, Fig. 6.8). Les ondulations de v(t) augmentent encore :
elles sont maintenant de 4, 6 V, comme on peut le voir sur la trajectoire temporelle de v(t),
Fig. 6.7. La Fig. 6.8 présente le spectre de puissance de la tension de sortie v(t) : la plus
grande amplitude spectrale est de −1, 77 dB (soit 0, 915 V).
6.3. Convertisseur Buck en boucle fermée
99
Nous pouvons observer que ce spectre ne comporte plus seulement une raie à la fréquence
de commutation 1/T : des raies spectrales apparaissent à des fréquences plus basses, élargissant
la bande des fréquences.
Figure 6.7 : Trajectoire temporelle de la tension de sortie v(t), obtenue pour E = 55 V, avec
la loi de commande vc0 (t) de l’éq. (4.1) (ondulation de 4, 6 V et valeur moyenne de 9, 7 V).
Figure 6.8 : Spectre de puissance de la tension de sortie v(t), obtenu pour E = 55 V, avec
la loi de commande vc0 (t) de l’éq. (4.1) (pic = −1, 77 dB).
Nous avons mis en évidence le comportement chaotique d’un convertisseur Buck, mais
seulement avec la loi de commande la plus simple, vc (t) = vc0 (t). En effet, l’implémentation
de la loi de commande vc3 (t) avec des composants électroniques discrets nous a posé problème
(en particulier à cause des grandes variations de la pulsation ω2 ).
Nous avons donc opté pour une mise en oeuvre informatique, à l’aide du logiciel LabView
100
Expérimentations
de National Instruments, un environnement de programmation graphique utilisé pour acquérir
et contrôler des données, pour les analyser et les présenter. La programmation graphique des
trois lois de commande vc0 (t), vc2 (t) et vc3 (t) est présentée Fig. 6.9 et Fig. 6.10.
Il reste à interfacer le convertisseur Buck et le logiciel par l’intermédiaire d’une carte
d’acquisition comportant des entrées et des sorties analogiques. En effet, il faut adapter
le niveau de la tension de sortie du convertisseur à celui d’entrée de la carte et adapter la
tension de sortie fournie par la carte à un niveau suffisant pour commander le transistor du
convertisseur Buck.
Figure 6.9 : Implémentation de la commande vc0 (t).
6.3. Convertisseur Buck en boucle fermée
Figure 6.10 : Implémentation des commandes vc2 (t) et vc3 (t).
101
Chapitre 7
Conclusion
Les travaux exposés dans ce mémoire portent sur l’analyse et le contrôle de dynamiques
chaotiques et leur application à des circuits électroniques fortement non-linéaires qui peuvent être rendus chaotiques, les convertisseurs DC-DC de l’électronique de puissance. De
plus, la possibilité d’effectuer des vérifications expérimentales des résultats théoriques par
la réalisation de maquettes n’a fait que conforter notre choix de ces circuits comme sujets
d’application. Bien entendu, ce choix n’enlève rien à la généralité des méthodes exposées.
Après un court historique du chaos, nous avons fourni les moyens d’appréhender et de
reconnaı̂tre un comportement chaotique, qualitativement et quantitativement et introduit les
notions majeures utilisées tout au long de ce mémoire.
La contribution de nos travaux porte sur plusieurs aspects. Il s’est agi en premier lieu
d’éliminer le chaos naturellement présent dans les convertisseurs DC-DC commandés en
courant en appliquant la commande par mode glissant. Ce fut l’objet du troisième chapitre,
qui traite du contrôle du chaos par cette méthode et en effectue une étude comparative avec
la méthode classique, y compris quand le système est stable. Nous avons ensuite développé
une application itérative qui fournit les expressions mathématiques des ondulations ∆v de
la tension de sortie, ∆i du courant de l’inductance et de la fréquence de commutation,
quand la sortie est périodique, pour les deux méthodes de commande. Nous pouvons ainsi
déterminer quelle méthode donne les meilleurs résultats, en fonction du domaine de variation
des paramètres [66] [67] [45].
Le deuxième point a porté sur la génération du chaos dans le but d’améliorer la compatibilité électromagnétique d’un convertisseur, par l’extension de la méthode d’anti-contrôle du
104
Conclusion
chaos. En effet, l’introduction volontairement du chaos dans les alimentations à découpage
afin de réduire leurs émissions spectrales [73] habituelles s’accompagne malheureusement
d’une augmentation de l’ondulation de la tension de sortie. C’est la raison pour laquelle
nous avons proposé une nouvelle méthode de contrôle non-linéaire induisant du chaos, qui
maintient une faible ondulation et qui garantit également de faibles émissions spectrales. La
faisabilité et l’intérêt de cette extension de la méthode d’anti-contrôle du chaos ont été illustrés
par un exemple [46] [49] [47]. Nous avons également développé une application itérative qui
donne la possibilité de passer d’une dynamique continue complexe à une dynamique discrète
simplifiée, tout en préservant les propriétés globales du système. Cette application itérative
est également très utile pour réduire les temps de calcul de la simulation numérique.
Le troisième aspect de nos travaux concerne une nouvelle technique produisant plusieurs
attracteurs chaotiques indépendants grâce à une commande binaire, basée sur la méthode
de l’anti-contrôle du chaos. Nous avons montré que les systèmes non-linéaires possèdent
plusieurs attracteurs, dont la périodicité dans l’espace d’état dépend de la fréquence du sinus
de l’anti-contrôle. Nous avons démontré que ces derniers se répartissent dans l’espace d’état
de façon équidistante sur une courbe précise, dont nous avons déterminé l’équation, en fonction de la dynamique du système contrôlé et de ses paramètres. Nous avons alors obtenu une
relation mathématique donnant la distance entre deux attracteurs consécutifs [48]. Cependant, l’emploi de la commande binaire ne permet d’obtenir que des attracteurs chaotiques
situés dans une zone particulière de l’espace d’état.
Nous souhaitons donc améliorer cette technique de production d’attracteurs en introduisant une commande plus générale, qui permette de générer des attracteurs indépendants
(sur la courbe précise) dans une zone souhaitée de l’espace d’état. Nous pourrons alors
déterminer le nombre maximum d’attracteurs existant dans cette zone et de déterminer le
domaine de variation de chaque variable d’état. Une application pourrait être d’obliger le
système non-linéaire à converger vers quelque attracteur d’intérêt, à partir de conditions
initiales différentes, afin d’atteindre différents points de fonctionnement. Nous souhaitons
établir si des liens sont possibles avec des domaines applicatifs en ingénierie, par exemple en
cryptographie.
Enfin, nous avons présenté des résultats de mesures effectuées sur la maquette d’un convertisseur Buck que avons réalisée. Nous avons validé expérimentalement les résultats issus
Conclusion
105
de la simulation et du calcul par l’application itérative et mis en évidence le comportement
chaotique du convertisseur, pour la loi de commande vc0 (t).
La suite de l’implémentation permettra de valider la dernière loi de commande vc3 (t), qui
génère du chaos et réduit les ondulations de la tension de sortie v(t), c’est-à-dire de vérifier
que l’extension de l’anti-contrôle du chaos réduit effectivement les émissions harmoniques.
106
Conclusion
Publications et communications de Cristina MOREL-VLAD, sur le thème
scientifique de la thèse uniquement
Revues internationales avec comité de lecture
X [48] C. Morel, M. Bourcerie, and F. Chapeau-Blondeau. Generating independent
chaotic attractors by chaos anticontrol in nonlinear circuits. Chaos, Solitons, and Fractals,
2005, 26(2), pages 541–549.
X [49] C. Morel, M. Bourcerie, and F. Chapeau-Blondeau. Improvement of power supply
electromagnetic compatibility by extension of chaos anticontrol. Journal of Circuits, Systems
and Computers, 14(4), 2005, pages 757–770.
Communications internationales avec comité de lecture
X [47] C. Morel, M. Bourcerie, and F. Chapeau-Blondeau.
Construction of an A-
switching map to control nonlinear dynamics of electronic converters. In IMACS World
Congress, Paris, France, volume T6-I-60-0699, pages 1–6, 11-15 July 2005.
X [46] C. Morel, M. Bourcerie, and F. Chapeau-Blondeau. Extension of chaos anticontrol
applied to the improvement of switch-mode power supply electromagnetic compatibility. In
Proceedings of the IEEE International Symposium on Industrial Electronics ISIE’04, Ajaccio,
France, pages 447–452, 4-7 May 2004.
X [45] C. Morel. Application of slide mode control to a current-mode-controlled boost
converter. In The 28th Annual Conference of the IEEE Industrial Electronics Society IECON,
Sevilla, Spain, 5-8 November 2002.
X [67] C. Morel-Vlad, D. Petreus, and C. Farcas. Study of Chaos in Buck Converter.
Comparison of Bifurcation Diagrams Using P and PID Controllers. In European Conferance
on Circuit Theory and Design ECCTD’99, European Circuit Society, IEEE Circuits and
System Society, Stresa, Italy, pages 1223–1226, 29 Aug. - 2 Sep. 1999.
X [66] C. Morel-Vlad, S. Lungu, and D. Petreus. Controlling Chaos in Buck Converters. In 6th IEEE International Conference on Electronics, Circuits and Systems ICECS ’99,
Pafos, Cyprus, pages 157–160, 5-8 September 1999.
Bibliographie
[1] D. Arzelier and D. Peaucelle. Systèmes et asservissements non linéaires : notes de cours.
Technical report, CNRS, LAAS.
[2] M. A. Aziz-Alaoui and G. Chen. Asymptotic analysis of a new piecewise-linear chaotic
system. International Journal of Bifurcation and Chaos, 12(1):147–157, 2002.
[3] A. Babloyantz, J. M. Salazar, and C. Nicolis. Evidence of chaotic dynamics of brain
activity during the sleep cycle. Physics Letters A, 111:152–156, 1985.
[4] S. Banerjee and G. C. Verghese. Nonlinear Phenomena in Power Electronics; Attractors,
Bifurcations, Chaos, and Nonlinear Control. New York IEEE Press, 2001.
[5] M. di Bernardo, F. Garofalo, L. Glielmo, and F. Vasca. Switchings, bifurcations, and
chaos in DC-DC converters. IEEE Transactions on Circuits and Systems -I: Fundamental
Theory and Application, 45(2):133–141, 1998.
[6] G. Blanchet and M. Charbit. Traitement Numérique du Signal, Simulation sous Matlab.
Paris Hermes, 1998.
[7] H. Cao, X. Chi, and G. Chen. Suppressing or inducing chaos in a model of robot arms
and mechanical manipulators. Journal of Sound and Vibration, 271(3-5):705–724, 2004.
[8] J.-L. Chabert and A. D. Dalmendico. Chaos et Déterminime: Les Idées Nouvelles de
Poincaré. Paris Edirions du Seuil, 1992.
[9] W. C. Y. Chan and C. K. Tse. Study of bifurcations in current-programmed DC-DC
Boost converters: From quasi-periodicity to period-doubling. IEEE Transactions on
Circuits and Systems -I: Fundamental Theory and Application, 44(12):1129–1142, 1997.
108
BIBLIOGRAPHIE
[10] G. Chen. Controlling Chaos and Bifurcations in Engineering Systems. London CRC
Press, 1999.
[11] G. Chen and D. Lai. Making a dynamical system chaotic: Feedback control of Lyapunov
exponents for discrete-time dynamical systems. IEEE Transactions on Circuits and
Systems -I: Fundamental Theory and Application, 44(3):250–253, 1997.
[12] G. Chen and T. Ueta. Chaos in Circuits and Systems. London World Scientific, 2002.
[13] L. O. Chua, M. Komuro, and T. Matsumoto. The double scroll family, part i and ii.
IEEE Transactions on Circuits and Systems-I: Fundamental Theory and Application,
33(11):1073–1118, 1986.
[14] J.-L. Cocquerelle and C. Pasquier. Rayonnement électromagnétique des convertisseurs
à découpage. Paris EDP Sciences, 2002.
[15] H. Dang-Vu and C. Delcarte. Bifuractions et chaos, une introduction à la dynamique
contemporaine avec des programmes en Pascal, Fortran et Mathematica. Paris Ellipses,
2000.
[16] J. H. B. Deane, P. Ashwin, D. C. Hamill, and D. J. Jefferies. Calculation of the periodic
spectral components in a chaotic DC-DC converter. IEEE Transactions on Circuits and
Systems-I: Fundamental Theory and Application, 46(11):1313–1319, 1999.
[17] U. Dressler and G. Nitsche. Controlling chaos using time delay coordinates. Physical
Review Letters, 68:1–4, 1992.
[18] L. P. Endersen and N. Skarland. Limit cycle oscillations in pacemaker cells. IEEE
Transactions on Biomedical Engineering, 47(8):1–5, 2000.
[19] G. Escobar, R. Ortega, H. Sira-Ramirez, J.-P. Vilain, and I. Zein. An experimental
comparison of several nonlinear controllers for power converters. IEEE Control Systems
Magazine, 19(1):66–82, 1999.
[20] R. Feeney, S. Schmidt, and P. Ortoleva. Experiments on electric field-BZ chemical wave
interaction: Annihilation and the crescent wave. Physica D2, pages 536–544, 1981.
BIBLIOGRAPHIE
109
[21] R. J. Field and M. Burger. Oscillations and traveling waves in chemical systems. New
York, Wiley, 1995.
[22] E. Fossas and G. Olivar. Study of chaos in the Buck converter. IEEE Transactions on
Circuits and Systems-I: Fundamental Theory and Application, 43(1):13–25, 1996.
[23] W. J. Freeman. Simulation of chaotic EEG patterns with a dynamic model of the
olfactory system. Biological Cybernetics, 56:139–150, 1987.
[24] V. Gaspar, G. Bazsa, and M. Beck. The influence of visible light on the BelousovZhabotinskii oscillating reaction appliyng different catalysts. Z Phys Chemie, 264:43–48,
1983.
[25] R. Genesio and A. Tesi. A harminic balance approach for chaos prediction: Chua’s
circuit. International Journal of Bifurcation and Chaos, 2(1):61–80, 1992.
[26] R. Genesio and A. Tesi. Harmonic balance methods for the analysis of chaotic dynamics
in nonlinear systems. Automatica, 28:531–548, 1992.
[27] F. Gordillo, F. Salas, R. Ortega, and J. Aracil. Hopf bifurcation in indirect field-oriented
control of induction motors. Automatica, 38:829–835, 2002.
[28] K. Hall, D. J. Christini, M. Tremblay, J. J. Collins, L. Glass, and J. Billette. Dynamic
control of cardiac alternans. Physical Review Letters, 78:4518–4521, 1997.
[29] D. C. Hamill, J. H. B. Deane, and D. J. Jefferies. Modeling of chaotic DC-DC converters
by iterated nonlinear mappings. IEEE Transactions on Power Electronics, 7(1):25–36,
1992.
[30] H. Hayashi and S. Ishizuka. Chaotic activity in hippocampus neural network and intracranical self-stimulation. In Proceedings International Conference Fuzzy Logic and
Neural Networks, Lizuka, Japan, volume 2, pages 583–586, 1990.
[31] V. In, S. E. Mann, W. L. Ditto, and M. L. Spano. Experimental maintainance of chaos.
Physical Review Letters, 74(22):4420–4423, 1995.
[32] T. Kapitaniak. Chaos for Engineers, Theory, Applications, and Control. Berlin Springer,
2000.
110
BIBLIOGRAPHIE
[33] M. P. Kennedy. Three steps to chaos - part i: Evolution. IEEE Transactions on Circuits
and Systems -I: Fundamental Theory and Application, 40(10):640–656, 1993.
[34] L. Kocarev, K. Hall, K. Eckert, and L. O. Chua. Experimental demonstration of secure
communications via chaos synchronization. Physics Letters A, 2:709–716, 1992.
[35] H. Koizumi, I. Sasase, and S. Mori. Analysis of class D-E resonant DC-DC converter
using thinned-out method. Journal of Circuits, Systems and Computers, 11(3-5):35–50,
2002.
[36] L. Kuhnert, K. I. Agladze, and V. I. Krinsky. Image processing using light-sensitive
chemical waves. Nature, 337:244–247, 1989.
[37] Y. M. Lai, C. K. Tse, and P. Mehta. A symbolic circuit modeling program for DC-DC
power converter circuits. Journal of Circuits, Systems and Computers, 8:329–335, 1998.
[38] Z. Li, J. B. Park, G. Chen, H. J. Young, and Y. H. Choi. Generating chaos via feedback
control from a stable TS fuzzy system through a sinusoidal nonlinearity. International
Journal of Bifurcation and Chaos, 12(10):2283–2291, 2002.
[39] F. L. Lin and D. Y. Chen. Reduction of power supply EMI emission by switching
frequency modulation. IEEE Transactions on Power Electronics, 9(1):132–137, 1994.
[40] E. N. Lorenz. Deterministic nonperiodic flow. Journal of Atmospheric Sciences, 20:130–
141, 1963.
[41] J. Lu, X. Yu, and G. Chen. Generating chaotic attractors with multiple merged basins
of attraction: A switching piecewise-linear control approach. IEEE Transactions on
Circuits and Systems -I: Fundamental Theory and Application, 50(2):198–207, 2003.
[42] J. Lu, X. Yu, T. Zhou, G. Chen, and X. Yang. Generating chaos with a switching
piecewise-linear controller. Chaos, 12(2):344–349, 2002.
[43] R. Moore. Etude des réseaux neuronaux en tant que systèmes dynamiques chaotiques.
Technical report, Macquarie University, 1999.
BIBLIOGRAPHIE
111
[44] J. Morales, A. Suarez, and R. Quéré. Chaos dans un diviseur de fréquence monolithique
en bande millimétrique. In 10èmes Journées Nationales Microondes, Saint-Malo, pages
242–243, 21-23 mai 1997.
[45] C. Morel. Application of slide mode control to a current-mode-controlled Boost converter.
In The 28th Annual Conference of the IEEE Industrial Electronics Society
IECON, Sevilla, Spain, pages 1824–1829, 5-8 November 2002.
[46] C. Morel, M. Bourcerie, and F. Chapeau-Blondeau. Extension of chaos anticontrol
applied to the improvement of switch-mode power supply electromagnetic compatibility.
In Proceedings of the IEEE International Symposium on Industrial Electronics ISIE’04,
Ajaccio, France, pages 447–452, 4-7 May 2004.
[47] C. Morel, M. Bourcerie, and F. Chapeau-Blondeau. Construction of an A-switching
map to control nonlinear dynamics of electronic converters. In IMACS World Congress,
Paris, France, volume T6-I-60-0699, pages 1–6, 11-15 July 2005.
[48] C. Morel, M. Bourcerie, and F. Chapeau-Blondeau. Generating independent chaotic
attractors by chaos anticontrol in nonlinear circuits. Chaos, Solitons and Fractals,
26(2):541–549, 2005.
[49] C. Morel, M. Bourcerie, and F. Chapeau-Blondeau. Improvement of power supply electromagnetic compatibility by extension of chaos anticontrol. Journal of Circuits, Systems
and Computers, 14(4):757–770, 2005.
[50] E. Ott, C. Grebogi, and J. A. Yorke. Controlling chaos. Physical Review Letters, 64:1196–
1199, 1990.
[51] A. Oustaloup, J. Sabatier, and P. Lanusse. From fractal robustness to the crone control.
Fractional Calculus and Applied Analysis, 2(1), 1999.
[52] S. Penaud, J. Guittard, P. Bouysse, and R. Quere.
Dsp implementation of self-
synchronised chaotic encoder-decoder. Electronics Letters, 36(4):365–366, 2000.
[53] G. Perez and H. Cerdeira. Extracting messages masked by chaos. Physical Review
Letters, 74:1970–1973, 1995.
112
BIBLIOGRAPHIE
[54] M. Perez, R. Ortega, and J.R. Espinoza. Passivity-based pi control of switched power
converters. IEEE Transactions on Control Systems Technology, 12(6):881–890, 2004.
[55] K. Pyragas. Continuous control of chaos by self-controlling feedback. Physical Review
Letters, 170:421–428, 1992.
[56] K. Pyragas and A. Tamasevicius.
Experimental control of chaos by delayed self-
controlling feedback. Physics Letters A, 180:99–102, 1993.
[57] C. Ramus-Serment, X. Moreau, M. Nouillant, A. Oustaloup, and F. Levron. Generalised approach on fractional response of fractal networks. Chaos, Solitons and Fractals,
14(3):479–488, 2002.
[58] H. G. Schuster. Handbook of Chaos Control. Weinheim Wiley-VCH, 1999.
[59] T. Shinbrot, C. Grebogi, E. Ott, and J. A. York. Using small perdurbation to control
chaos. Nature, 362:411–417, 1993.
[60] A. M. Stankovic, G. C. Verghese, and D. J. Perreault. Analysis and synthesis of randomized modulation schemes for power converters. IEEE Transactions on Power Electronics,
10(6):680–693, 1995.
[61] A. Suarez, J. Morales, and R. Quere. Chaos prediction in an mmic frequency divider in
millimetric band. IEEE Microwave and Guided Wave Letters, 8(1):21–23, 1998.
[62] W. K. S. Tang, G. Q. Zhong, G. Chen, and K. F. Man. Generation of N-scoll attractors
via sine function. IEEE Transactions on Circuits and Systems -I: Fundamental Theory
and Application, 48(11):1369–1372, 2001.
[63] C. K. Tse. Complex Behavior of Switching Power Converters. New York CRC Press,
2003.
[64] E. Tziperman, H. Scher, S. E. Zebiak, and M. A. Cane. Controlling spatiotemporal chaos
in a realistic el niño prediction model. Physical Review Letters, 79:1034–1037, 1997.
[65] V. Utkin, J. Gujdner, and J. Shi. Sliding Mode Control in Electromechanical Systems.
London, Taylor-Francis, 1999.
BIBLIOGRAPHIE
113
[66] C. Vlad, D. Lungu, and D. Petreus. Controlling chaos in Buck converters. In 6th
IEEE International Conference on Electronics, Circuits and Systems ICECS ’99, Pafos,
Cyprus, pages 157–160, 5-8 September 1999.
[67] C. Vlad, D. Petreus, and C. Farcas. Study of chaos in Buck converter. comparison of
bifurcation diagrams using P and PID controllers. In European Conference on Circuit
Theory and Design ECCTD’99, European Circuit Society, IEEE Circuits and System
Society, Stresa, Italy, pages 1223–1226, 29 Aug. - 2 Sep. 1999.
[68] X. F. Wang and G. Chen. Chaotifying a stable map via smooth small-amplitude highfrequency feedback control. International Journal of Circuit Theory and Applications,
28:305–312, 2000.
[69] X. F. Wang, G. Chen, and K. F. Man. Making a continuous-time minimum-phase system
chaotic by using time-delay feedback. IEEE Transactions on Circuits and Systems -I:
Fundamental Theory and Application, 48(5):641–645, 2001.
[70] X. F. Wang, G. Chen, and X. Yu. Anticontrol of chaos in continuous-time systems via
time-delay feedback. Chaos, 10(4):771–779, 2000.
[71] F. X. Witkovski, K. M. Kavanagh, P. A. Penkoske, R. Plonsey, M. L. Spano, W. L.
Ditto, and D. T. Kaplan. Evidence for determinism in ventricular fibrillation. Physical
Review Letters, 75:1230–1237, 1995.
[72] N. Witkowski and P. Bergé. Le chaos. Magazine Scientifique Européen Archimède, 13
Janvier 1998.
[73] O. Woywode, H. Guldner, A. L. Baranovski, and W. Schwarz. Bifurcation and statistical analysis of DC-DC converters. IEEE Transactions on Circuits and Systems-I:
Fundamental Theory and Application, 50(8):1072–1080, 2003.
[74] T. Zaharieva. Notes. Technical report, LESIA, INSA.
Cristina MOREL
Résumé
Analyse et contrôle de dynamiques chaotiques, application à des circuits
électroniques non-linéaires.
Les alimentations électriques à découpage sont des systèmes fortement non-linéaires qui peuvent naturellement présenter un comportement chaotique. Dans un premier temps, nous étudions le contrôle du
chaos, c’est-à-dire un moyen d’éliminer le chaos, grâce à une commande à mode glissant. Toutefois,
l’introduction volontaire du chaos dans ces systèmes présente l’avantage de réduire leurs émissions d’interférences électromagnétiques, mais au détriment d’une augmentation de l’ondulation de leur tension
de sortie. Nous proposons alors une nouvelle méthode de contrôle non-linéaire induisant du chaos et permettant à la fois de limiter les émissions spectrales et d’assurer une faible ondulation de la sortie. Nous
introduisons ensuite une commande binaire, utilisant la technique de l’anticontrôle, qui produit plusieurs
attracteurs chaotiques indépendants. Nous démontrons que les systèmes non-linéaires possèdent plusieurs attracteurs qui se répartissent de façon équidistante dans l’espace d’état, sur une courbe précise.
Nous déduisons alors une relation mathématique donnant la distance entre deux attracteurs successifs.
Enfin, nous décrivons une réalisation pratique et donnons quelques résultats expérimentaux.
Mots-clés : convertisseur de tension, (anti)contrôle du chaos, commande à mode glissant, attracteurs
chaotiques, commande binaire, électronique non-linéaire.
Abstract
Analysis and control of chaotic dynamics, application to non-linear
electronic circuits.
Switch-mode power supplies are highly non-linear systems that can naturally exhibit a chaotic behavior.
We first study the control of chaos, i.e. a means to remove chaos, with sliding mode control. Nevertheless, inducing chaos in these systems reduces their electromagnetic interferences emissions, yet at the
expense of aggravating the overall magnitude of the output voltage ripple. We then introduce a nonlinear
feedback control method, which induces chaos, and which is able at the same time to achieve low spectral emission and to maintain a small ripple in the output. We also propose a new technique to generate
several independent chaotic attractors, by designing a switching binary controller of continuous-time
systems : this controller can create chaos using an anticontrol of chaos feedback. We show that nonlinear continuous-time systems have several attractors and demonstrate that their state space equidistant
repartition is on a precise curve. A mathematical formula giving the distance between the attractors is
then deduced. Finally, a practical implementation is described, with some experimental measurements.
Keywords: electrical converter, (anti)control of chaos, slide mode control, map, chaotic attractors,
binary controller, non-linear electronics