Cahiers Mathenpoche 5°

G2 : Triangles
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Série 2 : Somme des Angles
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1 Réponds par vrai ou faux puis justifie ta
réponse :
a. Un triangle ne peut avoir qu'un seul angle
obtus.
Vrai. S'il avait deux angles obtus, leur somme
serait déjà supérieure à 180°, ce qui est
impossible.
b. Il peut y avoir deux angles droits dans un
triangle.
Faux. La somme de deux angles droits est égale à
180°, il ne reste donc rien pour le 3e angle.
c. Si les mesures des angles de deux triangles
sont égales, les triangles sont superposables.
Faux. La mesure des angles ne dépend pas de la
longueur des côtés. On peut donc avoir deux
triangles ayant les mêmes mesures d'angles, mais
des côtés dont la longueur est plus grande ou plus
petite.
d. Un triangle équilatéral peut être rectangle.
Faux. Un triangle équilatéral a trois angles de 60°,
donc aucun de 90°.
e. Un triangle rectangle peut être isocèle.
Vrai. Un triangle rectangle isocèle a un angle droit
et deux angles de 45° chacun.
2 ABC étant un triangle isocèle dont l'un des
angles mesure 80°, donne les mesures possibles
des deux autres angles puis trace une figure pour
chaque cas.
L'angle de 80° est soit l'angle au sommet
principal, soit l'un des angles à la base.
a. Si l'angle au sommet mesure 80°, alors les
angles à la base sont égaux à :
(180 - 80) / 2 = 100/2 = 50°
b. Si un angle à la base mesure 80°, l'autre angle
à la base aussi et l'angle au sommet principal
mesure 180 - 2x80 = 180 - 160 = 20°.
(Capture d'écran réalisée avec TracenPoche)
3 Cas complexes
Calcule, pour chaque triangle, la mesure
manquante :
Dans le triangle MNO
rectangle en N :
MON
= 90 - 54 = 36°.
Dans le triangle POU
rectangle en U :
POU
= 90 - 36 = 54°
Dans le triangle SER
isocèle en S :
SER
=
SRE
=(180-110)/2
=70/2 = 35°.
Les angles
SER
et
SEX
sont complémentaires,
donc
SEX
=90 - 35 = 55°
Les angles
RSE
et
ESX
sont supplémentaires,
donc
ESX
=180-110=70°
Dans le triangle ESX on a :
SXE
+
ESX
+
SEX
=180°
SXE
= 180-
ESX
-
SEX
SXE
= 180-70-55 = 55°
Le triangle ABD est
isocèle en A donc ses
angles à la base sont
égaux :
ADB
=
ABD
=(180-28)/2
= 152/2 = 76°.
Les angles
ADB
et
BDC
sont supplémentaires
donc
BDC
=180-76=104°
Le triangle BDC est
isocèle en D, donc ses
angles à la base sont
égaux :
DCB
=
DBC
=(180-
104)/2 = 76/2 = 38°
110°
?
X
ER
S
OUM
P
N
54°
?
AB
C
D
28
°
?
30°
60°
2 cm
4 cm 30°
60°
3 cm
6 cm

G2 : Triangles
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Série 2 : Somme des Angles
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4 Avec des bissectrices
Calcule, pour chaque triangle, la ou les mesures
manquantes :
Dans le triangle FRT on a
FRT=180− RFT− RTF
FRT
=180-48-81 = 51°
D'après le codage on a aussi :
FRT= TRP
=51°.
Les angles
RTF
et
RTP
sont
supplémentaires, donc
RTP=180− RTF
=180-81=99°.
Dans le triangle PRT on a donc
TPR=180− TRP− RTP
TPR
=180-51-99 = 30°.
Le triangle LNE est équilatéral
donc
LNE= NEL= ELN=60°
D'après le codage on a aussi :
LNE= ONE
=60°
Dans le triangle NOE rectangle
en O, on a donc :
NEO=90− ONE
=90-60=30°
Le triangle COX est un triangle
équilatéral donc ses 3 angles
mesurent 60°.
(NO) est la bissectrice de
l'angle
COX
, donc
CON
=30°
Dans le triangle NOC on a :
CNO
=180-
CON
-
OCN
CNO
= 180 – 30 – 60 = 90°.
Les angles
CNO
et
ONX
sont supplémentaires donc
ONX
=90°.
La droite (XM) est la
bissectrice de l'angle
CXO
donc
CXM
=30°.
Dans le triangle KNX, on a :
NKX
= 180 –
KNX
-
NXK
NKX
= 180 – 90 – 30 = 60°.
5 Dans des polygones
a. Dans un quadrilatère :
Le quadrilatère ACBD peut être
considéré comme la juxtaposition des
deux triangles ABC et ADC.
On peut alors écrire :
ABC BCA CAB=180°
et
ADC DCA CAD=180°
Faisons la somme des angles du
quadrilatère ABCD :
ABC BCD CDA DAB
=
ABC BCA ACD CDA DAC CAB
=
ABC BCA CAB ACD CDA DAC
= 180 + 180 = 360°
b. Dans un pentagone :
Si on trace les diagonales [NQ] et
[MQ] par exemple, on peut
considérer que le pentagone
MNPRQ est une juxtaposition des
trois triangles MNQ, NPQ et MRQ.
Avec le même raisonnement qu'au
a., on aboutirait à :
MNP NPQ PQR QRM RMN
=3 x 180 = 540°
6 Points alignés ?
On considère la figure suivante :
a. Quelle est la nature des triangles ECF et ADE ?
Le triangle ECF est isocèle en C car CE = CF;
Le triangle ADE est isocèle en D car DA = DE.
b. Calcule les angles aux sommets principaux de
ces deux triangles.
ADE= ADC− CDE
= 90 – 60 = 30°
De même
ECB= DCB− DCE
= 90 – 60 = 30°
d'où
ECF= ECB BCF
= 30 + 60 = 90°
c. Calcule alors les mesures des angles
AED
et
CEF
.
Le triangle AED est isocèle en D donc
DAE= DEA
= (180 –
ADE
)/2 =
180−30
2
= 75°
Le triangle ECF est isocèle en C donc
CEF= CFE
= (180 –
ECF
)/2 =
180−90
2
= 45°
d. Déduis-en que les points A, E, F sont alignés.
Calculons la mesure de l'angle
AEF
:
AEF= AED DEC CEF
= 75 + 60 + 45 = 180°
Donc les points A, E et D sont bien alignés.
L
N
O
E
?
X
C
O
60°
K
N
M
?
?
48
°
81°
FTP
R
?
AB
C
D
E
F
A
B
C
D
NP
Q
R
M

G2 : Triangles
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Série 2 : Somme des Angles
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7 Angles et équations
Dans chaque cas, a est la mesure d'un angle en
degré. Calcule la valeur de a.
Le triangle RST est isocèle
en R car RS = RT.
Donc ses angles à la base
ont la même mesure :
RST = RTS
= a + 15
On aura ainsi :
RST  RTS SRT
= 180°
a + 15 + a + 15 +a = 180
3a+30 = 180
3a = 180 – 30
3a = 150
a =
150
3
= 50°
MNZ NZM ZMN
=180°
a+2a+69 = 180
3a + 69 = 180
3a = 180 – 69
3a = 111
a =
111
3
= 37°
a
a+15
T
S
R
69°
a
2a
M
N
Z