énoncé

Lycée Naval, Spé 2.
Devoir surveillé n◦06 (17/01/14 4h)
Calculatrice autorisée, séparer les problèmes, mettre les résultats en évidence
1 Problème 1. Capteur inductif
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Donner les expressions de Aet de L0
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2 Problème 2. Glycérol et liquide antigel
On s’intéresse à l’utilisation du glycérol dans la formulation de liquides antigel.
On considère pour cela le diagramme isobare liquide-solide du mélange binaire eau-
glycérol, tracé sous une pression P= 1 bar. L’eau et le glycérol sont totalement
miscibles à l’état liquide et non miscibles à l’état solide. Ce diagramme présente
un point eutectique pour une fraction massique en glycérol voisine de 0,65.
Données : constante des gaz parfaits R= 8,31 J.K−1.mol−1
eau (1) glycérol (2)
Température de fusion Tfus(K)273 291
Température d’ébullition Teb(K)373 563
Masse molaire (g.mol−1) 18,01 92,09
Enthalpie standard de fusion (kJ.mol−1) à 298 K 6,00 19,06
1. Le glycérol a pour formule semi-développée CH2OH −CHOH −CH2OH.
Justifier la miscibilité totale de l’eau et du glycérol à l’état liquide.
2. Compte-tenu des données, tracer l’allure du diagramme binaire isobare
liquide-solide eau-glycérol. On portera en abscisse w2, la fraction massique
en glycérol.
3. Préciser la nature des phases en présence dans les différents domaines.
4. Partant d’une température de 300 K et d’une fraction massique en glycérol
w2= 0,1, on laisse le système se refroidir jusqu’à une température plus basse
que celle de l’eutectique. Représenter la courbe de refroidissement thermique
(température au cours du temps), en indiquant les phases présentes et leur
contenu dans chaque partie de la courbe.
5. Le tableau suivant donne la température de début de solidification de
quelques mélanges liquides eau-glycérol, mesurée expérimentalement pour
des fractions massiques en glycérol w2comprises entre 0,010 et 0,400.
w20,01 0,05 0,10 0,12 0,20 0,28 0,32 0,36 0,40
T(K)273,0 272,1 271,1 270,3 267,7 264,4 262,4 260,2 257,7
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(a) Donner l’expression du potentiel chimique de l’eau dans les phases liquide
et solide. On introduira x2la fraction molaire du glycérol dans le liquide
et on supposera le mélange liquide idéal.
(b) Montrer que l’équation de la portion du liquidus correspondant à l’équi-
libre de l’eau dans les phases liquide et solide a pour expression :
ln (1 −x2) = ∆fusH◦
R1 T1−1 T
avec T1la température de fusion de l’eau pure et ∆fusH◦l’enthalpie de
fusion de l’eau supposée indépendante de la température.
Indication : à pression constante, d
dT ∆rG◦ T=−∆rH◦ T2
(c) Confronter les valeurs expérimentales de température de début de soli-
dification mesurées pour les fractions massiques 0,05 et 0,4 aux valeurs
données théoriquement par l’équation du liquidus. Commenter.
6. À T= 267,7K, on considère 1,00 kg d’un mélange de composition massique
globale en glycérol w2= 0,100.
Positionner le point représentatif de ce système sur le diagramme représenté
à la question 2. Déterminer la nature et la masse de chacune des phases en
présence.
7. Expliquer pourquoi le glycérol peut être utilisé dans la composition des
liquides antigel pour éviter le givrage des pare-brise et dans les circuits de
refroidissement des voitures.
3 Problème 3. Wattmètre à effet Hall
3.1 Principe de l’effet Hall
Une plaquette parallélépipédique de grande longueur L, suivant Ox, de largeur a,
d’épaisseur b, est parcourue par un courant d’intensité I réparti uniformément sur
toute sa section droite (voir figure 4).
1. Principe :
(a) Quelle est l’action du champ sur un porteur de charge q supposée < 0 ?
(b) Que se passe-t-il pendant le régime transitoire ?
Montrer qu’il apparaît alors une différence de potentiel entre les points
A(en y= 0)etC(y=a). On suppose −→ AC parallèle et de même sens
que ~uy.
Cette différence de potentiel est nommée VH=VA−VC. Quel est son
signe ? Dépend-il de celui de q ?
2. On se place ensuite en régime permanent. En appliquant le principe fonda-
mental de la dynamique à un porteur de charges, exprimer le champ de Hall
~
EHassocié à VH.
3. Donner la relation liant le vecteur densité de courant volumique ~ jHà la
vitesse de déplacement des charges dans la plaquette et à n(nombre de
porteurs de charge par unité de volume) et q. Exprimer VH. On montrera
que VHb=RHIB où RHest la constante de Hall que l’on explicitera en
fonction de n et q. Que peut-on dire du signe de RH?
4. Application numérique :
Le matériau est un ruban conducteur de masse volumique ρ, de masse mo-
laire M. Chaque atome met en jeu un électron libre pour la conduction.
Donner la valeur et l’expression de n. En déduire RH. Calculer VHsi
B= 0,1T, M= 64 g.mol−1,ρ= 8,92 g.cm−3,I= 1,00 A, NA=
6,02 ×1023 mol−1,b= 0,1mm et q=−1,6×10−19 C. Commenter.
5. L’apparition de matériaux semi-conducteurs comme l’arséniure d’indium
InAs a permis d’obtenir des tensions de Hall plus élevées. Pourquoi ? On
donne pour I= 100 mA, |VH|= 126,7mV, n= 1,7×1022 m−3,b= 0,1mm,
a= 1,0cm et L= 3,0cm. Calculer la valeur du champ ~ B. Commenter.
6. La constante de Hall varie avec Tsuivant la loi RH(T) = Aexp (θ/T )où
θest une constante homogène à une température, Test la température
exprimée en K. Quelles sont les raisons de cette variation ?
Avec θde l’ordre de 2000 K, calculer la variation relative de la constante de
Hall lorsque la température s’élève de 10 K par rapport à la température
ambiante prise égale à 300 K.
Quels sont les qualités et les défauts des capteurs à effet Hall ?
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3.2 Étude de l’appareil
La sonde à effet Hall, identique à celle décrite précédemment, est montée comme
indiqué figure 5. Le courant iHqui la traverse entre par la borne T1et sort par
la borne T2. Elle est placée à l’intérieur d’un solénoïde infiniment long de nspires
par mètre (c’est-à-dire de longueur Lgrande et comprenant Nspires : n=N/L)
créant un champ magnétique tel que : ~ B=B0~uz.
L’interruption du solénoïde par la sonde, peu épaisse, sera négligée. iHcircule
entre T1et T2et iCcircule dans le solénoïde entre A1et A2.
1. Rappeler sans démonstration l’expression de B0en fonction de net iC.
2. En déduire vH=VM1−VM2en fonction de µ0,iH,iC,n,RHet b.
3. Un récepteur électrique, constitué de l’association en série d’une résistance
R= 5 Ω et d’une bobine d’inductance L= 0,1H, est alimenté par une
source de tension alternative sinusoïdale de fréquence f= 50 Hz et de
pulsation ωqui impose aux bornes du récepteur une tension uc=U0cos (ωt)
avec U0= 100 V. Le courant qui le traverse est : ic=I0cos (ωt +ϕ).
(a) Calculer numérique ϕ.
(b) Exprimer la puissance instantanée consommée par ce récepteur. Calculer
numériquement la puissance moyenne consommée.
4. On désire mesurer la puissance moyenne consommée par un récepteur. Le
dispositif précédent est monté dans un circuit comme indiqué sur la figure
7.
On admettra que iHest faible devant ic,R0est la résistance de la sonde
entre T1et T2.
On donne r= 500 Ω et R0= 10 kΩ
Décrire le fonctionnement du dispositif. Montrer que vHs’écrit : vH=kucic.
Exprimer kà l’aide des données.
5. On considère l’utilisation du wattmètre à effet Hall dans le cas où la ten-
sion ucest sinusoïdale, uc=U0cos (ωt), et où le courant iccomporte des
harmoniques :
ic=
∞
X
n=1
Icn cos (nωt +ϕn)
(a) Exprimer vH.
(b) Montrer que la valeur moyenne hVHine fait intervenir que le fondamental
du courant. Exprimer hVHi.
(c) Pour calculer la valeur moyenne hVHi, on filtre la tension vH. Montrer
que la valeur moyenne s’obtient après un filtrage passe-bas convenable.
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3.3 Obtention de <VH> : étude du filtre
On supposera l’amplificateur linéaire intégré idéal et fonctionnant en régime li-
néaire.
On admettra que l’application de la loi des nœuds au point Aconduit à la relation :
VA×(3 + jRC2ω) = V1+V2
1. En appliquant la loi des nœuds au point B, trouver une relation entre VA
et V2.
2. Montrer qu’il est alors possible de mettre la fonction de transfert sous la
forme :
H(jω) = V2
V1
=H0
1+2εj ω
ω0−ω2
ω2
0
Déterminer H0. Donner deux relations entre ε,ω0et les éléments du circuit.
3. On souhaite obtenir une fréquence propre f0= 10 Hz et un coefficient
d’amortissement ε=√2
2. On choisit R= 47 kΩ. Calculer C1et C2.
4. Le diagramme de Bode pour le gain est tracé sur la figure ci-contre.
Justifier son allure (asymptotes, coupure).
5. En déduire que ce filtre convient pour déterminer la puissance moyenne
consommée par le dipôle.
101102
−80
−60
−40
−20
f(Hz)
GdB
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