Potentiel quantique variable Notes de cours - Alain Le Rille

physique
année scolaire 2014/2015
Potentiel quantique variable
Notes
de cours
mardi 24 mars 2015
I-
Étude générale d'une particule dans un potentiel constant par parties
1. Généralités
Étude de distributions de potentiels constants par parties : marche, puits et
barrière
schéma
La gure 1 représente divers types de potentiels constants par parties. À gauche, la discontinuité du
potentiel dans le cas d'une marche en x = 0. Au centre, les discontinuités du potentiel dans le cas d'un
puits de potentiel de profondeur nie. À droite, les discontinuités du potentiel dans le cas d'une barrière
de potentiel de hauteur nie.
V (x)
V (x)
V (x)
V0
V0
− a2
a
2
x
x
0
`
x
−V0
Figure 1 Étude de distributions de potentiels constants par parties : marche, puits et barrière
1 État libre et état lié
exercice
On s'intéresse à un ux de particules incidentes avec une vitesse ~v = v ~ux dans un potentiel V (x) = V0 .
E
B Déterminer la forme des fonctions d'onde ψ̃ (x, t) = ϕ(x) e−i ~ t des états stationnaires si l'énergie
cinétique des particules est E > V0 . Interpréter le type de fonction d'ondes obtenue. Proposer une
analogie avec une onde classique.
B Faire de même si l'énergie cinétique des particules est E < V0 .
B Que se passe-t-il si V0 → ∞ ?
spé PC
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2. Marche de potentiel
2 Flux de particules avec une énergie supérieure à une marche de potentiel
exercice
On s'intéresse à un ux de particules incidentes avec une vitesse ~v = v ~ux venant de x → −∞ sur une
marche de potentiel en x = 0 : si x < 0, V (x) = 0 et si x > 0, V (x) = V0 > 0. On suppose que l'énergie
cinétique des particules est E > V0 .
E
B Déterminer la forme des fonctions d'onde ψ̃ (x, t) = ϕ(x) e−i ~ t des états stationnaires dans chacun
des deux domaines.
B En utilisant les conditions de continuité de la fonction ϕ(x) et de sa dérivée dϕ
dx , déterminer parfaitement les fonctions d'onde.
~
B Associer un courant de probabilité J~ = |ψ̃ (x, t) |2 ~mk aux ux incident, rééchi et transmis pour
déterminer les coecients R et T de réexion et transmission des ux.
3 Flux de particules avec une énergie inférieure à une marche de potentiel
exercice
On s'intéresse à un ux de particules incidentes avec une vitesse ~v = v ~ux venant de x → −∞ sur une
marche de potentiel en x = 0 : si x < 0, V (x) = 0 et si x > 0, V (x) = V0 > 0. On suppose que l'énergie
cinétique des particules est E < V0 .
E
B Déterminer la forme des fonctions d'onde ψ̃ (x, t) = ϕ(x) e−i ~ t des états stationnaires dans chacun
des deux domaines.
B En utilisant les conditions de continuité de la fonction ϕ(x) et de sa dérivée dϕ
dx , déterminer parfaitement les fonctions d'onde.
~
B Associer un courant de probabilité J~ = |ψ̃ (x, t) |2 ~mk aux ux incident, rééchi et transmis pour
déterminer les coecients R et T de réexion et transmission des ux.
Eet de la marche de potentiel sur un ux de particules
schéma
La gure 2 représente la réexion et la transmission ou non due à la marche de potentiel.
V (x)
réexion partielle 0 < R < 1 transmission partielle 0 < T < 1
E > V0
onde incidente Ãi ei k1 x e−i ω t
onde transmise Ãt ei k2 x e−i ω t
V0
onde rééchie Ãr e−i k1 x e−i ω t
réexion totale R = 1 onde évanescente Ãt e−ρ2 x e−i ω t
E < V0
x
Figure 2 Eet de la marche de potentiel sur un ux de particules
Comparaison des cas quantique et classique pour une marche de potentiel
tableau
Le tableau 1 présente le récapitulatif des comportements des particules quantiques vis-à-vis d'une marche
de potentiel et la comparaison avec des particules classiques.
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Cas
quantique
E > V0
réexion et transmission
classique
passage quantique - classique
transmission
si E V0 , R → 0
E < V0
réexion mais onde évanescente
dans le milieu interdit
réexion totale
si V0 → ∞, plus d'onde évanescente
Table 1 comparaison classique-quantique pour la marche de potentiel
3. États liés dans un puits de potentiel de profondeur nie
4 Étude des états liés dans un puits de profondeur nie
exercice
On s'intéresse à une particule de masse m dans le potentiel suivant :
si x < − a2 , V (x)
= V0 > 0 ;
si x ∈ − a2 ; + a2 , V (x) = 0 ;
si x > a2 , V (x) = V0 > 0.
On suppose que l'énergie cinétique de la particule est E < V0 .
B Donner la forme des états stationnaires dans les trois domaines. On notera k le vecteur d'onde dans
le puits et k 0 le module du vecteur d'onde hors du puits. La probabilité de présence de la particule ne
peut tendre vers l'inni à l'inni, qu'est-ce que cela impose ?
On peut, pour simplier le problème, considérer séparément les fonctions d'ondes paires et les fonctions
d'ondes impaires, dont la réunion donne l'ensemble des états stationnaires.
B Donner la forme des états stationnaires symétrique (ϕs (x) paire) et antisymétrique (ϕa (x) impaire).
B Montrer que les conditions aux limites du puits mènent à :
k 0 = k tan k2a pour les états symétriques,
k 0 = −k tan 1k a pour les états antisymétriques.
(2)
B En déduire
que
cela revient
à :
ka ka
ka
avec
cos
α k2a = cos
sin
> 0 pour les états symétriques,
2
2
2
ka
ka ka
ka
et α 2 = sin 2
avec cos 2 sin 2 < 0 pour les états antisymétriques
avec α, un facteur qu'on exprimera.
Aide à la solution graphique des états stationnaires liés du puits ni
La gure 3 représente les courbes de sin
, | sin
|, cos
, | cos
| et
cation de l'énergie avec une alternance d'états symétrique / anti-symétrique.
ka
2
ka
2
ka
2
ka
2
α k2a .
schéma
Il y a une quanti-
α k2a
y
sin
ka
2
k1 a
2
cos
k2 a
2
k3 a
2
k4 a
2
ka
2
ka
2
k5 a
2
Figure 3 Aide à la solution graphique des états stationnaires liés du puits ni
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Fonctions d'onde et énergies dans le puits ni
schéma
La gure 4 représente les énergies des états stationnaires et probabilités de présence dans le puits ni. Ici,
2
V0 = 3, 5 m~a2 .
On visualise une profondeur de pénétration de la particule en dehors du puits d'autant plus grande que
V0 − E est plus petite.
Figure 4 Fonctions d'onde et énergies dans le puits ni
Propriétés des états liés dans le puits ni
à retenir
Le connement dans le puits ni se caractérise par :
• une quantication de l'énergie,
• une alternance d'états symétrique / anti-symétrique,
• une profondeur de pénétration de la particule en dehors du puits δ = √
~
,
2 m (V0 −E)
• un abaissement de l'énergie par rapport au puits inni dû à l'élargissement eectif du puits (par les
ondes évanescentes sur les bords du puits).
4. Eet tunnel à travers une barrière de potentiel
5 Flux de particules avec une énergie inférieure à une barrière de potentiel
exercice
On s'intéresse à un ux de particules incidentes avec une vitesse ~v = v ~ux venant de x → −∞ sur une
barrière de potentiel entre x = 0 et x = ` :
si x < 0, V (x) = 0 ;
si x ∈ [0; `], V (x) = V0 > 0 ;
et si x > `, V (x) = 0.
On suppose que l'énergie cinétique des particules est E < V0 .
E
B Déterminer la forme des fonctions d'onde ψ̃ (x, t) = ϕ(x) e−i ~ t des états stationnaires dans chacun
des trois domaines.
B Écrire les conditions de continuité de la fonction ϕ(x) et de sa dérivée dϕ
dx .
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Coecient de transmission du ux à travers une barrière de potentiel
à
retenir
La probabilité que le ux d'énergie E traverse "par eet tunnel" la barrière de potentiel de hauteur
V0 > E de largeur ` est √
non nulle, contrairement au cas classique. Le coecient de transmission du
ux, pour peu que ρ ` =
2 m (V0 −E)
`
~
1 est :
T ≈
II-
16 E (V0 − E) −2 ρ `
e
V02
Applications
1. Application à la radioactivité alpha
Allure du potentiel auquel est soumis la particule α selon le modèle de Gamow.
schéma
La gure 5 représente l'évolution du potentiel auquel est soumis une particule α avec la distance r au
centre du noyau si le noyau est susamment gros. Gamow suppose que des particules α préformées peuvent
exister dans le noyau. Une telle particule α est liée au reste du noyau du fait d'un potentiel nucléaire de
courte portée R et de profondeur V0 (interaction forte), et au delà est soumise au potentiel coulombien,
répulsif (interaction électromagnétique).
V (x)
`
Eb
E
r
R
−V0
Figure 5 Allure du potentiel auquel est soumis la particule α selon le modèle de Gamow.
6 Calcul de la durée de vie d'un isotope
exercice
B Estimer l'énergie En de la particule α à l'intérieur du noyau de rayon R. En déduire sa vitesse, puis
la fréquence f à laquelle elle rebondit sur les parois du noyau.
La probabilité de passage à travers la zone interdite par eet tunnel à chaque rebond est :
P ≈
√
avec ρ ` =
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2 m (Eb −E)
`
~
16 E (Eb − E) −2 ρ `
e
V02
1.
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Temps de vie des radioisotopes en fonction de l'énergie de la particule α émise
schéma
La gure 6 représente le logarithme du temps de vie qui varie comme l'inverse de la racine de l'énergie de
la particule a émise. Il y a un très bon accord entre les résultats expérimentaux et la loi de Geiger-Nuttall :
−A
la demi-vie λ = lnτ 2 = √
+ B avec A et B constante.
E
Figure 6 Temps de vie des radioisotopes en fonction de l'énergie de la particule α émise
2. Application à la microscopie à eet tunnel
Principe du microscope à eet tunnel
schéma
Exemple d'image reconstituée grâce à un microscope à eet tunnel
schéma
La gure 7 représente le principe du microscope à eet tunnel, avec deux schémas, l'un à l'échelle macroscopique, l'autre à l'échelle microscopique. L'espace entre l'échantillon et la pointe est un espace isolant,
interdit aux électrons, mais dans lequel une onde évanescente existe. On récupère un ux d'électrons (un
courant électrique) dont l'intensité dépend de la distance entre la pointe et l'échantillon. Le déplacement
de la pointe permet de reconstituer la surface de l'échantillon.
La gure 8 représente un exemple d'image reconstituée grâce à un microscope à eet tunnel. L'intensité
électrique passée par eet tunnel entre la pointe et l'échantillon est transformée en image. Ici, il s'agit d'un
échantillon de 7 nm d'une surface de GaAs (en bleu) sur laquelle une chaine d'atomes de césium (en rouge)
a été déposée. Ref : Geometric and Electronic Properties of Cs Structures on III-V (110) Surfaces : From
1-D and 2-D Insulators to 3-D Metals, L.J. Whitman, J.A. Stroscio, R.A. Dragoset, and R.J. Celotta,
Phys. Rev. Lett. 66, 1338 (1991).
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Figure 7 Principe du microscope à eet tunnel
Figure 8 Exemple d'image reconstituée grâce à un microscope à eet tunnel
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3. Approche descriptive du double puits symétrique
Premiers états stationnaires du double puits et leur énergie
schéma
La gure 9 représente les allures du premier état stationnaire dans un double puits (en bleu) inni et ni,
et la densité de probabilité de ces états (en rouge).
V (x)
E
E∞
état du puits inni
symétrique et antisymétrique
a
D
V (x)
a
x
V0
Ea
état antisymétrique
du puits ni
Es
a
état symétrique
D
V (x)
a
x
V0
0
a
a
D
Figure 9 Premiers états stationnaires du double puits et leur énergie
Oscillations de la probabilité de présence dans un double puits ni.
schéma
La gure 10 représente la probabilité de présence dans un double puits ni au cours du temps. L'oscillation
a lieu à la pulsation 2(Ea~−Es ) .
Vous pouvez retrouver le schéma animé sur le site alain.lerille.free.fr.
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x
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V (x)
V0
a
D
a
Figure 10 Oscillations de la probabilité de présence dans un double puits ni.
Passage du double puits inni au double puits ni
à retenir
Le passage du double puits inni au double puits ni se caractérise par :
• la possibilité du passage d'un puits à l'autre par eet tunnel,
• un abaissement de l'énergie dû à l'élargissement eectif du puits,
• une levée de dégénérescence (les deux états symétrique et anti-symétrique ayant des énergies diérentes),
• une oscillation possible de la densité de probabilité au cours du temps traduisant le passage par
eet tunnel à travers la barrière.
Double puits ni et liaison covalente
s'y retrouver
La liaison chimique s'eectue par une mise en commun d'un (ou plusieurs) électron entre deux atomes
(les deux puits). La délocalisation de l'électron opérée par l'eet tunnel entre les deux puits se traduit
par un abaissement de l'énergie du système, donc par une interaction attractive.
Double puits ni et molécule d'ammoniac
schéma
La gure 11 représente les deux congurations de la molécule d'ammoniac, chacune dans un puits de
potentiel. L'eet tunnel permet le passage d'une conguration à l'autre, comme le retournement d'un
parapluie. L'oscillation a lieu à une fréquence de 23870 MHz, utilisée dans le MASER à ammoniac,
prédécesseur du LASER.
Figure 11 Double puits ni et molécule d'ammoniac
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Technique
à maîtriser
jeudi 26 mars 2015
I-
Les capacités exigibles
ce qu'il faut savoir faire
capacités
Puits de profondeur nie
• Mettre en place les éléments du modèle : forme des fonctions d'ondes dans les diérents domaines.
• Utiliser les conditions aux limites admises : continuité de ϕ(x) et
dϕ
dx .
• Associer la quantication de l'énergie au caractère lié de la particule.
• Mener une discussion graphique.
• Interpréter qualitativement, à partir de l'inégalité de Heisenberg spatiale, l'abaissement des niveaux
d'énergie par rapport au puits de profondeur innie.
Eet tunnel
• Associer l'existence d'une probabilité de traverser une barrière de potentiel et l'existence de deux
ondes évanescentes dans la zone classiquement interdite.
• Exprimer les coecients de transmission et de réexion associés à la barrière comme des rapports
de courants de probabilités.
Approche documentaire de la radioactivité alpha :
• utiliser une expression fournie du coecient de transmission pour analyser des documents scientiques ;
• expliquer le rôle de l'eet tunnel dans la radioactivité alpha ;
Approche documentaire de la microscopie à eet tunnel :
• utiliser une expression fournie du coecient de transmission pour analyser des documents scientiques ;
• expliquer la sensibilité à la distance de cette méthode d'observation des surfaces.
II-
Méthodes
A) Déterminer la forme des fonctions d'onde
méthode
E
Pour trouver les fonctions d'onde ψ̃ (x, t) = ϕ(x) e−i ~ t des états stationnaires, il sut d'écrire, dans
chaque région où le potentiel est constant V = V0 , une combinaison linéaire de fonctions exponentielles
d'argument réel ou imaginaire suivant que l'énergie est inférieure ou supérieure au potentiel :
• si E > V0 : ϕ(x) = A+ ei k x + A− e−i k x
• si E < V0 : ϕ(x) = A+ e+ρ x + A− e−ρ x
B) Déterminer les amplitudes des fonctions d'onde
méthode
Il faut ensuite raccorder la fonction d'onde d'une région à l'autre en imposant les conditions de continuité
de la fonction et de sa dérivée :
+
• ϕ(x) continue en x = x0 : ϕ(x = x−
0 ) = ϕ(x = x0 )
•
dϕ
dx
continue en x = x0 :
dϕ
dx (x
= x−
0)=
NB : si V0 → ∞, ϕ(x) est continue mais
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dϕ
dx (x =
pas dϕ
dx .
x+
0)
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III-
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Exercices
1. Marche de potentiel
1.1) De la marche nie à la marche innie
1) On s'intéresse à un ux de particules incidentes avec une vitesse ~v = v ~ux
venant de x → −∞ sur une
marche de potentiel en x = 0 : si x < 0, V (x) = 0 et si x > 0, V (x) = V0 > 0. On suppose que l'énergie cinétique
des particules est E < V0 .
1.a) Déterminer la forme des fonctions d'onde ψ̃ (x, t) = ϕ(x) e−i E~ t des états stationnaires dans chacun
des deux domaines.
1.b) En utilisant les conditions de continuité de la fonction ϕ(x) et de sa dérivée dϕ
dx , déterminer
parfaitement les fonctions d'onde.
1.c) Associer un courant de probabilité J~ = |ψ̃ (x, t) |2 ~m~k aux ux incident, rééchi et transmis pour
déterminer les coecients R et T de réexion et transmission des ux.
2) On fait tendre V0 vers l'inni.
2.a) Montrer qu'il n'y a plus d'onde évanescente.
2.b) Montrer qu'il y a un déphasage de π.
2.c) ϕ est-elle continue ? Et sa dérivée ?
1.2) Passage au cas classique dans le cas de la marche nie
1) On s'intéresse à un ux de particules incidentes avec une vitesse ~v = v ~ux
venant de x → −∞ sur une
marche de potentiel en x = 0 : si x < 0, V (x) = 0 et si x > 0, V (x) = V0 > 0. On suppose que l'énergie cinétique
des particules est E > V0 .
1.a) Déterminer la forme des fonctions d'onde ψ̃ (x, t) = ϕ(x) e−i E~ t des états stationnaires dans chacun
des deux domaines.
1.b) En utilisant les conditions de continuité de la fonction ϕ(x) et de sa dérivée dϕ
dx , déterminer
parfaitement les fonctions d'onde.
1.c) Associer un courant de probabilité J~ = |ψ̃ (x, t) |2 ~m~k aux ux incident, rééchi et transmis pour
déterminer les coecients R et T de réexion et transmission des ux.
2) Montrer qu'on retrouve les résultats de la mécanique classique si E V0 .
Ãt
Ãi
=
2 k1
k1 +k2 .
1.3) Profondeur de pénétration dans un milieu interdit
1) On s'intéresse à un ux de particules incidentes avec une vitesse ~v = v ~ux
venant de x → −∞ sur une
marche de potentiel en x = 0 : si x < 0, V (x) = 0 et si x > 0, V (x) = V0 > 0. On suppose que l'énergie cinétique
des particules est E < V0 .
1.a) Déterminer la forme des fonctions d'onde ψ̃ (x, t) = ϕ(x) e−i E~ t des états stationnaires dans chacun
des deux domaines.
1.b) En utilisant les conditions de continuité de la fonction ϕ(x) et de sa dérivée dϕ
dx , déterminer
parfaitement les fonctions d'onde.
1.c) Associer un courant de probabilité J~ = |ψ̃ (x, t) |2 ~m~k aux ux incident, rééchi et transmis pour
déterminer les coecients R et T de réexion et transmission des ux.
2) En déduire l'épaisseur caractéristique de pénétration de l'onde dans le milieu interdit.
3) Que devient cette épaisseur si V0 → ∞ ?
1
ρ2
=√
~
.
2 m (V0 −E)
1.4) Analogie de la marche de potentiel avec l'optique
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On s'intéresse à un ux de particules incidentes avec une vitesse ~v = v ~ux venant de x → −∞ sur une marche
de potentiel en x = 0 : si x < 0, V (x) = V1 et si x > 0, V (x) = V2 . On suppose que l'énergie cinétique des
particules est E > V1 et V2 .
1) Proposer une analogie pour une onde électromagnétique qui se propage dans l'air ou dans le verre.
Si V1 < V2 , n1 > n2 . On peut considérer un dioptre verre - air.
Au contraire, V1 > V2 , n1 < n2 . On peut considérer un dioptre air - verre.
2. Puits ni
2.5) Nombre d'états liés dans le puits ni
On s'intéresse à une particule de masse m dans le potentiel suivant :
si x < − a2 , V (x)
= V0 > 0 ;
si x ∈ − a2 ; + a2 , V (x) = 0 ;
si x > a2 , V (x) = V0 > 0.
On suppose que l'énergie cinétique de la particule est E < V0 .
On note k le vecteur d'onde dans le puits et k 0 le module du vecteur d'onde hors du puits.
On admet
les
que
conditionsk aaux
limites
du puits mènent à :
ka ka
avec
cos
α k2a = cos
sin
> 0 pour les états symétriques,
2
2
2 et α k2a = sin k2a avec cos k2a sin k2a < 0 pour les états antisymétriques.
avec α, un facteur positif.
1) Faire un tracé en fonction de k2a k2a de plusieurs courbes qui permette de trouver les solutions k des
précédentes conditions.
2) Interprétation :
2.a) Évaluer le nombre de solutions.
2.b) Montrer que, quel que soit α, il existe au moins une solution. De quel type est-elle ?
N = 1 + d α2π e.
2.6) Analogie du puits ni avec l'optique
On s'intéresse à un ux de particules incidentes avec une vitesse ~v = v ~ux venant de x → −∞ sur un puits
de potentiel :
si x < − a2 , V (x)
= V0 ;
si x ∈ − a2 ; + a2 , V (x) = 0 ;
si x > a2 , V (x) = V0 .
On suppose que l'énergie cinétique de la particule est E > V0 > 0.
1) Proposer une analogie pour une onde électromagnétique qui se propage dans l'air ou dans le verre.
Il s'agit d'une lame de verre dans l'air.
2.7) Coecient de réexion sur un puits et analogie avec les interférences
On s'intéresse à un ux de particules incidentes avec une vitesse ~v = v ~ux venant de x → −∞ sur un puits
de potentiel :
si x < − a2 , V (x)
= 0;
si x ∈ − a2 ; + a2 , V (x) = −V0 ;
si x > a2 , V (x) = 0.
On suppose que l'énergie cinétique de la particule est E > 0 > −V0 .
1) Proposer une analogie pour une onde électromagnétique qui se propage dans l'air ou dans le verre.
2) On admet que le coecient de transmission du ux de particules à travers ce puits est :
T =
1+
√
où k =
spé PC
2 m (E+V0 )
,
~
√
K=
2mE
~
et q =
√
q2
2kK
1
2
sin2 (k a)
2 m V0
.
~
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2.a)
2.b)
2.c)
En déduire le coecient de réexion R en ux de particules.
Montrer qu'il existe des "transparences" pour lesquelles R = 0. Que doit vérier k ?
Retrouver ce résultat en utilisant l'analogie.
3. Barrière de potentiel
3.8) Coecient de réexion et transmission de la fonction d'onde dans le cas de l'eet tunnel
On s'intéresse à un ux de particules incidentes avec une vitesse ~v = v ~ux venant de x → −∞ sur une
barrière de potentiel entre x = 0 et x = ` :
si x < 0, V (x) = 0 ;
si x ∈ [0; `], V (x) = V0 > 0 ;
et si x > `, V (x) = 0.
On suppose que l'énergie cinétique des particules est E < V0 .
1) Déterminer la forme des fonctions d'onde ψ̃ (x, t) = ϕ(x) e−i E~ t des états stationnaires dans chacun des
trois domaines.
2) Écrire les conditions de continuité de la fonction ϕ(x) et de sa dérivée dϕ
dx .
3) En déduire les coecient de transmission t̃ et de réexion r̃ en amplitude pour la fonction d'onde.
t̃ =
(k2 −ρ2 )
2 i ρ k e−i k `
sinh(ρ `)+2 i k ρ cosh(ρ `)
et r̃ =
(k2 +ρ2 ) sinh(ρ `)
(k2 −ρ2 )
sinh(ρ `)+2 i k ρ cosh(ρ `) .
3.9) Coecient de réexion et transmission de la fonction d'onde dans le cas d'un ressaut de
potentiel
On s'intéresse à un ux de particules incidentes avec une vitesse ~v = v ~ux venant de x → −∞ sur une
barrière de potentiel entre x = 0 et x = ` :
si x < 0, V (x) = 0 ;
si x ∈ [0; `], V (x) = V0 > 0 ;
et si x > `, V (x) = 0.
On suppose que l'énergie cinétique des particules est E > V0 .
1) Déterminer la forme des fonctions d'onde ψ̃ (x, t) = ϕ(x) e−i E~ t des états stationnaires dans chacun des
trois domaines.
2) Écrire les conditions de continuité de la fonction ϕ(x) et de sa dérivée dϕ
dx .
3) En déduire les coecient de transmission t̃ et de réexion r̃ en amplitude pour la fonction d'onde.
t̃ =
Ãt
Ãi
=
2 k2 k e−i k `
−i (k2 +k22 ) sin(k2 `)+2 k k2 cos(k2 `)
et r̃ =
− i (k2 −k22 ) sin(k2 `)
−i (k2 +k22 ) sin(k2 `)+2 k k2 cos(k2 `)
.
3.10) Coecient de réexion et transmission des ux dans le cas d'un ressaut de potentiel
On s'intéresse à un ux de particules incidentes avec une vitesse ~v = v ~ux venant de x → −∞ sur une
barrière de potentiel entre x = 0 et x = ` :
si x < 0, V (x) = 0 ;
si x ∈ [0; `], V (x) = V0 > 0 ;
et si x > `, V (x) = 0.
On suppose que l'énergie cinétique des particules est E > V0 .
On admet que les coecient de transmission t̃ et de réexion r̃ en amplitude pour la fonction d'onde sont
− i (k2 −k22 ) sin(k2 `)
2 k2 k e−i k `
et
r̃
=
t̃ = −i k2 +k2 sin(k
2
−i (k +k22 ) sin(k2 `)+2 k k2 cos(k2 `)
(
2 `)+2 k k2 cos(k2 `)
2)
√
avec k =
1)
√
2mE
~
et k2 =
2 m (E−V0 )
.
~
~
Associer un courant de probabilité J~ = |ψ̃ (x, t) |2 ~mk aux ux incident, rééchi et transmis pour déterminer les coecients R et T de réexion et transmission des ux.
2) Vérier qu'on a bien R + T = 1.
3) Comparer avec le cas classique.
4) Dans quel cas retrouve-t-on le cas classique ?
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T =
V02
4 E(E−V0 )
sin2
1
√
2 m (E−V0 )
~
.
` +1
3.11) Coecient de réexion et transmission des ux dans le cas de l'eet tunnel
On s'intéresse à un ux de particules incidentes avec une vitesse ~v = v ~ux venant de x → −∞ sur une
barrière de potentiel entre x = 0 et x = ` :
si x < 0, V (x) = 0 ;
si x ∈ [0; `], V (x) = V0 > 0 ;
et si x > `, V (x) = 0.
On suppose que l'énergie cinétique des particules est E < V0 .
On admet que les coecient de transmission t̃ et de réexion r̃ en amplitude pour la fonction d'onde sont
(k2 +ρ2 ) sinh(ρ `)
2 i ρ k e−i k `
t
=
t̃ = Ã
2 −ρ2 ) sinh(ρ `)+2 i k ρ cosh(ρ `) et r̃ = (k 2 −ρ2 ) sinh(ρ `)+2 i k ρ cosh(ρ `)
(k
Ãi
√
√
2 m (V0 −E)
avec k = 2 ~m E et ρ =
.
~
1) Associer un courant de probabilité J~ = |ψ̃ (x, t) |2 ~m~k aux ux incident, rééchi et transmis pour déterminer le coecient T de transmission des ux.
2) En déduire le coecient R de réexion des ux.
3) Comparer avec le cas classique.
4) Que devient T dans le cas où ρ ` 1 ?
1
T ≈
(V0 )2
e2 ρ `
4
4 E (V0 −E)
=
16 E (V0 −E)
V02
e−2 ρ ` .
4. Double puits
4.12) Etude du premier état stationnaire du double puits inni
On s'intéresse à un double puits inni, chaque puits étant de largeur a, les deux puits étant éloignés de D.
Le potentiel V (x) est déni par :
D
• si x ∈ −a − D
2 ; − 2 , V (x) = 0 ;
D
• si x ∈ D
2 ; 2 + a , V (x) = 0 ;
• V (x) inni sinon.
1)
2)
On s'intéresse aux états stationnaires ϕG (x) et ϕD (x) de plus basse énergie E de chacun des puits.
Déterminer leur forme.
En utilisant la condition de normalisation déterminer leur facteur de normalisation.
Quelle est leur énergie ?
On en déduit qu'il existe pour le double puits deux fonctions d'onde :
1.a)
1.b)
1.c)
une fonction symétrique : ψ̃S (x, t) =
E
t
e−i
√~
2
(ϕD (x) + ϕG (x)) ;
−i E t
et une fonction anti symétrique : ψ̃A (x, t) = e √2~ (ϕD (x) − ϕG (x)).
2.a) Y a-t-il possibilité de passage d'un puits à l'autre ?
2.b) Pourquoi dit-on qu'il y a dégénérescence ?
A=
q
2
a
et E =
~2 π 2
2 m a2 .
4.13) Forme des premiers états stationnaires du double puits ni
On s'intéresse à un double puits ni, chaque puits étant de largeur a, les deux puits étant éloignés de D. Le
potentiel V (x) est déni par :
D
• si x ∈ −a − D
2 ; − 2 , V (x) = 0 ;
D
• si x ∈ − D
2 ; + 2 , V (x) = V0 ;
D
• si x ∈ D
2 ; 2 + a , V (x) = 0 ;
• V (x) inni sinon.
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1) On s'intéresse aux états stationnaires antisymétrique ϕa (x) et symétrique ϕs (x) de plus basse énergie E
(E < V0 ).
1.a) Donner la forme de ϕa (x) et ϕs (x) si x ∈ − D2 ; + D2 .
1.b)D Que doivent vérier ϕa (x) et ϕs (x) là où le potentiel devient inni ? En déduire la forme de ϕs (x)
si x ∈ D
2; 2 +a .
1.c) En utilisant la parité de ϕs (x) donner sa forme dans chacun des domaines.
1.d) En utilisant le fait que ϕa (x) est impaire, donner sa forme dans chacun des domaines.
D
D
• si x ∈ −a − D
;
2 ; − 2 , ϕs (x) = A sin k
2 +a+x
D D
0
• si x ∈ − 2 ; + 2 , ϕs (x) = Cs cosh (k x) ;
D
D
• si x ∈ D
;
2 ; 2 + a , ϕs (x) = A sin k
2 +a−x
• ϕs (x) = 0 sinon.
et
D
D
0
• si x ∈ −a − D
;
2 ; − 2 , ϕa (x) = −A sin k
2 +a+x
D D
0
• si x ∈ − 2 ; + 2 , ϕa (x) = Ca sinh (k x) ;
D
D
0
;
• si x ∈ D
2 ; 2 + a , ϕa (x) = +A sin k
2 +a−x
• ϕa (x) = 0 sinon.
4.14) Expression des premiers états stationnaires du double puits ni
On s'intéresse à un double puits ni, chaque puits étant de largeur a, les deux puits étant éloignés de D. Le
potentiel V (x) est déni par :
D
• si x ∈ −a − D
2 ; − 2 , V (x) = 0 ;
D
• si x ∈ − D
2 ; + 2 , V (x) = V0 ;
D
• si x ∈ D
2 ; 2 + a , V (x) = 0 ;
• V (x) inni sinon.
1) On admet que les états stationnaires antisymétrique ϕa (x) et symétrique ϕs (x) de plus basse énergie E
(E < V0 ) vérient :
D
D
;
• si x ∈ −a − D
2 ; − 2 , ϕs (x) = A sin k
2 +a+x
D D
• si x ∈ − 2 ; + 2 , ϕs (x) = Cs cosh (k 0 x) ;
D
D
• si x ∈ D
;
2 ; 2 + a , ϕs (x) = A sin k
2 +a−x
• ϕs (x) = 0 sinon.
et
D
D
0
;
• si x ∈ −a − D
2 ; − 2 , ϕa (x) = −A sin k
2 +a+x
D D
0
• si x ∈ − 2 ; + 2 , ϕa (x) = Ca sinh (k x) ;
D
D
0
• si x ∈ D
;
2 ; 2 + a , ϕa (x) = +A sin k
2 +a−x
• ϕa (x) = 0 sinon.
2)
1.a)
1.b)
Comment s'écrit la condition de normalisation ?
Que doivent vérier ϕa (x) et ϕs (x) quand on passe d'un domaine à l'autre ?
Écrire ces équations de continuité et en déduire la conditions liant k et k 0 dans le cas de la fonction :
2.a) antisymétrique
2.b) symétrique
k0
tanh(k0
D
2
)
k
0
0
= − tan(k
a) et k tanh k
D
2
= −k tan (k a)..
4.15) Superposition des deux premiers états stationnaires du double puits ni
On s'intéresse à un double puits ni symétrique.
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On note les états stationnaires antisymétrique ϕa (x) et symétrique ϕs (x) de plus basse énergie E (E < V0 ),
respectivement Ea et Es < Ea .
E
E
1) On superpose ces deux états grâce aux fonctions ψ̃+ = A ϕs (x) e−i ~s t + ϕa (x) e−i ~a t et ψ̃− =
Es
Ea
B ϕs (x) e−i ~ t − ϕa (x) e−i ~ t .
1.a)
1.b)
1.c)
Ω=
Expliciter les densités de probabilités dans le cas des deux superpositions.
Montrer que les densités de probabilités oscillent avec une pulsation Ω qu'on déterminera.
Comment s'écrit la condition de normalisation ? En déduire A et B .
Ea −Es
~
et A = B =
√1 .
2
Travaux
pratiques
vendredi 27 mars 2015
La moitié de la classe fait un TP sur l'eet Doppler.
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Approche
documentaire
vendredi 27 mars 2015
Le document est à lire, l'exercice est à rendre. Manal Skalli-Fettachi et Farah Taieb-Tamacha feront un
exposé.
Le microscope à eet tunnel à balayage
G. Binnig, H. Rorher, Ch. Gerber et E. Weibel, traduit par V. Emsellem
Phys. Rev. Lett . 49, (1982), cité par P. Radvanyi dans "Histoire de l'atome - de l'intuition à la réalité", Belin
- Paris 2007.
La microscopie de surface par utilisation de l'eet tunnel dans vide est présentée
pour la première fois dans cet article.
Dans deux études précédentes, nous avons démontré la faisabilité expérimentale d'un eet tunnel contrôlé
dans le vide. Le courant tunnel passait d'une pointe en tungstène à une surface de platine situées à environ
10 Å l'une de l'autre. La distance tunnel a pu être stabilisée à 0, 2 Å près. Ces expériences ont été la première
étape vers le développement de la microscopie à eet tunnel à balayage. Les développements précédents ont été
des échecs pour diérentes raisons.
La présente lettre contient les premiers résultats expérimentaux de topographie de surface obtenus avec
cette nouvelle technique. Ils mettent en évidence une résolution inédite du microscope à eet tunnel à balayage
(scanning tunneling microscope, STM) et devraient donner on avant-goût de ses possibilités fascinantes pour la
caractérisation des surfaces.
Le principe du STM est simple. Il est essentiellement constitué
d'une pointe métallique balayant la surface à courant tunnel constant
comme le montre la gure 1. Les déplacements de la pointe métallique
donnés par les tensions appliquées aux moteurs piézoélectriques fournissent ensuite une image topographique de la surface. La très haute
résolution du STM repose sur la forte dépendance du courant tunnel
de la distance entre les deux électrodes tunnel, c'est-à-dire la pointe
métallique et la surface balayée. Le courant tunnel à travers une barrière tunnel plane de hauteur moyenne ϕ et de largeur s est donnée
par
1/2
JT ∝ e(−Aϕ s) (1)
1/2
−1
1
où A = 4π
= 1, 025 Å · eV− 2 , avec m la masse de l'élech (2m)
tron libre, appropriée pour une barrière tunnel dans le vide. Avec une
barrière de potentiel (travail de sortie) de quelques électronvolts, une
modication de la largeur de la barrière tunnel par une seule marche
de taille atomique (≈ 2 − 5 Å) peut modier le courant tunnel de trois
ordres de grandeur.
En n'utilisant que la dépendance en distance donnée par l'équation
(1) et une pointe sphérique de rayon R, on estime
latérale
l'étendue
2R
δ d'une marche de surface selon δ = 3r0 = 3 Aϕ
, c'est-à-dire
1/2
1/2
δ Å =3 R Å
. Une résolution latérale bien meilleure que 100 Å
nécessite donc des rayons de pointe de l'ordre de 100 Å.
De telles pointes sont courantes dans la microscopie à émission de
champ. Toutefois, puisque la suppression des vibrations est évidemment plus cruciale pour le STM, les pointes
longues et nes de l'émission de champ pourraient ne pas être satisfaisantes. Nous avons utilisé, à la place, des
tiges de métal solides de 1 mm de diamètre et avons meulé des pointes a 90◦ à l'aide d'une meule conventionnelle.
Cela nous a fourni des rayons de pointe allant globalement de quelques milliers d'angströms seulement à 1 µm,
mais avec quelques mini pointes assez nes. L'extrême sensibilité du courant tunnel en fonction de la hauteur
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de l'espacement sélectionne ensuite la plus longue des mini pointes pour l'utilisation du STM. La résolution
latérale pouvait encore être augmentée en touchant doucement la surface avec la pointe, puis en la retirant
ensuite. Cette procédure de "mini soudure par points" a crée des pointes très nes, de sorte que des marches
monoatomiques ont pu être résolues à moins de 10 Å.
Balayer avec la pointe tunnel à courant tunnel constant implique
que ϕ1/2 s = cste. Le déplacement en z de la pointe tunnel ne fournit
donc la topographie de la surface que pour un travail de sortie ϕ
constant, et donc pour une hauteur d'espacement s constante, comme
il est montré sur la gure 1 en A.
D'autre part, en B , le déplacement en z est causé par une modication du travail de sortie sur une partie non structurée de la surface.
Cependant, les véritables structures de surface et les structures qui y
ressemblent par des variations du travail de sortie peuvent être distinguées en modulant la hauteur de l'intervalle (gap) s au cours du
balayage, à une fréquence supérieure à la fréquence de coupure de
l'unité de contrôle.
Dans une situation simple telle que celle schématisée sur la gure 1,
le signal de modulation fournit directement la racine carrée du travail
JT )
, puisque A dans l'équation (1) est presque
de sortie ϕ1/2 = ∆(ln
∆s
égal à 1. [...]
En résumé, nous avons montré que la microscopie à eet tunnel à
balayage fournit une vraie topographie tridimensionnelle des surfaces
à l'échelle atomique, c'est-à-dire avec une résolution meilleure de plusieurs ordres de grondeur que la microscopie électronique à balayage.
[...].
Figure 1. Principe de fonctionnement du microscope à balayage à eet tunnel. (Les distances et les tailles ne
sont pas a l'échelle).
Les moteurs piézoélectriques Px et Py balayent la surface avec la pointe métallique M . L'unité de contrôle (CU )
applique la tension appropriée Vp , au moteur piézoélectrique Pz pour garder constant le courant tunnel JT à
une tension tunnel VT constante.
Pour un travail de sortie constant, les tensions appliquées aux moteurs piézoélectriques Px , Py et Pz fournissent
directement la topographie de la surface, alors qu'une modulation ∆s de la distance tunnel s donne une mesure
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du travail de sortie, comme il est expliqué dans le texte.
Les pointillés indiquent le déplacement en z dans un balayage en y , en A une marche sur la surface (d'étendue
latérale δ ) et en B un point de contamination, C , avec un travail de sortie plus faible.
Enoncé
1)
Barrière de potentiel
On s'intéresse à un électron incident depuis z → −∞ qui se déplace selon l'axe z :
si z < 0, il est dans le substrat conducteur (son potentiel est pris nul) ;
si z > s, il est dans la pointe conductrice (son potentiel est pris nul) ;
si z ∈ ]0; s[, il est dans le vide séparant les deux milieux (son potentiel est ϕ) ;
ce qui correspond à VT = 0 dans le microscope à eet tunnel.
1.a) Tracer l'allure de V (z).
1.b) Rappeler l'équation de Schrödinger pour l'électron d'énergie E < ϕ. On pose ψ (z, t) = φ (z) χ (t),
montrer que χ (t) = e−iωt est solution pour ω dont on donnera l'expression. Donner aussi l'équation diérentielle
suivie par φ (z) dans une région de potentiel V .
1.c) Déterminer la forme de la fonction φ (z) dans les diérentes régions. Montrer en particulier que

 si z < 0, ψ (z, t) = A+ e−i(ωt−kz) + A− e−i(ωt+kz)
0
0
si z ∈ ]0; s[ , ψ (z, t) = B+ e+k z e−iωt + B− e−k z e−iωt

si z > s, ψ (z, t) = C+ e−i(ωt−kz)
On donnera les expressions de k et k 0 . Interpréter les solutions précédentes en terme d'ondes dont on donnera
les caractéristiques.
1.d) On supposera que s est assez grand pour considérer que k0 s 1. En utilisant les continuités de ψ
∂ψ
et ∂z aux interfaces, exprimer B+ , C+ et A+ en fonction de B− .
1.e)
2
0
|C+ |
16E(ϕ−E) −2k s
e
.
En posant le coecient de transmission T = |A
2 , montrer que T =
ϕ2
+|
2) Courant tunnel
2.a) L'expression du courant donnée dans le texte est-elle cohérente avec celle de T déterminée précédemment ?
2.b) Calculer la valeur numérique de A = 4πh (2m)1/2 en unités SI puis en Å−1 · eV− 12 . On donne les
valeurs de la constante de Planck : h = 6, 62 × 10−34 J · s, de la charge élémentaire : e = 1, 60 × 10−19 C, et de
la masse de l'électron m = 9, 11 × 10−31 kg.
2.c) Tracer l'allure de l'amplitude du courant tunnel JT (s) en fonction de l'écart s entre la pointe et le
substrat.
2.d) Vérier que "avec une barrière de potentiel (travail de sortie) de quelques électronvolts, une
modication de la largeur de la barrière tunnel par une seule marche de taille atomique (≈ 2 − 5 Å) peut
modier le courant tunnel de trois ordres de grandeur."
3) Fonctionnement à courant tunnel constant et travail de sortie constant.
3.a) Comment se fait le balayage latéral de la surface ?
3.b) Expliquer l'asservissement pour garder JT constant, en particulier ce qui se passe si le courant
mesuré est plus faible que le courant de consigne et dans le cas contraire, si le courant est plus fort que la
consigne.
3.c) Comment se fait alors la cartographie z = f (x, y) de la surface ?
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