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X Physique 2 PC 2003 — Corrigé
Ce corrigé est proposé par Benoît Lobry (Professeur en CPGE) ; il a été relu par
Éric Armengaud (ENS Ulm) et Stéphane Ravier (Professeur en CPGE).
Cette épreuve porte sur l’étude du processus conduisant à la charge des nuages
puis à leur brusque décharge par la foudre. Le problème forme un ensemble progressif
et cohérent qui donne une bonne compréhension du phénomène physique :
• la première partie permet de caractériser les courants ioniques qui se développent par beau temps dans l’atmosphère ;
• dans la deuxième, on montre comment ces courants provoquent la charge des
nuages et l’existence en leur sein d’un champ électrique très intense ;
• enfin, une troisième partie relativement courte explique, à la lumière des résultats précédents, le rôle des éclairs dans la circulation des charges électriques au
sein de l’atmosphère.
Les concepts mis en jeu dans ce problème sont relativement simples. Ce sont tous
des résultats élémentaires d’électrostatique, de diffusion particulaire et de mécanique
des fluides. En revanche, dans tout le sujet, l’accent est clairement mis sur l’esprit
d’analyse et non sur la virtuosité calculatoire. Cette épreuve s’inscrit donc bien dans
l’esprit de la filière PC, mais peut être déroutante pour un candidat habitué à des
problèmes plus directifs. Il faut voir en ce sujet un bon problème d’entraînement aux
concours.
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Indications
Première partie
I.1.a Utiliser le résultat ℓ∗ ∼ 1/nσ où ℓ∗ est le libre parcours moyen, n le nombre de molécules par unité de volume et σ la section efficace. Relier n à ρ.
I.2.a Faire un bilan de cations sur un volume de section S compris entre z et z +dz,
où les cations entrent en z + dz et sortent en z.
I.2.b Faire la somme et la différence des équations vérifiées par n+ et n− .
I.2.c Montrer que E(z) est proportionnel à ρ(z) avec les questions I.1.a et I.1.f.
I.2.d Considérer que n(t) = n0 + δn(t) et simplifier l’équation de la question I.2.b
au premier ordre en δn(t)/n0 . En déduire la durée caractéristique τ ′ .
I.2.f Donner la signification physique du quotient de |E| par |dE/dz| et du produit
|vℓ | τ ′ . Comparer ces deux quantités.
I.3.a Écrire que E(z)/ρ(z) est une constante d’après la question I.2.c.
→
I.3.c La densité de courant pour chaque type d’ions est de la forme n q −
v.
I.3.d Utiliser l’équation de Maxwell-Gauss.
Deuxième partie
II.1.a Appliquer le principe fondamental de la dynamique en régime stationnaire.
II.1.c Le régime est laminaire si le nombre de Reynolds Re ≪ 1, et turbulent si
Re ≫ 1. Conserver la valeur cohérente pour chacun des deux rayons.
II.2.b À l’aide d’un bilan sur un volume (V) et du théorème d’Ostrogradski, montrer
∂n
= D∆n
∂t
Utiliser l’expression du laplacien en coordonnées sphériques de l’énoncé.
−−→
→
II.2.c Ag est le flux entrant de −
 n = −D grad n à travers la surface de la goutte.
→
−
II.3.a.2 Calculer le champ électrique E pour r > Rg à l’aide du théorème de Gauss
et en déduire V en r = Rg par continuité du potentiel.
2
II.3.a.3 Considérer que Q2 ∼ h |Q| i .
→
II.3.b.1 Montrer que V (−
r ) = −Ez, puis écrire z en coordonnées sphériques.
E
II.3.b.2 Montrer que l’on a nécessairement g(θ) = g0 cos θ et déterminer g0 . Justifier
que ∆Vg = 0 et en déduire deux valeurs possibles pour n (une seule est
physiquement acceptable).
II.3.b.3 Utiliser les potentiels obtenus aux questions précédentes et le principe de
superposition.
II.3.b.4 Utiliser la relation de passage du champ électrique à la surface de la goutte,
sachant que celle-ci est un conducteur parfait.
II.4.a Considérer qu’en Q = − |Q| max , la densité σ(θ) est nulle pour θ = 180◦ .
II.4.b.1 Envisager l’effet de l’interaction coulombienne sur l’absorption des cations
et des anions par la face inférieure de la goutte lors de sa chute.
II.4.b.2 Quand |E| croît, la goutte est ralentie et les ions sont accélérés. L’absorption
peut se faire par la face supérieure.
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I.
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Distribution et circulation des ions par beau
temps
I.1.a La durée moyenne τ ∗ qui sépare deux chocs consécutifs de l’ion avec les
molécules composant l’air est égale à ℓ∗ /v, où v est la vitesse de l’ion et ℓ∗ le libre
parcours moyen de l’ion dans l’air, c’est-à-dire la distance moyenne parcourue par
l’ion entre deux chocs consécutifs. On sait que
1
nσ
où n est le nombre de molécules par unité de volume dans l’air et σ la section efficace
de l’ion. Si la masse molaire de l’air est M, alors la masse moyenne d’une molécule
d’air est M/NA et il vient facilement
ℓ∗ ∼
NA
ρ
M
Finalement, la durée moyenne τ ∗ entre deux chocs vérifie
n=
τ∗ ∼
M
σNA ρv
Le frottement f = λv est proportionnel à la fréquence 1/τ ∗ des chocs, on a donc
σNA ρv
σNA ρ
soit
λ∝
M
M
Or, si la composition de l’air est uniforme, les grandeurs M et σ sont constantes et λ
→
est bien proportionnel à ρ(−
r ).
f∝
Sur cette question, précisons les points suivants :
• Le libre parcours moyen ℓ∗ de l’ion dans l’air s’évalue en considérant
que, dans le volume de longueur ℓ∗ et de section σ, l’ion ne rencontre
en moyenne qu’une seule molécule d’air. Il vient donc
1
nσℓ∗ ∼ 1
soit
ℓ∗ ∼
nσ
Dans le modèle des sphères dures, la section efficace σ est égale à π(r+ra )2 , où r
est le rayon de l’ion et ra le rayon moyen
des molécules de l’air.
r
+ ra
r
ra
`
• Le symbole ∝ indique la proportionnalité entre deux expressions littérales.
I.1.b On applique le principe fondamental de la dynamique au cation dans le référentiel terrestre, supposé galiléen. Ce cation subit la force de frottement introduite
par l’énoncé et la force électrique. La force de pesanteur et la force magnétique sont
négligées, de sorte que
→
→
→
−
→
d−
v
d−
v
λ→
e−
→
m
= −λ−
v + eE
soit
+ −
v =
E
dt
dt
m
m
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→
→
→
I.1.c La solution de cette équation différentielle est −
v (t) = −
v 1 (t) + −
v 2 (t) où
→
−
→
→
−
d v1
λ→
λ−
e−
→
+ −
v1 = 0
et
v2 =
E
dt
m
m
m
→
−
λt
→
−
Avec
v 1 = A exp −
m
on parvient à la solution générale
→
−
→
λt
e−
→
−
v (t) = A exp −
+ E
m
λ
→
−
→
La condition initiale −
v (0) = 0 impose que
→
→
−
e−
A =− E
λ
→
λt
e−
→
−
soit finalement
v (t) = 1 − exp −
E
m
λ
I.1.d Pour un instant t très supérieur à la durée m/λ, on a
→
e−
−
→
v (t) ≃ E
λ
→
e−
−
→
vℓ = E
λ
donc
La durée m/λ représente donc le temps caractéristique d’évolution et
τ=
m
λ
→
On trouve −
vℓ sans calcul en considérant directement le régime stationnaire
dans le principe fondamental de la dynamique exprimé à la question précédente.
Pour un anion, il suffit de remplacer e par −e dans les résultats précédents.
→
La vitesse limite −
vℓ est opposée mais le temps τ reste inchangé.
I.1.e Si la masse molaire de l’air est M, alors
m=
d’où
M
= 4, 8.10−26 kg
NA
−
→
vℓ = 4, 8.10−3 m.s−1
et
τ = 9, 6.10−11 s
→
−
→
−
→
Le rapport entre la force magnétique q −
v ∧ B et la force électrique q E est de
l’ordre de
−
−
→ →
vℓ B −
= 3, 2.10−9 ≪ 1
→
E
−→
en utilisant l’amplitude du champ magnétique terrestre BT donnée au début de
l’énoncé. L’influence du champ magnétique terrestre est bien négligeable.
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