I DYNAMIQUE DES ELECTRONS DE BLOCH 2 2 I.1.1 3 I.1.2 4 I.1.3

I DYNAMIQUE DES ELECTRONS DE BLOCH
2
I.1
MODELE SEMI-CLASSIQUE:
I.1.1
DEMONSTRATION DES EQUATIONS SEMI – CLASSIQUES :
I.1.2
THEOREME DE LA MASSE EFFECTIVE:
I.1.3
VALIDITE DE L'HYPOTHESE SEMI-CLASSIQUE:
I.2
MOUVEMENT DANS UN CHAMP ELECTRIQUE UNIFORME ET CONSTANT:
I.3
MOUVEMENT DANS UN CHAMP MAGNETIQUE UNIFORME ET CONSTANT:
I.3.1
UTILISATION DE B POUR DETERMINER LES PROPRIETES DE LA MATIERE.
2
3
4
7
8
9
10
II EQUATION DE BOLTZMANN:
11
II.1
II.2
11
11
FONCTION DE DISTRIBUTION DES ELECTRONS.
EQUATION DE BOLTZMANN:
III APPROXIMATION DU TEMPS DE COLLISION
12
III.1
III.2
III.3
III.4
III.5
III.5.1
III.5.2
III.5.3
III.6
III.7
III.7.1
III.7.2
12
12
13
15
16
17
19
21
21
24
25
26
HYPOTHESE DE L’EQUILIBRE LOCAL:
LINEARISATION:
VECTEURS DENSITE DE COURANT ELECTRIQUE ET DE FLUX DE CHALEUR:
ELECTRONS ET TROUS:
PHENOMENE DE CONDUCTION DANS LES METAUX:
APPLICATION A LA CONDUCTION ELECTRIQUE:
APPLICATION A LA CONDUCTIVITE THERMIQUE
EFFETS THERMOELECTRIQUES
PHENOMENE DE CONDUCTION DANS LES SEMI – CONDUCTEURS:
TRANSPORT SOUS CHAMP MAGNETIQUE
EFFET HALL
MAGNETORESISTANCE
IV ECRANTAGE
27
IV.1
CONSTANTE DIELECTRIQUE GENERALISEE
IV.2
ECRANTAGE DANS L'APPROXIMATION DE THOMAS - FERMI
IV.2.1
CAS DES METAUX:
IV.2.2
CAS DES SEMI – CONDUCTEURS:
27
27
28
29
Transport électronique
Précédemment, nous avons vu quelques modèles classiques et simples, comme les modèles
de Drude et de Sommerfeld.
Nous allons ici effectuer un traitement quantique du problème, ou plutôt semi-classique.
I
Dynamique des électrons de Bloch
I.1
Modèle semi-classique:
En mécanique quantique, les électrons ne peuvent plus être considérées comme des
particules ponctuelles avec une position et une vitesse bien définies, et ceci en raison des
inégalités d'Heisenberg.
On va alors représenter la particule par un paquet d'ondes planes afin de se rapprocher d'un
modèle semi-classique.
r
r
r
r
(1)
ψ n (r ) = ∫r a k ψ nkr (r )e −iω nt dk ,
k
r
r rr
où les ψ nkr (r ) = u nkr (r )e ik .r sont les fonctions de Bloch correspondant à l'énergie d'une
()
∂ψ
.
h
∂t
r
Si l'on impose aucune action extérieure, le paquet d'onde est stable et a k = cste ∀t .
Par ailleurs, pour respecter la réalité physique, le paquet d'onde va être centré sur une
r
valeur k 0 .
bande E nkr , et ω nkr =
∆
E nkr
, ceci afin que l'on ait bien Hψ = ih
()
Avec ∆k << (taille PZB ) .
Quelle est alors l'extension de ce paquet d'onde dans
l'espace réel?
On a:
r r
r
r
r r
r
(2)
ψ r0 + R, t = ∫r a k ψ nkr (r0 )e i (k . R −ω nt )dk
(
)
()
k
()
r
r
Le terme en a k ψ nkr (r0 ) a toujours une extension
r
r
caractéristique dans l'espace réciproque de ∆k , puisque à r0 fixé, il n'y a aucune raison pour
r
que ψ nkr varie énormément avec k (le paquet d'onde dans l'espace réciproque est donné par la
r
fonction a k ).
D'après les propriétés de la transformée de Fourier, l'extension spatiale de la fonction
r
d'onde se fera donc autour de r0 avec une largeur s'étendant sur plusieurs mailles
1
élémentaires. En effet,
>>> (maille élem.) .
k << PZB
On va donc repérer l'électron par le centre du paquet d'ondes, que l'on appellera
abusivement "position" de l'électron, et le caractère non localisé de la particule se manifestera
dans l'extension de ce paquet d'ondes.
Ceci se comprend si l'on calcule la vitesse de groupe de ce paquet d'onde:
()
r
1
v g = grad kr ω nkr = grad kr ,kr = kr0 E nkr = v nkr
0
h
C'est cette extension que la modèle semi-classique vise à décrire, et il s'applique à des
champs peu variables à l'échelle du paquet d'ondes et donc variable très lentement à l'échelle
de la maille élémentaire.
Le modèle semi classique se fonde sur l'hypothèse qu'il n'y pas de transitions interbandes,
et le fait que les champs soient lentement variables à l'échelle de la maille élémentaire
implique, ce que nous allons démontrer, les relations suivantes:
r
1
dr
(4)
= v nkr = grad kr E nkr
dt
h
r
r
r
r
dk
(5)
h
= − e E + v n ,l ∧ B
dt
r
où r est la "position" de l'électron, c'est-à-dire le centre du paquet d'onde dans l'espace
r
r
réel, et hk est la "quantité de mouvement" de l'électron, c'est-à-dire que k est le centre du
paquet d'onde dans l'espace réciproque.
(3)
[
I.1.1
]
Démonstration des équations semi – classiques :
( )
r
1ère étape: Montrons que si on a Hψ nkr = E nkrψ nkr , alors il existe une fonction E n − i∇ , ne
r
dépendant que de la quantité de mouvement de l'électron, telle que E n − i∇ ψ nkr = E nkrψ nkr .
( )
On a E nkr qui est une fonction périodique avec la périodicité du réseau réciproque. On peut
donc la décomposer en série de Fourier:
r
~ rr
(6)
E n k = r∑ E nRr e ik .R ,
()
soit:
(7)
R∈R . B .
( ) ∑ E~
r
E n − i∇ =
r
R∈R . B .
r
nR
r r
r
e ∇. R , avec ∇ = grad Rr .
Or
( )
r r
 rr 1 rr 2

e ∇. Rψ nkr = 1 + R.∇ + R.∇ + ...ψ nkr
2


ψ
∂
ψ
∂
....
+ Ry
= ψ nkr + R x
∂y
∂x
r r
.
= ψ nkr r + R (Développement de Taylor)
(
)
r r
r r
r
D'après les propriétés des fonctions de Bloch, on a donc e R.∇ = e ik . Rψ nkr (r )
Ce qui permet de démontrer le résultat de la première étape:
r
~ rr
(8)
E n − i∇ = r∑ Ee ik .R ψ nkr = E nkrψ nkr
( )
(
R∈R . B .
)
Ceci constitue un résultat fondamental. En effet, l'équation aux valeurs propres écrite cidessus à directement la forme de celle d'un électron libre, mis à part que l'hamiltonien n'est
pas l'énergie cinétique de la particule : le champ cristallin n'apparaît plus que dans la relation
de dispersion.
2ème étape : résolution de l'équation aux valeurs propres.
Nous allons ici nous limiter au champ électrique, le traitement pour le champ magnétique
étant le même bien qu'un peu plus calculatoire.
On a donc
r
(H + U )ψ (rr, t ) = ih ∂ψ , avec gradU = eE
(9)
∂t
L'hypothèse que nous faisons alors est qu'il n'y a pas de transition interbandes.
En utilisant (1), l'équation aux valeurs propres se réécrit:
r
r
r
∂ψ
(10)
r a r (t )Hψ r (r , t )dk + Uψ (r , t ) = ih
∫k k
nk
∂t
r
r
r
r
r
Or Hψ nk = E nkψ nk = E n − i∇ ψ nk , d'après (8). On peut donc écrire:
r
r
∂ψ
E n − i∇ + U ψ (r , t ) = ih
(11)
∂t
[ ( ) ]
( )
Dans un cadre classique, on aurait :
r
r
∂r ∂H
∂p
∂H
(12)
= r et
=− r .
∂t
∂p
∂t
∂r
r
r
Etant alors données les dépendances en r et en p des divers termes de (11), ceci s'écrit:
r
r
r
∂r ∂E n
∂p
∂U
= r et
(13)
= − r = −eE
∂t
∂p
∂t
∂r
Si on repasse alors en mécanique quantique, on a:
r
d r
∂E
1 ∂E n
r , ainsi que:
(14)
= rn =
dt
∂p
h ∂k
r
r
∂k
h
= −eE
(15)
∂t
I.1.2
Théorème de la masse effective:
r
Considérons une bande n comportant un extremum de bande k 0 .
Toute fonction de Bloch dans cette bande s'écrit:
rr
r
(16)
ψ nkr (r ) = u nkr e ik .r
r
r
Mais si k est voisin de k 0 , alors on a
r r r
rr
ψ r = e ik .r u r = e i (k − k0 )rψ r .
(17)
nk
nk 0
nk 0
La fonction d'onde totale dans ler modèle
semi-classique s'écrit donc, d'après (1):
r r r
r
rr
r
i (k − k 0 )r
r
(18)
ψ (r , t ) = ψ nk ∫r a k (t )e
dk = ψ nkr .F (r ) ,
0
k
0
r r r r
r r
r
r
r
où F (r ) = ∫r a kr (t )e i (k − k0 )r dk est très lentement variable en r dans la mesure où k − k 0 est
k
petit.
Par ailleurs, on a
r
r
E n − i∇ F (r , t )ψ nkr =
( )
()
r r
~ r r r
= ∑ E (R )F (r + R, t )ψ (r + R )
r
~ r r r
= ∑ E (R )F (r + R, t )ψ (r )e
r
r
~ r
= ψ (r ) ∑ E (R )e F (r , t )e
0
∑
r
R∈R . B .
r
R∈R . B .
(19)
r
R∈R . B .
r
~ r rr r
E n R e R.∇ F (r , t )ψ nkr (r )
0
n
r
nk 0
n
r
nk 0
r r
ik 0 . r
r r
R .∇
r
nk 0
r
R∈R . B .
r r
ik 0 . r
n
()
r
~ r r r rr  r
= ψ nkr (r ) r∑ E n R e i (k0 .R −iR.∇ )  F (r , t )
0
 R∈R.B.

On a donc :
r
r
r
r
r
(20)
E n − i∇ F (r , t )ψ nkr = ψ nkr E n k 0 − i∇ F (r , t )
( )
0
(
0
)
D'où, en injectant le résultat précédent dans l'équation de Schrödinger (11), on obtient:
r
r
r
∂F
(21)
E n k 0 − i∇ + U F (r , t ) = ih
∂t
r
r
Si maintenant on effectue un développement de E n k autour de k 0 , on obtient, puisque
r
E n présente un extremum en k 0 :
r
r
h2 r r 2
(22)
En k = En k0 +
k − k0 ,
2m *
où m * est appelée masse effective, et correspond au terme qui apparaît dans le
r r
r
développement. En appliquant ce résultat à k = k 0 − i∇ , on obtient une nouvelle expression
de l'équation de Schrödinger:
r
 r

∂F
h2 r 2
∇ + U  F (r , t ) = ih
(23)
En k 0 −
∂t
2m *


( (
()
) )
()
( )
(
)
( )
ce qui signifie physiquement que à un extremum de bande, on va pouvoir étudier les
particules comme des particules libres de masse effective m * .
Remarque: lien entre masse effective et structure de bande:
On se souvient que, pour des fonctions des fonctions de Bloch de la forme
r
r rr
ψ nkr (r ) = u nkr (r )e ik .r , la fonction u était solution de l'équation:
r
r
r
h2 r r 2
hkr u nkr (r ) = E nkr u nkr (r ) , avec hkr =
k − i∇ + V (r ) , V représentant le champ cristallin.
2m
(
)
On avait par ailleurs:
h2
h2 r r r
(24)
hkr + dkr =
dk 2 +
k − i∇ dk + hkr ,
2m
m
(
)
et on avait calculé la variation d'énergie due au potentiel cristallin au premier ordre en
disant que:
(25)
dE nk = u nkr dhkr u nkr
Nous avions alors obtenu au premier ordre en perturbation, et donc en dk:
r
h2
(26)
dE n ,kr =
ψ nkr − i grad ψ nkr .dk ,
m
résultat important qui nous avait permis de dire que:
r
1
(27)
v = grad kr E nkr .
h
Au second ordre en perturbation, on va avoir, en traitant le terme quadratique en dk dans le
développement de hkr au premier ordre en perturbation et le terme linéaire au second ordre:
(
)
h2 r r r
dk k − i∇ u n ’kr
m
2
u nkr
2
h
2
,
δ E nkr = u nkr
dk u nkr + ∑
(28)
2m
E nkr − E n ’kr
n ’≠ n
et on trouve finalement que:
2
u r Pα u nkr u nkr Pβ u n ’kr
h2 r 2  h2 
2
r
,
(29)
δ E nk =
dk +   ∑∑ dkα dk β ∑ n ’k
2m
E nkr − E n ’kr
n ’≠ n
m α β
ce qui, en faisant le lien avec la masse effective, nous permet de définir un tenseur masse
effective m* tel que:

Wαβ
1
 1 

(30)

 =  δ αβ + ∑
r
r 
 m * αβ m 
n ’≠n E nk − E n ’k 
On peut par exemple appliquer ceci à des électrons dans un champ:
(m *)αβ ∂v β
δk β ∂v β
dkα
.
=∑
(31)
=∑
dt
h
∂t
β ∂v β ∂t
β
r
r r r
dk
Or comme h
= −e E + v ∧ B , on a:
dt
r
r
r
dv
[M *] = −e E + vr ∧ B
(32)
dt
On va donc pouvoir traiter les problème en extremum de bandes comme des particules
libres mais de masse la masse effective, qui contient les informations de la structure de bande
induite par le champ cristallin.
2
( )
(
)
(
)
I.1.3
Validité de l'hypothèse semi-classique:
L'hypothèse semi-classique est valable tant que les deux conditions suivantes sont
remplies:
2

E gap (k )
eE a <<
EF

(33)

2
E gap (k )
 eB
h
<<
 m
EF

[
]
[
]
Avant de justifier ces critères, prenons quelques exemples:
1

→
cas d'un mauvais métal : ρ = 100 µΩ.cm −1 ; j = 100 A / cm 2 . Ceci implique que
E = 10 −2 V / cm . On a alors eE a ~ 10 −10 eV , et comme E F ~ 1eV , on doit avoir
E gap << 10 −5 eV . Ceci montre que l'approximation semi-classique n'est pas très bonne dans le
cas d'un métal.
2

→
cas d'un semi-conducteur intrinsèque. On a ici eE a = 10 −4 eV , soit E gap << 10meV .
Ceci n'est pas trop difficile à satisfaire (?)
Quelle est l'origine de ces critères de validité?
Rappelons l'allure de la courbe E (k ) dans le modèle des électrons presque libres:
1 ∂E
.
h ∂k
L'hypothèse semi-classique consiste à dire que l'on doit
avoir ∆v << v F . En effet, le paquet d'ondes "représentant"
l'électron doit rester assez piqué, et donc ne pas trop
s'étaler au cours de son évolution.
1 ∂2E
Or ∆v =
∆k , et donc on doit avoir
h ∂k 2
On a par ailleurs v =
2
∆k <<
hv F
 ∂2E 
 2 
 ∂k 
.
2
∂2E  h2K  1
hK

Par ailleurs, on a
. Comme
≈ 
≈ v F et E gap = u K , la condition
2
m
∂k
 m  uK
E gap
s'écrit: ∆k <<
hv F
hv
D'après les relations de Heisenberg, ceci implique que ∆x >> F .
E gap
L'incertitude sur le champ électrique va donc être donnée par e∆φ = eE a ∆x >>
eE a hv F
.
E gap
Dans le cadre du modèle semi-classique, il ne peut pas y avoir de transition interbande, ce
2
E gap
eE a
eE a hv F
qui implique: E gap >> e∆φ =
<<
, ce qui se réécrit
. Enfin on a k F ~ a ,
kF
EF
E gap
ce qui donne l'inégalité attendue.
[
I.2
]
Mouvement dans un champ électrique uniforme et constant:
Dans le cadre
r du modèle
rsemi classique, l'égalité (15) s'intègre aisément en:
r
(34)
hk = −eE a t + hk (0 )
Par ailleurs, la vitesse de l'électron est donnée par:
r
r
r 1
(35)
v = grad kr E n hk 0 − eE a t
h
Représentons une bande du cristal dans la première zone de Brillouin:
Comme le comportement de la vitesse ren t
En , v
est le même que sont comportement en k , à
une constante multiplicative près, la structure
de bande impose que la vitesse reste bornée.
Ceci constitue une différence majeure avec
les électrons libres : on ne peut pas accélérer
jusqu'à l'infini des électrons placés dans un
potentiel périodique : ils effectuent des
oscillations, appelées oscillations de Bloch.
r
k ,t
On constate alors que:
1
il n'y a pas de courant continu dans

→
un cristal parfait
2
l'application d'un champ électrique

→
constant induit un courant alternatif dans le
conducteur.
{ (
)}
En fait, dans un vrai solide, la présence des impuretés entraîne l'apparition d'un courant
continu, dû aux collisions entre les électrons et les impuretés du cristal.
Intéressons nous tout d'abord à la période de ces oscillations:
Le temps mis pour parcourir la première zone de Brillouin est tel que:
eE
2π
(36)
= T a , soit
a
h
2πh
h
(37)
T=
=
aeE a aeE a
o
Si on prend un champ électrique fort E a = 10 4 V , et a = 1 A , alors T ≈ 10 −11 s = 10 3 τ , où
τ est le temps caractéristique des collisions.
On voit donc que les collisions avec les impuretés vont totalement détruire ce régime
oscillant, puisque dans une période de ce mouvement l'électron va subir en moyenne un
millier de collisions.
I.3
Mouvement dans un champ magnétique uniforme et constant:
On a toujours les relations du modèle semi-classique:
r
r
r
r
dr 1
dk
r
(38)
= grad k E et h
= −ev kr ∧ B
dt h
dt
r
Si on se donne un axe Oz parallèle à B, comme dans le traitement classique, E k et k z
seront des constantes du mouvement.
La trajectoire, dans l'espace réciproque, de l'électron sera donc une courbe s'appuyant sur
une surface d'énergie constante et perpendiculaire à Oz .
Le sens dans lequel est parcouru l'orbite se déduit de la
relation liant la vitesse au gradient de l'énergie. En effet, la
vitesse va pointer vers les énergies plus hautes, ce qui donne
le sens du parcours. Si on s'imagine alors marchant le long de
l'orbite (dans l'espace des k) de l'électron, ces relations
montrent que les hautes énergies vont se trouver à notre
droite, si le champ magnétique pointe vers le haut.
r
D'après la relation donnant l'évolution temporelle de k , on
a:
r
r
r
dk = −edrkr ∧ B , ce qui implique que l'orbite électronique dans l'espace réel va se déduire
()
de celle dans l'espace des k par une rotation de π / 2 autour de Oz suivie d'une homothétie de
h
rapport
.
eB
Pour des électrons libres, on retrouve que la pulsation correspondant à l'orbite est la
eB
classique pulsation cyclotron ω c =
.
m
Il faut remarquer que, dans le cas des électrons de
Bloch, la structure de bande entraîne une déformation
des surfaces d'énergies constantes, ce qui implique que
dans un grand nombre de cas les orbites ne sont plus
circulaires, ni même nécessairement fermées.
Nous pouvons alors évaluer le temps que met
l'électron a parcourir la portion d'une orbite contenue
entre k1 et k 2 .
On a:
(39)
r
k2
r
k1
∆t = t 2 − t1 = ∫ dt = ∫
t2
t1
r
dk
r
dk
dt
r
dk
e r
En utilisant les équations du modèle semi-classique, on a
= v k⊥
B , ce qui donne
dt
h
r
dk
e
(40)
= 2 grad kr E ⊥ B
dt
h
(
)
(
Selon ce petit schéma, on a grad E
r
r
h 2 k2 dk r
(41)
∆t =
δk
r
eB ∫k1 dE
r
δk
E
E+dE
)
⊥
dE
= r , et donc:
δk
r
L'intégrale donne justement l'aire comprise entre les deux orbites voisines de δk , délimités
r
r
par k1 et k 2 , ce qui donne au total, en désignant par A1, 2 cette aire:
h 2 ∂A1, 2
.
eB ∂E
Si la courbe est une courbe fermée, on obtient la période du mouvement:
h 2 ∂A(E , k z ) 2πm * 2π
,
T=
=
=
(43)
eB
∂E
eH
ωc *
où on a définit la masse cyclotron par
h 2 ∂A(E , k Z )
.
m* =
(44)
2π
∂E
Remarquons que l'on retrouve bien, dans le cas des électrons libres, m* = m , puisque
2πm
A(E , k z ) = πk 2 = 2 E .
h
(42)
I.3.1
∆t =
Utilisation de B pour déterminer les propriétés de la matière.
Rappel sur les niveaux de Landau:
r
Si on considère des électrons libres soumis à un champ B // Oz , l'hamiltonien s'écrit:
r2
1 r
(45)
H=
p + eA .
2m
Les fonctions propres solutions de cet hamiltonien sont:
hk y 

1 ik
,
(46)
ψ n ,k y ,k z = e y e ik z zφ n  x +
L
eB 

et les énergies propres de ces états, appelés niveaux de Landau sont:
h 2 k z2 
1
(47)
E n ,k z =
+  n +  hω c
2m 
2
La dégénérescence d'un niveau de Landau est donnée, à k z donné, par:
2eB 2
(48)
g (E n ) =
L ,
h
et la densité d'états par unité de surface est donnée par:
(
)
(
)
(49)
g (E ) =
∞ dk
2eB
z
δ E − E n ,k z , soit:
∑
∫
h n −∞ 2π
(50)
g (E ) =
n0
2eB
2π ∑
h
n=0
1
,
1

E −  n +  hω c
2

1
3


avec n0 tel que  n0 + hω c < E <  n0 + hω c .
2
2


La densité d'états à donc l'allure suivante:
La densité d'état, qui est un des paramètres
les plus importants en ce qui concerne les
propriétés électriques du conducteur, présente
donc des singularités à chaque fois que
1 
1 h e
.
(51)
= n + 
2  EF m
B 
h
2
II
3h
2
5h
2
7h
2
Equation de Boltzmann:
II.1
Fonction de distribution des électrons.
Nous nous intéressons maintenant à un modèle permettant d'expliquer le transport
électronique dans les différents corps cristallins.
r r
Considérons un volume élémentaire de l'espace des phases d 3 r d 3 k , avec
r
a << d 3 r << macro .
8π 3
Le volume occupé par un état vaut
, ce qui implique que le nombre d'états contenus
V
dans ce volume élémentaire vaut (avec le spin):
r
r r d 3r 3 r
(52)
n r,k =
d k.
4π 3
On appelle alors fonction de distribution la fonction donnant la proportion de ces états qui
sont occupés. On aura donc
r r
r r
1
(53)
f r , k , t d 3 r .d 3 k : nombre d'états occupés dans ce volume élémentaire.
2
4π
( )
(
II.2
)
Equation de Boltzmann:
(
)
r r
Lorsqu'il n'y a pas de collision, la fonction f r (t ), k (t ) est une constante. En effet, il s'agit
d'une distribution satistique qui ne varie pas tant que les électrons ne sont pas soumis à un
potentiel différent que celui du champ cristallin.
Ceci implique par différentiation que:
r
r
dr
dk
∂f
(54)
.grad rr f +
.grad kr f +
= 0 (équation de Liouville)
dt
dt
∂t
Par ailleurs, comme les collisions sont des phénomènes soudain et rapide, on ne peut pas
leur appliquer le modèle semi-classique.
Ici nous donnons à collision son sens le plus large, c'est-à-dire une interaction rapide avec,
les impuretés, les défauts du cristal, les atomes extérieurs, les phonons acoustiques et
optiques…
L'équation de Liouville va alors être modifiée en équation de Boltzmann:
r
r
dr
dk
∂f ∂f 
.grad rr f +
.grad kr f +
= 
(55)
dt
dt
∂t ∂t  coll .
III
Approximation du temps de collision
III.1
Hypothèse de l'équilibre local:
On va essayer de modéliser les collisions. Cette approximation consiste en fait à oublier
l'origine microscopique des collisions.
On fait tout d'abord l'hypothèse de l'équilibre local : on suppose qu’il est possible de
découper le système en cellules élémentaires, suffisamment grandes pour pouvoir y définir
des grandeurs thermodynamiques (T, P, µ ), mais petites à l'échelle du système et surtout
suffisamment petites pour pouvoir considérer que ces grandeurs thermodynamiques y sont
uniformes.
On fait alors l'hypothèse suivante:
Les collisions ont tendance à ramener la fonction de distribution vers celle de l'équilibre
local.
f − f0
∂f 
On écrit donc que
, où f 0 est la fonction de distribution de l'équilibre
 =−
∂t  coll
τ (v )
local.
Par exemple, et c'est ce que nous considérerons dans la suite,
r r
1
(56)
, fonction de Fermi – Dirac.
f 0 r , k , t = ε (kr )− µ (rr )
r
k BT ( r )
+1
e
(
III.2
)
Linéarisation:
On va supposer que les effets qui vont écarter le système de l'équilibre vont être faibles, et
on va développer f par:
(57)
f = f 0 + f1 , avec f1 << f 0 .
III.3
Vecteurs densité de courant électrique et de flux de chaleur:
On a directement que le vecteur densité de courant électrique vaut :
r r r r r
r r
e
je (r , t ) = − 3 ∫ d 3 k f r , k , t v k .
(58)
4π PZB
(
)()
r
Si on veut déterminer jQ , on doit utiliser l'expression thermodynamique des deux
principes:
(59)
TdS = dU − µdN + eVdN ,
ce qui implique que :
r r r
r
r r
r r
1
3
(
)
jQ (r , t ) =
d
k
f
r
,
k
,
t
ε
k
−
µ
−
eV
v
k
(60)
∫
4π 3 PZB
(
)[ ( )
]( )
Réécrivons alors l'équation de Boltzmann (65) dans l'approximation du temps de collision:
r
f − f0
r
dk
∂f
.
(61)
v .grad rr f +
.grad kr f +
=−
dt
∂t
τ
On va alors supposer que la seule dépendance de f en t se trouve par l'intermédiaire de r et
∂f
k, c'est-à-dire que
= 0.
∂t
En utilisant alors la linéarisation (57) de f, on a:
r
f
r
dk
∂f
v .grad rr f 0 +
(62)
.grad kr f 0 +
=− 1
dt
τ (v )
∂t
Or, d'après (56), on a:
∂f
∂f r
(63)
grad kr f 0 = 0 grad kr ε = h 0 v
∂ε
∂ε
∂f 0
r ∂f 0
r
(64)
grad rr f 0 =
grad rr µ (r ) +
grad rr T (r )
∂µ
∂T
∂f
∂f
ε −µ
Toujours d'après (56),
=−
et par ailleurs, si l'on pose X =
, on a :
∂µ
∂ε
k BT
∂f 0
ε − µ ∂f 0
ε − µ ∂ε ∂f 0
(65)
=−
=−
2
∂T
k B T ∂X
k B T 2 ∂X ∂ε
ce qui implique que:
∂f 0
ε − µ ∂f 0
.
(66)
=−
∂T
T ∂ε
On est bien sûr toujours dans l'étude d'un système soumis à une force extérieure, et dans un
r
dk 1 r
cadre semi-classique, ce qui implique que
= F.
dt h
Toutes ces transformations permettent d'obtenir une forme assez simple de l'équation de
Boltzmann:
ε −µ
 r
 ∂f r
f1 = τ (v )− F + grad rr µ +
grad rr T . 0 v
(67)
T

 dε
r
r
Ceci nous permet de réécrire les expressions des courants j e et jQ . En effet, la
contribution de f 0 à ces courants va être nulle puisque, lorsqu'il n'y a aucun gradient ni
aucune force extérieure, ceux-ci doivent être nuls, et que la contribution de f1 dans ce cas est
r
r
nulle. Mathématiquement, ceci se voit à la parité de la fonction f 0 .v en k ( f 0 dépend de k par
l'intermédiaire de l'énergie, et est donc paire en k, et v est impaire en k).
Par ailleurs, dans l'expression du courant de flux de chaleur, on va pouvoir négliger le
terme en eV, puisqu'il va être du second ordre après multiplication par f 1 (on suppose que la
force extérieure est déjà du premier ordre, ceci nous ayant permis de linéariser f).
On a donc:
r r r r r
r r
e
(68)
j e (r , t ) = − 3 ∫ d 3 k f 1 r , k , t v k
4π PZB
r r r
r
r r
r r r
1
3
(
)v k
−
(69)
jQ (r , t ) =
d
k
f
r
,
k
,
t
ε
k
µ
r
1
∫
4π 3 PZB
(
(
)()
)[ ( )
]( )
Remarque importante:
On a montré que f 1α
∂f 0
(67). Or si l'on trace f 0 en fonction de l'énergie, on voit que
∂ε
pour f 0 (ε ) = 1 , c'est-à-dire pour une bande
∂f 0
= 0 , et que pour f 0 (ε ) = 0 ,
1
∂ε
∂f
c'est-à-dire pour une bande vide, on a 0 = 0 .
∂ε
Ceci signifie clairement que les bandes
complètement vides ou complètement pleines
ε
µ = εF
ne vont pas participer à la conduction,
thermique ou électrique.
On peut par ailleurs exprimer les diverses composantes des courants considérés:
r

∂µ (ε − µ ) ∂T  ∂f 0
e
vβ
+
j e,α = − 3 ∫ d 3 k vα ∑ τ (v )eE β +

∂x β
T ∂x β  ∂ε
4π PZB

β
f
pleine, on a
 e 2 
r  ∂f 

1 ∂µ
= ∑  3  ∫ d 3 k . − 0 τ (ε )vα v β  E β +

e ∂x β
 ∂ε 
β 

 4π  PZB
(70)
−
Si on pose:
ν)
L(αβ
=

( ( ) ) − ∂∂xT 
r
r
∂f 0 
1 e2 
3 
(
)
d
k
v
v
k
.
−
τ
ε
ε
−µ



α
β
∫  ∂ε 
eT 4π 3  PZB
(() )
r  ∂f 
r
ν
e2
d 3 k . − 0 τ (ε )vα v β ε k − µ ,
3 ∫
4π PZB
 ∂ε 
cette expression devient:
 (0 ) 


(1) 
 E β + 1 ∂µ  − 1 Lαβ
 − ∂T  .
j eα = ∑  Lαβ
(72)

 ∂x 
e ∂x β  eT
β 
β 

 
(71)





β

On trouve de même que:
 1 (1) 
 E β + 1 ∂µ
jQα = ∑ − Lαβ
(73)

e ∂x β
β 

 e


 + 1 L(αβ2 )  − ∂T
2
 eT
 ∂x
β






Tout le problème de détermination des propriétés de conduction du système considéré
ν)
revient à la détermination des coefficients L(αβ
, puisque seuls ces termes font intervenir les
variables internes du système.
III.4
Electrons et trous:
Reprenons (71) de manière plus condensée:
r ∂f (ν )
d 3 k . 0 lαβ
v β , avec
∂ε
PZB
r
ν
e2
= − 2 τ (ε )vα ε k − µ
4π
(74)
(ν )
=
Lαβ
(75)
(ν )
lαβ
∫
(() )
∂f ∂ε
∂f
1 ∂ε
, ainsi que 0
= 0 , ce qui implique que:
h ∂k β
∂ε ∂k β ∂k β
r ∂f (ν )
1
(ν )
(76)
Lαβ
= ∫ d 3 k . 0 lαβ
h PZB
∂k β
Si on effectue une intégration par partie, on obtient immédiatement:
(ν )
r ∂ f 0 lαβ
r ∂lαβ 
1 
ν)
(77)
L(αβ
=  ∫ d 3k
− ∫ d 3kf 0

h PZB
∂k β
∂k β 
PZB
r
(ν )
ne dépend de k que par l'intermédiaire de ε et de v, qui sont des
Or la fonction f 0 lαβ
r
(ν )
fonctions périodiques de k . f 0 lαβ
est donc périodique, et la sommation sur le premier terme
Or on a v β =
[
]
est donc nulle. On a donc:
r ∂l
1
(ν )
(78)
Lαβ
= − ∫ d 3k f 0 αβ
h PZB
∂k β
Or f 0 représente les états peuplés dans la distribution d'équilibre local. Comme:
(79)
∫
PZB
(ν )
∂lαβ
∂k β
r
d 3k = 0
(ν )
est périodique, on peut écrire que:
puisque la fonction lαβ
r
∂lαβ
1
ν)
(80)
.
L(αβ
= ∫ d 3 k (1 − f 0 )
h PZB
∂k β
Mais physiquement, le coefficient 1 − f 0 représente exactement les états vides dans la
distribution d'équilibre local.
Ceci permet d'introduire la notion d'électrons et de trous, et de justifier que l'on puisse
indifféremment raisonner sur les électrons "réels" ou sur les trous "imaginaires".
Par définition un trou est un électron manquant dans une bande, et il a les caractéristiques
suivantes:
- qT = + e
- ET = − E e −
r
r
- kT = −k e−
r
r
- vT = v e −
mT * = − me − *
-
III.5
Phénomène de conduction dans les métaux:
On considère ici un gaz d'électrons dégénéré, et on utilise donc la statistique de Fermi –
Dirac, c'est-à-dire que la fonction de distribution de l'équilibre local va être donnée par (56)
ν)
Les coefficients L(αβ
définis par (71) dépendent de la fonction de distribution par
l'intermédiaire de sa dérivée par rapport à l'énergie. Avant de les calculer, regardons donc
∂f
l'allure de 0 .
∂ε
∂f 0
∂ε
f0
1
k BT
ε
µ = εF
εF
ε
∂f 0
∂ε
va se comporter comme une fonction δ . La conséquence physique de ce fait est que le
comportement du matériau va être relié à la densité d'état à l'énergie de Fermi uniquement.
Or on a k B T << ε F , ce qui signifie que vis-à-vis de la densité électronique, la fonction
Calculons à présent ces coefficients:
kz
ky
kx
S k (ε )
S k (ε + dε )
dε
dk ⊥ = r
∇ kr ε
Pour ce faire, on va effectuer une sommation non pas sur
les vecteurs de l'espace réciproque, mais sur l'énergie, la
correspondance entre les deux étant suggérée par le
schéma. D'après (71):
dS
e2
 ∂f 
ν
(ν )
Lαβ
=
dε  − 0 (ε − µ ) ∫∫ τ k vα v β r k
3 ∫ε
4π
∇ kr ε
 ∂ε 
S k (ε )
(81)
 ∂f 
= ∫ dε  − 0  Fαβ(ν ) (ε )
ε
 ∂ε 
avec:
(82)
(83)
Fαβ(ν ) (ε ) = (ε − µ ) g αβ (ε ) , et
r
dS
e2
g αβ (ε ) =
k
vα v β r k
τ
∫∫
4πh S k (ε )
v
ν
()
∂f 0
, on va pouvoir développer la
∂ε
Etant donné les remarques faites d'après l'allure de
fonction Fαβ(ν ) autour de ε F :
(84)
Fαβ(ν ) (ε ) = Fαβ(ν ) (ε F ) + (ε − ε F )
dFαβ(ν )
dε
+
ε =ε F
(ε − ε F )2
d 2 Fαβ(ν )
2
dε 2
.
ε =ε F
Regardons à présent la contribution des différents termes de ce développement dans
ν)
l'expression de L(αβ
:
1

→
le premier terme va donner:
∞
 ∂f 
 ∂f 
(85)
Fαβ(ν ) (ε F )∫ dε  − 0  = Fαβ(ν ) (ε F )− 0  = Fαβ(ν ) (ε F ) .
ε
 ∂ε 
 ∂ε  0
2

→
le second terme va donner une contribution nulle puisque
ε F et (ε − ε F ) est quant à elle impaire.
∂f 0
est paire par rapport à
∂ε
Ceci nous permet d'écrire:
(86)
(ν )
Lαβ
= Fαβ(ν ) (ε F ) +
∂f 
1 (ν )
2
Fαβ " (ε F )∫ (ε − ε F )  − 0 
ε
2
 ∂ε 
Un développement d'Onsager permet de calculer le second terme, ce qui donne:
π2
(ν )
(k BT )2 Fαβ(ν ) " (ε F )
Lαβ
= Fαβ(ν ) (ε F ) +
(87)
6
En reprenant alors l'expression (82), on obtient:
ν −2
ν −1
ν
(88)
Fαβ(ν ) " (ε ) = ν (ν − 1)(ε − µ ) g αβ (ε ) + 2ν (ε − µ ) g ’αβ (ε ) + (ε − µ ) g "αβ (ε )
ν)
Par ailleurs, les divers courants ne dépendent des L(αβ
que pour ν ∈ {1;2;3} . Ceci nous
permet d'expliciter plus avant ces coefficients:
1

→
ν = 0 : Fαβ(0 ) (ε F ) = g αβ (ε F ) et Fαβ(0 ) " (ε F ) = g "αβ (ε F )
(89)
(90)
(91)
2

→
ν = 1 : Fαβ(1) (ε F ) = 0 et Fαβ(1) " (ε F ) = 2 g ’αβ (ε F )
3

→
ν = 2 : Fαβ(2 ) (ε F ) = 0 et Fαβ(2 ) " (ε F ) = 2 g αβ (ε F )
III.5.1 Application à la conduction électrique:
La composante α du courant électrique s'écrit:
jα = ∑ σ αβ E β ,
(92)
β
où les σ αβ sont les composantes du tenseur conductivité électrique.
Or, d'après l'expression (72), on s'aperçoit immédiatement que, en utilisant (89):
π2
(93)
(k BT )2 Fαβ(0 ) " (ε F ) ≈ Fαβ(0 ) (ε F ) = gαβ (ε F )
σ αβ = L(αβ0 ) = Fαβ(0 ) (ε F ) +
6
Or, d'après (83):
r
dS
e2
(94)
g αβ (ε F ) =
τ
k
vα v β r k , avec S F = S k (ε F ) .
∫∫
4πh S F
v
()
Ceci implique physiquement que pour que la conductivité électrique soit importante, il faut
que les électrons aient des vitesses élevées sur la surface de Fermi. Or le modèle des électrons
presque libres avait donné une relation de dispersion de la forme:
v=0
Il faut donc que la sphère de Fermi soit loin de la limite de la
PZB. Ceci implique que les métaux alcalins, par exemples, ou les
métaux nobles, vont être de bons conducteurs.
Pour aller plus loin dans le calcul de la conductivité, il faut supposer que τ (k ) = τ (ε ) , ce
qui implique que, en utilisant (93) et (94):
e2
dS
(95)
σ αβ = 3 τ (ε F )∫∫ vα vβ r F
v
4π h
SF
Si on considère ensuite un cristal à symétrie cubique, l'isotropie nous donne directement
que:
e2
1
(96)
σ αβ = 3 τ (ε F )δ αβ ∫∫ vdS F
3 SF
4π h
Si on se place enfin dans un modèle d'électrons libres (ceci étant justifié pour les bons
hk
conducteurs où la surface de Fermi est loin de la limite de la PZB), où v =
, on obtient que
m
2π
h π
4πh 3
vdS F = ∫ sin θdθ ∫ dϕk F3 =
kF ,
(97)
∫∫
0
m 0
m
SF
soit
e 2τ (ε F ) k F3
m 3π 2
k3
1 4πk F3 V
Or F2 =
= nombre d'électrons/unité de volume, ce qui redonne la formule
V 3 4π 3
3π
classique de Drude:
ne 2τ (ε F )
(99)
σ=
.
m
Mais ici, τ est radicalement différent, puisqu'il ne prend en compte que les états à l'énergie
de Fermi.
Numériquement, ceci donne une conductivité de l'ordre du µΩ.cm à température ambiante,
valeur correspondant à l'ordre de grandeur des valeurs expérimentales.
(98)
σ=
Physiquement, qu'a modifié l'introduction de τ par rapport à la situation initiale qui
entraînait, dans un champ électrique, des oscillations de Bloch?
Ceci se voit en utilisant l'équation de Boltzmann en champ électrique uniquement:
r 1
Comme v = grad kr ε , l'équation (67) en champ électrique seul se réécrit:
h
r
r
δf 0
eE
eE
r
(100)
f1 = τ (v ) grad k ε
= τ (v ) grad kr f 0
h
∂ε
h
En se souvenant que la nouvelle fonction de distribution s'écrit: f = f 0 + f 1 , on a
r
eE
f = f 0 + τ (v ) grad kr f 0 ,
(101)
h
r
expression qui s'apparente à un développement de Taylor de f en k . On a donc
r
 r eE 
f = f 0  k +
τ
h 

Graphiquement, ceci se représente par la sphère de Fermi:
ky
ky
r
E
kx
kx
La forme de la surface de Fermi reste donc la même, mais il y a plus d'électrons, dans la
qui on des k x négatifs que positifs (avec x la direction du champ électrique), ce qui induit le
courant électrique.
III.5.2 Application à la conductivité thermique
On se place dans les conditions expérimentales suivantes:
r
- gradT ≠ 0
r r
je = 0
Ceci implique, d'après (72), qu'il y a apparition d'un champ électrique.
On écrit la relation liant le courant de chaleur au gradient de température selon:
r
jQ = − K αβ gradT , où K αβ est le tenseur conductivité thermique.
[ ]
[ ]
Il s'agit maintenant d'évaluer ce tenseur
r r
Or, si l’on reprend l’expression de j e = 0 , on obtient que:


[L( ) ].[(E )] = eT1 [L( ) ]. − ∂∂xT  ,
0
(102)
1
β

[ ]
β
 ∂T
(
)
,
et
E
et
 −
β
αβ
 ∂x β
( )
ν)
où les L(ν ) sont les matrices L(αβ
∂T
et E β .
∂x β
L'équation (73) devient alors:
r
 1
(103)
jQ = − 2 L(1) L(0 )
 eT
Or, on a les relations:
(0 )
= σ αβ
- Lαβ

[
]

 = − gradT sont les vecteurs


de composantes −
[ ][( ) ][L( ) ] + e 1T [L( ) ](− gradT )
−1
1
2
2

π2
(k BT )2 2 g ’αβ (ε F )
6
2
π2
(2 )
(k BT )2 2 gαβ (ε F ) = π k BT 2 2σ αβ
- Lαβ
=
6
6
ce qui donne, en introduisant les tenseurs [σ ] et [g ’(ε F )], évidemment définis:
r

π 2 k BT 
π2
(k BT )2 [g ’(ε F )][σ −1 ][g ’(ε F )] gradT ,
(104)
jQ = −
[
σ
]
−

2
3
3e 

et donc:
2 2
2
[Kαβ ] = π 3ke B2 T [σ ] − π3 (k BT )2 [g ’(ε F )][σ −1 ][g ’(ε F )]
(105)


-
(1)
Lαβ
=
Or en reprenant les résultats du modèle d'électrons libres établis au paragraphe précédent,
3
e 2τ (ε F ) 3
 2mε  2
on a g αβ (ε F ) =
k F , et donc, comme k F3 =  2  ,
2
3π m
 h 
3
e 2τ (ε F )  2m  2 3
e 2τ (ε F ) k F3
3σ
g ’αβ (ε F ) =
ε
,
soit,
puisque
, g ’αβ =
. Ceci
σ
=


F
2
2
2
m 3π
2ε F
3π m  h  2
nous permet de déterminer l'ordre de grandeur du second terme dans l'expression de K αβ :
2


(k BT ) [g ’(ε F )][σ ][g ’(ε F )] ≈ (k BT ) σ 1 σ ≈ σ  k BT  << σ
εF σ εF
 εF 
On retrouve alors la loi de Wiedemann – Franz:
2
[Kαβ ] = 3πe 2 k B2T [σ ]
(106)
2
−1
2
Cette relation a une grande généralité à partir du moment roù on ne considère que des
processus élastiques. En effet, dans ce cas, les modifications de jQ – qui en toute généralité se
r
font soit via l'énergie soit via le vecteur d'onde – ne se font ici que par le biais de k , soit de la
r
même manière que je .
Cette relation est donc vérifiée même en dehors d'un modèle d'électrons libres, ou même en
dehors du modèle semi – classique, à partir du moment où l'on peut négliger les processus
inélastiques.
III.5.3 Effets thermoélectriques
1

→
Effet Seebeck:
Si on impose un gradient de température sur un circuit ouvert, on observe l'apparition d'un
champ électrique tel que:
r
−1
1
(107)
E=
L(0 )
L(1) − gradT = [Q ]gradT
eT
Or, d'après (98), pour des électrons libres:
[(
) ][ ](
)
3
(108)
L(αβ0 )
e 2τ (ε F )  2mε F  2
= g αβ (ε F ) =


3π 2 m  h 2 
et
3
(109)
(1)
Lαβ
e 2τ (ε F )  2m  2 3
π2
2
= 2 g ’αβ (ε F ) (k B T ) , avec g ’αβ (ε F ) =
εF ,


6
3π 2 m  h 2  2
On a donc:
π 2 k B2T
1 π 2 (k B T )
, où Q est le coefficient Seebeck, et vaut dans les
=−
2eε F
eT 2 ε F
2
(110)
Q=−
métaux usuels environ 2.10 −6 V / K .
2
Effet Peltier: il s'agit de l'apparition d'un courant de chaleur lorsque l'on a un courant

→
électrique donné et un gradient de température nul. On définit alors un coefficient Peltier par:
r
r
−1 r
1
(111)
jQ = − L(1) . L(0 ) je = [Π ] je
e
On a alors directement que:
[Π ] = [Q]T
(112)
[ ][ ]
III.6
Phénomène de conduction dans les semi – conducteurs:
Etant donné le remplissage des bandes dans les semi – conducteurs, la différence
fondamentale avec les métaux est que, puisque le gap est très grand devant k B T , que la
∂f
densité d'énergie va "voir" la queue de 0 .
∂ε
La partie de f 0 considérée va donc être f 0 = e
(113)
−
∂f 0
f
= 0 .
∂ε k B T
ε F −ε
k BT
, ce qui implique que, dans cette zone:
On suppose par ailleurs – ce qui rejoint une description en termes de masse effective – que
puisque seule la partie extrémale de la bande va intervenir:
(kα − k 0α )2
h2
.
(114) ε kr = ε kr +
∑ m
0
2 α
α
On pose alors ε kr = 0 , ce qui revient uniquement à fixer une origine des énergies et est
0
donc sans aucune influence sur le problème.
ν)
.
Il s'agit alors, comme dans les métaux, d'évaluer les coefficients L(αβ
Effectuons pour cela un changement de variable qα =
kα − k 0α
mα
, ce qui donne ε qr =
h2q 2
.
2
r
h(kα − k 0α ) hqα
r
1 ∂ε
On a alors d 3 q = m1 m2 m3 d 3 k , ainsi que vα =
.
=
=
h ∂kα
mα
mα
ν)
Ceci nous amène à une nouvelle expression de L(αβ
:
(115)
(ν )
Lαβ
=
e2
4π 3
 ∂f 0 
∫∫∫  − ∂ε τ (ε )(ε − µ )
r
q
ν
hqα hq β
mα
mβ
r
m1 m2 m3 d 3 q .
En coordonnées sphériques, on obtient donc:
π 2π
hqα hq β
e 2  ∂f 0 
ν 2
(ν )
(116)
(
)(
)
Lαβ =
−
τ
ε
ε
−
µ
q
dq


∫ ∫
4π 3 ∫q  ∂ε 
mβ
θ = 0 ϕ = 0 mα
m1 m2 m3 sin θ .dθ .dϕ
Les coordonnées α et β correspondent à des coordonnées cartésiennes. Examinons les
différents cas:
- q x q y = q 2 sin 2 θ . cos ϕ. sin ϕ → 0 par parité après sommation sur ϕ
-
q x q z = q 2 sin θ cosθ cos ϕ → 0 par parité après sommation sur ϕ
-
q y q z = q 2 sin θ cos θ sin ϕ → 0 par parité après sommation sur ϕ
On a donc forcément α = β . Si on examine ces cas, on trouve que:
4
- q x2 = q 2 sin 2 θ cos 2 ϕ → .π
3
4
2
2
2
2
- q y = q sin θ sin ϕ → .π
3
2
- q z2 = q 2 cos 2 θ → .2π
3
Ces considérations nous permettent d'écrire:
2
e 2  ∂f  h m1 m2 m3
ν)
L(αβ
= 2 ∫− 0 
δ αβ τ (ε )(ε − µ )ν q 4 dq
(117)
3π q  ∂ε 
mα m β
On effectue alors un changement de variable en énergie, et, puisque:
4ε 2
- q4 = 4
h
1 h
- dε = h 2 qdq , soit dq = 2
dε
h
2ε
On trouve alors:
2
e 2  ∂f  h m1 m2 m3
4ε 2 1 1
(ν )
(118)
Lαβ
= 2 ∫− 0 
δ αβ τ (ε )(ε − µ )ν 4
dε
3π ε  ∂ε 
h h 2ε
mα m β
()
r r
r r
1 3r
Si on écrit par ailleurs que n(q )d 3 q = n k d 3 k =
d k , on trouve que:
4π 3
r
m1 m2 m3
r
1 d 3k
(119)
.
n(q ) =
=
3
3r
4π d q
4π 3
En introduisant la densité d'énergie
telle que N (ε )dε = n(q )4πq 2 dq on tire
2ε 1
que N (ε )dε = n(q )4π 2
dε , soit:
h h 2ε
m1 m2 m3 2ε 1
(120)
N (ε ) =
π2
h3 ε
ν)
Si on introduit cette densité d'états en énergie dans l'expression de L(αβ
, on trouve:
(121)
ν)
L(αβ
=
2e 2  ∂f 0 
1
δ αβ τ (ε )(ε − µ )ν N (ε )ε dε
−

∫
3 ε  ∂ε  mα m β
Enfin si on exprime le fait que −
(122)
ν)
L(αβ
=
2e 2 δ aβ
3k B T mα
∂f 0
f
= 0 , on obtient finalement:
∂ε k B T
ν
∫ε f τ (ε )(ε − µ ) N (ε )εdε
0
Ceci nous permet de tirer directement l'expression de la conductivité électrique:
2e 2 δ αβ
(123) σ αβ = Lαβ =
f 0τ (ε )N (ε )εdε ,
3k B T mα ∫ε
que l'on peut écrire sous une forme habituelle:
n(T )e 2 τ
(124) σ αβ =
δ αβ ,
mα
avec:
(0 )
∞
-
n(T ) = ∫ f 0 N (ε )ε .dε
0
∞
-
1
τ =
k BT
∫ f τ (ε )N (ε )ε .dε
0
0
∞
∫ f N (ε )ε .dε
0
0
Remarque: ici les variations en température de la conductivité vont être dans le terme
n(T ) , c'est-à-dire que celle-ci va varier en e
−
1
T
.
Expérimentalement, on obtient la courbe suivante:
lnR
Pente en énergie
d'activation Ed/k
Pente en énergie
d'activation Eg/k
Régime
extrinsèque
Quand
tous
les
porteurs du niveau
donneurs sont passés
dans la bande de
conduction
Régime intrinsèque
1/T
III.7
Transport sous champ magnétique
On considère un électron dans un conducteur. En s'appuyant sur des résultats de masse
r h2k 2
effective, on a ε k =
2m *
Plaçons nous dans une configuration où un champ électrique et un champ magnétique
coexistent, mais où ils sont croisés.
L'équation
de Boltzmann s'écrit alors, puisque les champs sont statiques et uniformes:
r
r
f
F r
∇ k f = − 1 , avec f 1 = f − f 0
h
τ
Ceci se réécrit en:
∂f r r
f
r rr
− 1 = 0 v .F − ev ∧ B∇ kr f 1
τ
∂ε
r r  ∂f 
On va alors chercher f 1 sous la forme f1 = v .c (ε ) − 0  . En injectant cette expression
 ∂ε 
dans l'équation de Boltzmann, on obtient:
rr
r
rr e rr r
r
v .c (ε )
c
e r r
−
= eE.v −
c v ∧ B , soit −
= eE −
B∧c
τ (ε )
m*
τ (ε )
m*
()
(
)
r
r
eB
Introduisons la pulsation cyclotron vectoriellement, définie par ω c =
. On a:
m*
r
r r
r
- ω c .c = τ (ε )e.E.ω c = 0 puisque les champs sont croisés
r
r r
r
r
r
r
c
- ω c ∧ (ω c ∧ c ) = ω c ∧ eE + ω c ∧
.
τ (ε )
Ceci nous permet de tirer que:
r
r
r
eτ 2ω c ∧ E
r
− eτE
c=
−
1 + ω c2τ 2
1 + ω c2τ 2
La densité de courant électrique s'écrit alors:
r
r
r
1
− ev f1 d 3 k , qui mène au final à l'expression de la conductivité électrique
je =
3 ∫∫∫
4π PZB
définie par:

ω cτ 2 
τ
−


 j x  σ xx σ xy   E x 
1 + ω c2τ 2 
ne 2  1 + ω c2τ 2
,
 j  = σ
   , à [σ ] =

m *  ω cτ 2
τ
 y   yx σ yy   E y 


2 2
1 + ω c2τ 2 
 1 + ω c τ
 ∂f 0 
∫  − ∂ε ε 2 Xdε
avec X =
3
 ∂f 0  2
−
ε
∫  ∂ε  dε
3
Le résultat obtenu est donc identique à celui obtenu dans le cadre du modèle de Drude, aux
valeurs moyennes près, qui font intervenir le caractère quantique du problème, via la fonction
de distribution f 0 .
III.7.1 Effet Hall
r
B
On a, d'après la géométrie du système j y = 0 , ce qui
VH
I
donne que E x = −
y
x
jx =
σ yy
E y , et donc:
σ yx
σ xy2 − σ xxσ yy
Ey
σ xy
1

→
limite de champ magnétique fort ω cτ >> 1 .
On obtient directement que j x = −
ne 2 1
ne
Ey = − Ey
m * ωc
B
2
limite de champ magnétique faible ω cτ << 1

→
On obtient alors une expression moins simple:
2
ne τ
jx = −
Ey
B τ2
Dans le cas d'un métal, seule l'énergie de Fermi intervient, ce qui, compte tenu de
2
l'expression des valeurs moyennes, implique τ 2 = τ . On retrouve alors l'expression de la
limite champ fort.
Dans le cas d’un semi – conducteur, si on suppose que τ (ε ) = ε s , on trouve que la
5
 5
Γ + 2 s  Γ 
1 2
 2
résistance de Hall va être donnée par R H = −
5
ne


Γ2  + s
2


III.7.2 Magnétorésistance
Selon le modèle de Drude, le tenseur résistivité est donné par:
1
ω cτ 

[ρ ] = [σ ]−1 = m2 
1 
ne τ  − ω cτ
Ceci implique que si l'on définit la magnétorésistance telle que, si
j x = σ (B )E x , il n'y a pas de magnétorésistance dans le modèle de Drude.
Or, en fait, on a, pour j y = 0 et pour ω cτ << 1 :
-
σ B =0 ∝ τ
τ
~ τ − ω c2 τ 3 ,
2 2
1+ ωcτ
∆σ
ce qui donne
= −ω c2 τ 3 ∝ B 2
σ
Et pour ω cτ >> 1 , on a:
-
σB ∝
τ −1
ω c2
∆σ
=
σ
τ
− τ
→ C ste : il y a une saturation de magnétorésistance.
j y = 0 , alors
IV
Ecrantage
IV.1
Constante diélectrique généralisée
Considérons un milieu isotrope et linéaire. L'électromagnétisme donne alors les équations
suivantes:
r
r
(125)
D = ε 0ε r E ,
et les équations de Maxwell s'écrivent:
r
r
r
(126)
divD = ρ ext et divε 0 E = ρ ext + ρ ind , avec ρ ind = − divP
Par ailleurs, on a:
r
r
V ext
(127)
E = − gradV et D = ε 0 gradV ext , ce qui implique que
= εr .
V
Considérons à présent un gaz d'électrons libres accompagné de n0 charges positives.
Le potentiel extérieur s'écrit alors directement, d'après la relation donnant ε r :
r
r r r
r
(128) V ext (r ) = ∫ d 3 r ’ε (r , r ’)V (r ’)
r r
r r
Or comme le milieu est homogène, on peut supposer que ε (r , r ’) = ε (r − r ’) . Une
transformation de Fourier mène alors à la relation:
r
r r
(129) V ext (q ) = ε (q )V (q )
Les relations de Maxwell énoncées ci-dessus mènent par ailleurs à:
ρ ext + ρ ind
ρ ext
et ∆Vext =
, ce qui s'écrit en Fourier:
(130)
∆V =
ε0
ε0
r
r
r
r
ρ ext (q ) + ρ ind (q )
ρ ext (q )
2
2 ext r
(131)
et q V (q ) =
q V (q ) =
ε0
ε0
r
Ceci nous permet de tirer directement l'expression de ε r (q ) :
r
r
r
ρ ext (q )
ρ ind (q )
ε (q ) = ext r
=
1
−
(132)
r
r
ρ (q ) + ρ ind (q )
ε 0 q 2V (q )
IV.2
Ecrantage dans l’approximation de Thomas - Fermi
Cette approximation est une approximation semi – classique permettant de déterminer,
entre autre, quel est le potentiel électrostatique effectif induit par un électron perçu par le
milieu. Cette approximation est valable si le potentiel varie très lentement à l'échelle de la
maille atomique, à savoir q << k F .
r
La densité électronique en un point r donné vaut:
r
r h2k 2
r
1
d 3k
r
,
avec
(133)
n(r ) =
ε
k
=
r
2m
4π 3 ∫ ε (k )−eV (r )− µ
e k BT
+1
()
Par ailleurs, lorsque ce potentiel perturbateur n'est pas présent, c'est-à-dire lorsque l'on ne
tient pas compte des interactions électron – électron, on a:
r
1
d 3k
r
n0 =
(134)
4π 3 ∫ ε (k )− µ
e k BT + 1
On a donc:
∂n
r
r
(135)
n(r ) = n0 (µ + eV (r )) = n0 (µ ) + eV 0
∂µ
Ceci implique que la densité électrique induite vaut:
∂n
r
(136)
ρ ind = −e(n(r ) − n0 ) = −e 2V 0
∂µ
Et la constante diélectrique correspondante s'écrit,
k 02
r
e 2 ∂n0
(137) ε (q ) = 1 +
, où k 0 est le vecteur d'onde de Thomas – Fermi.
=
1
+
ε 0 q 2 ∂µ
q2
r
Q
Par ailleurs, si V ext (q ) =
(potentiel coulombien), on a
ε 0q 2
r
r V ext (q )
Q
,
(138) V (q ) =
r =
2
ε (q )
ε 0 q + k 02
ce qui implique que:
r
Q
(139) V (r ) =
e − k0 r
4πε 0 r
On comprend alors bien la notion d'écrantage : le potentiel créé par une charge ponctuelle
n'est plus à longue portée, mais elle n'est perçue dans le milieu que sur une distance
caractéristique de l'ordre de 1 / k 0 .
(
)
IV.2.1 Cas des métaux:
On a, dans le cas d'un métal:
dε .g (ε )
n
, avec g (ε ) =
n0 = ∫ (ε − µ ) / k BT
(140)
hπ 2
e
+1
On en déduit que:
∂n0
 ∂f 
(141)
= ∫ dε .g (ε ) − 0  = g (ε F ) ,
∂µ
 ∂ε 
2mE
.
h2
 ∂f 
puisque la fonction  0  ≅ δ (ε F ) . On en déduit la valeur du vecteur d'onde de Thomas –
 ∂ε 
Fermi:
e2n
(142)
k 02 =
k F , ce qui numériquement s'écrit:
ε 0π 2 h 2
1/ 2
r 
4
k 0 ~ 0,815 s  k F , avec rs tel que n0 πrs3 = 1 , rayon de sphère dure de l'électron.
3
 a0 
Typiquement, une charge dans un métal est écrantée sur la distance d'une maille.
IV.2.2 Cas des semi – conducteurs:
On a dans ce cas:
n
∂n0
(143)
= 0
∂µ k B T
Et on aura:
e 2 n0
, ce qui donne un λ 0 de quelques nanomètres.
(144)
k 02 =
ε 0ε r k BT