BOITE A OUTILS

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BOITE A OUTILS
3ème
2014/2015

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COMMENT DEMONTRER QUE DEUX DROITES SONT
PARALLELES ?
1) En utilisant les propriétés vues en 6ème
Si deux droites sont parallèles à une même droite alors elles sont parallèles entre elles
On sait que ( D ) // ( D' )
et on sait que ( d ) // ( D ) donc ( d ) // ( D' )
Si deux droites sont perpendiculaires à une même droite alors elles sont parallèles entre elles.
on sait que ( D ) ( D' )
et on sait que( d ) ( D' ) donc ( d ) // ( D )
2) En utilisant la propriété sur la symétrie centrale
Si deux droites sont symétriques par rapport à un point alors elles sont parallèles
On sait que la droite (d') est la symétrique
par rapport au point O de la droite (d)
donc (d') // (d)
3) En utilisant la définition d’un parallélogramme
Un parallélogramme est un quadrilatère qui a ses côtés opposés parallèles 2 à 2
On sait que ABCD est un parallélogramme
donc (AB) et (DC) sont parallèles, et (AD) et (BC) aussi
4) En utilisant les propriétés des angles alternes internes ou correspondants
Si deux droites (d) et (d’) coupées par une sécante (D) forment deux angles alternes internes de même mesure alors
(d) et (d’) sont parallèles.
On sait que les droites (xy ) et (uv) sont coupées par la sécante ( zt )
On sait que les angles alternes internes yAz et uBt sont de même mesure
donc les droites (xy) et ( uv ) sont parallèles
Si deux droites (d ) et (d’) coupées par une sécante (D) forment deux
angles correspondants de même mesure alors (d) et (d’) sont parallèles.
On sait que les droites (xy ) et ( uv ) sont coupées par la sécante ( zt )
On sait que les angles correspondants xAz et uBz sont de même mesure
donc les droites (xy) et (uv ) sont parallèles
(D)
(D’)
(d)
(D)
(D’)
(d)
B
A
C
D
(d')
(d)
O

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5) En utilisant le théorème de la droite des milieux dans un triangle
Dans un triangle, si une droite passe par les milieux de deux côtés du triangle
alors elle est parallèle au troisième côté du triangle
6) En utilisant la réciproque du théorème de Thales
Soient (d) et (d') deux droites sécantes en A
Soient B et M deux points de (d) distincts de A
Soient C et N deux points de (d') distincts de A
Si = et alors les droites (BC) et (MN) sont parallèles
Si les points A, B, M et A, C, N sont alignés dans le même ordre

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COMMENT DEMONTRER QUE DEUX DROITES SONT
PERPENDICULAIRES ?
1) En utilisant la propriété vue en 6ème
Si deux droites sont parallèles et qu’une troisième droite est perpendiculaire à l’une alors elle est perpendiculaire à
l'autre. ( 6ème )
On sait que (D) // (D') et on sait que (d) (D)
donc (d) (D' )
2) En utilisant la définition de la médiatrice
La médiatrice d’un segment est la droite perpendiculaire à ce segment en son milieu
On sait que (D) est la médiatrice du segment [AB ]
donc (D) est perpendiculaire à la droite (AB)
3) En utilisant la définition d’un triangle rectangle
Un triangle rectangle est un triangle qui a un angle droit
4) En utilisant la définition d’un rectangle (ou carré)
Un rectangle est un quadrilatère qui a quatre angles droits
5) En utilisant une propriété sur les diagonales d'un losange (ou carré)
Si un quadrilatère est un losange alors il a ses diagonales perpendiculaires
On sait que ABCD est un losange
donc les diagonales (AC) et (BD) sont perpendiculaires
6) En utilisant la définition de la hauteur dans un triangle
Une hauteur dans un triangle est une droite qui passe par un sommet et qui perpendiculaire à la droite portant le
côté opposé à ce sommet
7) En utilisant les propriétés des symétries axiales et centrales
●Si deux droites sont perpendiculaires alors leurs symétriques par rapport à une droite sont perpendiculaires
●Si deux droites sont perpendiculaires alors leurs symétriques par rapport à un point sont perpendiculaires
8) En utilisant la réciproque du théorème de Pythagore
Si dans un triangle le carré de la longueur du côté le plus long est égal à la somme des carrés des longueurs des
deux autres côtés alors le triangle est rectangle
Si le triangle ABC est rectangle en A alors BC² = AC² + AB²
(D)
(D’)
(d)
(D)
B
A
A
C
D
B

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9) En utilisant la tangente à un cercle
Soit un cercle(C) de centre O et un point A sur ce cercle
La tangente (t) au cercle(C) en A est la droite passant par A et
perpendiculaire au rayon [OA]
On sait que (t) est la tangente au cercle (C ) de centre O en un point A
donc (OA) est perpendiculaire à (t)
10) En utilisant la réciproque du théorème du cercle circonscrit à un triangle
Si un triangle est inscrit dans un cercle ayant pour diamètre un de ses côtés alors ce triangle est rectangle
On sait que (C ) est un cercle de diamètre [AU]
Et I est un point du cercle (C )
Donc le triangle IUA est rectangle en I
par conséquent (AI) est perpendiculaire à (IU)