Cours Optique Géométrique

RESUME COURS OPTIQUE GEOMETRIQUE
I. Introduction
L’optique géométrique a pour objet l'étude de la marche des rayons lumineux. Elle est basée sur les lois de
Descartes qui permettent de ramener le problème de la propagation de la lumière à l'étude de rayons
lumineux qui obéissent à des règles simples (propagation rectiligne, lois de la réfraction et de la réflexion,
principe du retour inverse). Le problème se réduit alors à une simple construction géométrique et/ou à la
résolution des formules qui en découlent. Dans le cadre de l’approximation de l’optique géométrique, les
objets traversés par la lumière ont de grandes dimensions par rapport à la longueur d'onde de la lumière
(de 0,4 à 0,8μm environ pour le visible). Cette théorie permet notamment d’étudier la formation des
images par les instruments d’optique (loupe, microscope, lunette astronomique, appareil photo… et aussi
l’œil).
Quelques rappels et définitions utiles :
Vitesse de la lumière dans le vide : c≈3.108m.s-1
Indice de réfraction d’un milieu : c’est par définition le rapport n=c/v, où v est la vitesse de la lumière dans
le milieu considéré. Plus le milieu possède un indice élevé, plus ce milieu
est dit réfringent.
Milieu homogène : en optique, c'est un milieu dans lequel l'indice de réfraction est uniforme.
Dioptre : surface séparant deux milieux homogènes transparents d’indices distincts.
Lumière blanche : onde lumineuse constituée de toutes les longueurs d'onde du spectre visible.
Lumière polychromatique : onde lumineuse constituée de la superposition d’ondes de longueurs d’onde
différentes.
Lumière monochromatique : onde lumineuse de longueur d`onde donnée (1 couleur)
II. Principes fondamentaux de l'optique géométrique
1. Notion de rayon lumineux
On considère que le faisceau de lumière émis par une source ponctuelle S dans un milieu homogène est
constitué de rayons lumineux rectilignes. Un rayon lumineux représente la direction de propagation de
l'énergie lumineuse.
2. Chemin optique des rayons lumineux
- Le chemin optique suivi par un rayon lumineux se propageant dans un milieu d’indice uniforme n d’un
point A à un point B est défini par L =[AB] = n(AB).
- Le chemin optique parcouru par un rayon lumineux entre A1 et B dans
un milieu d'indice "constant par morceaux" est donné par :
L =[A,B] = n1AI+n2IJ+n3JB
- Le chemin optique d'un rayon lumineux allant d’un point A à un point B dans un milieu non homogène est
donné par : = , = (intégrale curviligne où est un élément d’arc de la courbe suivie
par le rayon).
1
3. Surface d'onde
Considérons un faisceau lumineux constitué de rayons lumineux issus d’une même source ponctuelle S. On
appelle surface d’onde la région des points M de l'espace tels que le chemin optique [SM] soit constant, ce
chemin optique étant compté en suivant les rayons lumineux issus de S.
- Pour une source S placée dans un milieu uniforme les surfaces d’onde sont
des sphères de centre S (on parle d’onde sphérique)
- Pour un faisceau lumineux constitué de rayons parallèles (onde plane), les
surfaces d’onde sont des plans perpendiculaires à la direction des rayons
lumineux.
Théorème de Malus :
Les rayons lumineux issus d’une source ponctuelle sont normaux aux surfaces d'onde, quel que soit le
nombre de réfractions ou de réflexions subies par les rayons.
4. Principe de Fermat
Enoncé : Le trajet (c) suivi par la lumière pour aller d'un point A à un point B
correspond à une valeur stationnaire du chemin optique par rapport aux
trajets fictifs (c ') voisins allant de A à B.
Le principe de Fermat stipule qu’entre deux points A et B la lumière (donc les rayons lumineux) suit le trajet
pour lequel la durée du parcours est minimale. Dans un milieu non homogène, le trajet suivi par la lumière
n’est donc pas une ligne droite.
5. Conséquences du principe de Fermat
Propagation rectiligne : Dans un milieu homogène la lumière se propage en ligne droite.
Indépendance des rayons lumineux : Les trajets des rayons lumineux traversant un instrument d'optique
sont indépendants les uns des autres, même lorsqu'ils se croisent.
Principe du retour inverse : le trajet de la lumière est indépendant du sens de parcours même dans un
milieu non homogène.
Lois de Snell-Descartes : Elles permettent d’expliquer le trajet des
rayons lumineux au passage d’un dioptre ou d'un miroir (surface
réfléchissante).
On appelle :
Plan d’incidence : le plan défini par la direction du rayon lumineux et le
vecteur normal à la surface du dioptre incident ou du miroir.
Angle d'incidence : angle i entre la normale à surface et le rayon
incident, il peut être orienté.
Lois de la réflexion :
1. le rayon réfléchi appartient au plan d`incidence
2. l’angle de réflexion est égal à l’angle d’incidence: i' =i (angles non orientés)
Lois de la réfraction :
1. le rayon réfracté appartient au plan d’incidence
2. l'angle de réfraction r est lié à l'angle d’incidence par la relation : = .
Conséquence: lorsque l'on passe du milieu incident à un milieu plus réfringent, le rayon lumineux se
rapproche de la normale.
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Applications directes des lois de Snell-Descartes :
- angle de réfraction limite
- réflexion totale dans un milieu plus réfringent que l'extérieur → guides d’onde, fibres optiques
- lame à face parallèle
- milieu stratifié → mirage, fibres optiques à gradient d’indice
- prisme → dispersion de la lumière
III. Généralités sur les Systèmes optiques centrés
Un système optique est constitué d’une suite de milieux homogènes séparés par des dioptres ou des
miroirs.
Système centré : symétrie de révolution autour d'un axe appelé axe optique
Système dioptrique : système ne comportant que des dioptres
Système catadioptrique : système comportant des dioptres et des miroirs
L'image A' d’un objet ponctuel A par un système optique
est le point de l'espace où tous les rayons issus de A
convergent, après avoir traversé le système optique. On dit
que A et A’ sont conjugués par le système optique.
Si les rayons lumineux incidents (resp. émergents) se croisent effectivement en A (resp. A') on parle d'objet
réel (resp. d’image réelle). Si ce sont des prolongements de rayons lumineux qui se croisent en A (resp. A'),
on parle alors d’objet virtuel (resp. d’image virtuelle).
Stigmatisme rigoureux : Un système optique (S) est rigoureusement stigmatique pour le couple de points
A et A’ si tout rayon issu de A passe par A’ après avoir traversé (S).
Exemple de système rigoureusement stigmatique (rare): miroir plan
Stigmatisme approché: Un système optique (S) présente un stigmatisme approché pour un couple de
points (A, A’) si tout rayon issu de A passe au voisinage de A’ après avoir traversé (S).
Aplanétisme : on dit qu’un système (S) est aplanétique s’il forme
d’un objet situé dans un plan perpendiculaire à l'axe optique, une
image située dans un plan également perpendiculaire à l’axe optique.
Les plans correspondants P et P’ sont dits conjugués par (S).
Approximation de Gauss : nous considérerons toujours qu’un système centré est utilisé dans les conditions
de Gauss, ce qui signifie qu’il n'est traversé que par des rayons paraxiaux (proches de l'axe optique et
faisant avec celui-ci un angle faible). Dans le cadre de cette approximation, on considère que les conditions
approchées de stigmatisme et d`aplanétisme sont respectées.
Propriétés générales des systèmes centrés :
Dans le cadre de l’approximation de Gauss, un système centré sera caractérisé par :
- une relation de conjugaison qui relie les positions de plans conjugués,
,
- un grandissement transversal qui relie la taille d'une image à celle de son objet conjugué : = - un grandissement angulaire qui relie l’angle α que fait un rayon issu de A avec l’axe optique et l’angle α’
que fait le rayon émergent correspondant et passant par A’ avec l’axe optique : = .
′ ⇒ = /′.
= ′
Invariant de Lagrange-Helmoltz : 3
Eléments cardinaux des systèmes centrés :
Centre : point C de l’axe optique tel que tout rayon passant par C n’est pas dévié par le système optique.
Foyers :
On appelle foyer objet F d’un système centré le point objet dont l'image est
rejetée à l'infini. On appelle foyer image F' l’image conjuguée d'un objet
ponctuel placé à l`infini sur l’axe.
NB. : Un système est dit afocal lorsque les 2 foyers sont rejetés à l’infini (ex :
lunette astronomique)
Les foyers peuvent être réels (ex : lentille convergente) ou virtuels (ex :
lentille divergente).
Plans focaux :
On appelle plan focal objet (resp. plan focal image) le plan perpendiculaire à l'axe optique et contenant le
foyer objet (resp. le foyer image).
Foyers secondaires : ce sont les points appartenant aux plans focaux et qui ont les propriétés suivantes :
IV. Lentilles minces dans l’approximation de Gauss
Lentille: volume de matière transparente, homogène, isotrope,d’indice n
limité par deux dioptres (dont l’un au moins est sphérique) ayant leurs axes
confondus.
Lentille mince: l’épaisseur e entre les sommets S1 et S2 est petite :
|, ≪ |#
| et ≪ |#
− #
|, où ≪ |#
# sont les mesures
# et algébriques des rayons de courbure des faces d’entrée et de sortie. On
considérera que les sommets S1 et S2 sont confondus : S1≡S2≡O.
Foyers, distance focale :
Soit A’ l’image conjuguée d'un objet A par la lentille. On montre que − = − 1 '( − (+, d’où on
%
%
tire : , =
-
%.
%.
()
(*
= = − = − 1 ' − +.
)
*
V est appelé vergence de la lentille et s'exprime en m-1 ou dioptries (1δ=1m-1)
= 1′.
Les foyers d 'une lentille mince sont symétriques par rapport au sommet 0 : /0′ = −/0
La grandeur algébrique f' est appelée distance focale de la lentille.
Si f'>0, on a une lentille convergente (ce sont les lentilles à bords minces).
Si f'<0, on a une lentille divergente (ce sont les lentilles à bords épais).
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Constructions géométriques : On se rappellera les propriétés des "rayons remarquables" suivants :
- rayon incident passant par O non dévié
- rayon incident passant par F : rayon émergent parallèle à l’axe optique
- rayon incident parallèle à l’axe optique: rayon émergent passant par F’
- 2 rayons incidents parallèles convergent dans le plan focal image
- 2 rayons incidents issus d'un point du plan focal objet ressortent parallèles entre eux.
Formules de conjugaison et de grandissement :
Origine au centre : %
− %
= - ; =
= −1′ ; =
Origines aux foyers : 0. 0′′
%
%
-
= .
=
=
.
-
IV. Miroirs sphériques dans l’approximation de Gauss
Un miroir sphérique est une portion de sphère rendue réfléchissante par un
dépôt métallique. Si ce dépôt est interne à la sphère, on a un miroir
concave, s'il est externe, on a un miroir convexe.
Dans l’approximation de Gauss, la surface du miroir sera confondue avec le
plan tangent au sommet S.
Foyers, distance focale :
Les foyers objet et image d'un miroir sphérique sont confondus et sont situés au milieu du segment [CS].
7
= 45
On appelle distance focale d’un miroir sphérique la grandeur algébrique 1 = 40′ = 40
2. La valeur
absolue de la distance focale est égale à la moitié du rayon de courbure du miroir.
Constructions géométriques : On se rappellera les propriétés des "rayons remarquables" suivants :
- rayon incident passant par C non dévié
- rayon incident passant par F : rayon émergent parallèle à l’axe optique
- rayon incident parallèle à l’axe : rayon émergent passant par F
- 2 rayons incidents parallèles convergent dans le plan focal image
- 2 rayons incidents issus d'un point du plan focal objet ressortent parallèles entre eux.
Formules de conjugaison et de grandissement :
8
= 8
:
sommet : :
+ :
= :8
; = = − :
.
= − = − foyer : 0. 0′ = 1 ; = .
Origine au centre : 8
+ 8
= 8:
;=
Origine au
Origine au
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Miroir plan :
C’est un miroir sphérique de rayon de courbure infini : le foyer est à l’infini.
Il fournit de A objet réel une image virtuelle A’ symétrique de A par rapport au
plan du miroir.
Si on fait tourner le miroir d'un angle α, le rayon réfléchi tourne d’un angle 2α.
V. Instruments d'optique
Un instrument d’optique permet de former des images d'objets dont les détails ne peuvent être observés à
l'œil nu (loupe, lunette astronomique, télescope, microscope) ou de former une image sur un support
(projecteur, appareil photographique).
Caractéristiques des instruments d'optique :
Considérons un instrument qui produit d'un objet AB une image A’B’. Soit α l’angle sous lequel l'objet est
vu à l'œil nu, et α' l'angle sous lequel il est vu à travers l'instrument. On définit :
- le grandissement transversal : =
- le grandissement angulaire ou grossissement : =
<
- la puissance : P = - la puissance intrinsèque : c’est la puissance lorsque l’œil est placé sur le foyer image (lorsque c’est
possible)
- le champ : caractérise la portion d'objet qui peut être observée à travers l’instrument.
- la clarté : relative à la luminosité de l'image
- le pouvoir de résolution ou pouvoir séparateur : caractérise la finesse des détails de l'image (le facteur
limitant est la diffraction)
Exemples :
- œil : assimilable à une lentille (le cristallin) et un écran (la rétine) distants d’environ 25mm.
- loupe : lentille convergente de petite distance focale dont le rôle est d’observer les détails d'un objet
en plaçant son œil le plus près possible de la loupe.
- microscope : ensemble constitué d’un objectif (assimilable à une lentille convergente) et d’un oculaire
(assimilable à une loupe) qui permet de donner une image fortement grossie d'un objet.
- lunette astronomique et télescope : instruments destinés à former des images d’objets lointains
(situés à l'infini et caractérisés par un diamètre apparent α). Ils sont constitués d’un objectif (lentille
convergente pour la lunette, miroir pour le télescope) et d’un oculaire (loupe pour la lunette, miroir
pour le télescope).
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