énoncé

Lycée Naval, Spé 2.
Devoir surveillé n◦ 06 (17/01/14
4h)
Calculatrice autorisée, séparer les problèmes, mettre les résultats en évidence
1
Problème 1. Capteur inductif
Donner les expressions de A et de L0
1
2
Problème 2. Glycérol et liquide antigel
On s’intéresse à l’utilisation du glycérol dans la formulation de liquides antigel.
On considère pour cela le diagramme isobare liquide-solide du mélange binaire eauglycérol, tracé sous une pression P = 1 bar. L’eau et le glycérol sont totalement
miscibles à l’état liquide et non miscibles à l’état solide. Ce diagramme présente
un point eutectique pour une fraction massique en glycérol voisine de 0,65.
Données : constante des gaz parfaits R = 8, 31 J.K−1 .mol−1
eau (1)
Température de fusion Tf us (K)
273
Température d’ébullition Teb (K)
373
Masse molaire (g.mol−1 )
18,01
Enthalpie standard de fusion (kJ.mol−1 ) à 298 K
6,00
glycérol (2)
291
563
92,09
19,06
1. Le glycérol a pour formule semi-développée CH2 OH − CHOH − CH2 OH.
Justifier la miscibilité totale de l’eau et du glycérol à l’état liquide.
2. Compte-tenu des données, tracer l’allure du diagramme binaire isobare
liquide-solide eau-glycérol. On portera en abscisse w2 , la fraction massique
en glycérol.
3. Préciser la nature des phases en présence dans les différents domaines.
4. Partant d’une température de 300 K et d’une fraction massique en glycérol
w2 = 0, 1, on laisse le système se refroidir jusqu’à une température plus basse
que celle de l’eutectique. Représenter la courbe de refroidissement thermique
(température au cours du temps), en indiquant les phases présentes et leur
contenu dans chaque partie de la courbe.
5. Le tableau suivant donne la température de début de solidification de
quelques mélanges liquides eau-glycérol, mesurée expérimentalement pour
des fractions massiques en glycérol w2 comprises entre 0,010 et 0,400.
w2
0,01
0,05
0,10
0,12
0,20
0,28
0,32
0,36
0,40
T (K) 273,0 272,1 271,1 270,3 267,7 264,4 262,4 260,2 257,7
2
Une plaquette parallélépipédique de grande longueur L, suivant Ox, de largeur a,
d’épaisseur b, est parcourue par un courant d’intensité I réparti uniformément sur
toute sa section droite (voir figure 4).
(a) Donner l’expression du potentiel chimique de l’eau dans les phases liquide
et solide. On introduira x2 la fraction molaire du glycérol dans le liquide
et on supposera le mélange liquide idéal.
(b) Montrer que l’équation de la portion du liquidus correspondant à l’équilibre de l’eau dans les phases liquide et solide apour expression :
∆f us H ◦ 1
1
ln (1 − x2 ) =
−
R
T1 T
avec T1 la température de fusion de l’eau pure et ∆f us H ◦ l’enthalpie de
fusion de l’eau supposée indépendante de la température.
∆r H ◦
d ∆ r G◦
=−
Indication : à pression constante,
dT
T
T2
1. Principe :
(a) Quelle est l’action du champ sur un porteur de charge q supposée < 0 ?
(b) Que se passe-t-il pendant le régime transitoire ?
Montrer qu’il apparaît alors une différence de potentiel entre les points
−→
A (en y = 0) et C (y = a). On suppose AC parallèle et de même sens
que ~uy .
Cette différence de potentiel est nommée VH = VA − VC . Quel est son
signe ? Dépend-il de celui de q ?
(c) Confronter les valeurs expérimentales de température de début de solidification mesurées pour les fractions massiques 0,05 et 0,4 aux valeurs
données théoriquement par l’équation du liquidus. Commenter.
2. On se place ensuite en régime permanent. En appliquant le principe fondamental de la dynamique à un porteur de charges, exprimer le champ de Hall
~ H associé à VH .
E
3. Donner la relation liant le vecteur densité de courant volumique ~jH à la
vitesse de déplacement des charges dans la plaquette et à n (nombre de
porteurs de charge par unité de volume) et q. Exprimer VH . On montrera
que VH b = RH IB où RH est la constante de Hall que l’on explicitera en
fonction de n et q. Que peut-on dire du signe de RH ?
6. À T = 267, 7 K, on considère 1,00 kg d’un mélange de composition massique
globale en glycérol w2 = 0, 100.
Positionner le point représentatif de ce système sur le diagramme représenté
à la question 2. Déterminer la nature et la masse de chacune des phases en
présence.
7. Expliquer pourquoi le glycérol peut être utilisé dans la composition des
liquides antigel pour éviter le givrage des pare-brise et dans les circuits de
refroidissement des voitures.
3
3.1
4. Application numérique :
Le matériau est un ruban conducteur de masse volumique ρ, de masse molaire M . Chaque atome met en jeu un électron libre pour la conduction.
Donner la valeur et l’expression de n. En déduire RH . Calculer VH si
B = 0, 1 T, M = 64 g.mol−1 , ρ = 8, 92 g.cm−3 , I = 1, 00 A, NA =
6, 02 × 1023 mol−1 , b = 0, 1 mm et q = −1, 6 × 10−19 C. Commenter.
Problème 3. Wattmètre à effet Hall
5. L’apparition de matériaux semi-conducteurs comme l’arséniure d’indium
InAs a permis d’obtenir des tensions de Hall plus élevées. Pourquoi ? On
donne pour I = 100 mA, |VH | = 126, 7 mV, n = 1, 7×1022 m−3 , b = 0, 1 mm,
~ Commenter.
a = 1, 0 cm et L = 3, 0 cm. Calculer la valeur du champ B.
Principe de l’effet Hall
6. La constante de Hall varie avec T suivant la loi RH (T ) = A exp (θ/T ) où
θ est une constante homogène à une température, T est la température
exprimée en K. Quelles sont les raisons de cette variation ?
Avec θ de l’ordre de 2000 K, calculer la variation relative de la constante de
Hall lorsque la température s’élève de 10 K par rapport à la température
ambiante prise égale à 300 K.
Quels sont les qualités et les défauts des capteurs à effet Hall ?
3
3.2
Étude de l’appareil
(a) Calculer numérique ϕ.
(b) Exprimer la puissance instantanée consommée par ce récepteur. Calculer
numériquement la puissance moyenne consommée.
La sonde à effet Hall, identique à celle décrite précédemment, est montée comme
indiqué figure 5. Le courant iH qui la traverse entre par la borne T1 et sort par
la borne T2 . Elle est placée à l’intérieur d’un solénoïde infiniment long de n spires
par mètre (c’est-à-dire de longueur L grande et comprenant N spires : n = N/L)
~ = B0 ~uz .
créant un champ magnétique tel que : B
L’interruption du solénoïde par la sonde, peu épaisse, sera négligée. iH circule
entre T1 et T2 et iC circule dans le solénoïde entre A1 et A2 .
4. On désire mesurer la puissance moyenne consommée par un récepteur. Le
dispositif précédent est monté dans un circuit comme indiqué sur la figure
7.
On admettra que iH est faible devant ic , R0 est la résistance de la sonde
entre T1 et T2 .
On donne r = 500 Ω et R0 = 10 kΩ
Décrire le fonctionnement du dispositif. Montrer que vH s’écrit : vH = kuc ic .
Exprimer k à l’aide des données.
1. Rappeler sans démonstration l’expression de B0 en fonction de n et iC .
2. En déduire vH = VM1 − VM2 en fonction de µ0 , iH , iC , n, RH et b.
5. On considère l’utilisation du wattmètre à effet Hall dans le cas où la tension uc est sinusoïdale, uc = U0 cos (ωt), et où le courant ic comporte des
harmoniques :
∞
X
ic =
Icn cos (nωt + ϕn )
3. Un récepteur électrique, constitué de l’association en série d’une résistance
R = 5 Ω et d’une bobine d’inductance L = 0, 1 H, est alimenté par une
source de tension alternative sinusoïdale de fréquence f = 50 Hz et de
pulsation ω qui impose aux bornes du récepteur une tension uc = U0 cos (ωt)
avec U0 = 100 V. Le courant qui le traverse est : ic = I0 cos (ωt + ϕ).
n=1
(a) Exprimer vH .
(b) Montrer que la valeur moyenne hVH i ne fait intervenir que le fondamental
du courant. Exprimer hVH i.
(c) Pour calculer la valeur moyenne hVH i, on filtre la tension vH . Montrer
que la valeur moyenne s’obtient après un filtrage passe-bas convenable.
4
3.3
Obtention de <VH > : étude du filtre
f (Hz)
GdB
On supposera l’amplificateur linéaire intégré idéal et fonctionnant en régime linéaire.
−20
−40
−60
−80
On admettra que l’application de la loi des nœuds au point A conduit à la relation :
V A × (3 + jRC2 ω) = V 1 + V 2
1. En appliquant la loi des nœuds au point B, trouver une relation entre V A
et V 2 .
2. Montrer qu’il est alors possible de mettre la fonction de transfert sous la
forme :
H0
V
H(jω) = 2 =
V1
ω
ω2
1 + 2εj
− 2
ω0 ω0
Déterminer H0 . Donner deux relations entre ε, ω0 et les éléments du circuit.
3. On souhaite obtenir √
une fréquence propre f0 = 10 Hz et un coefficient
2
d’amortissement ε =
. On choisit R = 47 kΩ. Calculer C1 et C2 .
2
4. Le diagramme de Bode pour le gain est tracé sur la figure ci-contre.
Justifier son allure (asymptotes, coupure).
5. En déduire que ce filtre convient pour déterminer la puissance moyenne
consommée par le dipôle.
5
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102